資源簡介

2.2 基本不等式(精講)
考點一 基本不等式求最值
【例1-1】(1)(2021·湖南邵陽市)若正實數x，y滿足2x+y=1.則xy的最大值為( )
A． B． C． D．
(2)(2021·六安市裕安區新安中學)已知，則的最大值為( )
A． B． C． D．
【例1-2】(1)(2021·北京高一其他模擬)若，則函數的最小值為______．
(2)(2021·云南文山壯族苗族自治州)已知，函數的最小值為( )
A．4 B．7 C．2 D．8
【例1-3】(1)(2021·上海市大同中學)設、為正數，且，則的最小值為_______.
(2)(2021·河北石家莊市)已知，且，則的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．9
【例1-4】(2021·永豐縣永豐中學高一期末)函數()的最小值為( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·浙江高一期末)已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy( )
A．有最大值為1 B．有最小值為1 C．有最大值為 D．有最小值為
2．(2021·山西晉中市·高一期末)已知，，且，則ab的最大值為( )
A． B．4 C． D．2
3.(2021·蘇州市蘇州高新區第一中學高一月考)若，則( )
A．有最小值，且最小值為 B．有最大值，且最大值為2
C．有最小值，且最小值為 D．有最大值，且最大值為
4．(2021·北京師范大學萬寧附屬中學)當時，取得最小值時x的值為( )
A．0 B． C．3 D．2
5．(2021·安徽省泗縣第一中學)函數的最小值為( )
A． B． C． D．
6．(2021·北京師范大學萬寧附屬中學)已知，，則的最小值為( )
A． B． C． D．
7．(2021·蘇州市第五中學校高一月考)正實數，滿足：，則當取最小值時，____.
8．(2021·浙江高一期末)若正數x，y滿足，則的最小值是__________．
9．(2021·全國高一課時練習)函數的最小值是___________.
10．(2020·河北聯邦國際學校高一月考)已知，則 的最大值是
11．(2020·天津市薊州區擂鼓臺中學高一月考)函數的最小值是
考點二 利用基本不等式求參數
【例2】(1)(2021·北京東直門中學)若對任意的都有，則的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·浙江高一期末)，，且，不等式恒成立，則的范圍為_______.
【一隅三反】
1．(2021·廣東深圳市)已知，若不等式恒成立，則的最大值為( )
A．13 B．14 C．15 D．16
2．(2021·江蘇蘇州市)當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為( )
A． B． C． D．
3．(2021·臨澧縣第一中學)已知，且，若恒成立，則正實數的最小值為( )
A．2 B．3 C．4 D．6
4．(2021·浙江)當時，不等式恒成立，則實數的最大值為( )
A． B． C． D．
考點三 利用基本不等式比較大小
【例3】2021·全國高一課時練習)已知都是正數，且.
求證：(1)；(2).
【一隅三反】
1．(2021·全國高一課時練習)設，求證：.
2．(2021·全國高一課時練習)已知：、是正實數，求證：.
3.(2021·長沙市南雅中學)已知，，，求證：
(1)；(2).
4．(2021·湖南)已知，.
(1)求證：；
(2)若，，，求證：.
