資源簡介

編寫：王永響 審核：袁海艷
高二數學導學案 2023.02.06 1課時
6.1 分類加法計數原理與分步乘法計數原理
第1課時
【課標要求】
1.理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理.
2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數問題
—————————課前案——————————
【知識梳理】
知識點1　分類加法計數原理
完成一件事有　　　　不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=　　　種不同的方法.
過關自診1.判斷正誤.
(1)在分類加法計數原理中,n類不同方案中的方法可以相同.(　　)
(2)在分類加法計數原理中,每類方案中的方法都能完成這件事.(　　)
2.分類加法計數原理中每類的特征是什么
知識點2　分步乘法計數原理
完成一件事需要　　　　步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=　　　　種不同的方法.
1.判斷正誤.
(1)在分步乘法計數原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(　　)
(2)分步乘法計數原理是指完成其中一步就完成了這件事情.(　　)
知識點3　分類加法計數原理與分步乘法計數原理的聯系與區別
1.聯系:都是有關做一件事的　　　　　　　種數的問題.
2.區別:分類加法計數原理針對的是　　　　　問題,其中各種方法　　　　　　　,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數原理針對的是　　　　問題,各個步驟中的方法　　　　　　,只有每一個步驟都完成才算做完這件事.
過關自診1.判斷正誤.
(1)分步乘法計數原理是指完成其中一步就完成了整件事情.(　　)
(2)分類加法計數原理可用來求完成一件事有若干類方法解決這類問題.(　　)
(3)從甲地經丙地到乙地是分步問題.(　　)
2.當一個事件既需要分步又需要分類時,分步和分類有何先后順序嗎
—————————課中案——————————
探究點一：分類加法計數原理
【例1】 某校高三共有三個班,各班人數如下表:
班級 男生人數 女生人數 總人數
高三(1)班 30 20 50
高三(2)班 30 30 60
高三(3)班 35 20 55
(1)從三個班中任選1名學生擔任學生會主席,有多少種不同的選法
(2)從高三(1)班男生、高三(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生擔任學生會生活部部長,有多少種不同的選法
變式訓練1
甲盒中有3個編號不同的紅球,乙盒中有5個編號不同的白球,某同學要從甲、乙兩盒中摸出1個球,則不同的方法有(　　)
A.3種 B.5種 C.8種 D.15種
探究點二：分步乘法計數原理
【例2】 一種號碼鎖有4個撥號盤,每個撥號盤上有從0到9共十個數字,這4個撥號盤可以組成多少個四個數字的組合號碼 (各位置上的數字允許重復)
變式訓練2
張老師要從教學樓的一層走到三層,已知從一層到二層有4個扶梯可走,從二層到三層有2個扶梯可走,則張老師從一層到三層有多少種不同的走法
探究點三：兩個計數原理的應用
【例3】某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和日語的各一人到邊遠地區支教,有多少種不同的選法
變式訓練3
用0到9這十個數字,可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為　　　　　.
規律方法　1.使用兩個原理的原則
使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復雜應用
問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決;“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯的步驟,然后逐步解決.
2.應用兩個計數原理計數的四個步驟
(1)明確完成的這件事是什么.
(2)思考如何完成這件事.
(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.
(4)選擇計數原理進行計算.
【課堂小結】
—————————課后案——————————
1.某校高一年級共8個班,高二年級共6個班,從中選一個班級擔任學校星期一早晨的升旗任務,安排方法共有(　　)
A.8種 B.6種 C.14種 D.48種
2.(2022四川雅安檢測)某地區設置有A,B,C三個疫苗接種點位,市民可以隨機選擇去任何一個點位接種,同時每個點位備有兩種疫苗供市民選擇,且只能選擇一種.那么在這期間該地區有接種意愿的人,完成一次疫苗接種的安排方法共有(　　)
A.5種 B.6種 C.8種 D.9種
3.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現有十二生肖的吉祥物各一個,已知甲同學喜歡牛、馬和猴,乙同學喜歡牛、狗和羊,丙同學所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法有(　　)
A.50種 B.60種
C.80種 D.90種
4.一個科技小組中有4名女同學和5名男同學,從中任選1人參加學科競賽,不同的選派方法共有　　　　　種;若從中任選1名女同學和1名男同學參加學科競賽,不同的選派方法共有　　　　　種.
5.現有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座,每名同學可自由選擇其中的1個講座,不同選法的種數是　　　　　. 高二數學導學案 1課時
6.1 第2課時　兩個計數原理的應用
【課標要求】
1.進一步理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理的聯系與區別.
2.會綜合應用這兩個計數原理解決問題.
