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7.4.2 超幾何分布
思維導(dǎo)圖：探究一 超幾何分布的概念 探究二 超幾何分布的概率
探究三 超幾何分布的分布列與期望、方差 探究四 超幾何分布與二項(xiàng)分布間的聯(lián)系
探究一 超幾何分布的概念
問題 已知10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.
（1）若采用有放回抽樣，求隨機(jī)變量X的分布列，并判斷隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎？
（2）如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？
1. 超幾何分布：
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品，從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回)，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，.
其中，，，，．
如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
2. 對(duì)超幾何分布的理解
(1)在超幾何分布的模型中，“任取件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取件”. 如果是有放回地抽取，就變成了重伯努利試驗(yàn)，這時(shí)概率分布是二項(xiàng)分布. 所以兩個(gè)分布的區(qū)別就在于是否為有放回地抽取.
(2)若隨機(jī)變量滿足：
①試驗(yàn)是不放回地抽取次；
②隨機(jī)變量表示抽到兩類中其中一類物品的件數(shù).則該隨機(jī)變量服從超幾何分布.
(3)超幾何分布的特點(diǎn)：
①不放回抽樣；②抽取對(duì)象分兩類；③已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；④從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察其中某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布列.
【概念辨析】下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X服從超幾何分布的是(　　）
A．將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)X
B．從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)X
C．某射手射擊的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為X
D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，X是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)
3. 超幾何分布的均值(期望)與方差
一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品，從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回)，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則隨機(jī)變量服從超幾何分布，則 ， .
探究二 超幾何分布的概率
【典例1】從含有6件正品，2件次品的產(chǎn)品中一次性抽取3件，設(shè)取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】一袋中裝有大小 質(zhì)地均相同的5個(gè)白球，3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【練習(xí)1】某黨支部有10名黨員，7男3女，從中選取2人做匯報(bào)演出，若X表示選中的女黨員數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．1
【練習(xí)2】某班要從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中隨機(jī)選出4人去參加某項(xiàng)比賽，設(shè)抽取的4人中女同學(xué)的人數(shù)為，則 .
探究三 超幾何分布的分布列與期望、方差
【典例1】一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，假設(shè)每個(gè)球被摸到的可能性是相等的．從袋子中摸出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為X，則X的數(shù)學(xué)期望是（ ）．
A． B． C． D．
【練習(xí)1】 在10件工藝品中，有3件二等品，7件一等品，現(xiàn)從中抽取5件，則抽得二等品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【練習(xí)2】（多選）在一個(gè)袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個(gè)黑球，3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，設(shè)這4個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A．服從二項(xiàng)分布 B．的值最小為1 C． D．
【典例2】已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè)，記取到的正品數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【練習(xí)1】某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè).從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，恰全為黑球的概率為，則黑球的個(gè)數(shù)為 .若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則 ； .
【練習(xí)2】一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，n個(gè)白球，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例3】某袋中裝有大小相同、質(zhì)地均勻的6個(gè)球，其中4個(gè)黑球和2個(gè)白球．從袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，記取出白球的個(gè)數(shù)為X．
(1)寫出X的分布列，并求出和的值；
(2)若取出一個(gè)白球得一分，取出一個(gè)黑球得兩分，最后得分為Z，求出和的值．
【練習(xí)1】某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識(shí)競賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競賽中的情況，采取分層抽樣隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：
將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．
(1)求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
探究四 超幾何分布與二項(xiàng)分布間的聯(lián)系
【典例2】某中學(xué)進(jìn)行校慶知識(shí)競賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機(jī)抽取4道來回答．競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．
(1)已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為0.5，且各題回答正確與否之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；
(2)已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．
【練習(xí)1】一盒乒乓球中共裝有2只黃色球與4只白色球，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取3次，每次僅取1個(gè)球.
(1)若每次抽取之后，記錄抽到乒乓球的顏色，再將其放回盒中，記抽到黃球的次數(shù)為隨機(jī)變量，求及；
(2)若每次抽取之后，將抽到的乒乓球留在盒外，記最終盒外的黃球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求及；
【練習(xí)2】某學(xué)校高一，高二，高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，該校用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生來了解學(xué)生的睡眠情況.
(1)應(yīng)從高一 高二 高三三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足
①若從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體健康檢查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列：
②將這7名學(xué)生中“睡眠不足”的頻率視為該學(xué)校學(xué)生中“睡眠不足”的概率，若從該學(xué)校全體學(xué)生（人數(shù)較多）中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體健康檢查.記Y表示抽到“睡眠不足”學(xué)生的人數(shù)，求Y的期望和方差：
歸納：二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別和聯(lián)系
（1）區(qū)別
由古典概型得出超幾何分布，由伯努利試驗(yàn)得出二項(xiàng)分布.這兩個(gè)分布的關(guān)系是，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品.從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，若采用有放回抽樣的方法抽取，則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即(其中)若采用不放回抽樣的方法抽取，則隨機(jī)變量服從超幾何分布.超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”.
超幾何分布的概率計(jì)算是古典概型問題，二項(xiàng)分布的概率計(jì)算是相互獨(dú)立事件的概率問題.
（2）聯(lián)系
二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗.當(dāng)總數(shù)很大而抽樣數(shù)不太大時(shí)，不放回抽樣可以認(rèn)為是有放回抽樣，即對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于時(shí)，每抽取一次后，對(duì)的影響很小，超幾何分布可以近似為二項(xiàng)分布.

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