資源簡介

編寫：欒翠翠 審核：袁海艷
高二數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案新授課 2023.02.15 1課時(shí)
7.1 條件概率與全概率公式
【課標(biāo)要求】
1.結(jié)合古典概型,了解條件概率,掌握條件概率的兩種求法.
2.理解全概率公式.
3.能夠利用條件概率公式與全概率公式解決一些簡單的實(shí)際問題.
—————————課前案——————————
【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)1　條件概率
1.定義:一般地,設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)= 為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率.
2.概率的乘法公式:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,若P(A)>0,則_________________.我們稱該式為概率的乘法公式.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)P(A|B)=P(B|A)恒成立.(　　)
(2)事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,等于A,B同時(shí)發(fā)生的概率.(　　)
2.(1)P(B|A)與P(AB)有何區(qū)別
(2)若事件A,B互斥,則P(B|A)是多少
知識(shí)點(diǎn)2　條件概率的性質(zhì)
條件概率只是縮小了樣本空間,因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)P(A)>0,則
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件,則P(B∪C|A)=　　　　　　　;
(3)設(shè)和B互為對(duì)立事件,則P(|A)=　　　　　　　　　
2.某人一周晚上值班2次,在已知他周日晚上一定值班的條件下,他在周六晚上或周五晚上值班的概率為　　　　.
知識(shí)點(diǎn)3　全概率公式
1.定義:一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意的事件B Ω,有　　 　　　　　　,我們稱此公式為全概率公式.
*2.貝葉斯公式:設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意的事件B Ω,P(B)>0,
有　　 　　　　　　　　.
2過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|).(　　)
(2)全概率公式為概率論中的重要公式,它將一個(gè)復(fù)雜事件的概率求解問題,轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.(　　)
(3)全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率,是求最后結(jié)果的概率.(　　)
(4)所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟有多種可能,在這多種可能中,均有所研究的事件發(fā)生,這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式.(　　)
2.設(shè)1 000件產(chǎn)品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取兩件產(chǎn)品,則第二次抽到的是不合格產(chǎn)品的概率為　　　　　.
3.一個(gè)盒子中有6只白球,4只黑球,不放回地每次任取1只,連取2次,則第二次取到白球的概率為　　　　　.
—————————課中案——————————
探究點(diǎn)一：利用條件概率公式求條件概率
【例1】 集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙兩人各從A中任取一個(gè)數(shù),若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇數(shù)的條件下,求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率.
變式探究1
在本例條件下,求乙抽到偶數(shù)的概率.
變式探究2
若甲先取(放回),乙后取,設(shè)事件M為“甲抽到的數(shù)大于4”,事件N為“甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7”,求P(N|M).
變式訓(xùn)練1
某校高三(1)班有學(xué)生40人,其中共青團(tuán)員15人,全班分成4個(gè)小組,第一小組有學(xué)生10人,其中共青團(tuán)員4人.從該班任選一人作為學(xué)生代表:
(1)求選到的是共青團(tuán)員的概率;
(2)求選到的既是共青團(tuán)員又是第一小組學(xué)生的概率;
(3)已知選到的是共青團(tuán)員,求他是第一小組學(xué)生的概率.
探究點(diǎn)二 求互斥事件的條件概率
【例2】 一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字,每位數(shù)字都可從0~9這十個(gè)數(shù)中任選一個(gè).某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí),忘記了密碼的最后一位數(shù)字,求:
(1)任意按最后一位數(shù)字,不超過3次就按對(duì)的概率;
(2)如果他記得密碼的最后一位的數(shù)字不大于4,不超過3次就按對(duì)的概率.
變式訓(xùn)練2
在一個(gè)袋子中裝有除顏色外其他都相同的10個(gè)球,其中有1個(gè)紅球、2個(gè)黃球、3個(gè)黑球、4個(gè)白球,從中依次不放回地摸2個(gè)球,求在摸出的第一個(gè)球是紅球的條件下,第二個(gè)球是黃球或黑球的概率.
