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課件23張PPT。11集合與函數概念、基本初等函數教學解讀 (學習《普通高中數學課程標準》和 人教版《普通高中數學課程標準實驗教科書?數學1必修》的體會)象山三中 胡 慶 彪
2006年7月7日
12
以怎樣的心態迎接新課改的到來?
態度決定一切!
新課改來了,就是狼來了？
正確看待新與舊：
以新帶新
以新納舊
以舊引新
以舊改舊
辨證看待變與常：
突變與漸變
量變與質變
形式變與實質變13 第一章集合與函數概念
1.1集合
閱讀與思考 集合中元素的個數
1.2函數及其表示
閱讀與思考 函數概念的發展歷程
1.3函數的基本性質
信息技術應用 用計算機繪制函數圖象
實習作業
小結
復習參考題
第二章基本初等函數(I)
2.1指數函數
信息技術應用 借助計算機探究指數函數的性質
2.2對數函數
閱讀與思考 對數的發明
探究與發現 互為反函數的兩個函數圖象之間的關系
2.3冪函數
小結
復習參考題復習參考題141.1 集合 （一）《標準》內容和要求的表述
1．通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系。
2．能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述
不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用。
3．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。
4．在具體情境中，了解全集與空集的含義。
5．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。
6．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集。
7．能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。 （二）《大綱》內容和要求的表述
1.理解集合的概念.
2.了解屬于的意義
3.掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合.
4.了解包含、相等關系的意義.
5.了解空集和全集的意義.
6.理解子集、補集、交集、并集的概念.
兩者比較
《大綱》:對概念，關注意義的了解、理解，掌握方法；《標準》：對概念都要求“通過具體實例”、“通過豐富實例”、“在具體情境中”“體會”、“了解”、“理解”含義；重視使用Venn圖。 15（三）教學要求
1.基本要求
①了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關系、理解集合相等的含義。
②理解列舉法和描述法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言來表示集合。
③掌握常用數集的記法。
④了解空集的含義。
⑤理解集合與集合之間的“包含”關系，理解子集、真子集的概念，
會寫出給定集合的子集、真子集。
⑥理解兩個集合的并集與交集的含義，掌握有關術語和符號，會求兩
個簡單集合的并集與交集。
⑦理解全集、補集的含義，會求給定子集的補集。
⑧理解使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
2.發展要求
能使用集合的關系和運算及Venn圖來求有限集合中元素的個數。
3.說明
在訓練時，要把握好難度(只將集合作為一種語言來學習)，不要求補充
集合運算的性質及證明,如： 16（四）教學建議
1．課時分配（5課時）
1.1.1集合的含義與表示 約1課時
1.1.2集合間的基本關系 約1課時
1.1.3集合的基本運算 約2課時
?小結與復習 約1課時
傳統教材課時分配（7課時）
1.1集合 約2課時
1.2子集、全集、補集 約2課時
1.3交集、并集 約2課時
小結與復習 約1課時
2．重點難點
重點：使學生了解集合的含義，理解集合間包含與相等的含義，
理解兩個集合的并集與交集的含義，會用集合語言表達數學對象或數
學內容。
難點：合理選用列舉法或描述法正確表示一些集合，區別元素與
集合、集合與集合之間的屬于、包含的關系，理解并集與交集的區別
與聯系，Venn圖的意義和應用。173.分析說明
? 應通過具體的實例使學生正確理解集合的含義.
?學習語言最好的方法是使用，學習集合語言也不例外.
?在集合之間的關系和運算中，使用Venn圖是重要和有用的.
?要注意集合元素的確定性、互異性、無序性。
?要注意記號的含義,并能正確使用。
?注意描述法、列舉法的適用性。
?注意并集、交集的區別，注意子集、真子集的區別。
?體會概括、類比、聯想、分類討論等基本思維方法。
?在安排訓練時，要把握分寸，不要搞偏題、怪題。18 1.2函數及其表示
（一）《標準》內容和要求的表述
1．通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數
學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在
刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域
和值域；了解映射的概念。
2．在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖像法、列表
法、解析法）表示函數。
3．通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用。
（二）《大綱》內容和要求的表述
了解映射的概念，在此基礎上加深對函數概念的理解。
了解反函數的概念及互為反函數的函數圖象間的關系,會求一些簡單函數的反函數.
