資源簡介

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專題01 集合（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】集合的基本概念 7
【考點2】集合間的基本關系 10
【考點3】集合的運算 13
【分層檢測】 17
【基礎篇】 17
【能力篇】 23
【培優篇】 26
考試要求：
1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系，能在自然語言、圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合.
2.理解集合間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.
3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.
4.理解兩個集合的并集、交集與補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、交集與補集.
5.能使用Venn圖表達集合間的基本關系與基本運算.
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和 .
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常用數集及記法
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或N＋ Z Q R
2.集合間的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A?B(或B?A).
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
(4)空集的性質： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
集合的并集 集合的交集 集合的補集
符號表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補集為 UA
圖形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4.集合的運算性質
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）設集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
5．（2023·全國·高考真題）設全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全國·高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·高考真題）設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國·高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全國·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全國·高考真題）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全國·高考真題）設集合，則（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·全國·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
參考答案：
1．B
【分析】
根據包含關系分和兩種情況討論，運算求解即可.
【詳解】因為，則有：
若，解得，此時，，不符合題意；
若，解得，此時，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
2．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據交集的運算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．
【詳解】方法一：因為，而，
所以．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故選：C．
3．A
【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結果是否為即可.
【詳解】由題意可得，則，選項A正確；
，則，選項B錯誤；
，則或，選項C錯誤；
或，則或，選項D錯誤；
故選：A.
4．B
【分析】
根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.
【詳解】
依題意，等差數列中，，
顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
5．A
【分析】根據整數集的分類，以及補集的運算即可解出．
【詳解】因為整數集，，所以，．
故選：A．
6．D
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：D
7．A
【分析】先寫出集合,然后逐項驗證即可
【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤
故選:
8．D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.
【詳解】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
9．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因為，故，故選：B.
[方法二]：【最優解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；
方法二：根據選擇題特征，利用特殊值代入驗證，是該題的最優解．
10．B
【分析】利用交集的定義可求.
【詳解】由題設有，
故選：B .
11．B
【分析】根據交集定義運算即可
【詳解】因為，所以,
故選：B.
【點睛】本題考查集合的運算，屬基礎題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補的基本概念即可求解.
12．C
【分析】分析可得，由此可得出結論.
【詳解】任取，則，其中，所以，，故，
因此，.
故選：C.
【考點1】集合的基本概念
一、單選題
1．（23-24高三上·河南·階段練習）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東濟南·二模）已知集合的元素之和為1，則實數a 所有取值的集合為（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
二、多選題
3．（2021·江西·模擬預測）下列命題正確的是（ ）
A． B．集合的真子集個數是4
C．不等式的解集是 D．的解集是或
4．（2024·遼寧遼陽·一模）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知集合，若，則實數 .
6．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實數的取值集合為 ．
參考答案：
1．A
【分析】解指數不等式化簡集合，用列舉法表示集合，再進行并集運算即可.
【詳解】由題意知，
，
所以.
故選：A.
2．D
【分析】根據集合中元素和為1，確定一元二次方程的根，即可得出的取值集合.
【詳解】因為集合的元素之和為1，
所以一元二次方程有等根時，可得，即，
當方程有兩不相等實根時，，即，
綜上，實數a 所有取值的集合為.
故選：D
3．AC
【分析】A. 利用集合相等判斷；B.根據集合的真子集定義判斷；C.利用一元二次不等式的解法判斷；D.利用分式不等式的解法判斷.
【詳解】A. ，故正確；
B.集合的真子集個數是3，故錯誤；
C.不等式的解集是，故正確；
D. 的解集是或，
故選：AC
4．BCD
【分析】求出集合，根據集合的運算即可判斷A，B；結合，可判斷C；由，結合判別式，可求得a的范圍，即可判斷D.
【詳解】由題意得，
故，，A錯誤，B正確；
由于，故，則，C正確；
若，則能取到所有的正數，
即，則或，
即，D正確，
故選：BCD
5．
【分析】根據得或，分類討論結合集合中元素的互異性求解即可.