探究點(diǎn)三 全概率公式的應(yīng)用
【例3】 有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時(shí)生產(chǎn)的,其中甲廠產(chǎn)品占50%,乙廠產(chǎn)品占30%,丙廠產(chǎn)品占20%,甲廠產(chǎn)品正品率為95%,乙廠產(chǎn)品正品率為90%,丙廠產(chǎn)品正品率為85%,如果從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,試計(jì)算該產(chǎn)品是正品的概率多大.
變式訓(xùn)練3
1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱,然后從2號(hào)箱中隨機(jī)取出一球,求從2號(hào)箱取出的球是紅球的概率.
【課堂小結(jié)】
—————————課后案——————————
1.甲、乙、丙三人到三個(gè)景點(diǎn)旅游,每人只去一個(gè)景點(diǎn),設(shè)事件A為“三個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”,B為“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”,則概率P(A|B)等于(　　)
A. B. C. D.
2. 2.盒中有10只同一型號(hào)的螺絲釘,其中3只是壞的,現(xiàn)在從盒中不放回地依次抽取兩只,則在第一只是好的的條件下,第二只是壞的概率為(　　)
A. B. C. D.
3.有五瓶墨水,其中紅色一瓶,藍(lán)色、黑色各兩瓶,某同學(xué)從中隨機(jī)任取兩瓶,若取的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色,則另一瓶是紅色或黑色的概率為　　　　　.
4.5個(gè)乒乓球,其中3個(gè)新的,2個(gè)舊的,每次取一個(gè),不放回地取兩次,則在第一次取到新球的條件下,第二次取到新球的概率為　　　　. 高二數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案新授課 1課時(shí)
7.2　離散型隨機(jī)變量及其分布列
【課標(biāo)要求】
1.借助教材實(shí)例,了解離散型隨機(jī)變量及其分布列.
2.了解離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)、兩點(diǎn)分布的概念.
3.會(huì)求簡單的離散型隨機(jī)變量的分布列.
—————————課前案——————————
【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)1　離散型隨機(jī)變量
1.定義:一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),我們稱X為　　　　　　　　.可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量,我們稱之為離散型隨機(jī)變量.
2.表示:通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量,例如X,Y,Z;用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值,例如x,y,z.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)隨機(jī)變量的取值可以是有限個(gè),也可以是無限可列個(gè).(　　)
(2)離散型隨機(jī)變量的取值是任意的實(shí)數(shù).(　　)
(3)離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值.(　　)
2.隨機(jī)變量和函數(shù)有類似的地方嗎
知識(shí)點(diǎn)2　概率分布列
1.分布列
一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個(gè)值xi的概率　　　 　　,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱　　　　　　,分布列的表格表示如下:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
2.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)
(1)pi　　　0,i=1,2,…,n;
(2)p1+p2+…+pn=1.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)在離散型隨機(jī)變量分布列中隨機(jī)變量的每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)的概率可以為任意的實(shí)數(shù).(　　)
(2)在離散型隨機(jī)變量分布列中,在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各值的概率之積.(　　)
(3)在離散型隨機(jī)變量分布列中,所有概率之和為1.(　　)
2.離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件有何特點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)3　兩點(diǎn)分布
對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用A表示“成功”,表示“失敗”,定義X=如果P(A)=p,則P()=　　　　,那么X的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
我們稱X服從　　　　　或　　 　　　.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)兩點(diǎn)分布中只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)結(jié)果,且兩個(gè)結(jié)果是對(duì)立的.(　　)
(2)兩點(diǎn)分布中由對(duì)立事件的概率求法可知:P(X=0)+P(X=1)=1.(　　)
2.若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則a的值為(　　)
X -1 1
P 4a-1 3a2+a
—————————課中案——————————
探究點(diǎn)一：離散型隨機(jī)變量的概念
【例1】 下列變量是離散型隨機(jī)變量的是　　　　.(填序號(hào))
①下期某闖關(guān)節(jié)目中過關(guān)的人數(shù);
②某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差;
③在鄭州至武漢的電氣化鐵道線上,每隔50 m有一電線鐵塔,從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進(jìn)行編號(hào),其中某一電線鐵塔的編號(hào);
④水位監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位在(0,29]這一范圍內(nèi)變化,該水位站所測(cè)水位.
