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2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(精講)
考點(diǎn)一 解一元二次不等式
【例1】(2021·利辛縣闞疃金石中學(xué))解下列不等式：
(1)；(2).(3)(3)(4)(5)
【一隅三反】
1．(2021·安徽亳州市)不等式的解集為( )
A． B． C． D．
2．(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))求下列不等式的解集.
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)．
考點(diǎn)二 根據(jù)一元二次不等式解求參
【例2】(1)(2021·江蘇)已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集為{x|＜x＜2}，則不等式2x2+bx+a＜0的解集為(　　)
A．{x|＜x＜1} B．{ x|x＜或x＞}
C．{x|＜x＜} D．{x|x＜或x＞1}
(2)(2021·重慶市育才中學(xué)高一月考)關(guān)于的方程有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ).
A． B．
C． D．
(3)(2021·重慶市萬(wàn)州南京中學(xué)高一開學(xué)考試)如果方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·合肥一六八中學(xué)高一期末)關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為( )
A． B． C． D．
2．(2021·廣東湛江市·高一期末)已知不等式的解集為，則不等式的解集是( )
A． B．
C．或 D．或
3．(2021·江蘇)(多選)關(guān)于x的不等式的解集為，則下列正確的是( )
A．
B．關(guān)于x的不等式的解集為
C．
D．關(guān)于x的不等式的解集為
4．(2021·上海高一)已知方程有兩個(gè)負(fù)根，求的取值范圍．
5．(2021·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期末)若方程的三個(gè)根可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.
6．(2021·全國(guó)高二單元測(cè)試)已知方程,求使方程有兩個(gè)大于的實(shí)數(shù)根的充要條件．
考法三 含參數(shù)的一元二次不等式的解法
【例3】(2021·廣東)解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．
【一隅三反】
1．(2021·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期末)已知，關(guān)于x的不等式的解集為( )
A．或 B．
C．或 D．
2．(2021·全國(guó)高一)解關(guān)于的不等式.
3．(2021·安徽省臨泉第一中學(xué))解關(guān)于的不等式.
4．(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))解關(guān)于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
考法四 一元二次不等式恒成立
【例4】(1)(2021·陵川縣高級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校)不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是
(2)．(2021·浙江高一期末)若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是___．
(3)．(2021·全國(guó)高一)若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
(4)(2021·北京)若關(guān)于的不等式在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
【一隅三反】
1．(2021·北京高一其他模擬)已知不等式的解集為則的取值范圍是
2．(2021·全國(guó)高三專題練習(xí))若關(guān)于x的不等式x2－4x≥m對(duì)任意x∈(0，1]恒成立，則m的取值范圍為________．
3．(2021·江蘇揚(yáng)州市·揚(yáng)州中學(xué))不等式的解集是空集，則實(shí)數(shù)的范圍為
4．(2021·江西贛州市)若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。
考點(diǎn)五 實(shí)際問題
【例5】(2021·浙江湖州市·湖州中學(xué)高一月考)如圖所示，某學(xué)校要在長(zhǎng)為米，寬為米的一塊矩形地面上進(jìn)行綠化，計(jì)劃四周種花卉，花卉帶的寬度相同，均為米，中間植草坪.為了美觀，要求草坪的面積大于矩形土地面積的一半，則的取值范圍為________.
【一隅三反】
1．(2021·浙江高一期末)某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x(件)與單價(jià)P(元)之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C(元)，其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是
A． B． C． D．
2．(2020·河北滄州市·高一期中)某種雜志原以每本元的價(jià)格銷售，可以售出萬(wàn)本.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高元，銷售量就減少本.設(shè)每本雜志的定價(jià)為元，要使得提價(jià)后的銷售總收入不低于萬(wàn)元，則應(yīng)滿足( )
A． B． C． D．
3．(2020·吉林長(zhǎng)春市·長(zhǎng)春十一高高一期中)某地每年銷售木材約20萬(wàn)立方米，每立方米價(jià)格為2400元，為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬(wàn)立方米，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬(wàn)元，則的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
4．(2021·浙江)商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售．每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來(lái)增加利潤(rùn)．已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在320元以上，銷售價(jià)每件可定為( )
A．11元 B．16元
C．12元到16元之間 D．13元到15元之間
答案與解析
2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(精講)
考點(diǎn)一 解一元二次不等式
【例1】(2021·利辛縣闞疃金石中學(xué))解下列不等式：
(1)；(2).(3)(3)(4)(5)
【答案】(1)；(2).(3)；(4)(5).
【解析】(1)由可得，解原不等式可得.
因此，不等式的解集為；
(2)由可得，變形得，解原不等式可得或.
因此，不等式的解集為.
(3)化為，
，即，或，
原不等式的解集為．
由得，即，解得：或，所以不等式的解集是，
(5)化為，即，，且，
即(且)原不等式的解集為．
【一隅三反】
1．(2021·安徽亳州市)不等式的解集為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，解得，所以不等式的解集為.
