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(共12張PPT)
6.4.3 正弦定理
余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角，已知三邊直接解三角形的公式。如果已知兩角和一邊，是否也有相應的直接解三角形的公式呢？
學習目標：
1、通過預習記住正弦定理的內容，并能用向量進行推導
2、通過探究一學會多種方式證明正弦定理，并推出三角形
面積公式和正弦定理比值的幾何意義
3、通過探究二學會用正弦定理解三角形
探究一 正弦定理的證明
余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角，已知三邊直接解三角形的公式。如果已知兩角和一邊，是否也有相應的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三邊、三角之間的什么關系式？如何證明？
在直角三角形ABC中，三邊、三角之間有和關系？如何證明？
A
B
C
a
b
c
探究一 正弦定理的證明
正弦定理：在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,
即
變式:
思考：那么對于一般的三角形,以上關系式是否仍然成立？

可分為銳角三角形，鈍角三角形
兩種情況分析.
提示：①初中學習三角形面積公式，能否用三角形的邊與角的正弦表示
②在直角三角形中，正弦定理的比值是什么？有什么幾何意義？能否推廣到任意三角形
證明：
過A作單位向量
垂直于
∴ asinC=c sinA.
同理，過點C作與 垂直的單位向量 ，可得
B
C
A
則
兩邊同乘以單位向量
當 是鈍角三角形時，不妨設A為鈍角。如圖
過點A作與 垂直的單位向量 ，則 與 的夾角為
與 的夾角為
同理可得
探究二 正弦定理的應用
例1.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b＝(　　)
例2.在△ABC中，已知a= ，b= ，A=45°，解三角形
變式：（1）若a= 呢
（2）若a= 呢
（3）若a= 呢
兩組解
無解
一組解
一組解
大家觀察解的情況，解釋出現一解，兩解，無解的原因是什么
1、正弦定理：
2、利用正弦定理可以解決的問題：
3、三角形面積公式： S = = =
①已知三角形的任意兩角與一邊，求其他兩邊和另一角；
②已知三角形的兩邊與其中一邊的對角；
√如果出現兩個解，根據“三角形中大邊對大角、三角形內角和”來決定取舍！
課堂小結
課后作業
1：完成導學案“達標檢測”題目
2：作業本：課本P48 練習T2、T36.4.3正弦定理
學習目標
1.通過預習記住正弦定理的內容，并能用向量進行推導。
2.通過探究一學會多種方式證明正弦定理，并推出三角形面積公式和正弦定理比值的幾何意義。
3.通過探究二學會用正弦定理解三角形。
學習重難點
1.教學重點：正弦定理的內容，正弦定理的證明及應用；
2.教學難點：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和一對角解三角形時三角形解的個數。
學習探究
探究一 正弦定理的證明
1.余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角，已知三邊直接解三角形的公式。如果已知兩角和一邊，是否也有相應的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三邊、三角之間的什么關系式？如何證明？
如果推廣到任意三角形，該關系式是否成立？怎么證明？
提示：①初中學習三角形面積公式，能否用三角形的邊與角的正弦表示
②在直角三角形中，正弦定理的比值是什么？有什么幾何意義？能否推廣到任意三角形
探究二 正弦定理的應用
例1.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b＝(　　)
A．4　　　　　B．4 C．4 D．
例2.在△ABC中，已知a=，b=，A=45°，解三角形
變式：（1）若a=呢
（2）若a=呢
（3）若a=呢
達標檢測
1.在△ABC中，已知a＝，A＝60°，B＝45°，則b＝(　　)
A．4　　　　　　　B．1 C． D．2
2.在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，則B等于(　　)
A．45°或135°　　 B．135° C．45°　 D．60°
3.在△ABC中，a=1，A=30°，b=，則B等于(　　)
A．30°或150°　　 B．120° C．60°　 D．60°或120°
4. 在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則△ABC的面積為________．

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