變式探究：
將本例的④改為:若用X=0表示監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位沒有超過警戒線,X=1表示監(jiān)測(cè)站所測(cè)水位超過警戒線,x表示所測(cè)水位(警戒水位是29 m),X是離散型隨機(jī)變量嗎
變式訓(xùn)練1
①某座大橋一天經(jīng)過的某品牌轎車的輛數(shù);②某網(wǎng)站中某歌曲一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù);③射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)得1分,未擊中目標(biāo)得0分,該射手在一次射擊中的得分.其中,是離散型隨機(jī)變量的是(　　)
A.①②③ B.僅①②
C.僅①③ D.僅②③
變式訓(xùn)練2
寫出下列隨機(jī)變量可能的取值,并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.
(1)某學(xué)生從學(xué)校回家要經(jīng)過3個(gè)紅綠燈路口,他可能遇到紅燈的次數(shù)Y;
(2)從含有10件次品的100件產(chǎn)品中任取4件,取到次品的件數(shù)X.
探究點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的分布列與性質(zhì)
【例2】 從裝有除顏色外完全相同的6個(gè)白球、4個(gè)黑球和2個(gè)黃球的箱中隨機(jī)地取出兩個(gè)球,規(guī)定每取出1個(gè)黑球贏2元,而每取出1個(gè)白球輸1元,取出黃球無輸贏.
(1)以X表示贏得的錢數(shù),求X的分布列;
(2)求出贏錢(即X>0時(shí))的概率.
變式訓(xùn)練3
袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球,每次從中任取一個(gè)球,每次取出的黑球不再放回,第一次取出白球后停止,求取球次數(shù)X的分布列.
【例3】 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
求2X+1的分布列.
變式探究 ：若例3的條件不變,求隨機(jī)變量Y=|X-1|的分布列.
探究點(diǎn)三：兩點(diǎn)分布
【例4】 一個(gè)袋中裝有除顏色外其他都相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球.
(1)從中任意摸出1個(gè)球,用0表示摸出白球,用1表示摸出紅球,即
X=求X的分布列.
從中任意摸出兩個(gè)球,用Y=0表示“兩個(gè)球全是白球”,用Y=1表示“兩個(gè)球不全是白球”,求Y的分布列.
【課堂小結(jié)】
—————————課后案——————————
1.已知下列隨機(jī)變量:
①10件產(chǎn)品中有2件次品,從中任選3件,取到次品的件數(shù)X;
②某道路斑馬線一天經(jīng)過的人數(shù)X;
③某運(yùn)動(dòng)員在一次110米跨欄比賽中的成績X;
④在體育彩票的抽獎(jiǎng)中,下一次搖號(hào)產(chǎn)生的號(hào)碼數(shù)X.
其中X是離散型隨機(jī)變量的是(　　)
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.僅③④
2.若隨機(jī)變量Y的分布列如表所示:
則當(dāng)P(YA.x≤1 B.1≤x≤2
C.13.在8件產(chǎn)品中,有3件次品,5件正品,從中任取3件,記次品的件數(shù)為Y,則Y<2表示的試驗(yàn)結(jié)果是　 .
4.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,則P(Y=-2)=　　　　　.
5.設(shè)X為一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為
則P(X≤0)=　　　　.
6.袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為 ,現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的,用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù).
(1)求袋中所有的白球的個(gè)數(shù);
(2)求隨機(jī)變量X的分布列;
(3)求甲取到白球的概率.高二數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案新授課 1課時(shí)
7.3.1　離散型隨機(jī)變量的均值
【課標(biāo)要求】
1.通過實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念和性質(zhì),能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值.