故選：B
2．(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))求下列不等式的解集.
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)．
【答案】(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6)R..
【解析】(1)同解于：或，解得：或，
所以原不等式的解集為.
(2)可化為即或，
解得：或無(wú)解所以原不等式的解集為.
(3)可化為：，解得：，
所以原不等式的解集為.
(4)可化為：，所以，無(wú)解.所以原不等式的解集為.
(5)可化為： ，即或，
解得：或所以原不等式的解集為.
(6)．可化為：，所以,所以原不等式的解集為R.
考點(diǎn)二 根據(jù)一元二次不等式解求參
【例2】(1)(2021·江蘇)已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集為{x|＜x＜2}，則不等式2x2+bx+a＜0的解集為(　　)
A．{x|＜x＜1} B．{ x|x＜或x＞}
C．{x|＜x＜} D．{x|x＜或x＞1}
(2)(2021·重慶市育才中學(xué)高一月考)關(guān)于的方程有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ).
A． B．
C． D．
(3)(2021·重慶市萬(wàn)州南京中學(xué)高一開學(xué)考試)如果方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】(1)A(2)D(3)C
【解析】(1)不等式ax2﹣bx+2＞0的解集為{x|＜x＜2}，
所以，2是方程ax2-bx+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a＜0，
由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得；
所以不等式2x2+bx+a＜0化為2x2﹣x﹣1＜0，
解得＜x＜1；
所以不等式2x2+bx+a＜0的解集為{x|＜x＜1}．
故選：A．
(2)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△，，
的方程有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸所以，可得，或，，故選：．
(3)
因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，
所以可作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下：
由圖可得：，即：
解得：
故選C
【一隅三反】
1．(2021·合肥一六八中學(xué)高一期末)關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的解集是，，得，
則不等式，即，解得：，
所以不等式的解集是.故選：D
2．(2021·廣東湛江市·高一期末)已知不等式的解集為，則不等式的解集是( )
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】的解集為,則
的根為，即，，解得，
則不等式可化為，即為，
解得或，故選：A.
3．(2021·江蘇)(多選)關(guān)于x的不等式的解集為，則下列正確的是( )
A．
B．關(guān)于x的不等式的解集為
C．
D．關(guān)于x的不等式的解集為
【答案】ACD
【解析】A．由已知可得且是方程的兩根，A正確，
B．由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，解得，
則不等式可化為：，即，所以，B錯(cuò)誤，
C．因?yàn)?，C正確，
D．不等式可化為：，即，解得或，D正確，
故選：ACD．
4．(2021·上海高一)已知方程有兩個(gè)負(fù)根，求的取值范圍．
【答案】
【解析】設(shè)方程兩個(gè)負(fù)根分別為：， 因此有：
且且，
解得：，所以的取值范圍是.
5．(2021·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期末)若方程的三個(gè)根可以作為一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.
【答案】
【解析】方程有三根，
，有根，
方程的，得．
又原方程有三根，且為三角形的三邊和長(zhǎng)．
有，，而已成立；
當(dāng)時(shí)，兩邊平方得：．
即：．解得．
．
故答案為：
6．(2021·全國(guó)高二單元測(cè)試)已知方程,求使方程有兩個(gè)大于的實(shí)數(shù)根的充要條件．
【答案】
【解析】令，方程有兩個(gè)大于的實(shí)數(shù)根
，
解得
所以，方程,求使方程有兩個(gè)大于的實(shí)數(shù)根的充要條件為
考法三 含參數(shù)的一元二次不等式的解法
【例3】(2021·廣東)解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．
【答案】答案見解析
【解析】若a＝0，原不等式等價(jià)于－x＋1<0，解得x>1．
若a<0，原不等式等價(jià)于，解得或x>1．
若a>0，原不等式等價(jià)于．
①當(dāng)a＝1時(shí)，，無(wú)解；
②當(dāng)a>1時(shí)，，解，得；
③當(dāng)0綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，解集為或；
當(dāng)a＝0時(shí)，解集為{x|x>1}；
當(dāng)0當(dāng)a＝1時(shí)，解集為 ；
當(dāng)a>1時(shí)，解集為．
【一隅三反】
1．(2021·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期末)已知，關(guān)于x的不等式的解集為( )
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】不等式化為，
，，故不等式的解集為或.故選：A.
2．(2021·全國(guó)高一)解關(guān)于的不等式.
【答案】答案見解析.
【解析】不等式，
化為，
當(dāng)時(shí)，解得或，
當(dāng)時(shí)，解得R,
當(dāng)時(shí)，解得或，
綜上：當(dāng)時(shí)，不等式的解集是或；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集是R；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集是或；
3．(2021·安徽省臨泉第一中學(xué))解關(guān)于的不等式.