—————————課前案——————————
【知識梳理】
知識點 兩個計數原理的聯系與區別
1.聯系:
分類加法計數原理和分步乘法計數原理都是解決計數問題最基本、最重要的方法.
2.區別:
類型 分類加法計數原理 分步乘法計數原理
區別一 完成一件事共有n類方案,關鍵詞是“分類” 完成一件事共有n個步驟,關鍵詞是 “分步”
區別二 每類方案中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的,每種方法得到的都是最后結果,只需一種方法就可完成這件事 除最后一步外,其他每步得到的只是中間結果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事
區別三 各類方案之間是互斥的、并列的、獨立的 各步之間是關聯的、獨立的,“關聯”確保不遺漏,“獨立”確保不重復
過關自診1.判斷正誤.
(1)分類加法計數是指將完成這件事的所有方式進行分類,每一種方式都能獨立完成該事件.(　　)
(2)分步乘法計數是指將完成這件事分解成若干步驟,當完成所有的步驟時,這個事件才算完成.(　　)
(3)計數時,若正面分類,種類比較多,而問題的反面種類比較少時,使用間接法會簡單一些.(　　)
2.復雜事件在分類時,如何理解“不重不漏”
—————————課中案——————————
探究點一：組數問題
【例1】 用0,1,2,3,4五個數字,
(1)可以組成多少個三位數字的電話號碼
(2)可以組成多少個三位數
(3)可以組成多少個能被2整除的無重復數字的三位數
變式探究
由本例中的五個數字可組成多少個無重復數字的四位奇數
變式訓練1
我們把各位數字之和為6的四位數稱為“六合數”(如1 230,2 022),則首位為3的“六合數”共有(　　)
A.18個 B.12個 C.10個 D.7個
探究點二：抽取(分配)問題
【例2】 高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐,其中甲工廠必須有班級去,每班去哪個工廠可自由選擇,則不同的分配方案有(　　)
A.16種 B.18種 C.37種 D.48種
變式訓練2
張老師要從教學樓的一層走到三層,已知從一層到二層有4個扶梯可走,從二層到三層有2個扶梯可走,則張老師從一層到三層有多少種不同的走法
探究點三：涂色問題
【例3】將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內,每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復使用,共有多少種不同的涂色方法
變式探究
本例中的區域改為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種
變式訓練3
如圖所示的幾何體是由一個三棱錐P-ABC 與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成的,現用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有　　　種.
【課堂小結】
—————————課后案——————————
1.從0,1,2,3,4,5這六個數字中,任取兩個不同的數字相加,其和為偶數的不同取法的種數為(　　)
A.30 B.20 C.10 D.6
2.某校科技樓共有5層,每層均有兩個樓梯,由一樓到五樓的走法有(　　)
A.10種 B.16種 C.25種 D.32種
3.如圖所示,用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色,每個格子涂1種顏色,要求相鄰的2個格子顏色不同,則不同的涂色方法共有　　　　　種.(用數字作答)
4.某藝術小組有9人,每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器,其中7人會鋼琴,3人會小號,從中選出會鋼琴與會小號的各1人,有多少種不同的選法 高二數學導學案 新授課 2課時
6.2.1　排列　6.2.2　排列數
【課標要求】
1.理解并掌握排列、排列數的概念,能用列舉法、樹狀圖法列出簡單的排列.
2.掌握排列數公式及其變式,并能運用排列數公式熟練地進行相關計算.
3.掌握有限制條件的排列應用題的一些常用方法,并能解一些簡單的排列應用題.
—————————課前案——————————
【知識梳理】
知識點1　排列的相關概念
1.排列:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一定的________
　　排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個___________.
2.相同排列:兩個排列的______完全相同,且元素的___________也相同.
過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)兩個排列的元素相同,則這兩個排列是相同的排列.(　　)
(2)在一個排列中,若交換兩個元素的位置,則該排列不發生變化.(　　)
(3)從1,2,3,4中任選兩個元素,就組成一個排列.(　　)
知識點2　排列數與排列數公式
1.排列數的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的________,叫做從n個不同元素中取出m個元素的___________,用符號_________表示.
3.全排列和階乘:n個不同元素全部取出的一個排列,叫做n個元素的一個全排列.這時,排列數公式中m=n,即有______________________________.也就是說,將n個不同的元素全部取出的排列數,等于正整數1到n的連乘積.正整數1到n的連乘積,叫做________,用______表示.于是,n個元素的全排列數公式可以寫成___________.另外,我們規定,___________.