2.掌握兩點(diǎn)分布的均值.
3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值,解決一些相關(guān)的實(shí)際問題.
—————————課前案——————————
知識(shí)點(diǎn)1　離散型隨機(jī)變量的均值
一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
則稱E(X)=　　　　　　　　　　=　　　　　為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡稱期望.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)隨機(jī)變量X的均值E(X)是個(gè)變量,其隨X的變化而變化.(　　)
(2)隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同.(　　)
2.已知X的分布列為
則X的均值為(　　) A.0 B.-1 C. D.
知識(shí)點(diǎn)2　兩點(diǎn)分布的均值
一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=_________________　　　　　　=　　　　.
過關(guān)自診
1.已知隨機(jī)變量X滿足P(X=1)=0.3,P(X=0)=0.7,則E(X)=　　　　　.
2.已知離散型隨機(jī)變量X的取值為-1和1,且P(X=1)=p,則該隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布嗎 該隨機(jī)變量的均值是多少
知識(shí)點(diǎn)3　離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)
一般地,下面的結(jié)論成立:E(aX+b)=　　　　　.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)若隨機(jī)變量X的均值E(X)=2,則E(5X)=10.(　　)
(2)對(duì)于結(jié)論E(aX+b)=aE(X)+b,當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個(gè)常數(shù)本身.(　　)
2.已知隨機(jī)變量X的分布列如下，則E(X)=　　　　　,E(2X-1)=　　　　　.
—————————課中案——————————
探究點(diǎn)一：求離散型隨機(jī)變量的均值
【例1】 袋中有4個(gè)紅球,3個(gè)白球,從袋中隨機(jī)取出4個(gè)球.設(shè)取出一個(gè)紅球得2分,取出一個(gè)白球得1分,試求得分X的均值.
變式訓(xùn)練1
盒中裝有5節(jié)同品牌的五號(hào)電池,其中混有兩節(jié)廢電池.現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn),直到取到好電池為止,求抽取次數(shù)X的分布列及均值.
探究點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
【例2】 已知隨機(jī)變量X的分布列為
X -2 -1 0 1 2
P m
若Y=-2X,則E(Y)=　　　　　.
變式探究
本例條件不變,若ξ=aX+3,且E(ξ)=- ,求a的值.
變式訓(xùn)練2
已知隨機(jī)變量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,則m的值為(　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
探究點(diǎn)三：均值的簡單應(yīng)用
【例3】 (2022河南鄭州月考)有9張相同的卡片,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,從中隨機(jī)抽取3張.
(1)求抽取的3張卡片上的數(shù)字中任意2個(gè)均不在下表的同一行,且不在同一列的概率;
(2)若抽取的3張卡片上的3個(gè)數(shù)字均為奇數(shù)或均為偶數(shù)記為情況①;若3個(gè)數(shù)字位于下表的同一行或同一列或同一對(duì)角線上記為情況②.當(dāng)同時(shí)滿足①②兩種情況得3分;僅滿足情況①得2分;僅滿足情況②得1分;其他情況得0分.求得分的分布列及均值.
變式訓(xùn)練3
隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,經(jīng)質(zhì)檢,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元,而1件次品虧損2萬元,設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位:萬元)為X.
(1)求X的分布列;
(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值);
(3)經(jīng)技術(shù)革新后,仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品,但次品率降為1%,一等品率提高為70%.若此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元,則三等品率最多是多少
【課堂小結(jié)】
—————————課后案——————————
1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如表,且E(X)=1.6,則a-b等于(　　)
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4
2.已知0ξ -1 0 1
P a b
則當(dāng)a增大時(shí),E(ξ)的變化情況是(　　)
A.E(ξ)增大
B.E(ξ)減小
C.E(ξ)先增大后減小
D.E(ξ)先減小后增大
3.(2022陜西寶雞二模)已知隨機(jī)變量X,Y滿足Y=2X+3,Y的期望E(Y)= ,X的分布列為
X -1 0 1
P a b
則a,b的值分別為(　　)
A.a=,b= B.a=,b= C.a=,b= D.a=,b=
4.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分,不命中得0分.已知某籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8,則他罰球一次得分X的均值是　　　　. 高二數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案新授課 1課時(shí)
7.3.2　離散型隨機(jī)變量的方差
【課標(biāo)要求】
1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.