比較
降低要求：對映射只僅僅要求了解其概念，不要求用它理解函數的概念；
提高要求：①對函數概念本質的理解；②對分段函數要求能簡單應用；
內容處理: 原大綱中先學習映射，再學習函數，而《標準》中先學習特殊的
映射——函數，再學習一般的映射 .
刪減:互為反函數的函數圖象間的關系及求已知函數的反函數。19(三)基本要求
①理解函數的概念，理解構成函數的三要素。
②掌握區間的表示方法。
③能根據給定的函數解析式及自變量計算函數值；會求一些簡單函數的定
義域、值域。
④理解函數的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據不同的
要求選擇恰當的方法表示簡單的函數。
⑤了解簡單的分段函數，并能簡單應用。
⑥能用描點法畫作一些簡單函數的圖象。
⑦了解映射的概念，并能根據映射概念判別出哪些對應關系是映射。
⑧了解簡單的分段函數，能用分段函數來解決一些簡單的問題。
發展要求
①會求一些簡單復合函數的值域。
②若有條件，可用計算機畫出函數圖象，幫助學生更深刻地理解函數的概念。
說明
函數教學應基于具體的函數，有關抽象函數內容不宜涉及；
函數值域的教學應控制難度，可在今后的教學中進一步深入；
變量代換不宜太難。 110(四) 教學建議
1.課時分配（4課時）
1.2.1函數的概念 約2課時
1.2.2函數的表示法 約2課時
傳統教材課時分配（3課時）
2．重點難點
重點：函數的概念。
難點：函數概念的理解，對簡單的分段函數認識，求簡單函數的值域。
3.分析說明
.要從實際背景和定義兩個方面幫助學生理解函數的本質。
.要注意構成函數的要素和相同函數的含義。
.要注意函數的三種表示法的聯系、區別與適用性。
.注意分段函數的意義。
.注意映射的概念和判斷。
.在求函數定義域、值域時，要控制難度。
.函數的兩種定義之比較:宏觀與微觀。
111初中時的函數定義：
設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，
y都有唯一的值與它對應，那么就說y是x的函數，x叫做自變量．高中時的函數定義：
設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對集合A
中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，
那么就稱f：A→B為從集合A到B的一個函數．記作
y=f(x),x∈A
其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應
的y值叫做函數值，函數值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函數的值域． 討論:
今天學習的這個函數的近代定義，與初中學習的函數的
傳統定義，是否一致？如果是一致的，為什么要換成這樣的
概念？兩者的變化過程如何 ？112 1.3函數的基本性質
（一）《標準》內容和要求的表述
1.通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大（?。?br/> 值及其幾何意義；結合具體函數，了解奇偶性的含義。
2.學會運用函數圖象理解和研究函數的性質。
（二）《大綱》內容和要求的表述
了解函數單調性的概念,掌握判斷一些簡單函數單調性的方法.
兩者比較
1.對函數的單調性由“了解”提升為“理解”；
2.對運用函數的圖象理解和研究函數的性質提出了較高的要求；
3.增加函數的奇偶性，最值提前有了名份. 113(三)基本要求
①理解函數的單調性及其幾何意義，能根據函數圖象求出單調區間、
判斷其單調性。
②會討論和證明一些簡單函數的單調性。
③理解函數的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x，能根據函數圖象和單調性
求出 一些簡單函數的最大（小）值。
④理解函數奇偶性的含義，會判斷簡單函數的奇偶性。
⑤了解奇（偶）函數圖象的對稱性。
發展要求
能研究某些簡單的復合函數及分段函數的奇偶性、單調性、最值和圖象。
說明
研究函數性質的例題和訓練不宜太難，應局限于具體的函數；
