資源簡介

(共20張PPT)
4.2 數值計算
高中信息技術 必修1 數據與計算
第二課時 求解斐波那契數列
第4單元 計算與問題解決
學習目標
感受數據的圖形化表示。
設計解析式或迭代方程，進行數值計算，解決問題。
了解數值類算法在實際問題解決時的應用及常用方法。
4.2 數值計算
項目內容
人們對計算機的最初應用大多是數值計算，主要借助計算機運算速度快，精確度高的特點來解決各種數學問題，如函數計算、方程的求解、數列求和等都屬于數值計算。
借助計算機程序，可以解決很多數學方法所描繪的數值計算問題。本節我們將圍繞“與數學公式面對面”項目探討在中學數學領域中常見的數學公式與程序設計的有趣結合。
項目任務：
任務一 繪制數學函數曲線
任務二 求解斐波那契數列
本節任務
4.2 數值計算
任務：求解斐波那契數列
4.2 數值計算
活動1 用WPS求解數列
數學家斐波那契在《計算之書》中提出了一個有趣的兔子問題：
假設一對兔子每個月可以生一對小兔子，一對兔子出生后第2個月就開始生小兔子。則一對兔子一年內能繁殖成多少對？10年呢？
根據描述，
兔子的對數如圖所示：
任務：求解斐波那契數列
4.2 數值計算
活動1 用WPS求解數列
分析 從第3個月開始，每個月大兔子的對數等于上個月大兔子與小兔子的對數之和（即上個月兔子總對數），每個月小兔子的對數等于上個月大兔子的對數（即上個月兔子總對數）。
使用電子表格可以很方便的求解：
上機實踐1
任務：求解斐波那契數列
4.2 數值計算
活動1 用WPS求解數列
分析 從第3個月開始，每個月大兔子的對數等于上個月大兔子與小兔子的對數之和（即上個月兔子總對數），每個月小兔子的對數等于上個月大兔子的對數（即上個月兔子總對數）。
我們發現，當計算到第74個月的時候，由于數據范圍及表示精度的問題，導致結果出錯：
任務：求解斐波那契數列
4.2 數值計算
活動1 用WPS求解數列
分析 從第3個月開始，每個月大兔子的對數等于上個月大兔子與小兔子的對數之和（即上個月兔子總對數），每個月小兔子的對數等于上個月大兔子的對數（即上個月兔子總對數）。
借助電子表格軟件計算時，只能算到第74個月，而我們需要計算10年即第120個月的兔子數量。
下面，我們借助python語言進行求解。
知識探究——迭代法
第1個月和第2個月的兔子對數之和為第3個月的兔子對數
第2個月和第3個月的兔子對數之和為笫4個月的兔子對數
……
第118個月和第119個月的兔子對數之和為第120個月的兔子對數
每個月的兔子對數是前兩個月的兔子對數之和， 又同時作為下一個月兔子對數的加數。這種重復反饋的過程稱為迭代。
第n-2個月
第n-1個月
第n個月
第n-1個月
第n個月
第n+1個月
知識探究——迭代法
迭代法也稱輾轉法，是用計算機解決問題的一種基本方法。迭代通常是為了接近并到達所需的目標或結果。每一次對過程的重復被稱為一次＂迭代”，而每一次迭代得到的結果會被用來作為下一次迭代的初始值。
由于在迭代系列中的每個月份兔子對數只跟前兩個月有關，因此在編寫程序時，只需兩個變量f1記錄上上個月的數據，用f2記錄上個月的數據。
f1
f2
F1+f2
③
①
②
迭代計算的示意圖
任務：求解斐波那契數列
4.2 數值計算
活動2 用Python求解數列
def fib(n):
#迭代求Fibonacci數列
f2=f1=1
for i in range(3,n+1):
f1,f2=f2,f1+f2
return f2
n=int(input('輸入需要計算的月份數：'))
print('兔子總對數為：',fib(n))
input("運行完畢，請按回車鍵退出...")
上機實踐2
知識探究——迭代法
有三個關鍵步驟：
（1）確定迭代變量，如活動2中的fl、f2;
（2）建立迭代關系式；
（3）對迭代過程進行控制，這是編寫迭代程序必須考慮的問題， 不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。
利用迭代算法解決問題的步驟
拓展練習
嘗試用輾轉相除法求解兩個正整數的最大公約數。
輾轉相除法：用較大數除以較小數，再用出現的余數（第一余數）去除除數，再用出現的余數（第二余數）去除第一余數，如此反復，直到最后余數是0為止。如果是求兩個數的最大公約數，那么最后的除數就是這兩個數的最大公約數。
拓展練習
嘗試用輾轉相除法求解兩個正整數的最大公約數。
step1: 將兩數中大的那個數放在m中，小的放在n中。
step2: 求出m被n除后的余數r。
step3: 若余數為0則執行步驟(7)，否則執行步驟(4)。
step4: 把除數作為新的被除數；把余數作為新的除數。
step5: 求出新的余數r。
step6: 重復步驟(3)到(5)。
step7: 輸出n，n即為最大公約數。
拓展練習
嘗試用輾轉相除法求解兩個正整數的最大公約數。
num1=int(input('請輸入第一個正整數：'))
num2=int(input('請輸入第二個正整數：'))
m=max(num1,num2)
n=min(num1,num2)
r=m % n
while r!=0:
m=n
n=r
r=m % n
print('這兩個數的最大公約數為：',n)
input("運行完畢，請按回車鍵退出...")
上機實踐3
課堂測試
選擇題
通常是為了接近并達到所需的目標或結果，對過程進行重復，每一次重復得到的結果會被用來作為下一次的初始值。這種用計算機解決問題的一種基本方法是（ ）。
A．迭代法 B．查找法
C．分析法 D．排序法
課堂小結
現代自然科學和工程電子技術的研究過程中，都離不開大規模的數學計算問題。如：數學類課程中的線性方程求解、微分方程求解、概率統計等；實用性和實驗性技術應用中的模擬核試驗、油田開發、飛機設計等。
理解斐波那契數列。
理解迭代法。
拓展知識
拓展知識
編程求解一元多次方程
用牛頓迭代法求解x5+x4+x-3=0
1.選取x1=0作為方程的初始解(x0應選取在解附近，這個可以通過觀察函數圖像得到)；2.新解 ，其中f(x1)= x15+x14+x1-3,f'(x1)=5*x14+4*x13+1；
3.如果|x1-x2|<1e-10，則解為x2，否則x1=x2，跳轉到（2）。
拓展知識
練習：利用牛頓迭代法求解方程x5+x4+x-3=0。def f(x): #定義f(x)函數，計算f(x)=x**5+x**4+x-3 f=x**5+x**4+x-3 return fdef f1(x): #定義f1(x)函數，計算f'(x)= 5*x**4+4*x**3+1 f1=5*(x**4)+4*(x**3)+1 return f1x1=0.5 #x1,x2的初值只要確保|x1-x2|>1e-10就可以x2=1.5 #解系列初值print('迭代過程中的x值：')#根據迭代公式計算while abs(x1-x2)>1e-10: print(x2) x1=x2 x2=x1-f(x1)/f1(x1)print('近似解：',x1) #輸出最后解input("運行完畢，請按回車鍵退出...")
運行結果迭代過程中的x值：1.51.21978021978021991.0576440726974761.0048987207330281.00003812464892941.00000000232545361.0近似解：1.0運行完畢，請按回車鍵退出...
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