2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的方差,并能解決一些實(shí)際問題.
3.掌握方差的性質(zhì).
—————————課前案——————————
【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)1　離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差
設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn- E(X))2.因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同,所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均,來度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度,我們稱
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn = =
為隨機(jī)變量X的方差,有時(shí)也記為Var(X),并稱 為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ(X).
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定.(　　)
(2)若a是常數(shù),則D(a)=0.(　　)
(3)離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度.(　　)
(4)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位,在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛.(　　)
2.隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何不同
知識(shí)點(diǎn)2　離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)
1.一般地,可以證明下面的結(jié)論成立:D(aX+b)=a2D(X).
2.一般地,隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么D(X)=(1-p)2·p+p2(1-p)=p(1-p).
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)當(dāng)a,b均為常數(shù)時(shí),隨機(jī)變量η=aξ+b的方差D(η)=D(aξ+b)=aD(ξ).(　　)
(2)設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)=1,則D(2X+1)的值為4.(　　)
2.兩點(diǎn)分布的方差是定值嗎
————————課中案——————————
探究點(diǎn)一：求離散型隨機(jī)變量的方差
【例1】 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù),求X的方差.
變式訓(xùn)練1
袋中有除顏色外其他都相同的6個(gè)小球,其中紅球2個(gè)、黃球4個(gè),規(guī)定取1個(gè)紅球得2分,1個(gè)黃球得1分.從袋中任取3個(gè)小球,記所取3個(gè)小球的分?jǐn)?shù)之和為X,求隨機(jī)變量X的分布列、均值和方差.
探究點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的方差的應(yīng)用
X 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
【例2】 甲、乙兩個(gè)建材廠都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè),為了對(duì)重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)負(fù)責(zé),政府到兩建材廠抽樣檢查,從他們中各取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指數(shù)如下.
Y 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強(qiáng)度,在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不低于120的條件下,比較甲、乙兩廠材料哪一種穩(wěn)定性較好.
【課堂小結(jié)】
—————————課后案——————————
1.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A發(fā)生和A不發(fā)生,且P(A)=m,令隨機(jī)變量
A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m)
2.若隨機(jī)變量ξ的分布列如下,其中m∈(0,1),則下列結(jié)論正確的是(　　)
ξ 0 1
P m n
A.E(ξ)=m,D(ξ)=n3 B.E(ξ)=m,D(ξ)=n2
C.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m-m2 D.E(ξ)=1-m,D(ξ)=m2
3.(多選題)(2022湖南岳陽一模)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,其中P(X=0)= ,E(X),D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(3X+2)=4 D.D(X)=
4.編號(hào)為1,2,3的三名學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位,每名學(xué)生坐一個(gè)座位,設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ,求E(ξ)和D(ξ).高二數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案新授課 1課時(shí)
7.4.1　二項(xiàng)分布
【課標(biāo)要求】
1.通過具體實(shí)例了解伯努利試驗(yàn),掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征.
2.能用二項(xiàng)分布解決簡單的實(shí)際問題.
—————————課前案——————————
【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)　二項(xiàng)分布
1.伯努利試驗(yàn):我們把只包含　　　　可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).
2.n重伯努利試驗(yàn):我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征:
(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次;
(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.
3.二項(xiàng)分布
一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0P(X=k)=　　　　　　　　,k=0,1,2,…,n.
如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p).
4.二項(xiàng)分布的均值與方差
(1)兩點(diǎn)分布:若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p).