【答案】答案見解析
【解析】由題意可知，可化為
(1)當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，
(2)當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，
(3)當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得或，
(4)當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，
(5)當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得或，
綜上所述，時(shí)，不等式的解集為
時(shí)，不等式的解集為；
時(shí)，不等式的解集為；
時(shí)，不等式的解集為；
時(shí)，不等式的解集為;
4．(2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))解關(guān)于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.
【答案】答案見解析.
【解析】(1)當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式可化為－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集為{x|x<2}．
(2)當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可化為(ax－2)(x－2)>0，對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為x1＝，x2＝2.
①當(dāng)02，所以原不等式的解集為或；
②當(dāng)a＝1時(shí)，＝2，所以原不等式的解集為{x|x≠2}；
③當(dāng)a>1時(shí)，<2，所以原不等式的解集為或.
(3)當(dāng)a<0時(shí)，原不等式可化為(－ax＋2)(x－2)<0，對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為x1＝，x2＝2，
則<2，所以原不等式的解集為.
綜上，a<0時(shí)，原不等式的解集為；
a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x<2}；
0當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為或.
考法四 一元二次不等式恒成立
【例4】(1)(2021·陵川縣高級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校)不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是
(2)．(2021·浙江高一期末)若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是___．
(3)．(2021·全國(guó)高一)若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
(4)(2021·北京)若關(guān)于的不等式在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)不等式可變形為
由不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，
，即，解得故選：C
(2)因?yàn)椴坏仁綄?duì)一切恒成立，所以對(duì)一切恒成立，令，可知成立，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以.
(3)當(dāng)時(shí)，，此不等式無(wú)解；
當(dāng)，要使原不等式無(wú)解，應(yīng)滿足：，解得：.
(4)不等式等價(jià)于存在，使成立，即
設(shè) 當(dāng)時(shí)， 所以 .
【一隅三反】
1．(2021·北京高一其他模擬)已知不等式的解集為則的取值范圍是
【答案】
【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁樗?，解得，所以的取值范圍?br/>2．(2021·全國(guó)高三專題練習(xí))若關(guān)于x的不等式x2－4x≥m對(duì)任意x∈(0，1]恒成立，則m的取值范圍為________．
【答案】m≤－3
【解析】只需要在x∈(0，1]時(shí)，(x2－4x)min≥m即可．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－4x在(0，1]上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝1時(shí)，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3．
3．(2021·江蘇揚(yáng)州市·揚(yáng)州中學(xué))不等式的解集是空集，則實(shí)數(shù)的范圍為
【答案】
【解析】令，解得；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，無(wú)解，符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，
因?yàn)榈慕饧强占?，所以恒成立?br/>所以，解得，
4．(2021·江西贛州市)若不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。
【答案】
【解析】因?yàn)椴坏仁皆谏嫌薪猓圆坏仁皆谏嫌薪猓?br/>令，則，所以
考點(diǎn)五 實(shí)際問題
【例5】(2021·浙江湖州市·湖州中學(xué)高一月考)如圖所示，某學(xué)校要在長(zhǎng)為米，寬為米的一塊矩形地面上進(jìn)行綠化，計(jì)劃四周種花卉，花卉帶的寬度相同，均為米，中間植草坪.為了美觀，要求草坪的面積大于矩形土地面積的一半，則的取值范圍為________.
【答案】
【解析】設(shè)花卉帶寬度為米， 則中間草坪的長(zhǎng)為米，寬為米，
根據(jù)題意可得，
整理得：，
即，
解得或，
不合題意，舍去，
故所求花卉帶寬度的范圍為，
故答案為：.
【一隅三反】
1．(2021·浙江高一期末)某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x(件)與單價(jià)P(元)之間的關(guān)系為，生產(chǎn)x件所需成本為C(元)，其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)該廠每天獲得的利潤(rùn)為元，
則，，
根據(jù)題意知，，解得：，
所以當(dāng)時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)不少于元，故選．
2．(2020·河北滄州市·高一期中)某種雜志原以每本元的價(jià)格銷售，可以售出萬(wàn)本.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高元，銷售量就減少本.設(shè)每本雜志的定價(jià)為元，要使得提價(jià)后的銷售總收入不低于萬(wàn)元，則應(yīng)滿足( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為元，則提價(jià)后的銷售量為：萬(wàn)本，
因?yàn)殇N售的總收入不低于萬(wàn)元，
列不等式為：，
即，即，
故選：A.
3．(2020·吉林長(zhǎng)春市·長(zhǎng)春十一高高一期中)某地每年銷售木材約20萬(wàn)立方米，每立方米價(jià)格為2400元，為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬(wàn)立方米，為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬(wàn)元，則的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得，，整理可得
解得故選：B
4．(2021·浙江)商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售．每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來(lái)增加利潤(rùn)．已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在320元以上，銷售價(jià)每件可定為( )
A．11元 B．16元
C．12元到16元之間 D．13元到15元之間
【答案】C
【解析】設(shè)銷售價(jià)定為每件元,利潤(rùn)為元，
則，
由題意可得：，
即， 所以，
解得：，
所以每件銷售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間，
故選：C.

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