資源簡(jiǎn)介

3.2.1 單調(diào)性與最大(小)值(精講)
考點(diǎn)一 定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性
【例1】(2021·浙江高一期末)已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明其結(jié)論；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【一隅三反】
1．(2021·福建福州市·高一期末)已知函數(shù)，且.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義證明.
2．(2021·云南文山壯族苗族自治州·高一期末)已知函數(shù)其中為常數(shù)且滿足
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)證明：函數(shù)在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù).
考法二 性質(zhì)法判斷函數(shù)的單調(diào)性
【例2】(1)(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是( )
A． B． C． D．和
(2)(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)在區(qū)間(2，4)上( )
A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減
C．先減后增 D．先增后減
【一隅三反】
1．(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是( )
A．， B．
C． D．
2．(2021·青海西寧市)已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間是( )
A．和 B．
C．和 D．
3．(2021·四川省)下列函數(shù)中，在(－∞，0]內(nèi)為增函數(shù)的是(　　)
A．y＝x2－2 B．y＝
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2
考法三 分類常數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性
【例3】(2021·鄂爾多斯市第一中學(xué)高一期末(理))函數(shù)( )
A．在內(nèi)單調(diào)遞增 B．在內(nèi)單調(diào)遞減
C．在內(nèi)單調(diào)遞增 D．在內(nèi)單調(diào)遞減
【一隅三反】
1．(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)f(x)=在( )
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞減
C．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞減
2．(2020·全國高一單元測(cè)試)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)開__，單調(diào)遞減區(qū)間為____.
3．(2021·河南安陽市)函數(shù)
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減
考點(diǎn)四 圖像法判斷函數(shù)的單調(diào)性
【例4】(2021·廣東)作出下列函數(shù)的大致圖像，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5).
【一隅三反】
1．(2021·重慶市)如圖是定義在區(qū)間的函數(shù)，則的增區(qū)間是________.
2.(2021·全國高一)已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．增區(qū)間是 B．減區(qū)間是
C．增區(qū)間是 D．增區(qū)間是
3．(2021·安徽)函數(shù)f(x)=|x-2|的單調(diào)遞增區(qū)間是_____.
4．(2021·海南海口市)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.
考點(diǎn)五 根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)
【例5】(1)(2021·浙江高一期末)函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·云南麗江市·高一期末)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
(3)．(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))若f(x)=是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·廣西欽州市·高一期末)函數(shù)在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A． B． C． D．
2．(2021·浙江省淳安縣汾口中學(xué)高一開學(xué)考試)函數(shù)滿足條件：對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A． B．
C．且 D．
3．(2021·全國高一單元測(cè)試)如果在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值( )
A． B． C． D．
考點(diǎn)六 利用單調(diào)性解不等式
【例6】(2021·全國高一)已知,則不等式的解集為( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·深圳市高級(jí)中學(xué))已知函數(shù)是定義在的單調(diào)遞增函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )．
A． B．
C． D．
2．(2021·云南大理白族自治州·賓川四中高一開學(xué)考試)已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A． B． C． D．
3．(多選)(2021·浙江高一期末)已知函數(shù)，則下列x的范圍滿足不等式的是( )
A． B． C． D．
考點(diǎn)七 函數(shù)的最值
【例7】(1)(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)y＝在[2，3]上的最小值為( )
A．2 B．
C． D．－
(2)(2021·安徽六安市·六安一中高一期末)已知函數(shù)，則在區(qū)間上的最大值為( )
A． B．3 C．4 D．5
(3)(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)()在上的最大值為1，則的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【一隅三反】
1．(2021·上海浦東新區(qū)·高一期末)已知函數(shù)，，則此函數(shù)的值域是____.
2．(2021·內(nèi)蒙古通遼市·通遼實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末(文))函數(shù)的最大值是：( )
A． B． C． D．
3．(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))(多選)函數(shù) (x≠1)的定義域?yàn)閇2，5)，下列說法正確的是 ( )
A．最小值為 B．最大值為4
C．無最大值 D．無最小值
4．(2021·全國)函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開____
5．(2021·上海長寧區(qū)·高一期末)已知函數(shù)的最小值為-2，則實(shí)數(shù)a=________.
6．(2021·浙江湖州市·湖州中學(xué)高一月考)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)( )
A． B． C． D．或
答案與解析
3.2.1 單調(diào)性與最大(小)值(精講)
考點(diǎn)一 定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性
【例1】(2021·浙江高一期末)已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明其結(jié)論；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【答案】(1)函數(shù)在上是增函數(shù)，證明見解析；(2).
【解析】(1)函數(shù)在上是增函數(shù).