(2)二項(xiàng)分布:若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)在n重伯努利試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率可以不同.(　　)
(2)如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.(　　)
(3)二項(xiàng)分布就是兩點(diǎn)分布.(　　)
2.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)的結(jié)果相互有影響嗎
—————————課中案——————————
探究點(diǎn)一：n重伯努利試驗(yàn)概率的求法
【例1】 甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是 ,假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒有影響.(結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答)
(1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;
(2)若兩人各射擊2次,求甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.
變式探究1
在本例(2)的條件下,求甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率.
變式探究2
在本例(2)的條件下,求甲未擊中,乙擊中2次的概率.
變式訓(xùn)練1
某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算:
(1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率;
(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率.
探究點(diǎn)二：兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布
【例2】 某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p=0.6.
(1)求投籃1次時(shí)命中次數(shù)X的均值;
(2)求重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)Y的均值.
變式訓(xùn)練2
(2022重慶期末)某射擊隊(duì)對(duì)9位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊測(cè)試,每位運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行3次射擊,至少命中2次則通過測(cè)試,已知每位運(yùn)動(dòng)員每次射擊命中的概率均為 ,各次射擊是否命中相互獨(dú)立,且每位運(yùn)動(dòng)員本次測(cè)試是否通過相互獨(dú)立,設(shè)9位運(yùn)動(dòng)員中有X人通過本次測(cè)試,則E(X)=　　　　　.
探究點(diǎn)三 二項(xiàng)分布的應(yīng)用
【例3】 高二(1)班的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組在網(wǎng)上查知,某珍稀植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為 ,該研究性學(xué)習(xí)小組又分成兩個(gè)小組進(jìn)行驗(yàn)證性試驗(yàn).
(1)第一小組做了5次這種植物種子的發(fā)芽試驗(yàn)(每次均種下一粒種子),求他們的試驗(yàn)中至少有3次發(fā)芽成功的概率.
(2)第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(yàn)(每次均種下一粒種子),如果在一次試驗(yàn)中種子發(fā)芽成功就停止試驗(yàn),否則將繼續(xù)進(jìn)行下次試驗(yàn),直到種子發(fā)芽成功為止,但試驗(yàn)的次數(shù)最多不超過5次.求第二小組所做種子發(fā)芽試驗(yàn)的次數(shù)ξ的分布列.
變式訓(xùn)練3
在一次抗洪搶險(xiǎn)中,相關(guān)人員準(zhǔn)備用射擊的辦法引爆從上游漂流而下的一個(gè)巨大汽油罐,已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射擊是相互獨(dú)立的,且命中的概率都是 .
(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為X,求X不小于4的概率.
【課堂小結(jié)】
—————————課后案——————————
1.(多選題)下列事件中隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的有(　　)
A.隨機(jī)變量ξ表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)
B.某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξ
C.有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(MD.有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M2.一次拋擲兩顆質(zhì)地均勻的正方體骰子,若出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2倍關(guān)系,則稱這次拋擲“漂亮”.規(guī)定一次拋擲“漂亮”得分為3,否則得分為-1.若拋擲30次,記累計(jì)得分為ξ,則下列選項(xiàng)不正確的是(　　)
A.拋擲一次,“漂亮”的概率為 B.ξ=2時(shí),“漂亮”的次數(shù)必為8
C.E(ξ)=-10
3.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),且E(X)=3,p= ,則n=　　　　　,D(X)=　　　　　.
4.設(shè)隨機(jī)變量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)= ,則D(η)=　　　　　　　. 高二數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案新授課 1課時(shí)
7.4.2　超幾何分布
【課標(biāo)要求】
1.通過具體實(shí)例,了解超幾何分布及其均值.
2.能用超幾何分布解決簡單的實(shí)際問題.
—————————課前案——————————
【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)　超幾何分布
1.定義:一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為
P(X=k)=　　　　　　,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.
2.超幾何分布的均值:E(X)=　　　　=np(p為次品率).
