資源簡介

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專題03 不等關系與不等式性質（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 6
【考點1】比較數(式)的大小 6
【考點2】不等式的基本性質 10
【考點3】不等式性質的綜合應用 16
【分層檢測】 20
【基礎篇】 20
【能力篇】 25
【培優篇】 28
考試要求：
1.理解用作差法比較兩個實數大小的理論依據.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用.
1.兩個實數比較大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性質
(1)對稱性：a＞b b＜a；
(2)傳遞性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)同向可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可開方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.
2.有關分式的性質
(1)若a>b>0，m>0，則<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b <.
一、單選題
1．（2019·全國·高考真題）若a>b，則
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
2．（2024·陜西西安·模擬預測）下列說法錯誤的是（ ）
A．若正實數滿足，則有最小值4
B．若正實數滿足，則
C．的最小值為
D．若，則
二、多選題
3．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·遼寧·模擬預測）已知，下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是 .
6．（2024·河北承德·二模）已知等差數列（公差不為0）和等差數列的前項和分別為，如果關于的實系數方程有實數解，則以下1003個方程中，有實數解的方程至少有 個.
【考點1】比較數(式)的大小
一、單選題
1．（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·北京房山·一模）已知，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）已知,,則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列式子正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．若，則
6．（2024·全國·模擬預測）已知，且，則下列結論成立的是（ ）
A． B．
C．存在使得 D．若且，則
反思提升：
1.作差法一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結論.其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差.
2.作商法一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大?。?4)結論.
3.函數的單調性法：將要比較的兩個數作為一個函數的兩個函數值，根據函數單調性得出大小關系.
4.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.
【考點2】不等式的基本性質
一、單選題
1．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海長寧·二模）已知函數滿足：對任意，都有．
命題：若是增函數，則不是減函數；
命題：若有最大值和最小值，則也有最大值和最小值．
則下列判斷正確的是（ ）
A．和都是真命題 B．和都是假命題
C．是真命題，是假命題 D．是假命題，是真命題
二、多選題
3．（2021·江蘇揚州·模擬預測）已知兩個不為零的實數，滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北襄陽·模擬預測）我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關系，如由在點處的切線寫出不等式，進而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式體現了數學之美.運用類似方法推導，下面的不等式正確的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
5．（2023·山西大同·模擬預測）已知，，，，則的最小值為 ．
6．（2024·北京豐臺·一模）目前發射人造天體，多采用多級火箭作為運載工具．其做法是在前一級火箭燃料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統加速到一定的速度時將人造天體送入預定軌道．現有材料科技條件下，對于一個級火箭，在第級火箭的燃料耗盡時，火箭的速度可以近似表示為，
其中．
注：表示人造天體質量，表示第（）級火箭結構和燃料的總質量．
給出下列三個結論：
①；
②當時，；
③當時，若，則．
其中所有正確結論的序號是 ．
反思提升：
解決此類題目常用的三種方法：
(1)直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件；
(2)利用特殊值法排除錯誤答案；
(3)利用函數的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數、對數、冪函數等函數的單調性進行判斷.
【考點3】不等式性質的綜合應用
一、單選題
1．（2024·浙江杭州·模擬預測）設集合，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江蘇南通·模擬預測）設實數，，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·河南洛陽·模擬預測）設實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·云南紅河·一模）已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·湖南邵陽·二模）已知，若恒成立，則實數的取值范圍是 .
6．（2024·河南·模擬預測）以表示數集中最大的數．設，已知或，則的最小值為 ．
反思提升：
利用不等式性質可以求某些代數式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）是的（ ）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·北京西城·一模）設，其中，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）將橢圓上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標伸長為原來的倍得到橢圓，設的離心率分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4．（2020·湖南永州·三模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．若且，則，至少有一個大于2
B．，
C．若，，則
D．的最小值為2
6．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
7．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
三、填空題
8．（19-20高一上·北京密云·期末）已知a，b∈R，給出下面三個論斷：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題： ．
9．（2024·吉林·模擬預測）請寫出一個冪函數滿足以下條件：①定義域為；②為增函數；③對任意的，，都有，則 ．
10．（2022·上海·模擬預測），，則的最小值是 .