過關自診2.判斷：
(1)排列數(m,n∈N*,m≤n)表示共有m個數相乘.(　　)
(2)若a∈N*,且a<20,則(27-a)(28-a)…(34-a)可以表示為.(　　)
(3)甲、乙、丙三名同學排成一排,不同的排列方法有4種.(　　)
(4)若=9×10×11×12,則m=4.(　　)
(5)5本不同的課外讀物分給5位同學,每人一本,則不同的分配方法有120種.(　　)
3.你認為“排列”和“排列數”是同一個概念嗎 它們有什么區別
—————————課中案——————————
探究點一：簡單的排列問題
【例1】 (1)有5個不同的科研小課題,從中選3個由高二(6)班的3個學習興趣小組進行研究,每組一個課題,共有多少種不同的安排方法
(2)校園歌手大獎賽共有12名選手參加,比賽設一等獎、二等獎、三等獎各一名,每人最多獲得一種獎項,共有多少種不同的獲獎情況
變式訓練1
考生甲填報某高校專業意向,打算從5個專業中挑選3個,分別作為第一、第二、第三志愿,則不同的填法有(　　)
A.10種 B.60種 C.125種 D.243種
探究點二：排列數公式
變式訓練2
規律方法　應用排列數公式時應注意的三個方面
探究點三：“鄰”與“不鄰”問題
【例3】 7人站成一排.
(1)甲、乙兩人相鄰的排法有多少種
(2)甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種
(3)甲、乙、丙三人必相鄰的排法有多少種
(4)甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種
變式探究
對于本例中的7人,甲、乙兩人之間只有1人的排法有多少種
規律方法　元素相鄰和不相鄰問題的解題策略
限制條件 解題策略
元素相鄰 通常采用“捆綁”法,即把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列
元素不相鄰 通常采用“插空”法,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰元素 插在前面元素排列的空中
變式訓練3
五位師傅和五名徒弟站一排.
(1)五名徒弟必須排在一起共有多少種排法
(2)五名徒弟不能相鄰共有多少種排法
(3)師傅和徒弟相間共有多少種排法
探究點四：定序問題
【例4】 五個人排成一排,求滿足下列條件的不同排列各有多少種.
(1)A,B,C三人左中右順序不變(不一定相鄰);
(2)A在B的左邊且C在D的右邊(可以不相鄰).
變式訓練4
元宵節燈展后,懸掛的8盞不同的花燈需要取下,如圖所示,
每次取1盞,則不同的取法共有(　　)
A.32種 B.70種 C.90種 D.280種
【課堂小結】
—————————課后案——————————
1.從5本不同的書中選兩本送給2名同學,每人一本,則不同的送書方法的種數為(　　)
A.5 B.10 C.20 D.60
2.設m∈N*,且m<15,則=(　　)
A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)
B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)
C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
3.某次演出共有6位演員參加,規定甲只能排在第一個或最后一個出場,乙和丙必須排在相鄰的順序出場,不同的演出順序共有(　　)
A.24種 B.144種 C.48種 D.96種
4.某高三畢業班有40人,同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業留言,那么全班共寫了_____　　　　　條畢業留言.(用數字作答)
5.用1,2,3,4,5,6,7這7個數字組成沒有重復數字的四位數.
(1)這些四位數中偶數有多少個 能被5整除的有多少個
(2)這些四位數中大于6 500的有多少個 高二數學導學案 新授課 2課時
6.2.3　組合　6.2.4　組合數
【課標要求】
1.理解并掌握組合、組合數的概念,掌握組合與排列之間的聯系與區別.
2.熟練掌握組合數公式及組合數的兩個性質,并運用于計算之中.
3.能夠運用排列組合公式及計數原理解決一些簡單的應用問題.
—————————課前案——————————
【知識梳理】
知識點1　組合的相關概念
1.組合:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素____________叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個_______.
2.相同組合:兩個組合只要__________,不論元素的順序如何,都是相同的.
※排列與組合的區別與聯系
(1)共同點:
(2)不同點:
過關自診1.判斷
(1)1,2,3與3,2,1是不同的組合.(　　)
(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(　　)
(3)“10人相互通一次電話,共通多少次電話”是組合問題.(　　)
知識點2　組合數與組合數公式
1.組合數的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的__________,用符號_______表示.
2.組合數公式: =_________=____________________________=___________________　　　　　這里n,m∈N*,并且m≤n. 另外,我們規定=______.
過關自診2.判斷
(1)=5×4×3=60.(　　)
(2)從1,3,5,7中任取兩個數相乘可得6個積.(　　)
(3)“從3個不同元素中取出2個元素合成一組”,叫做“從3個不同元素中取出2個元素的組合數”.(　　)
(4)從a,b,c三個不同的元素中任取兩個元素的組合有6個.(　　)
3.“組合”與“組合數”是同一概念嗎 它們有什么區別
知識點3　組合數的性質
性質1.__________________
性質2.__________________
過關自診4.判斷
(1)從5個不同元素中取出3個不同元素的組合數與從5個不同元素中取出2個不同元素的組合數不相同.(　　)
—————————課中案——————————
探究點一：組合概念的理解與應用
【例1】 判斷下列問題是排列問題還是組合問題,并求出相應的排列數或組合數.
