資源簡介

高二數(shù)學導學案 新授課 2課時
8.1.1　變量的相關(guān)關(guān)系　8.1.2　樣本相關(guān)系數(shù)
【課標要求】
1.了解變量間的相關(guān)關(guān)系.
2.能根據(jù)散點圖,判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系.
3.了解相關(guān)系數(shù)的概念及公式,會判斷相關(guān)性的強弱
—————————課前案——————————
【知識梳理】
知識點1變量的相關(guān)關(guān)系
1.相關(guān)關(guān)系:兩個變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.
2.散點圖:將樣本中的每一個編號下的成對樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標系中的點表示出來,由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖.
3.正相關(guān)與負相關(guān):如果從整體上看,當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢,我們就稱這兩個變量正相關(guān);如果當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值呈現(xiàn)減少的趨勢,則稱這兩個變量負相關(guān).
4.線性相關(guān):一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān),而且散點落在一條直線附近,我們就稱這兩個變量線性相關(guān).
5.非線性相關(guān):一般地,如果兩個變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).
過關(guān)自診1
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)相關(guān)關(guān)系是兩個變量之間的一種確定的關(guān)系.(　　)
(2)對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù),都可以作出散點圖.(　　)
(3)圓的周長和圓的半徑是相關(guān)關(guān)系.(　　)
2.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么異同點
知識點2　樣本相關(guān)系數(shù)
對于變量x和變量y,設經(jīng)過隨機抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的均值分別為 ,則
我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).
名師點睛 樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)
(1)當r>0時,稱成對數(shù)據(jù)正相關(guān);當r<0時,稱成對數(shù)據(jù)負相關(guān).
(2)當|r|越接近1時,成對樣品數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強;當|r|越接近0時,成對樣品數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.
(3)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1,1].
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)相關(guān)系數(shù)是描述成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)程度的量.(　　)
(2)若r=0,則說明成對樣本數(shù)據(jù)間是函數(shù)關(guān)系.(　　)
(3)若r=±1,則說明成對樣本數(shù)據(jù)的兩個分量之間具有一種線性關(guān)系.(　　)
(4)|r|越接近于0,說明成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強.(　　)
2.以下是對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計獲得的散點圖,根據(jù)散點圖的特點你能得出對應樣本相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系嗎
—————————課中案——————————
探究點一：相關(guān)關(guān)系的概念
【例1】判斷以下兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系
(1)正方形的面積與其周長之間的關(guān)系;
(2)父母的身高與子女的身高之間的關(guān)系;
(3)學生的學號與身高;
(4)汽車勻速行駛時的路程與時間的關(guān)系.
規(guī)律方法　函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系,而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系.
變式訓練1
(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.闖紅燈與交通事故發(fā)生率的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系
B.同一物體的加速度與作用力是函數(shù)關(guān)系
C.圓的周長與面積的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系
D.廣告費用與銷售量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系
探究點二：散點圖的應用
【例2】 某公司2016~2021年的年利潤x(單位:百萬元)與年廣告支出y(單位:百萬元)的統(tǒng)計資料如表所示:
判斷x與y是否線性相關(guān),若是線性相關(guān),試判斷是正相關(guān)還是負相關(guān)
規(guī)律方法　判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,常用的簡便方法就是繪制散點圖,如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近,那么這兩個變量就是線性相關(guān)的,注意不要受個別點的位置的影響.
變式訓練2
對變量x,y由觀測數(shù)據(jù)得散點圖(1);對變量y,z由觀測數(shù)據(jù)得散點圖(2).由這兩個散點圖可以判斷()
A.變量x與y正相關(guān),z與y正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān),z與y負相關(guān)
C.變量x與y負相關(guān),z與y正相關(guān)D.變量x與y負相關(guān),z與y負相關(guān)
探究點三：樣本相關(guān)系數(shù)的應用
【例3】 現(xiàn)隨機抽取了某中學高一10名在校學生,他們?nèi)雽W時的數(shù)學成績x與入學后第一次考試的數(shù)學成績y如下表:
這10名學生的兩次數(shù)學成績是否具有線性相關(guān)關(guān)系
規(guī)律方法　利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷線性相關(guān)的求解策略
先計算樣本相關(guān)系數(shù)r的值,再用|r|與0或1比較,進而對變量x與變量y的相關(guān)關(guān)系作出判斷.
變式訓練3已知兩個變量x和y的七組數(shù)據(jù)如下表:
試判斷x與y之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系.