四、解答題
11．（23-24高一上·江蘇連云港·階段練習）（1）已知，求的取值范圍.
（2）比較與的大小，其中.
12．（21-22高三·貴州貴陽·階段練習）已知實數，，滿足．
(1)若，求證：；
(2)若，，求的最小值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·一模）我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發的新材料水滴角測試結果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，，則（ ）
附：橢圓上一點處的切線方程為.
A． B．
C． D．和的大小關系無法確定
二、多選題
2．（2024·安徽池州·模擬預測）下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
三、填空題
3．（2024·浙江·模擬預測）對定義一種新運算，規定：（其中均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：，已知，若關于的不等式組恰好有3個整數解，則實數的取值范圍是 .
四、解答題
4．（2024·四川德陽·三模）已知a、b、c、d均為正數，且．
(1)證明:若，則;
(2)若，求實數 t 的取值范圍．
【培優篇】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知，當時，恒成立，則b的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（22-23高二下·廣東廣州·期末）已知函數，下列選項正確的是（ ）
A．有最大值
B．
C．若時，恒成立，則
D．設為兩個不相等的正數，且，則
三、填空題
3．（22-23高一上·江蘇常州·階段練習）定義：為實數中較大的數．若，則的最小值為 ．
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專題03 不等關系與不等式性質（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 6
【考點1】比較數(式)的大小 6
【考點2】不等式的基本性質 10
【考點3】不等式性質的綜合應用 16
【分層檢測】 20
【基礎篇】 20
【能力篇】 25
【培優篇】 28
考試要求：
1.理解用作差法比較兩個實數大小的理論依據.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用.
1.兩個實數比較大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性質
(1)對稱性：a＞b b＜a；
(2)傳遞性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)同向可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可開方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.
2.有關分式的性質
(1)若a>b>0，m>0，則<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b <.
一、單選題
1．（2019·全國·高考真題）若a>b，則
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
2．（2024·陜西西安·模擬預測）下列說法錯誤的是（ ）
A．若正實數滿足，則有最小值4
B．若正實數滿足，則
C．的最小值為
D．若，則
二、多選題
3．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·遼寧·模擬預測）已知，下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是 .
6．（2024·河北承德·二模）已知等差數列（公差不為0）和等差數列的前項和分別為，如果關于的實系數方程有實數解，則以下1003個方程中，有實數解的方程至少有 個.
參考答案：
1．C
【分析】本題也可用直接法，因為，所以，當時，，知A錯，因為是增函數，所以，故B錯；因為冪函數是增函數，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯．
【詳解】取，滿足，，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，，知D錯，排除D，因為冪函數是增函數，，所以，故選C．
【點睛】本題主要考查對數函數性質、指數函數性質、冪函數性質及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養，利用特殊值排除即可判斷．
2．D
【分析】對于A，利用即可證明，再給出取等的情況即可得到A正確；對于B，利用即可證明，得到B正確；對于C，利用換元法與對勾函數單調性判斷；對于D，驗證當，時不等式不成立，得到D錯誤.
【詳解】對于A，若正實數滿足，則，而當時，有，，從而的最小值是，故A正確；
對于B，若正實數滿足，則，故B正確；
對于C，設，則，由對勾函數單調性得最小值是，故C正確；
對于D，當，時，有，但，故D錯誤.
故選：D.
3．BC
【分析】根據基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．
【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；
因為變形可得，設，所以，因此
，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．
故選：BC．
4．AC
【分析】對于A：根據不等式的性質分析判斷；對于BD：舉反例說明即可；對于C：結合指數函數單調性分析判斷.
【詳解】對于選項A：因為，可得，故A正確；
對于選項B：例如滿足，但，故B錯誤；
對于選項C：因為在上單調遞增，且，所以，故C正確；
對于選項D：例如滿足，
但，即，故D錯誤；
故選：AC.
5．
【分析】先得到，并根據得到，從而求出.
【詳解】因為，故，
由得，解得，
故.