奇（偶）函數的圖象對稱性在本節教學時不要求證明。
(四)教學建議
1．課時分配（4課時）
1.3.1單調性與最大（?。┲? 約2課時
1.3.2奇偶性 約1課時
小結與復習 約1課時1142．重點難點
重點:函數的單調性、奇偶性、最值的概念和幾何特征。
難點:判斷和證明單調性、奇偶性，求一些簡單函數的最值。
3．分析說明
.本節概念的教學,均可由具體的函數圖象直觀引入，再歸納幾何特征。
.在“判斷和證明”時要體現數學思維的嚴謹性、邏輯性，并要求規范書寫。
.教學中要重視數形結合思想方法的培養。
.要注意函數單調區間與定義域的關系, 奇偶函數定義域的特征。
.學習函數的基本性質重在對概念理解和對一些簡單函數的性質討論。 如“增函數”的教學，以下幾點是必須向學生指出的：
1）隨著自變量的增大，函數值也增大；
2）數學的上升是“天天向上”,“一個都不能少”
3）如定義域是有限數集，則把有限多個函數值排起來就行；
如果定義域是無限集，情況該怎么辦？
4）“無限多”天的一個都不能少的“天天向上”，意思就是任意選兩天
進行比較都得向上；反之亦然。
5）最后得到教學符號表示，對任何的 115 第二章 基本初等函數(I)
2.1指數函數
(一)課程標準內容
１．通過具體實例，如細胞的分裂，考古中所用14 C的衰減，藥物在人體內的殘留
量的變化等，了解指數函數模型的實際背景。
２．理解有理指數冪的含義，通過具體實例了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算。
３．理解指數函數的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖象，
探索并理解指數函數的單調性與特殊點。
４．在解決簡單實際問題過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型。
（二）《大綱》內容和要求的表述
理解分數指數的概念，掌握有理指數冪的運算性質。
掌握指數函數的概念、圖象和性質。
兩者比較
加強了函數模型的背景和應用的要求。
提出了與信息技術整合的要求。
116 (三)基本要求
①了解指數函數模型的實際背景，認識學習指數函數的必要性；
　　②理解n次方根與n次根式的概念，理解分數指數冪的含義，
熟練掌握用根式與分數指數冪表示一個正實數的算術根；
　　③能運用有理指數冪的運算性質進行運算和化簡，
會進行根式與分數指數冪的相互轉化；
　?、芡ㄟ^經歷用有理指數冪逼近無理指數冪的過程，了解實數指數冪的意義；
　　⑤理解指數函數的概念和含義；
　?、弈苡妹椟c法或借助計算機（器）畫出指數函數的圖象，探索并理解
指數函數的性質（單調性、特殊點、定義域、值域）；
　　⑦在解決簡單的實際問題過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型；
發展要求
.會求一類與指數函數有關的復合函數的定義域、值域、單調性等；
.了解函數圖象的平移與對稱變換；
.體會數學的逼近、數形結合等思想；
.體驗數學概念的發生、 發展的過程，培養學生的思維能力。
說 明
.有關根式的復雜運算及繁瑣的根式化簡不必多練。
117（四）教學建議
1．課時分配（6課時）
2.1.1引言、指數與指數冪的運算 約3課時
2.1.2指數函數及其性質 約3課時
2．重點難點
重點:指數函數的概念、圖象和性質。
難點:對非整數指數冪意義的了解，特別是對無理指數冪意義的了解。
3．分析說明
.用實例說明學習指數函數、對數函數、冪函數以及擴張指數范圍的必要性。
.通過復習和舉實例理解n次方根及運算性質,培養學生探究精神和感受分類討論思想。
.通過舉實例和練習,理解分數指數冪的意義和學會根式與分數指數冪之間的相互轉化。
.建議利用計算器或計算機進行實際操作，親歷有理指數冪向無理指數冪逼近的過程。
.通過實例抽象概括出指數函數的一般形式。
.引導學生多畫幾個具體的指數函數的圖象,再通過觀察圖象歸納概括指數函數的性質.
.例7是用指數函數的單調性比較兩個值（冪）的大小:比較下列各題中兩個值的大小
（1） 1.72.5 ,1.73（2）0.8-0.1, 0.8-0.2 （3）1.70.3 ,0.93.1.