考點四 基本不等式的概念理解
【例4】(1)(2021·廣東深圳市)(多選)下列結論不正確的是( )
A．當時，
B．當時，的最小值是2
C．當時，的最小值是
D．設，，且，則的最小值是
(2)(2021·江蘇南通市)(多選)當，時，下列不等式中恒成立的有( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·淮安市陽光學校)(多選)下列判斷正確的有( )
A． B．
C． D．
2．(2021·江蘇常州市)(多選)設正實數、滿足，則( )
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最大值
3．(2021·全國高一課時練習)(多選)已知、均為正實數，則下列不等式不一定成立的是( )
A． B．
C． D．
4．(2020·江蘇鎮江市·高一月考)(多選)已知、、．若，則( )
A． B． C． D．
5．(2021·遼寧大連市)(多選)已知正數，，則下列不等式中恒成立的是( )
A． B．
C． D．
6．(2021·山東高一期中)(多選)若，則下列不等式中正確的是( )
A． B．
C． D．
考點五 實際生活中的基本不等式
【例5】(2021·廣東東莞市·高一期末)2020年7月，東莞市松山湖科學城獲得國家發改委、科技部批復，成為粵港澳大灣區綜合性國家科學中心.已知科學城某企業計劃建造一間長方體實驗室，其體積為1200，高為3m.如果地面每平方米的造價為150元，墻壁每平方米的造價為200元，房頂每平方米的造價為300元，則實驗室總造價的最小值為( )
A．204000元 B．228000元 C．234500元 D．297000元
【一隅三反】
1．(2021·南京市秦淮中學)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，則一年的總運費與總存儲費用和最小為( )
A．60萬元 B．160萬元 C．200萬元 D．240萬元
2．(2021·吉林延邊朝鮮族自治州·高一期末)某人決定自駕汽車勻速自駕游，全段路程，速度不能超過，而汽車每小時的運輸成本為元，則當全程運輸成本最小時，汽車的行駛速度為( )
A． B． C． D．
3．(2021·安徽淮南市·高一期末)建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，若池底的造價為每平方米120元，池壁的造價為每平方米80元，則這個水池的最低造價為 ( )
A．1120元 B．1280元 C．1760元 D．1960元
(2021·安徽宿州市·高一期末)某電商自營店，其主打商品每年需要6000件，每年次進貨，每次購買件，每次購買商品需手續費300元，已購進未賣出的商品要付庫存費，可認為平均庫存量為，每件商品庫存費是每年10元，則要使總費用(手續費+庫存費)最低，則每年進貨次數為________________.
答案與解析
2.2 基本不等式(精講)
考點一 基本不等式求最值
【例1-1】(1)(2021·湖南邵陽市)若正實數x，y滿足2x+y=1.則xy的最大值為( )
A． B． C． D．
(2)(2021·六安市裕安區新安中學)已知，則的最大值為( )
A． B． C． D．
【答案】(1)B(2)D
【解析】(1)當且僅當時取等號，
即xy的最大值為故選：B
(2)因為，所以，
所以，當且僅當，即時，等號成立，
所以，整理得，即.
所以的最大值為.故選：D.
【例1-2】(1)(2021·北京高一其他模擬)若，則函數的最小值為______．
(2)(2021·云南文山壯族苗族自治州)已知，函數的最小值為( )
A．4 B．7 C．2 D．8
【答案】(1)5(2)B
【解析】(1)因為，則函數，當且僅當，即時取等號，
此時取得最小值5．故答案為：5.
(2)因為，所以，
當且僅當即時取等號，所以的最小值為7.故選：B
【例1-3】(1)(2021·上海市大同中學)設、為正數，且，則的最小值為_______.
(2)(2021·河北石家莊市)已知，且，則的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】(1)4(2)B
【解析】(1)因為、為正數，且，
所以,
當且僅當a=b=1時取等號即的最小值為4.故答案為：4
(2)由，得，
所以，
當且僅當，取等號.故選：B.
【例1-4】(2021·永豐縣永豐中學高一期末)函數()的最小值為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以函數()的最小值為，故選：B
【一隅三反】
1．(2021·浙江高一期末)已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy( )
A．有最大值為1 B．有最小值為1 C．有最大值為 D．有最小值為
【答案】C
【解析】，，且，(1)，
當且僅當，即，時，取等號，故的最大值是：，故選：．
2．(2021·山西晉中市·高一期末)已知，，且，則ab的最大值為( )
A． B．4 C． D．2
【答案】D
【解析】， (當且僅當時取等號)
，解得：，即的最大值為故選
3.(2021·蘇州市蘇州高新區第一中學高一月考)若，則( )
A．有最小值，且最小值為 B．有最大值，且最大值為2
C．有最小值，且最小值為 D．有最大值，且最大值為
【答案】D
【解析】,當且僅當取“=”所以故選：D
4．(2021·北京師范大學萬寧附屬中學)當時，取得最小值時x的值為( )
A．0 B． C．3 D．2
【答案】D
【解析】因為，所以，
當且僅當 即時等號成立，所以取得最小值時x的值為2.故選：D.
5．(2021·安徽省泗縣第一中學)函數的最小值為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，所以，
當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故選：A．
6．(2021·北京師范大學萬寧附屬中學)已知，，則的最小值為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，，且，
所以，
當且僅當即，時，有最小值.故選：B.
7．(2021·蘇州市第五中學校高一月考)正實數，滿足：，則當取最小值時，____.