故答案為：
6．
【分析】依題意，由等差數列的性質及求和公式得到，想要有實根，則，結合根的判別式與基本不等式得，中至少一個成立，同理得到，中至少一個成立，，，中至少一個成立，且，即可解決問題.
【詳解】由題意得，，
又因為，，
代入得，要使方程有實數解，則，
顯然第個方程有解，設方程與方程的判別式分別為，
則
即，等號成立的條件，
所以，中至少一個成立，
同理可得，中至少一個成立，，，中至少一個成立，且，
綜上，在所給的1003個方程中，有實根的方程最少個，
故答案為：.
【考點1】比較數(式)的大小
一、單選題
1．（2024·北京豐臺·二模）若，且，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·北京房山·一模）已知，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）已知,,則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）已知，則下列式子正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全國·模擬預測）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．若，則
6．（2024·全國·模擬預測）已知，且，則下列結論成立的是（ ）
A． B．
C．存在使得 D．若且，則
參考答案：
1．D
【分析】舉反例即可求解ABC，根據不等式的性質即可求解D.
【詳解】由于，取，，，無法得到，，故AB錯誤，
取,則，無法得到，C錯誤，
由于，則，所以，
故選：D
2．D
【分析】根據不等式的性質即可判斷A；根據冪函數單調性可判斷B；根據指數函數的性質即可判斷C；利用作差法即可判斷D.
【詳解】對于A，因為，所以，故A結論正確；
對于B，當時，因為冪函數在上單調遞增，所以，故B結論正確；
對于C，因為，所以，
而函數為減函數，所以，故C結論正確；
對于D，，
因為，所以，
所以，所以，故D結論錯誤.
故選：D.
3．BC
【分析】兩式平方再作差,利用基本不等式即可得大小關系,進而得選項A,B正誤,兩式相除,由于,將分子分母同時除以,再利用基本不等式即可求出其范圍.
【詳解】解:由題知,
所以,
當且僅當時取等,
因為,所以,
即,故,
即選項A錯誤,選項B正確;
因為,
所以,
當且僅當,即時取等,
所以可得,
故選項C正確,選項D錯誤.
故選:BC
4．ABC
【詳解】根據不等式的性質可得A、B的正誤；根據基本不等式可得C的正誤；利用作差法可得D的正誤.
【分析】由，得，所以，A正確．
因為，所以，所以0，所以，B正確．
因為，所以，當且僅當時取等號，
所以，C正確．
因為，所以，D錯誤．
故選：ABC．
5．ACD
【分析】設，由對數運算及單調性判斷ACD，特值法判斷B.
【詳解】因為，設
對A，知，易知.選項A正確.
對C，因為，，，所以，，，
于是，選項C正確.
對D，若，則，即，則.
由知.選項D正確.
對B，取，則，而，此時，選項B錯誤.
故選：ACD.
6．ABD
【分析】由不等式的性質即可判斷A，可以得出且，結合基本不等式即可判斷B，由不等式性質得，由此即可判斷C，由基本不等式得，進一步注意到，由此即可判斷D.
【詳解】對于A，由及，得，所以，A正確．
對于B，由及，得，所以．同理可得．
又，所以，所以，B正確．
對于C，由及，得，所以，得，
所以，得，C錯誤．
對于D，由，得．由，得．
因為，所以，所以，D正確．
故選：ABD．
反思提升：
1.作差法一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結論.其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差.
2.作商法一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大??；(4)結論.
3.函數的單調性法：將要比較的兩個數作為一個函數的兩個函數值，根據函數單調性得出大小關系.
4.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.