【詳解】由，可得或，
當時，集合不滿足集合的互異性；
當時，或1（舍去），集合，符合題意.
綜上，.
故答案為：.
6．
【分析】
根據，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.
【詳解】由題意，所以或，則或，
所以實數的取值集合為.
故答案為：.
反思提升：
1.研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集合是數集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義.
2.利用集合元素的限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.
【考點2】集合間的基本關系
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）滿足且的集合的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·全國·模擬預測）已知集合，．若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·甘肅定西·一模）設集合，則（ ）
A．
B．的元素個數為16
C．
D．的子集個數為64
4．（23-24高一上·重慶永川·期中）下列說法正確的是（ ）
A．集合，，，若則或
B．設全集為，若，則
C．集合
D．“和都是無理數”是“是無理數”的必要不充分條件
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知全集，集合，．若，則的最大值為 ．
6．（2021·山東淄博·模擬預測）已知數列為等差數列，數列為等比數列．若集合，集合，集合（，），且，則 ．
參考答案：
1．B
【分析】根據交集的結果，以及子集的關系，確定集合中的元素，即可求解集合的個數.
【詳解】由可得：，，.又因為，
所以或.
故選：B
2．D
【分析】根據對數函數單調性求集合A，由題意可知，即可得結果.
【詳解】由題意可得，
因為，則，所以．
故選：D．
3．BCD
【分析】解二次不等式化簡集合，進而求得集合，利用集合的交并運算與常用數集的定義，結合集合子集個數的求法逐一分析各選項即可得解.
【詳解】對于ABC，因為，
所以，即，
所以有個元素，故A錯誤，BC正確；
對于D，而有個元素，所以的子集個數為，故D正確.
故選：BCD.
4．BC
【分析】對于A：由，得出或等于2，分別求解，然后驗證互異性即可判斷為錯；對于B：由集合間的包含關系和補集的概念判斷正確；對于C：令集合中的，即可判定為正確；對于D，取特值即可判定為錯誤.
【詳解】對于A：由，
若或1，
當時，不滿足互異性，舍去，當時，，不滿足互異性，舍去；
若或2，
當時，合題意，當時，，合題意，
故或2，A錯誤；
對于B：若，則，B正確；
對于C：令集合中的，得，故C正確；
對于D：不是無理數，若為無理數，可取，和不都是無理數，故“和都是無理數”是“是無理數”的既不充分也不必要條件，故D錯.
故選：BC.
5．
【分析】先求集合，對分類討論，并結合，數形結合求出的取值范圍，注意端點值能否取到．
【詳解】因為，
當時，，若，則．
在數軸上表示出集合，，如圖，
則；
當時，，此時不成立，
當時，，此時不成立．
綜上，的最大值為．
故答案為：
6．5
【解析】根據題意判斷出，根據等比數列的性質可得，根據等差數列的性質，列出等式（或），求出即可.
【詳解】由，其中，，
可得，則，令，或可得，①
令中的，根據等差數列的性質可得，
所以，②
根據①②得出，所以；
令中的，根據等差數列的性質可得，
所以，③
根據①③得出，所以；
同理令中的，根據等差數列的性質可得，
所以，與①聯立可；
令中的，根據等差數列的性質可得，
所以，與①聯立可；綜上所述.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查等差數列、等比數列的性質與集合相等，關鍵點是判斷出，根據等比數列的性質可得，根據等差數列的性質，列出等式（或），考查學生分析問題、解決問題的能力.
反思提升：
1.若B A，應分B＝ 和B≠ 兩種情況討論.
2.已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區間端點間的關系，進而求得參數范圍.注意合理利用數軸、Venn圖幫助分析及對參數進行討論.求得參數后，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.
【考點3】集合的運算
一、單選題
1．（2024·河北·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，則（ ）．
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·北京·模擬預測）設是中兩個子集，對，定義：，若對任意，，則的關系為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）已知表示集合的整數元素的個數，若集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·甘肅·二模）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調查機構，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機抽取了若干人進行調查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數據如圖，則圖中 ； ； .