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)超幾何分布的總體里只有兩類物品.(　　)
(2)超幾何分布的模型是放回抽樣.(　　)
(3)在形式上適合超幾何分布的模型常由較明顯的兩部分組成,如“男生、女生”“正品、次品”等.(　　)
2.超幾何分布與二項(xiàng)分布的期望值有何規(guī)律
—————————課中案——————————
探究點(diǎn)一：超幾何分布概率公式的應(yīng)用
【例1】 從放有10個(gè)紅球與15個(gè)白球的暗箱中,隨機(jī)摸出5個(gè)球,規(guī)定取到一個(gè)白球得1分,一個(gè)紅球得2分,求某人摸出5個(gè)球,恰好得7分的概率.
變式訓(xùn)練1
在30瓶飲料中,有3瓶已過了保質(zhì)期.從這30瓶飲料中任取2瓶,則至少取到1瓶已過了保質(zhì)期飲料的概率為　　　　　.(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)
探究點(diǎn)二：超幾何分布
【例2】 一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀、大小完全相同的小球,其中紅球有3個(gè),編號(hào)為1,2,3;黑球有2個(gè),編號(hào)為1,2;白球有1個(gè),編號(hào)為1.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取3個(gè)球.
(1)求取出的3個(gè)球的顏色都不相同的概率;
(2)記取得1號(hào)球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列.
變式探究
在本例條件下,若記取到白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量η,求隨機(jī)變量η的分布列.
探究點(diǎn)三 二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系
【例3】 某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列,并求其均值;
(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列.
變式訓(xùn)練2
在10件產(chǎn)品中有2件次品,連續(xù)抽3次,每次抽1件,求:
(1)不放回抽樣時(shí),抽取次品數(shù)X的均值;
(2)放回抽樣時(shí),抽取次品數(shù)Y的均值與方差.
【課堂小結(jié)】
—————————課后案——————————
1.(多選題)下列隨機(jī)變量中,服從超幾何分布的有(　　)
A.在10件產(chǎn)品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,記取到的次品數(shù)為X
B.從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái),記X表示所取的2臺(tái)彩電中甲型彩電的臺(tái)數(shù)
C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué),途中有6個(gè)交通崗,記此學(xué)生遇到紅燈的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X
D.從10名男生,5名女生中選3人參加植樹活動(dòng),其中男生人數(shù)記為X
2.從一副不含大王、小王的52張撲克牌中任意抽出5張,則至少有3張是“3”的概率可表示為(　　)
3.某班有50名學(xué)生,其中15人選修A課程,另外35人選修B課程,從班級(jí)中任選兩名學(xué)生,他們選修不同課程的概率是　　　　　.
4.某導(dǎo)游團(tuán)有外語導(dǎo)游10人,其中6人會(huì)說日語,現(xiàn)要選出4人去完成一項(xiàng)任務(wù),則有2人會(huì)說日語的概率為　　　　　.
5.(2022江蘇常州檢測(cè))在箱子中有10個(gè)小球,其中有3個(gè)紅球,3個(gè)白球,4個(gè)黑球.從這10個(gè)球中任取3個(gè).求:
(1)取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)X的分布列;
(2)取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)多于白球個(gè)數(shù)的概率.高二數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案 新授課 1課時(shí)
7.5 正態(tài)分布
【課標(biāo)要求】
1.利用實(shí)際問題的直方圖,了解正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.
2.了解變量落在區(qū)間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+ 2σ],[μ-3σ,μ+ 3σ]的概率大小.
3.會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問題.
—————————課前案——————————
【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)1　正態(tài)曲線
函數(shù)f(x)= ,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù),對(duì)任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方,可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱　　　　　　(如圖所示).
過關(guān)自診1
1.判斷正誤.