【考點2】不等式的基本性質
一、單選題
1．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海長寧·二模）已知函數滿足：對任意，都有．
命題：若是增函數，則不是減函數；
命題：若有最大值和最小值，則也有最大值和最小值．
則下列判斷正確的是（ ）
A．和都是真命題 B．和都是假命題
C．是真命題，是假命題 D．是假命題，是真命題
二、多選題
3．（2021·江蘇揚州·模擬預測）已知兩個不為零的實數，滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北襄陽·模擬預測）我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關系，如由在點處的切線寫出不等式，進而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式體現了數學之美.運用類似方法推導，下面的不等式正確的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
5．（2023·山西大同·模擬預測）已知，，，，則的最小值為 ．
6．（2024·北京豐臺·一模）目前發射人造天體，多采用多級火箭作為運載工具．其做法是在前一級火箭燃料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統加速到一定的速度時將人造天體送入預定軌道．現有材料科技條件下，對于一個級火箭，在第級火箭的燃料耗盡時，火箭的速度可以近似表示為，
其中．
注：表示人造天體質量，表示第（）級火箭結構和燃料的總質量．
給出下列三個結論：
①；
②當時，；
③當時，若，則．
其中所有正確結論的序號是 ．
參考答案：
1．B
【分析】利用方程組以及不等式的性質計算求解.
【詳解】設，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D錯誤.
故選：B.
2．C
【分析】利用函數單調性定義結合已知判斷命題p的真假，再利用函數最大、最小值的意義借助不等式性質判斷命題q的真假而得解.
【詳解】對于命題：設，因為是上的增函數，所以，
所以，
因為，
所以
所以
故函數不是減函數，
故命題為真命題；
對于命題在上有最大值，此時，有最小值，此時，
因為，
所以，
所以有界，但不一定有最大值和最小值，故命題為假命題．
故選：C
【點睛】結論點睛：含絕對值不等式轉化方法：a>0時，；或.
3．AC
【分析】對四個選項一一驗證：
對于A：利用為增函數直接證明；
對于B：取特殊值判斷；
對于C：若時，利用同向不等式相乘判斷；若時，有，直接判斷；若時，利用不等式的乘法性質進行判斷
對于D：取特殊值判斷；
【詳解】對于A：因為兩個不為零的實數，滿足，所以，而為增函數，所以，即；故A正確；
對于B：可以取，則有，所以；故B不正確；
對于C：若時，則有根據同向不等式相乘得：，即成立；
若時，有，故成立；
若時，則有，，因為，所以，即成立；
故C正確；
對于D：可以取，則有，所以；故D不正確；
故選：AC
【點睛】（1）判斷不等式是否成立：①利用不等式的性質或定理直接證明；②取特殊值進行否定，用排除法；
（2）多項選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項一一驗證．
（3）要證明一個命題是真命題，需要嚴格的證明；要判斷一個命題是假命題，只需要舉一個反例否定就看可以了.
4．BC
【分析】通過取特殊值確定AD錯誤，通過證明當時，，由此證明B，通過證明時，，由此證明C.
【詳解】選項：，當時不成立，A錯誤
B選項：等價于，
故要證明只需證明，且，
只需證明，只需證明，
故考慮構造函數，則，
當時，，函數在上單調遞減，
當時，，函數在上單調遞增，
所以當時，，即，當且僅當時取等號，
當時，，
將中的替換為，
可得，即，
所以，，，，
所以，B選項正確
選項，設，則，
當時，，函數在上單調遞增，
當時，，函數在上單調遞減，
所以當時，，即，當且僅當時取等號，
將中的替換為，因為，
所以
所以，
又，
所以，
當時，，
故，C正確；
選項：因為，D錯誤，
故選：BC.
【點睛】在進行類比推理時，要盡量從本質上去類比，不要被表面現象所迷惑；否則只抓住一點表面現象甚至假象就去類比，就會犯機械類比的錯誤．
5．
【分析】由已知可得，結合基本不等式求的最小值，再求的最小值.
【詳解】因為，，
所以，又，，
所以，當且僅當時取等號．
所以，當且僅當時取等號．
所以的最小值為.
故答案為：.
6．②③
【分析】只需證明每個都大于1即可判斷①錯誤；直接考慮時的表達式即可判斷②正確；時，將條件轉化為關于的等式，再得到一個不等關系，即可證明，推出③正確.
【詳解】首先，對，有，故，，這推出.
由于，故每個都大于1，從而，①錯誤；
由于當時，有，故②正確；
由于當時，，若，則.