證明：任取，且，
，
，，
，即，
函數(shù)在上是增函數(shù)；
(2)由(1)知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
又，，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?
【一隅三反】
1．(2021·福建福州市·高一期末)已知函數(shù)，且.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義證明.
【答案】(1)1；(2)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析.
【解析】(1)由，得，所以.
(2)由(1)知，其定義域?yàn)椋?br/>在區(qū)間上單調(diào)遞減.
證明如下：
任取，且，
.
因?yàn)椋遥?br/>所以，，，
則，所以，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減.
2．(2021·云南文山壯族苗族自治州·高一期末)已知函數(shù)其中為常數(shù)且滿足
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)證明：函數(shù)在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù).
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【解析】(1)解：，解得，
的解析式為
(2)證明：任取，
則
即
故函數(shù)在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù).
考法二 性質(zhì)法判斷函數(shù)的單調(diào)性
【例2】(1)(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是( )
A． B． C． D．和
(2)(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)在區(qū)間(2，4)上( )
A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減
C．先減后增 D．先增后減
【答案】(1)D(2)C
【解析】(1)根據(jù)題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間和上都是減函數(shù)，但在定義域上不單調(diào)，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和.故選：D.
(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=3，此函數(shù)在區(qū)間(2，3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(3，4)上單調(diào)遞增.故選：C
【一隅三反】
1．(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是( )
A．， B．
C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)榈臏p區(qū)間為，
又的圖像是將的圖像向右平移一個(gè)單位得到，
即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，，故選A.
2．(2021·青海西寧市)已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間是( )
A．和 B．
C．和 D．
【答案】D
【解析】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，并且開口向上
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即D選項(xiàng)正確；故選：D
3．(2021·四川省)下列函數(shù)中，在(－∞，0]內(nèi)為增函數(shù)的是(　　)
A．y＝x2－2 B．y＝
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2
【答案】C
【解析】A中，因?yàn)閥＝x2－2在(－∞，0)上為減函數(shù)，所以A不對(duì)；
B中，因?yàn)閥＝在(－∞，0)上為減函數(shù)，所以B不對(duì)；
C中，∵y=1+2x在(－∞，+∞)上為增函數(shù)，故C正確；
D中，∵y＝－(x＋2)2的對(duì)稱軸是x=－2，∴在(-∞，－2)上為增函數(shù)，在(－2，+∞)上為減函數(shù)，故D不對(duì)．故選：C
考法三 分類常數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性
【例3】(2021·鄂爾多斯市第一中學(xué)高一期末(理))函數(shù)( )
A．在內(nèi)單調(diào)遞增 B．在內(nèi)單調(diào)遞減
C．在內(nèi)單調(diào)遞增 D．在內(nèi)單調(diào)遞減
【答案】C
【解析】因?yàn)椋瘮?shù)的圖象可由y＝－圖象沿x軸向右平移一個(gè)單位長度，再向上平移一個(gè)單位長度得到，如下圖所示．所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，
故選：C.
【一隅三反】
1．(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)f(x)=在( )
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞減
C．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞減
【答案】C
【解析】f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1}.f(x)==-1=-1，
因?yàn)楹瘮?shù)y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上單調(diào)遞增，由平移關(guān)系得，
f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增.故選：C.
2．(2020·全國高一單元測(cè)試)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)開__，單調(diào)遞減區(qū)間為____.
【答案】 和
【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?br/>任取且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)；同理，可得f(x)在(－∞，－1)上也為減函數(shù)，故的單減區(qū)間為和
故答案為：；和
3．(2021·河南安陽市)函數(shù)
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減
【答案】B
【解析】因?yàn)閿?shù)，所以，
因?yàn)椋院瘮?shù)在遞減，在上遞減，故選B.
考點(diǎn)四 圖像法判斷函數(shù)的單調(diào)性
【例4】(2021·廣東)作出下列函數(shù)的大致圖像，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5).
【答案】見解析
【解析】(1)，圖象如圖所示：
函數(shù)在和為減函數(shù)，因?yàn)椋裕手涤驗(yàn)椋海?br/>(2)，圖象如圖所示：
函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，故值域：；
(3)，圖象如圖所示：
函數(shù)在和為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
值域?yàn)椋?
(4)，圖象如圖所示：
函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù)，值域?yàn)椋海?br/>(5)，
函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù)，值域?yàn)椋?
【一隅三反】
1．(2021·重慶市)如圖是定義在區(qū)間的函數(shù)，則的增區(qū)間是________.
【答案】和
【解析】由圖可知：在、上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故答案為：和
2.(2021·全國高一)已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．增區(qū)間是 B．減區(qū)間是
C．增區(qū)間是 D．增區(qū)間是
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)；
綜合可得：在區(qū)間和上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故選：D.