6．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）設表示不超過的正整數集合，表示k個元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，則 ；若，則m的最大值為 ．
參考答案：
1．A
【分析】解不等式得到不等式，求出交集.
【詳解】，，
故.
故選：A
2．B
【分析】先化簡集合A，B，再利用并集的運算求解.
【詳解】解：因為，
，
所以．
故選：B．
3．AC
【分析】根據題意，由時，，或時，求解.
【詳解】解：因為，且對任意，，
所以m，n的值一個為0，另一個為1，即時，，或時，，
所以的關系為或，
故選；AC
4．BC
【分析】分別求解集合，再根據選項依次判斷.
【詳解】，得，所以，
，，，所以，
所以，，，
，其中只有BC正確；
故選：BC
5．
【分析】根據韋恩圖，結合看每部電影的人數可構造方程組求得結果.
【詳解】由題意得：，解得：.
故答案為：；；.
6． 22
【分析】根據定義，結合等差數列的前項和公式進行求解即可.
【詳解】當時，表示有2個元素的集合，，
因為，且有2個元素，
所以或或，所以；
由題中定義可知：，
于是由
，
而，
即，又因為，
所以m的最大值為，
故答案為：；
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是理解題中定義，運用等差數列的前項和公式.
反思提升：
1.進行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算.
2.數形結合思想的應用：
(1)離散型數集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；
(2)連續型數集的運算，常借助數軸求解，運用數軸時要特別注意端點是實心還是空心.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）若集合，，則集合的真子集的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·陜西·二模）集合，，則的子集個數為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．2
3．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·廣東深圳·二模）對于任意集合，下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（22-23高一下·湖南邵陽·開學考試）若對任意，，則稱為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·廣西·二模）若集合和關系的Venn圖如圖所示，則可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
7．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
8．（2024·遼寧·二模）已知集合，集合，寫出滿足的一個實數的值 ．
9．（2024·山西晉城·二模）已知集合，，若，則的子集的個數為 ．
10．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，若中有2個元素，則實數a的取值范圍是 ．
四、解答題
11．（2023·安徽·模擬預測）已知集合.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值范圍.
12．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預測）已知集合，集合．
(1)若，求實數m的取值范圍；
(2)命題，命題，若p是q成立的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．
參考答案：
1．D
【分析】先求集合A，確定即可求解.
【詳解】因為，，所以，
所以集合的真子集的個數為.
故選:D.
2．A
【分析】求出的元素個數，即可得出其子集個數.
【詳解】由題意可得，所以，共兩個元素，
所以其子集的個數為.
故選：A．
3．D
【分析】根據題意，由集合的運算結合的定義，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，
，
則,，
由集合的運算可知，表示中去掉的部分，
所以.
故選：D
4．B
【分析】利用韋恩圖進行判斷即可得到結果.
【詳解】
對于：如圖所知，為區域①，所以，故錯誤；
對于：為區域①和③；為區域③，為區域①，則也為為區域①和③；兩邊相等，故正確；
對于：為區域①，為區域①，不等于區域②（區域②為），故錯誤；
對于：為區域①和③；而為區域③，為區域①，所以為空集，所以錯誤；
故選：.
5．ABD
【分析】根據“影子關系”集合的定義逐項分析即可.
【詳解】根據“影子關系”集合的定義，
可知，，為“影子關系”集合，
由，得或，當時，，故不是“影子關系”集合．
故選：ABD
6．ACD
【分析】根據Venn圖可知 ，依次判定選項即可.
【詳解】根據Venn圖可知 ，
對于A，顯然 ，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，，則 ，故C正確；
對于D，，或，
則 ，故D正確.
故選：ACD
7．CD
【分析】由成立的充要條件求出對應的參數的范圍，結合充分不必要條件的定義即可得解.
【詳解】當且僅當是的子集，當且僅當，即，
對比選項可知使得成立的充分不必要條件有，.