【答案】
【解析】，
，當且僅當，即時，等號成立．故答案為：．
8．(2021·浙江高一期末)若正數x，y滿足，則的最小值是__________．
【答案】5
【解析】由條件，兩邊同時除以，得到，
那么
等號成立的條件是，即，即.
所以的最小值是5，
故答案為： 5 ．
9．(2021·全國高一課時練習)函數的最小值是___________.
【答案】4
【解析】令，則，當且僅當，即時，.
所以函數的最小值是4.故答案為：4
10．(2020·河北聯邦國際學校高一月考)已知，則 的最大值是
【答案】-1
【解析】
，，，
當且僅當，即時，等號成立，
所以 的最大值為
11．(2020·天津市薊州區擂鼓臺中學高一月考)函數的最小值是
【答案】
【解析】因為，所以，當且僅當，即時等號成立.所以函數的最小值是.選：D.
考點二 利用基本不等式求參數
【例2】(1)(2021·北京東直門中學)若對任意的都有，則的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·浙江高一期末)，，且，不等式恒成立，則的范圍為_______.
【答案】(1)A(2)
【解析】因為，則，當且僅當，即x=1時等號成立，所以，
故選：A
(2)解：因為，
所以
，
當且僅當，即時，取等號，
因為不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以，
故答案為：
【一隅三反】
1．(2021·廣東深圳市)已知，若不等式恒成立，則的最大值為( )
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【解析】因為，所以，
所以恒成立，只需
因為，
所以，
當且僅當時，即時取等號.所以.即的最大值為16.故選：D
2．(2021·江蘇蘇州市)當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當時，，
，
當且僅當，即時等號成立，.故選：D.
3．(2021·臨澧縣第一中學)已知，且，若恒成立，則正實數的最小值為( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解析】因為，恒成立，即
所以，即，
又，所以
所以，所以，
所以正實數的最小值為2．故選：A．
4．(2021·浙江)當時，不等式恒成立，則實數的最大值為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式恒成立化為恒成立，
因為，所以，
所以
，當且僅當，即時，等號成立.
所以，所以的最大值為.
故選：C
考點三 利用基本不等式比較大小
【例3】2021·全國高一課時練習)已知都是正數，且.
求證：(1)；(2).
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【解析】(1)，，，由于當且僅當，即時取等號，但，因此不能取等號，；
(2)，，，當且僅當時取等號，但，因此不能取等號，.
【一隅三反】
1．(2021·全國高一課時練習)設，求證：.
【答案】證明見解析；
【解析】證明：因為，所以，
所以.
當且僅當，即時，等號成立.
故不等式得證.
2．(2021·全國高一課時練習)已知：、是正實數，求證：.
【答案】見解析.
【解析】由基本不等式得出，，
上述兩個不等式當且僅當時，等號成立，
由同向不等式的可加性得，即.
3.(2021·長沙市南雅中學)已知，，，求證：
(1)；(2).
【答案】證明見解析.
【解析】證明：(1)因為且，(當且僅當時取等號)，即，所以，
又，
所以；
(2)因為，
所以
，
當且僅當時，等號成立， 所以.
4．(2021·湖南)已知，.
(1)求證：；
(2)若，，，求證：.
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【解析】(1)，
當且僅當時等號成立，
所以，當且僅當時等號成立；
(2)由條件有，且，，
又
，
當且僅當，即時等號成立，
此時由得，，即證．
考點四 基本不等式的概念理解
【例4】(1)(2021·廣東深圳市)(多選)下列結論不正確的是( )
A．當時，
B．當時，的最小值是2
C．當時，的最小值是
D．設，，且，則的最小值是
(2)(2021·江蘇南通市)(多選)當，時，下列不等式中恒成立的有( )
A． B． C． D．
【答案】(1)BC(2)ABD
【解析】(1)A. 當時，，當且僅當，即時等號成立，A正確；
B. 當時，，當且僅當時等號成立，但無實解，故最小值2取不到，B錯；
C. 當時，，最小值顯然不是正值，C錯；
D. 設，，且，則，當且僅當，即時等號成立，D正確． 故選：BC
(2)對于A，當且僅當時取等號，正確.
對于B，，當且僅當時取等號，正確.
對于C，，當且僅當時取等號，錯誤.
對于D，，當且僅當時取等號，正確.