【課堂小結(jié)】
—————————課后案——————————
1.若“名師出高徒”成立,則名師與高徒之間存在什么關(guān)系(　　)
A.相關(guān)關(guān)系 B.函數(shù)關(guān)系C.無任何關(guān)系 D.不能確定
2.已知x,y是兩個變量,下列四個散點圖中,x,y呈正相關(guān)趨勢的是(　　)
3.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.變量間的關(guān)系是非確定性關(guān)系,因此因變量不能由自變量唯一確定
B.樣本相關(guān)系數(shù)可以是正的,也可以是負的
C.如果r=±1,說明x與y之間滿足一種線性關(guān)系
D.樣本相關(guān)系數(shù)r∈(-1,1)
4.(2022湖北期中)甲、乙、丙、丁四名同學各自對x,y兩變量進行線性相關(guān)試驗,并分別求得相關(guān)系數(shù)r如表:
則這四名同學的試驗結(jié)果能體現(xiàn)出x,y兩變量有更強的線性相關(guān)性的是　　　　　.
5.某研究機構(gòu)對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù):
已知記憶力x和判斷力y是線性相關(guān)的,求相關(guān)系數(shù)r.高二數(shù)學導學案 新授課 2課時
8.2.1　一元線性回歸模型 8.2.2　一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計
【課標要求】
1.了解隨機誤差、殘差、殘差圖的概念,會通過殘差分析判斷線性回歸模型的擬合效果.
2.了解回歸分析的基本思想方法和初步應用.
—————————課前案——————————
【知識梳理】
知識點1　一元線性回歸模型
我們稱該式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中,Y稱為因變量或響應變量,x稱自
變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機
誤差.
過關(guān)自診1
1.判斷正誤.
(1)兩個變量之間產(chǎn)生隨機誤差的原因僅僅是因為測量工具產(chǎn)生的誤差.(　　)
(2)在畫兩個變量的散點圖時,響應變量在x軸上,解釋變量在y軸上.(　　)
(3)隨機誤差一般是不可觀測的隨機變量.(　　)
知識點2　一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計
經(jīng)驗回歸方程
2.殘差與殘差分析
對于響應變量Y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值,通過經(jīng)驗回歸方程得到的 稱為預測值,觀測值減去預測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結(jié)果,通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果,以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等,這方面工作稱為殘差分析.在殘差圖中,當殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)任何一組數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出經(jīng)驗回歸方程.(　　)
(2)殘差平方和越接近0,線性回歸模型的擬合效果越好.(　　)
(3)R2越小,線性回歸模型的擬合效果越好.(　　)
(4)進行回歸分析前,要先進行相關(guān)性的分析.(　　)
(5)經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心( ).
2.在回歸分析中,利用經(jīng)驗回歸方程求出的值一定是真實值嗎 為什么
—————————課中案——————————
探究點一：求經(jīng)驗回歸方程
【例1】 某研究機構(gòu)對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù):
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程;
(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗回歸方程,預測記憶力為9的同學的判斷力.
規(guī)律方法　求經(jīng)驗回歸方程:
變式訓練1
(2022陜西咸陽月考)某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度,并將所得數(shù)據(jù)分成五組,繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)(結(jié)果寫成分數(shù)的形式);
(2)為了解該車間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作年限有關(guān),現(xiàn)從車間所有工人中隨機調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡(參加工作的年限),所得數(shù)據(jù)如表:
根據(jù)上表數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的經(jīng)驗回歸方程
探究點二：回歸分析
【例2】 某運動員訓練次數(shù)x與成績y的數(shù)據(jù)如下:
(1)作出散點圖;
(2)建立成績y關(guān)于次數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程;
(3)作出殘差圖;
(4)計算R2,并用R2說明擬合效果的好壞.
規(guī)律方法　
1.解答本類題目應先通過散點圖、樣本相關(guān)系數(shù)來分析兩個變量是否線性相關(guān),再利用求經(jīng)驗回歸方程的公式求解經(jīng)驗回歸方程,并利用殘差圖或R2來分析模型的擬合效果.
2.“R2、殘差圖”在回歸分析中的作用:
(1)R2是用來刻畫回歸效果的,由R2=1- ,可知R2越大,意味著殘差平方和越小,也就是說模型的擬合效果越好.
(2)殘差圖也是用來刻畫回歸效果的,判斷依據(jù)是:殘差比較均勻地分布在橫軸的兩邊,說明殘差比較符合一元線性回歸模型的假定.
變式訓練2
在一段時間內(nèi),某種商品的價格x(單位:元)和需求量y(單位:件)之間的一組數(shù)據(jù)如下:
已知x與y線性相關(guān),求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程,并用R2說明擬合效果的好壞.
探究點三：求非線性經(jīng)驗回歸方程
【例3】 某地區(qū)六年來輕工業(yè)產(chǎn)品利潤總額y(單位:億元)與年次x的數(shù)據(jù)如下:
由經(jīng)驗知,年次x與利潤總額y(單位:億元)近似有如下關(guān)系:y=abxe0.其中a,b均為正數(shù),求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程.
規(guī)律方法　非線性經(jīng)驗回歸方程的求法
變式訓練3
某展會一天上午9點半到下午2點的即時參觀人數(shù)如下表:
已知時間與參觀人數(shù)具有很強的相關(guān)關(guān)系,試求出這段時間內(nèi)即時參觀人數(shù)關(guān)于時間的經(jīng)驗回歸方程.