3．(2021·安徽)函數(shù)f(x)=|x-2|的單調(diào)遞增區(qū)間是_____.
【答案】[2,+∞)
【解析】由圖象可知,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2,+∞).
4．(2021·海南海口市)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.
【答案】
【解析】由題意可知，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)恒為減函數(shù)，
綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故答案為：.
考點(diǎn)五 根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)
【例5】(1)(2021·浙江高一期末)函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·云南麗江市·高一期末)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
(3)．(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))若f(x)=是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】(1)D(2)D(3)D
【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)在和上單調(diào)遞減，由題意，在上單調(diào)，所以或，解得或，所以a的取值范圍為.
故選：D
(2)函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D
(3)因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞減的，
又是R上的單調(diào)函數(shù)，
所以在[1，+∞)上單調(diào)遞減，即a>0，
并且，解得，
綜上所述，a的取值范圍為.故選：D
【一隅三反】
1．(2021·廣西欽州市·高一期末)函數(shù)在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函數(shù)為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為
函數(shù)在單調(diào)遞增，則，解得.故選：A.
2．(2021·浙江省淳安縣汾口中學(xué)高一開學(xué)考試)函數(shù)滿足條件：對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A． B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】因?yàn)閷?duì)任意的，都有，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上可得；
故選：A
3．(2021·全國高一單元測(cè)試)如果在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，可得，在上是單調(diào)遞減，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，要使在上為減函數(shù)，
則，解得：，∴；
綜上： ，
故選：C．
考點(diǎn)六 利用單調(diào)性解不等式
【例6】(2021·全國高一)已知,則不等式的解集為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的圖象如下圖所示：
由圖象可知：在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕?br/>所以即，所以解集為：.
故選：C.
【一隅三反】
1．(2021·深圳市高級(jí)中學(xué))已知函數(shù)是定義在的單調(diào)遞增函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在的單調(diào)遞增函數(shù)，且，
所以，
解得或．
故選：C．
2．(2021·云南大理白族自治州·賓川四中高一開學(xué)考試)已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是減函數(shù)，且，
所以,解得,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.
3．(多選)(2021·浙江高一期末)已知函數(shù)，則下列x的范圍滿足不等式的是( )
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，畫出函數(shù)圖象如圖所示：
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
由得，
即
解得，
故選：B C D．
考點(diǎn)七 函數(shù)的最值
【例7】(1)(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)y＝在[2，3]上的最小值為( )
A．2 B．
C． D．－
(2)(2021·安徽六安市·六安一中高一期末)已知函數(shù)，則在區(qū)間上的最大值為( )
A． B．3 C．4 D．5
(3)(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)()在上的最大值為1，則的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】(1)B(2)C(3)B
【解析】(1)y＝在[2，3]上單調(diào)遞減，所以x=3時(shí)取最小值為，故選：B.
(2)在單調(diào)遞減，.故選：C.
(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)()在處取得最大值，最大值為，
解得．故選：B.
【一隅三反】
1．(2021·上海浦東新區(qū)·高一期末)已知函數(shù)，，則此函數(shù)的值域是____.
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即.
因此，函數(shù)，的值域?yàn)?
故答案為：.
2．(2021·內(nèi)蒙古通遼市·通遼實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末(文))函數(shù)的最大值是：( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，最大值為．
故選：A.
3．(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))(多選)函數(shù) (x≠1)的定義域?yàn)閇2，5)，下列說法正確的是 ( )
A．最小值為 B．最大值為4
C．無最大值 D．無最小值
【答案】BD
【解析】函數(shù)在[2，5)上單調(diào)遞減，即在x=2處取得最大值4，
由于x=5取不到，則最小值取不到．故選：BD
4．(2021·全國)函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開____
【答案】
【解析】由題：，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，
可以看成函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，作出圖象：
所以函數(shù)在遞減，在遞減，，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
故答案為：
5．(2021·上海長寧區(qū)·高一期末)已知函數(shù)的最小值為-2，則實(shí)數(shù)a=________.
【答案】
【解析】，所以該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：，
當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，
因此，顯然符合；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，顯然不符合；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，
因此，不符合題意，綜上所述：，
故答案為：
6．(2021·浙江湖州市·湖州中學(xué)高一月考)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)( )
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】函數(shù)，即，，
當(dāng)時(shí)，不成立；
當(dāng)，即時(shí)，在遞減，可得為最大值，
即，解得成立；
當(dāng)，即時(shí)，在遞增，可得為最大值，
即，解得不成立；
綜上可得．
故選：．

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