故選：ABD
【一隅三反】
1．(2021·淮安市陽光學校)(多選)下列判斷正確的有( )
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】選項A中，時，，時，，故錯誤；
選項B中，時，，故，故正確；
選項C中，時，則，當且僅當時，即時取等號，故錯誤；
選項D中，時，則，當且僅當時取等號，故知等號取不到，但是正確的.
故選：BD.
2．(2021·江蘇常州市)(多選)設正實數、滿足，則( )
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最大值
【答案】ACD
【解析】設正實數、滿足.
對于A選項，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，A選項正確；
對于B選項，由基本不等式可得
，
當且僅當時，等號成立，B選項錯誤；
對于C選項，，
當且僅當時，等號成立，C選項正確；
對于D選項，，則，
當且僅當時，等號成立，D選項正確.
故選：ACD.
3．(2021·全國高一課時練習)(多選)已知、均為正實數，則下列不等式不一定成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】對于A，，當且僅當時等號同時成立；對于B，，當且僅當時取等號；
對于C，，當且僅當時取等號；
對于D，當，時，，，，
所以.
故選AD.
4．(2020·江蘇鎮江市·高一月考)(多選)已知、、．若，則( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】對于A選項，，，，A選項正確；
對于B選項，，，，即，B選項錯誤；
對于C選項，因為，由基本不等式可得，，C選項正確；
對于D選項，，，可得，D選項錯誤.
故選：AC.
5．(2021·遼寧大連市)(多選)已知正數，，則下列不等式中恒成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】對A，，，當且僅當時等號成立，故A正確；
對B，，，當且僅當時等號成立，故B正確；
對C，，即，故C錯誤；
對D，，，，即，當且僅當時等號成立，故D錯誤.故選：AB.
6．(2021·山東高一期中)(多選)若，則下列不等式中正確的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由基本不等式可知，當且僅當時等號成立，選項A成立；
取，則，此時，選項B錯誤；
由基本不等式可知：，當且僅當時等號成立，選項C成立；
，當且僅當時等號成立，選項D成立；
故選：ACD.
考點五 實際生活中的基本不等式
【例5】(2021·廣東東莞市·高一期末)2020年7月，東莞市松山湖科學城獲得國家發改委、科技部批復，成為粵港澳大灣區綜合性國家科學中心.已知科學城某企業計劃建造一間長方體實驗室，其體積為1200，高為3m.如果地面每平方米的造價為150元，墻壁每平方米的造價為200元，房頂每平方米的造價為300元，則實驗室總造價的最小值為( )
A．204000元 B．228000元 C．234500元 D．297000元
【答案】B
【解析】設實驗室總造價為元，實驗室地面的長為，則寬為，
∴
，
當且僅當，即時，等號成立.
故當實驗室地面的長為，寬為時，實驗室總造價取得最小值228000元.故選：B.
【一隅三反】
1．(2021·南京市秦淮中學)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，則一年的總運費與總存儲費用和最小為( )
A．60萬元 B．160萬元 C．200萬元 D．240萬元
【答案】D
【解析】由題意可得：一年的總運費與總存儲費用和為：
(萬元)，
當且僅當“”即“”時取等號.故選：D .
2．(2021·吉林延邊朝鮮族自治州·高一期末)某人決定自駕汽車勻速自駕游，全段路程，速度不能超過，而汽車每小時的運輸成本為元，則當全程運輸成本最小時，汽車的行駛速度為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，汽車全程運輸成本
，當且僅當時，即時等號成立，
又因為，所以當汽車的行駛速度為時，全程運輸成本最小.
故選：C.
3．(2021·安徽淮南市·高一期末)建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，若池底的造價為每平方米120元，池壁的造價為每平方米80元，則這個水池的最低造價為 ( )
A．1120元 B．1280元 C．1760元 D．1960元
【答案】C
【解析】容積是，深，
底面積為，
設長，則寬，無蓋長方體水池有一個底面和四個側面
側面面積為
造價，
當且僅當：，即時取等號．
故選：C
4．(2021·安徽宿州市·高一期末)某電商自營店，其主打商品每年需要6000件，每年次進貨，每次購買件，每次購買商品需手續費300元，已購進未賣出的商品要付庫存費，可認為平均庫存量為，每件商品庫存費是每年10元，則要使總費用(手續費+庫存費)最低，則每年進貨次數為________________.
【答案】10
【解析】由題可得，每年的手續費為元，庫存費為元，
則總費用為，
，，
當且僅當，即時，總費用最低為6000元.
故答案為：10.

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