故選：CD.
8．1（答案不唯一）
【分析】由已知得出，設，結合圖象列出不等式組求解即可．
【詳解】因為，所以，
設，則的整數解為，
則，，且，解得，
故答案為：1．
9．8
【分析】由求得，求得集合，進而求得，結合元素個數可得結果.
【詳解】由可知，則，可得，解得：，
所以，即.
,
所以，則的子集的個數為.
故答案為：8
10．
【分析】根據交集的運算及集合中的元素的個數，列不等式求解即可.
【詳解】因為，，若中有2個元素，
所以，所以，解得，
則實數a的取值范圍是.
故答案為：.
11．(1)；
(2).
【分析】（1）依題先求出A集合，再判斷A、B集合的包含關系，即可得
（2）先判斷出是A的真子集，再考慮B是否為空集兩種情況考慮
【詳解】（1）由題意知，
因為，所以，
則，解得，則實數的取值范圍是；
（2）因為“”是“”的必要不充分條件，所以是A的真子集，
當時，解得；
當時，（等號不能同時取得），解得，
綜上，.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據一元二次不等式化簡，即可由交集為空集，分情況討論，
（2）根據真子集，即可列不等式求解.
【詳解】（1）由得，
由，
①若，即時，，符合題意；
②若，即時，需或，解得．
綜上，實數m的取值范圍為．
（2）由已知A是B的真子集，知，且兩個端點不同時取等號，解得．
由實數m的取值范圍為．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·福建廈門·二模）設集合，，那么集合中滿足的元素的個數為（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
二、多選題
2．（2022·河北衡水·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若在上為增函數，則的值可能為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
三、填空題
3．（2024·河南信陽·二模）已知集合，，那么 ．
四、解答題
4．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知數列的各項均為正整數，設集合，，記的元素個數為.
(1)若數列A:1，3，5，7，求集合，并寫出的值;
(2)若是遞減數列，求證:“”的充要條件是“為等差數列”;
(3)已知數列，求證:.
參考答案：
1．D
【分析】明確集合中滿足的含義，結合組合數的計算，即可求得答案.
【詳解】由題意知集合中滿足的元素的個數，
即指中取值為-1或1的個數和為1或2或3，
故滿足條件的元素的個數為（個），
故選：D
2．AB
【分析】根據給定條件求出函數的解析式，進而求出的含有數0的單調區間，再借助集合的包含關系列式作答.
【詳解】依題意，，由，得：，
于是得的一個單調遞增區間是，因在上為增函數，
因此，，即有，解得，
所以，選項C，D不滿足，選項A，B滿足.
故選：AB
3．
【分析】首先由函數定義域化簡集合，求復雜分式、根式函數的值域得集合，結合集合的交集、補集概念即可求解.
【詳解】要使得有意義，則，解得，即集合，
若有意義，則，且，
而且，所以且，
所以或，從而，.
故答案為：.
4．(1).
(2)證明見解析；
(3)證明見解析
【分析】（1）根據題意，結合集合的新定義，即可求解；
（2）若為等差數列，且是遞減數列，得到，結合，證得充分性成立；再由是遞減數列，得到，結合互不相等，得到，得到必要性成立，即可得證；
（3）根據題意，得到，得出，得到，不妨設，則，推得為奇數，矛盾，進而得證.
【詳解】（1）解：由題意，數列，
可得，
所以集合，所以.
（2）證明：充分性：若為等差數列，且是遞減數列，則的公差為，
當時，，所以，
則，故充分性成立.
必要性:若是遞減數列，，則為等差數列，
因為是遞減數列，所以，
所以，且互不相等，
所以，
又因為，
所以且互不相等，
所以，
所以，
所以為等差數列，必要性成立.
所以若是遞減數列，“”的充要條件是“為等差數列”.
（3）證明：由題意集合中的元素個數最多為個，
即，
對于數列，此時，
若存在，則，其中，
故，
若，不妨設，則，而，
故為偶數，為奇數，矛盾，
故，故，故由得到的彼此相異，所以.