.例8的教學應體現從具體到抽象、特殊到一般的思維過程，以及歸納、總結的一般方法:
截止到1999年，我國人口約13億，如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么
經過20年后，我國人口數最多為多少？（精確到億）118 2.2對數函數
（一）《標準》內容和要求的表述
1．理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化
成自然對數或常用對數；通過閱讀材料，了解對數的發現歷史以及
其對簡化運算的作用。
2．通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理
解對數函數的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；能借助
計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的
單調性和特殊點。
3．知道指數函數y=ax與對數函數y=logax互為反函數（a>0，且a≠1）。
（二）《大綱》內容和要求的表述
理解對數的概念，掌握對數的運算性質；
掌握對數函數的概念、圖象和性質。
兩者比較
降低要求：對于反函數只要求知道，不要求形式化的理解其概念，
也不要求求已知函數的反函數。
提高要求：加強了函數模型的背景和應用的要求；
119(三)基本要求
①經歷由指數得到對數的過程，理解對數的概念，會熟練地進行指數
式與對數式的互化；
②理解對數的運算性質，并能靈活準確地運用對數的運算性質進行對
數式的化簡與計算；
③了解對數的換底公式，能將一般對數化成自然對數或常用對數；
④了解對數的發明史以及對數在簡化運算中的作用；
⑤理解對數函數的概念；
⑥能用描點法或借助計算機（器）畫出對數函數的圖象，探索并掌握
對數函數的性質（定義域、值域、特殊點、單調性）；
⑦通過實例，體會對數函數是一類重要的函數模型；
⑧了解指數函數y=ax (a﹥0，a≠1)與對數函數y=logax (a﹥0，a≠1)
是互為反函數。
發展要求
①能研究一些與對數函數有關的復合函數的定義域、值域、單調性等；
②知道指數函數y=ax (a﹥0，a≠1)與對數函數y=logax (a﹥0，a≠1)的
圖象關于直線y=x對稱；
③掌握化歸、數形結合、類比、分類討論等數學思想方法。
說 明:不必去討論形式化的反函數定義，也不要求求已知函數的反函數。
120(四)教學建議
1．課時分配（6課時）
2.2.1對數與對數運算 約3課時
2.2.2對數函數及其性質 約3課時
2．重點難點
重點：對數函數的概念、圖象和性質。
難點：理解對數的概念，以及對數函數性質的歸納。
分析說明
.先通過具體實例，讓學生知道研究對數的必要性。
.有關對數恒等式(公式)的教學,可先通過具體實例驗證，再作證明.
.通過換底公式的應用，讓學生再次體會化歸思想
.通過例5（地震振幅的計算）、例6（碳14的衰變規律與考古研究）的教學，
使學生感受對數在有關方面的實際應用。
.以生物體內碳14的衰減規律為實際背景，引入對數函數.
.可對比指數函數的圖象和性質的探索方法，得出對數函數的圖象和性質。
.通過例9溶液酸堿度的測量使學生進一步明白對數函數是重要的函數模型。
.不要求學生討論一般化的反函數定義，也不要求學生求已知函數的反函數。121 2.3冪函數
（一）《標準》內容和要求的表述
通過實例，了解冪函數的概念；結合函數：
的圖象，了解它們的變化情況。
（二）《大綱》內容和要求的表述
無
兩者比較:冪函數減肥后重出江湖
(三)基本要求
①了解冪函數的概念。
②掌握以下五種冪函數的圖象和性質
發展要求:了解冪函數（為有理數）的圖象特征
說 明:不必在一般的冪函數上作引伸和作過多的介紹。
122 1．課時分配（2課時）
2.3冪函數 約1課時
? 小結 約1課時
2．重點難點
重點：從五個具體冪函數中認識冪函數的基本性質。
難點：畫五個冪函數的圖象并由圖象概括其性質。
3．分析說明
?“冪函數”教學時，只要求掌握
圖象和性質。
?在一次函數、二次函數中，有冪函數?
? 例1是用定義證明函數 的單調性，教學時，引導學生從感性認識
向理性認識轉化。
123 課 例 介 紹
集合的含義與表示（第1課時）教學基本流程
1.創設情境，從具體實例引入新課
2.給出集合含義，明確有關規定
3.自主學習元系與集合的關系及記號
4.自主學習常用數集及其記號
5.自主學習集合的兩種表示
6.課堂練習小結與課后作業
集合的含義與表示（第1課時）教學問題鏈
1.你能舉出一些集合的例子嗎?
2.對書中的8個例子,你能概括出它們的共同特征嗎?
3.給出集合的含義
4.你能說說集合中元素的特點嗎?
5.元素與集合的關系應當如何描述?
6.你知道常用數集的記號嗎?
7.你能用列舉法表示例1中用自然語言描述的集合嗎?
8.你從書本第4頁的思考(能用列舉法表示x-7<3嗎)中想到了什么?
9.你現在能解決書中相關練習嗎?
10.小結:為什么學習集合? 選擇集合的表示法時應注意些什么?
11課后作業.

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