(1)函數(shù)f(x)= (x∈R)中參數(shù)μ,σ的意義分別是樣本的均值與方差.(　　)
(2)正態(tài)密度函數(shù)f(x)的值可正可負(fù),但不能為0.(　　)
(3)正態(tài)密度函數(shù)的圖象與x軸之間區(qū)域的面積是變化的.(　　)
2.下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是(　　)
知識(shí)點(diǎn)2　正態(tài)分布
若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為　　　　　　.特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從　　　　　　　.
如圖所示,X取值不超過x的區(qū)域P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積,而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的取值在區(qū)間[a,b]上的概率等于正態(tài)曲線與直線x=a,x=b以及x軸所圍成的封閉圖形的面積.(　　)
2.參數(shù)μ,σ在正態(tài)分布中的實(shí)際意義是什么
知識(shí)點(diǎn)3　正態(tài)曲線的特點(diǎn)
1.曲線位于x軸　　　　,與x軸　　　　　.
2.曲線是單峰的,它關(guān)于直線　　　　對(duì)稱.
3.曲線在　　　　處達(dá)到峰值　　　　　
4.當(dāng)|x|無限增大時(shí),曲線無限接近x軸.
5.曲線與x軸之間的面積為　　　　.
6.當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿　　　　平移,如圖①.
7.當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定,當(dāng)σ較小時(shí),峰值高,曲線“　　　　”,表示隨機(jī)變量X的分布比較集中;當(dāng)σ較大時(shí),峰值低,曲線“　　　　”,表示隨機(jī)變量X的分布比較分散,如圖②.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)
(1)正態(tài)曲線是單峰的,其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ,σ的變化而變化的.(　　)
(2)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱.(　　)
(3)正態(tài)曲線的“胖瘦”由σ決定.(　　)
2.(多選題)已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)φi(x)= (x∈R,i=1,2,3)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.σ1=σ2 B.μ1>μ3 C.μ1=μ2 D.σ2<σ3
知識(shí)點(diǎn)4　正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率及3σ原則
1.三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率若X~N(μ,σ2),則
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
2.3σ原則 在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.
過關(guān)自診
設(shè)X~N(1,22),試求: (1)P(-1≤X≤3); (2)P(3≤X≤5); (3)P(X≥5).
—————————課中案——————————
探究點(diǎn)一：正態(tài)曲線的應(yīng)用
【例1】一個(gè)正態(tài)曲線如圖所示,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式,求出隨機(jī)變量的均值和方差.
變式訓(xùn)練1
若一個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)是偶函數(shù),且該函數(shù)的最大值為 ,則該正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式為　　　　　　　　　　　.
探究點(diǎn)二：正態(tài)分布下的概率計(jì)算
【例2】 (1)(2022安徽亳州期末)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,σ2),若P(ξ≤4)=0.78,則P(2<ξ<3)=(　　) A.0.2 B.0.24 C.0.28 D.0.32
(2)設(shè)X~N(5,1),求P(6≤X≤7).
變式訓(xùn)練2
(1)若隨機(jī)變量ξ~N(10,σ2),P(9≤ξ≤11)=0.4,則P(ξ>11)=　　　　　.
(2)若在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)為X,且X~N(110,202),滿分為150分,這個(gè)班的學(xué)生共有54人,求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于90分)的人數(shù)和130分以上(不包括130分)約為多少人.
【課堂小結(jié)】
—————————課后案——————————
1.設(shè)有一正態(tài)分布,它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且f(x)= ,則這個(gè)正態(tài)分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是(　　)
A.10與8 B.10與2 C.8與10 D.2與10
2.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,則P(ξ≤0)=(　　)
A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84
3.某班有48名學(xué)生,一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,平均分為110,標(biāo)準(zhǔn)差為10,則估計(jì)成績?cè)?10分到120分的人數(shù)約為(　　
A.8 B.16 C.20 D.32
4.在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果ξ~N(2,σ2)(σ>0).若ξ在(-∞,1)內(nèi)取值的概率為0.1,則ξ在[2,3]內(nèi)取值的概率為　　　　　.

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