從而，故.
這意味著，即，從而我們有
.等號成立當且僅當，
故，即，即，
分解因式可得，再由即知，故，③正確.
故答案為：②③.
【點睛】關鍵點點睛：判斷第三問的關鍵是得到條件等式，結合基本不等式即可順利得解.
反思提升：
解決此類題目常用的三種方法：
(1)直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件；
(2)利用特殊值法排除錯誤答案；
(3)利用函數的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數、對數、冪函數等函數的單調性進行判斷.
【考點3】不等式性質的綜合應用
一、單選題
1．（2024·浙江杭州·模擬預測）設集合，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江蘇南通·模擬預測）設實數，，滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2023·河南洛陽·模擬預測）設實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·云南紅河·一模）已知，，且，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2024·湖南邵陽·二模）已知，若恒成立，則實數的取值范圍是 .
6．（2024·河南·模擬預測）以表示數集中最大的數．設，已知或，則的最小值為 ．
參考答案：
1．C
【分析】由不等式性質可知，當時，取得最大值8，利用對進行放縮，然后結合基本不等式可得的最小值為4，得集合A；解一元二次不等式求出集合B，然后由交集運算可得答案.
【詳解】因為，所以，得，
又，所以，
當時，取得最大值8；
又，所以，
當且僅當時等號成立，所以的最小值為4，
所以.
由解得，
所以.
故選：C
2．B
【分析】根據題意進行轉化，利用完全平方式的性質即可得解.
【詳解】由可得：
，
當時取等號，
所以的最小值為.
故選：B
3．AC
【分析】根據不等式的性質，變形求解.
【詳解】，兩式相乘得，所以，A正確；
由題得，又，兩式相乘得，所以，B錯誤；
因為，所以兩式相乘得，C正確；
因為，所以兩式相乘得，D錯誤．
故選：AC
4．BC
【分析】對于選項AB：根據已知結合基本不等式將已知等式中的或轉化，即可解不等式得出答案；對于選項CD：將要求的式子通過完全平方或分式運算轉化為或，即可根據選項AB求出的范圍根據不等式的性質或一元二次函數的值域得出要求的式子的范圍.
【詳解】對于A：由，得，當且僅當時，等號成立，解得，即，故A不正確；
對于B：由，得，當且僅當時，等號成立即，解得，或（舍去），故B正確；
對于C：，
令，，即，故C正確；
對于D，，令，，即，故D不正確，
故選：BC．
5．
【分析】
根據題意，將原不等式分離參數，然后換元，由函數的單調性可得最值，即可得到結果.
【詳解】
原不等式等價于，
令.
令，且，
則在上單調遞減，
.
故的范圍是.
故答案為：
6．/0.2
【分析】利用換元法可得，進而根據不等式的性質，分情況討論求解.
【詳解】令其中，
所以，
若，則，故，
令，
因此,故,則，
若，則，即，
，
則,故,則，
當且僅當且時等號成立，
如取時可滿足等號成立，
綜上可知的最小值為，
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法，在和前提下進行合理分類討論，根據題意得到相對應的不等式組，注意題目的條件關鍵詞是“或”.
反思提升：
利用不等式性質可以求某些代數式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）是的（ ）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024·北京西城·一模）設，其中，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）將橢圓上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標伸長為原來的倍得到橢圓，設的離心率分別為，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4．（2020·湖南永州·三模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
5．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．若且，則，至少有一個大于2
B．，
C．若，，則
D．的最小值為2
6．（2024·福建龍巖·一模）下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
7．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
三、填空題
8．（19-20高一上·北京密云·期末）已知a，b∈R，給出下面三個論斷：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題： ．
9．（2024·吉林·模擬預測）請寫出一個冪函數滿足以下條件：①定義域為；②為增函數；③對任意的，，都有，則 ．
10．（2022·上?！つM預測），，則的最小值是 .
四、解答題
11．（23-24高一上·江蘇連云港·階段練習）（1）已知，求的取值范圍.
（2）比較與的大小，其中.