【培優篇】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）若函數滿足對都有，且為R上的奇函數，當時，，則集合中的元素個數為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
二、多選題
2．（21-22高三上·江蘇徐州·階段練習）函數的定義域為，值域為，下列結論中一定成立的結論的序號是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
3．（2024·遼寧·模擬預測）若集合，滿足都是的子集，且，，均只有一個元素，且，稱為的一個“有序子集列”，若有5個元素，則有多少個“有序子集列” .
參考答案：
1．C
【分析】根據已知可推出函數周期性，單調性以及函數值情況，由此可作出函數的圖象，將問題轉化為函數圖象的交點問題解決.
【詳解】由為R上的奇函數,
①，
又 ②，
由②－①為周期為2的周期函數,
而又，
當時當時,．
又當時，單調遞增，且．
故可作出函數 的大致圖象如圖：
而集合A中的元素個數為函數與圖象交點的個數，
由以上分析結合函數性質可知，3為集合A中的一個元素，
且y=f（x）與在（1，3），（3，5），...，（23，25）中各有一個交點，
∴集合中的元素個數為13．
故選：C．
2．ACD
【分析】先研究值域為時函數的定義域，再研究使得值域為得函數的最小值的自變量的取值集合，研究函數值取1，2時對應的自變量的取值，由此可判斷各個選項.
【詳解】由于，
，，，，
即函數的定義域為
當函數的最小值為1時，僅有滿足，所以，故D正確；
當函數的最大值為2時，僅有滿足，所以，故C正確；
即當時，函數的值域為，故，故不一定正確，故A正確，B錯誤；
故選：ACD
【點睛】關鍵點睛：本題考查函數的定義域及其求法，解題的關鍵是通過函數的值域求出函數的定義域，再利用元素與集合關系的判斷，集合的包含關系判斷，考查了學生的邏輯推理與轉化能力，屬于基礎題.
3．960
【分析】結合韋恩圖，根據題意先選擇3個元素均分給，，三個位置，在排剩余元素，結合組合數和分步乘法計數原理運算求解.
【詳解】因為，，均只有一個元素，且，作出韋恩圖，

則從的5個元素中選擇3個元素均分給，，三個位置，共有種不同排法，
剩余2個元素，每個均有4個位置可以排，共有有種不同排法；
所以“有序子集列”共有個.
故答案為：960.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是將集合問題轉化為元素分配問題，先排重疊部分，再排剩余元素即可.
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專題01 集合（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 7
【考點1】集合的基本概念 7
【考點2】集合間的基本關系 10
【考點3】集合的運算 13
【分層檢測】 17
【基礎篇】 17
【能力篇】 23
【培優篇】 26
考試要求：
1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系，能在自然語言、圖形語言的基礎上，用符號語言刻畫集合.
2.理解集合間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.
3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.
4.理解兩個集合的并集、交集與補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、交集與補集.
5.能使用Venn圖表達集合間的基本關系與基本運算.
1.元素與集合
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和 .
(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
(4)常用數集及記法
名稱 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
記法 N N*或N＋ Z Q R
2.集合間的基本關系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A?B(或B?A).
(3)相等：若A B，且B A，則A＝B.
(4)空集的性質： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
集合的并集 集合的交集 集合的補集
符號表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補集為 UA
圖形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4.集合的運算性質
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設集合，，若，則（ ）．
A．2 B．1 C． D．
2．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）設集合，集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·高考真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
5．（2023·全國·高考真題）設全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全國·高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全國·高考真題）設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國·高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全國·高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全國·高考真題）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全國·高考真題）設集合，則（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·全國·高考真題）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【考點1】集合的基本概念
一、單選題
1．（23-24高三上·河南·階段練習）設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山東濟南·二模）已知集合的元素之和為1，則實數a 所有取值的集合為（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
二、多選題
3．（2021·江西·模擬預測）下列命題正確的是（ ）
A． B．集合的真子集個數是4
C．不等式的解集是 D．的解集是或
4．（2024·遼寧遼陽·一模）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知集合，若，則實數 .