【課堂小結(jié)】高二數(shù)學導學案 新授課 2課時
8.3.1　分類變量與列聯(lián)表　8.3.2　獨立性檢驗
【課標要求】
1.能利用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗,提升利用圖表進行數(shù)據(jù)分析的能力.
2.參考反證法,理解獨立性檢驗的基本思想和步驟,并能夠利用獨立性檢驗解決一些實際問題.
3.通過對獨立性檢驗和統(tǒng)計等知識的綜合應用,體會數(shù)學知識的交匯運用.
—————————課前案——————————
【知識梳理】
知識點1　分類變量與列聯(lián)表
1.分類變量:為了表述方便,我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機變量稱為分類變量.
2.列聯(lián)表:在實踐中,由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高,人們經(jīng)常按研究問題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計,并做成表格加以保存.這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念.(　　)
(2)2×2列聯(lián)表只有4個格子.(　　)
(3)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).(　　)
(4)列聯(lián)表、頻率分析法、等高堆積條形圖都可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系.(　　)
2.2×2列聯(lián)表的主要作用是什么
知識點2　獨立性檢驗
1.2×2列聯(lián)表
上表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表:最后一行的前兩個數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}的頻數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}的頻數(shù);中間的四個數(shù)a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)的頻數(shù);右下角格中的數(shù)n是樣本容量.
2.χ2統(tǒng)計量的計算公式 ………………………….
3.獨立性的判斷方法
基于小概率值α的檢驗規(guī)則是:概率值α越小,臨界值xα越大
當χ2≥xα時,我們就推斷H0不成立,即認為　　　　　　　　,該推　　　　　　　　;
當χ24.獨立性檢驗
利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”,
簡稱獨立性檢驗.
過關(guān)自診
1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)
(1)χ2統(tǒng)計量也可以用來作相關(guān)性的度量,χ2越小說明變量之間越獨立,χ2越大說明變量之間越相關(guān).(　　)
(2)獨立性檢驗的思想類似于反證法.(　　)
(3)獨立性檢驗的結(jié)論是有多大的把握認為兩個分類變量有關(guān)系.(　　)
2.獨立性檢驗在實際中的重要作用是什么
—————————課中案——————————
探究點一：獨立性檢驗
【例1】 打鼾不僅影響別人休息,而且可能與患心臟病有關(guān).下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù):
根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,能否認為每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)系
規(guī)律方法　獨立性檢驗的具體做法
(1)提出零假設H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.
(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.
(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.
(4)在X和Y不獨立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.
變式訓練1
某省進行高中新課程改革已經(jīng)四年了,為了解教師對新課程教學模式的使用情況,某一教育機構(gòu)對某學校的教師關(guān)于新課程教學模式的使用情況進行了問卷調(diào)查,共調(diào)查了50人,其中有老教師20人,青年教師30人.老教師對新課程教學模式贊同的有10人,不贊同的有10人;青年教師對新課程教學模式贊同的有24人,不贊同的有6人.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表;
(2)試根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,分析對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)聯(lián).
探究點二：獨立性檢驗的綜合應用
【例2】 海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:
(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”,估計事件A的概率;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗,分析箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法是否有關(guān)聯(lián);
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).
附:
規(guī)律方法　兩個分類變量相關(guān)關(guān)系的判斷
通過2×2列聯(lián)表,先計算χ2的值,再借助χ2的取值判斷兩個分類變量是否有關(guān)聯(lián).
變式訓練2
為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班48人進行了問卷調(diào)查,并得到了如下的2×2列聯(lián)表:
已知在全班48人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學生的概率為
(1)請將上面的2×2列聯(lián)表補充完整(不用寫計算過程).
(2)依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗,能否認為喜愛打籃球與性別有關(guān)聯(lián) 說明你的理由.
(3)現(xiàn)從女生中抽取2人進一步調(diào)查,設其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X,求X的分布列與均值.
【課堂小結(jié)】
—————————課后案——————————
1.下面是一個2×2列聯(lián)表:
則表中a,b處的值分別為(　　) A.94,96 B.52,50 C.52,60 D.54,52
2.在對人們休閑方式的一次調(diào)查中,根據(jù)數(shù)據(jù)建立如下的2×2列聯(lián)表:
附:
A.0.99 B.0.95 C.0.01 D.0.05
3.手機給人們的生活帶來便捷,但同時也對中學生的生活和學習造成了嚴重的影響.某校高一幾個學生成立研究性學習小組,就使用手機對學習成績的影響隨機抽取了該校100名學生的期末考試成績并制成下表,則下列說法正確的是(　　)
A.依據(jù)α=0.001的獨立性檢驗認為使用手機與學習成績有關(guān)聯(lián)
B.依據(jù)α=0.001的獨立性檢驗認為使用手機與學習成績無關(guān)聯(lián)
C.依據(jù)α=0.005的獨立性檢驗認為使用手機對學習成績無影響
D.依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗認為使用手機對學習成績有影響

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