(1)10個人相互寫一封信,一共寫了多少封信
(2)10個人相互通一次電話,一共通了多少次電話
(3)從10個人中選3人去開會,有多少種選法
(4)從10個人中選出3人擔任不同學科的課代表,有多少種選法
規律方法　
1.組合的特點是只選不排,即組合只是從n個不同的元素中取出m(m≤n)個不同的元素.
2.只要兩個組合中的元素完全相同,不管順序如何,這兩個組合就是相同的組合.
3.判斷組合與排列的依據是看是否與順序有關,與順序有關的是排列問題,與順序無關的是組合問題.
變式訓練1
下列四個問題中,屬于組合問題的是(　　)
A.從3個不同小球中,取出2個排成一列
B.老師在排座次時將甲、乙兩位同學安排為同桌
C.在電視節目中,主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星
D.將3張不同的電影票分給10人中的3人,每人 1張
探究點二：組合數公式
變式訓練2
探究點三：常見的組合問題
【例3】 在一次數學競賽中,某學校有12人通過了初試,學校要從中選出5人去參加市級培訓,在下列條件下,有多少種不同的選法
(1)任意選5人;
(2)甲、乙、丙三人必須參加;
(3)甲、乙、丙三人不能參加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加;
(5)甲、乙、丙三人至少1人參加.
變式探究
若本例題條件不變,甲、乙、丙三人至多2人參加,有多少種不同的選法
變式訓練3
(2022北京西城期末)從2位女生,4位男生中選出3人參加垃圾分類宣傳活動.
(1)共有多少種不同的選擇方法
(2)如果至少有1位女生入選,共有多少種不同的選擇方法
【課堂小結】
—————————課后案——————————
把三張游園票分給10個人中的3人,分法有(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},則集合A的子集中含有4個元素的子集共有
_______個. 高二數學導學案 新授課 1課時
6.3.1　二項式定理
【課標要求】
1.能用計數原理證明二項式定理.
2.理解二項式定理及二項展開式的特征,能記住二項式定理和二項展開式的通項.
3.正確運用二項展開式展開或化簡某些二項式,運用通項求某些特定項、二項式系數或項的系數
—————————課前案——————————
【知識梳理】
知識點1　二項式定理
這個公式叫做二項式定理.
二項展開式:等號右邊的多項式叫做 的二項展開式,二項展開式共有 項
二項式系數:各項的系數 …叫做二項式系數.　　
過關自診1 判斷正誤.
(1)二項展開式中項的系數與二項式系數是相等的.(　　)
(2)的展開式中項的系數為-5.(　　)
(3) 與的二項展開式的二項式系數相同.(　　)
2.二項式定理中,項的系數與二項式系數有什么區別
知識點2　二項展開式的通項
展開式中的　　　　　　叫做二項展開式的通項,用表示,即通項為展開式的第　　　　　項:
小結：二項展開式的通項形式上的特點
（1）它表示二項展開式的第項,該項的二項式系數是 ，不是
(2)字母的次數和組合數的上標相同. (3)與的次數之和為.
過關自診2 判斷正誤.
（1）是展開式中的第項.（ ）
（2）展開式中的常數項是.（ ）
　2.二項式與的展開式的第項相同嗎
—————————課中案——————————
探究點一：二項式定理的正用、逆用
【例1】（1）求的展開式
（2）化簡……
變式訓練1 （1）化簡:
（2），、為有理數，=
探究點二：利用二項式定理求待定項及系數
【例2】已知的二項展開式中,第4項的二項式系數與第3項的二項式系數的比為8∶3. (1)求的值;
(2)求展開式中項的系數及含項的二項式系數.
變式訓練2
求 的展開式中的系數及含的項的二項式系數.
探究點三：利用二項式定理解決整除和余數問題
【例3】試判斷能否被整除
變式訓練3 (1)設,且,若能被整除,則等于(　　)
A.0 B.1 C.11 D.12
(2)除以所得的余數為　　　　　.
規律方法　用二項式定理解決整除(或余數)問題時,一般需要將底數寫成除數的整數倍加上或減去 ()的形式,利用二項展開式求解.
【課堂小結】
—————————課后案——————————
1. 的展開式的項數是(　　)
2.在的展開式中，的系數為(　　)
3.二項式 的展開式中有理項共有 項.
4.代數式可化簡為
5.已知的展開式中的系數為，求的系數的最小值及此時展開式中的系數.

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