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7.3.2 離散型隨機變量的方差
一、提出問題
問題 從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽。根據以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環數X和Y的分布列如下表所示：
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
如何評價這兩名同學的射擊水平？
二、新知探究
1.離散型隨機變量的方差概念：一般地，若離散型隨機變量的概率分布列為：
… …
… …
則稱
為隨機變量的方差，有時也記為. 稱為隨機變量的標準差.
期望： 方差： 標準差：
思考：方差為什么這樣定義？
2.離散型隨機變量的方差的深層理解
離散型隨機變量的方差是個數值，是隨機變量的一個重要特征數.
描述了()相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權平均值，刻畫了隨機變量的取值與其均值的平均偏離程度. 隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值的穩定性和波動、集中與離散程度，①越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散；②越小，的取值越集中在附近.
3.方差的計算方法：
(1)定義法
(2)期望法：
4.方差的性質：
期望的性質：
證明：.
三、典例解析
【典例1】已知隨機變量的分布列為
1 2 3 4
0.2 0.3 0.4 0.1
求和.
【練習鞏固1】隨機變量的分布列如下表，則 ； .
0 1 2
【典例2】已知隨機變量的分布列如表：
0 1 2
m n
若，則 ．
【練習鞏固】隨機變量X的分布列如表所示，若，則 .
X 0 1
P a b
【典例3】投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示：（左側為A，右側為B）
收益Y元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
收益X/元 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
(1) 投資哪種股票的期望收益大？ (2) 投資哪種股票的風險較高？
【練習鞏固】甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為X和Y (單位：s)，其分布列為
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
甲品牌的走時誤差分布列 乙品牌的走時誤差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
試比較甲、乙兩種品牌手表的性能.
【典例4】若隨機變量X滿足，其中為常數，求，.
【典例5】若隨機變量X服從兩點分布，求，.
【練習鞏固】已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且，則隨機變量X的方差為 ．

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