12．（21-22高三·貴州貴陽·階段練習）已知實數，，滿足．
(1)若，求證：；
(2)若，，求的最小值．
參考答案：
1．B
【分析】利用不等式的性質，分別判斷充分性和必要性.
【詳解】由不等式的性質可知， 時一定有成立，
而成立時，若就不能推出.
所以是的充分不必要條件.
故選：B.
2．C
【分析】借助正負性、對勾函數的性質及二次函數的性質判斷即可得.
【詳解】由，故，故，
由對勾函數性質可得，
，且，
綜上所述，有.
故選：C.
3．B
【分析】由已知，可得，由表示出，即可判斷.
【詳解】由題意知，橢圓，上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標伸長為原來的倍得到橢圓，
則，
若，則，
則，所以，則.
若，則；
若，則可能出現，即橢圓焦點在y軸上的情況，
此時，，均可能出現.
故選：B.
4．B
【解析】根據指數函數的單調性，可以判斷的大??；根據作商法可得,可得答案.
【詳解】是減函數，
，即，
而，即，
，
故選：B
5．AC
【分析】根據逆否命題的真假性即可判斷A，根據冪的運算性質即可判斷B，根據不等式的性質即可判斷C,根據對勾函數的單調性即可判斷D.
【詳解】對于A,若，均不大于2，則 ，則 ，故，則，至少有一個大于2為真命題，故A正確，
對于B, B. ，，故 B錯誤，
對于C,由得，由得，所以，故C正確，
對于D，由于 ，函數 在單調遞增，故，D錯誤，
故選:AC
6．AC
【分析】對A和C利用不等式性質即可判斷，對B和D舉反例即可反駁.
【詳解】對A，因為，則兩邊同乘得，兩邊同乘得，
則，故A正確；
對B，當時，，故B錯誤；
對C，因為，則，又因為，所以，故C正確；
對D，舉例，則，而，
此時兩者相等，故D錯誤.
故選：AC.
7．BD
【分析】
利用舉反例和不等式得性質進行判斷.
【詳解】當為負數時A可能不成立，例如但是錯誤的.
因為根據不等式性質可得正確.
因為，所以所以即所以故C錯誤.
因為，所以，
所以正確.
故選：BD
8．若a＞b，a＜0且b＜0，則＜（或若＜，a＜0且b＜0，則a＞b）
【分析】直接利用不等式性質得到答案.
【詳解】若a＞b，a＜0且b＜0，則＜，
證明：，，故；，，故，
則，故.
故答案為：若a＞b，a＜0且b＜0，則＜.
【點睛】本題考查了不等式性質，屬于簡單題.
9．（答案不唯一）
【分析】根據冪函數的性質可寫出一個符合①②的冪函數，利用作差法說明其也滿足③，即可得答案.
【詳解】由題意可知的定義域為，且在上為增函數；
下面證明該函數滿足③：
取任意的，，
，
則，
當且僅當時取等號，
即，即滿足③，
故答案為：
10．/
【分析】分析可得，利用不等式的基本性質可求得的最小值.
【詳解】設，則，解得，
所以，，
因此，的最小值是.
故答案為：.
11．（1）； （2）.
【分析】根據不等式的基本性質，逐個運算，即可求解.
【詳解】（1）解：由不等式，可得，
因為，所以，即的取值范圍為.
（2）解：由，，
因為，所以，
故.
12．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據不等性質變形證明不等式；
（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，進而得解.
【詳解】（1）證明：由，且，得，，
故，所以，
所以，即；
（2）解：由且，得，且，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·全國·一模）我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發的新材料水滴角測試結果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，，則（ ）
附：橢圓上一點處的切線方程為.
A． B．
C． D．和的大小關系無法確定
二、多選題
2．（2024·安徽池州·模擬預測）下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
三、填空題
3．（2024·浙江·模擬預測）對定義一種新運算，規定：（其中均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：，已知，若關于的不等式組恰好有3個整數解，則實數的取值范圍是 .
四、解答題
4．（2024·四川德陽·三模）已知a、b、c、d均為正數，且．
(1)證明:若，則;
(2)若，求實數 t 的取值范圍．
參考答案：
1．A
【分析】運用圓和橢圓的切線方程分別求得、，結合可判斷兩者大小.