6．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實數的取值集合為 ．
反思提升：
1.研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集合是數集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義.
2.利用集合元素的限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數時，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性.
【考點2】集合間的基本關系
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）滿足且的集合的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·全國·模擬預測）已知集合，．若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2024·甘肅定西·一模）設集合，則（ ）
A．
B．的元素個數為16
C．
D．的子集個數為64
4．（23-24高一上·重慶永川·期中）下列說法正確的是（ ）
A．集合，，，若則或
B．設全集為，若，則
C．集合
D．“和都是無理數”是“是無理數”的必要不充分條件
三、填空題
5．（2024·全國·模擬預測）已知全集，集合，．若，則的最大值為 ．
6．（2021·山東淄博·模擬預測）已知數列為等差數列，數列為等比數列．若集合，集合，集合（，），且，則 ．
反思提升：
1.若B A，應分B＝ 和B≠ 兩種情況討論.
2.已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區間端點間的關系，進而求得參數范圍.注意合理利用數軸、Venn圖幫助分析及對參數進行討論.求得參數后，一定要把端點值代入進行驗證，否則易增解或漏解.
【考點3】集合的運算
一、單選題
1．（2024·河北·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，則（ ）．
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（2023·北京·模擬預測）設是中兩個子集，對，定義：，若對任意，，則的關系為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全國·模擬預測）已知表示集合的整數元素的個數，若集合，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2022·甘肅·二模）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調查機構，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機抽取了若干人進行調查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數據如圖，則圖中 ； ； .
6．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）設表示不超過的正整數集合，表示k個元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，則 ；若，則m的最大值為 ．
反思提升：
1.進行集合運算時，首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算.
2.數形結合思想的應用：
(1)離散型數集或抽象集合間的運算，常借助Venn圖求解；
(2)連續型數集的運算，常借助數軸求解，運用數軸時要特別注意端點是實心還是空心.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）若集合，，則集合的真子集的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·陜西·二模）集合，，則的子集個數為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．2
3．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·廣東深圳·二模）對于任意集合，下列關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（22-23高一下·湖南邵陽·開學考試）若對任意，，則稱為“影子關系”集合，下列集合為“影子關系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·廣西·二模）若集合和關系的Venn圖如圖所示，則可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
7．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
8．（2024·遼寧·二模）已知集合，集合，寫出滿足的一個實數的值 ．
9．（2024·山西晉城·二模）已知集合，，若，則的子集的個數為 ．
10．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，若中有2個元素，則實數a的取值范圍是 ．
四、解答題
11．（2023·安徽·模擬預測）已知集合.
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數的取值范圍.
12．（2023·黑龍江佳木斯·模擬預測）已知集合，集合．
(1)若，求實數m的取值范圍；
(2)命題，命題，若p是q成立的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·福建廈門·二模）設集合，，那么集合中滿足的元素的個數為（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
二、多選題
2．（2022·河北衡水·模擬預測）將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，若在上為增函數，則的值可能為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
三、填空題
3．（2024·河南信陽·二模）已知集合，，那么 ．
四、解答題
4．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知數列的各項均為正整數，設集合，，記的元素個數為.
(1)若數列A:1，3，5，7，求集合，并寫出的值;
(2)若是遞減數列，求證:“”的充要條件是“為等差數列”;
(3)已知數列，求證:.
【培優篇】
一、單選題
1．（2022·全國·模擬預測）若函數滿足對都有，且為R上的奇函數，當時，，則集合中的元素個數為（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
二、多選題
2．（21-22高三上·江蘇徐州·階段練習）函數的定義域為，值域為，下列結論中一定成立的結論的序號是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
3．（2024·遼寧·模擬預測）若集合，滿足都是的子集，且，，均只有一個元素，且，稱為的一個“有序子集列”，若有5個元素，則有多少個“有序子集列” .
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