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7.4.1 二項分布
一、重伯努利試驗(次獨立重復試驗)
問題1 拋擲一枚硬幣1次，則寫出所有試驗結果 .
在實際問題中，有許多隨機試驗與擲硬幣試驗具有相同的特征，它們只包含兩個可能結果．例如，檢驗一件產品結果為合格或不合格，飛碟射擊時中靶或脫靶，醫學檢驗結果為陽性或陰性等．我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗（Bernoulli trials）．
問題2 拋擲同一枚硬幣3次，則：每一次試驗的結果是否相互獨立？
我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗，也叫做 ，顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：
（1）每次試驗是在同樣條件下進行的，有關事件的概率保持不變；
（2）各次試驗中的事件是相互獨立的，結果互不影響；
（3）每次試驗都只有兩種結果，即事件要么發生，要么不發生，這兩種結果是對立的
思考：下面3個隨機試驗是否為重伯努利試驗？如果是，那么其中的伯努利試驗是什么？對于每個試驗，定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大？重復試驗的次數是多少？
（1）拋擲一枚質地均勻的硬幣10次．
（2）某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續射擊3次．
（3）一批產品的次品率為5%，有放回地隨機抽取20件．
二、重伯努利試驗的概率公式與二項分布
探究1 某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續3次射擊，中靶次數X的概率分布列是怎樣的？
思考 如果連續射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數X=2的結果有哪些？寫出中靶次數X的概率分布列.
1. 重伯努利試驗的概率公式
一般地，如果在一次試驗中事件發生的概率是，事件在次試驗中發生次，共有 種情形，由試驗的獨立性知，每種情形下，在次試驗中發生，而在其余次試驗中不發生的概率都是 ，則在重伯努利試驗中，事件恰好發生次的概率為 ( ) .
2. 二項分布
一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發生的概率為()，用表示事件發生的次數，則的分布列為
如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作．
關于二項分布的這幾點你必須知道：
(1) 對比二項分布與二項式定理，你能看出它們之間的聯系嗎？
(2) 明確二項分布中的各量表示的意義
：
：
：
分布列：
結論：隨機變量服從參數為,的二項分布
記法：
(3) 二項分布的均值與方差
若隨機變量服從參數為，的二項分布，即，則, .
【即學即練1】已知隨機變量X服從二項分布，若，，求的值.
題型1 重伯努利試驗的概率問題
【典例1】將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲5次，求：
（1）恰好出現3次正面朝上的概率； （2）正面朝上出現的頻率在內的概率．
【練習1】若某一試驗中事件A發生的概率為，則在重伯努利試驗中，發生次的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【練習2】若某射手每次射擊擊中目標的概率為0.9，每次射擊的結果相互獨立，則在他連續4次射擊中，恰好有一次未擊中目標的概率是 .
【練習3】在3重伯努利試驗中事件出現的概率相同，若事件A至少出現1次的概率為，則事件A在1次試驗中出現的概率為 ．
【典例2】甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？
【典例3】如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發，每隔1秒等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次. 求下列事件的概率：
(1) 質點回到原點；
(2) 質點位于4的位置.
【練習1】位于坐標原點的一個質點P按下述規則移動：質點每次移動一個單位，移動的方向為向左或向右，并且向左移動的概率為，向右移動的概率為，則質點P移動5次后位于點(1，0)的概率為 .
【練習2】位于坐標原點的一個質點P按下述規則移動：質點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都為，則質點P移動5次后位于點(2，3)的概率為 .
【典例4】口袋中放有大小相同的2個紅球和1個白球，每次有放回地摸取一個球，定義數列：，如果為數列的前項和，那么的概率為 .
題型2 二項分布及其應用
【典例1】有8件產品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數，則
A． B． C． D．
【練習1】若隨機變量服從二項分布，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如圖是一塊高爾頓板的示意圖．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列．
【練習1】為了響應教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，某校實施網絡授課，為了檢驗學生上網課的效果，在高三年級進行了一次網絡模擬考試，從中抽取了100人的數學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數學成績落在區間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.
(1) 根據頻率分布直方圖求學生成績在區間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學數學成績的中位數；
(2) 若將頻率視為概率，從全校高三年級學生中隨機抽取3個人，記抽取的3人成績在[100，130）內的學生人數為，求的分布列.
題型3二項分布的均值與方差
【典例1】（多選題）若隨機變量，則（ ）
A． B． C． D．
【練習1】設隨機變量，則（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【練習2】已知隨機變量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【練習3】（多選題）已知，且，，則下列說法正確的有（ ）
A．， B．
C． D．中是最大值
【典例2】將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲4次，X表示“正面朝上”出現的次數.
(1) 求X的分布列； (2) ， .
【練習1】拋擲一枚骰子，當出現5點或6點時，就說這次實驗成功，求：
(1) 在30次實驗中成功次數X的分布列； (2) ， .
【練習2】已知某疾病的某種療法治愈率為80%.若有100位該病患者采取了這種療法，且每位患者治愈與否相互獨立，設其中被治愈的人數為X，則下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
【典例3】某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將個樣本數據按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.
(1) 請通過頻率分布直方圖估計這份樣本數據的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.
(2) 以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于分，則被認定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機抽取人，用表示成績合格的人數，求的分布列及數學期望.
【練習1】為了檢查工廠生產的某產品的質量指標，隨機抽取了部分產品進行檢測，所得數據統計如下圖所示.（注：產品質量指標達到130及以上為優質品）；
(1) 求的值以及這批產品的優質率；
(2) 以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產的所有產品中隨機抽出件，記這件中優質產品的件數為，求的分布列與數學期望.
題型4服從二項分布的概率最值問題
【典例1】某人在19次射擊中擊中目標的次數為X，若，若最大，則（ ）
A．14或15 B．15 C．15或16 D．16
【典例2】如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考

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