【詳解】由題意知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為，如圖所示，
則，解得，
所以，
若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，設橢圓方程為，如圖所示，
則切點坐標為，
則橢圓上一點的切線方程為，
所以橢圓的切線方程的斜率為，
將切點坐標代入切線方程可得，解得，
所以，
又因為，
所以，即，
所以.
故選：A.
2．BCD
【分析】對A，舉反例說明；對B，作差因式分解判斷；對C，由，得，可判斷；對D，利用基本不等式求解判斷.
【詳解】對于A，當時，不成立，故A錯誤；
對于B，由，得，所以，故B正確；
對于C，由，得，所以，故C正確；
對于D，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，
故D正確．
故選：BCD.
3．
【分析】根據已知得出關于的方程組，求出，再代入不等式組求出解集，再根據已知條件得到取值范圍.
【詳解】因為，
所以，解得，
所以，，
因為不等式組恰有3個整數解，
所以，
故答案為：.
4．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據給定條件，利用不等式性質推理即得.
（2）結合已知可得，再利用基本不等式求解即得.
【詳解】（1）由均為正數，，得，又，
則，所以.
（2）顯然，
而均為正數，則，
又，當時取等號，
而，因此，，
所以實數 t 的取值范圍.
【培優篇】
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預測）已知，當時，恒成立，則b的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（22-23高二下·廣東廣州·期末）已知函數，下列選項正確的是（ ）
A．有最大值
B．
C．若時，恒成立，則
D．設為兩個不相等的正數，且，則
三、填空題
3．（22-23高一上·江蘇常州·階段練習）定義：為實數中較大的數．若，則的最小值為 ．
參考答案：
1．A
【分析】轉化問題為，恒成立，令，，結合導數分析其單調性，從而求得最值，可得，，進而結合不等式的基本性質求解即可.
【詳解】由題意，即，恒成立，
即，
即，
即．
令，，
則，
令，得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增．
又，，，
且，即，
所以的最小值為，最大值為．
由知，，，
設，
即，
則，解得，，
所以，
因為，，
所以，
，
則，
即，
所以b的最大值為.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于將問題轉化為，恒成立，進而結合導數分析其最值，最后結合不等式的基本性質求解.
2．ACD
【分析】
對于A：求導，利用導數判斷原函數的單調性和最值；對于B：利用作差法比較大小；對于C：利用定點分析判斷；對于D：利用極值點偏離分析證明.
【詳解】對于選項A：由題意可得：函數的定義域為，且，
令，解得；令，解得；
則函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以有最大值，故A正確；
對于選項B：因為，
則，
所以，故B錯誤；
對于選項C：構建，則，
因為，且當時，恒成立，
則，解得，
若，則當時恒成立，
則在上單調遞減，則，符合題意
綜上所述：符合題意，故C正確；
對于選項D：因為，
整理得，即，
由選項A可知：函數在上單調遞增，在上單調遞減，
當x趨近于0時，趨近于0，且令，解得，
不妨設，
構建，
因為在上恒成立，
則在上單調遞增，可得，
所以，即，
可得，
注意到在上單調遞減，且，
所以，即，故D正確；
故選：ACD.
【點睛】
方法點睛：利用導數證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構造新的函數；
（3）利用導數研究的單調性或最值；
（4）根據單調性及最值，得到所證不等式．
特別地：當作差或變形構造的新函數不能利用導數求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數的最值問題．
3．
【分析】先根據的范圍，討論的大小關系，在每種情況中分別用均值不等式和不等式的性質確定的范圍，即可得解．
【詳解】設，
則由題意可得，
因為，所以
①當時，，
只需考慮，
所以，，
所以，可得，當且僅當時取等號；
②當時，，只需考慮，
所以，
可得，當且僅當時取等號.
綜上所述，的最小值為2.
故答案為：2.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是在利用均值不等式和不等式的性質時，特別注意同向不等式的應用和均值不等式成立的條件.
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