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第9章 分式 全章熱門考點(diǎn)專練（5個(gè)知識(shí)方法專題個(gè)3思想方法專題）
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【知識(shí)清單】
知識(shí)方法專題
分式的相關(guān)概念
【例題1】（22-23七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）要使分式有意義，則的取值應(yīng)滿足（ ）
A．或 B．且 C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分式的分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．
【詳解】解：由題意，得
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式有意義的條件，熟記分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵
【變式1】（22-23七年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）若分式的值為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】根據(jù)分式的分母不能為0得出，再根據(jù)分式的值為負(fù)數(shù)得出，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
，
分式的值為負(fù)數(shù)，
，
，
的取值范圍是且，
故答案為：且．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式有意義的條件、分式值為負(fù)數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵
【變式2】（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）（1）取何值時(shí)，分式的值為零？無(wú)意義？
（2）當(dāng)?shù)扔谑裁磿r(shí)，分式的值為零．
【答案】（1）、3，（2）3
【分析】（1）根據(jù)分式的值為零的條件，分式無(wú)意義的條件，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；
（2）根據(jù)分式的值為零的條件，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：（1）要使分式的值為0，則
，
解得：，
要使分式無(wú)意義，則，
解得：；
（2）要使分式的值為0，則
，
解得：．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式值為0的條件和分式無(wú)意義的條件，特別分式的值為0時(shí)，注意分子為0，分母不為0
【變式3】（2023七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，分式總有意義，求m的取值范圍．
小明對(duì)此題剛寫(xiě)了如下的部分過(guò)程，便有事離開(kāi)．
解：
(1)請(qǐng)將小明對(duì)此題的解題過(guò)程補(bǔ)充完整；
(2)利用小明的思路，解決下列問(wèn)題：無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，分式都有意義，求m的取值范圍．
【答案】(1)補(bǔ)全過(guò)程見(jiàn)分析
(2)
【分析】（1）根據(jù)分式有意義的條件可知，分式總有意義，就是分母不為零，即只需要即可，根據(jù)求解即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的解題過(guò)程即可同理求解得到無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，分式都有意義時(shí)m的取值范圍．
【詳解】（1）解：
根據(jù)無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，分式總有意義，
∴只要當(dāng)，即可滿足題意
∴
（2）解：由（1）可知
，
根據(jù)無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，分式總有意義
∴只要當(dāng)，即可滿足題意
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義條件的綜合應(yīng)用，涉及到完全平方公式及不等式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵
分式的運(yùn)算
【例題2】（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）下列分式計(jì)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)分式的乘法和分式的乘方計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：A．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．，故選項(xiàng)正確；
C．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可
【變式1】（2023七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）括號(hào)內(nèi)應(yīng)填 ．
【答案】
【分析】直接將原式轉(zhuǎn)化為分式，用因式分解將分式化簡(jiǎn)求解即可．
【詳解】解：因?yàn)?br/>故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查分式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是將分式因式分解后化簡(jiǎn)
【變式2】（22-23七年級(jí)上·湖北武漢·期末）已知非零有理數(shù)x、y滿足．
(1)若x是方程的解，求y的值；
(2)求的值．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本題考查了解絕對(duì)值方程，解一元一次方程，分式的加減：
（1）解一元一次方程求得x的值，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，分和兩種情況，得到關(guān)于y的方程，求解即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，分和兩種情況，再將所得方程代入分式化簡(jiǎn)即可．
【詳解】（1）解：x是方程的解，
，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，即，解得，
綜上，或；
（2）解：非零有理數(shù)x、y滿足，
當(dāng)時(shí)，即，
；
當(dāng)時(shí)，即，
；
的值為或
【變式3】（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）互為相反數(shù)，第二項(xiàng)的分母提取負(fù)號(hào)，化為同分母，直接根據(jù)同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算：分母不變，分子相加減；
（2）最簡(jiǎn)公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）把看成是一項(xiàng)，為，再通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（4）最簡(jiǎn)公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加減混合運(yùn)算，熟練掌握分式的加減混合運(yùn)算法則及因式分解是解題的關(guān)鍵
解分式方程
【例題3】（22-23七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B．或0 C．或0 D．
【答案】B
【分析】將分式方程去分母，化為整式方程，分別討論當(dāng)和兩種情況，求出x的值，檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：去分母得：，
當(dāng)時(shí)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，即或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)分式方程無(wú)解，
綜上所述，或．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，利用了分類討論的思想，主要最后要驗(yàn)根
【變式1】（22-23七年級(jí)下·廣西百色·期末）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是通常的實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：，則方程的解是 ．
【答案】
【分析】已知方程利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
∵，
∴，
去分母得：，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
∴方程的解是．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵
【變式2】（22-23七年級(jí)上·上海楊浦·期末）解方程：．
【答案】
【分析】本題考查解分式方程．將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：去分母，得：，
去括號(hào)，得：，
移項(xiàng)，合并，得：；
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
∴方程的解為：
【變式3】（22-23七年級(jí)下·黑龍江七臺(tái)河·期末）（1）解方程：；
（2）因式分解：．
【答案】（1）；（2））
【分析】本題考查了綜合提公因式和用平方差公式分解因式，解分式方程．
（1）兩邊都乘以把分式方程化為整式方程，解得，檢驗(yàn)后即可得到答案，去分母把分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）
兩邊都乘以得，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
∴是分式方程的解．
（2）
分式方程的增根
【例題4】（22-23七年級(jí)下·青海西寧·期末）若解關(guān)于x的方程時(shí)產(chǎn)生增根，那么常數(shù)m的值為( )
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了解分式方程、增根的定義，先通過(guò)去分母，將分式方程化為整式方程，再根據(jù)增根的定義得出的值，然后將其代入整式方程即可求的m．
【詳解】解：方程兩邊都乘以，得：
，
，
∵方程有增根，
∴，
∴，
故選：D
【變式1】（22-23七年級(jí)下·浙江溫州·期末）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)增根的定義求出x，去分母后把求得的x代入即可求出a的值．
【詳解】解：∵分式方程有增根，
∴，
∴，
原分式方程去分母得，
把代入得，
∴，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于的值，不是原分式方程的解
【變式2】（22-23七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知
(1)若該方程有增根，求a的取值
(2)若該方程的解為正數(shù)，求a的取值
【答案】(1)或6
(2)且
【分析】（1）先把a(bǔ)當(dāng)做已知數(shù)，求分式方程的解，再根據(jù)增根的定義，即可解答；
（2）根據(jù)（1）中求的x的解，以及該方程的解為正數(shù)，列出不等式，再根據(jù)分式有意義的條件，即可解答．
【詳解】（1）解：
去分母，得，
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)合并，得，
化系數(shù)為為1，得，
∵該方程有增根，
∴或，
即 或，
解得：或6；
（2）解：∵方程的解為正數(shù)，
∴，
解得：，
∵當(dāng)或6時(shí)，方程有增根，
∴且．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法和步驟，以及使分式方程分母為0的未知數(shù)的值，是分式方程的增根
【變式3】（22-23七年級(jí)下·浙江嘉興·期末）已知關(guān)于的方程，其中，均為整數(shù)且．
(1)若方程有增根，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？
(2)若是方程的解，求的值．
【答案】(1)
(2)或或8
【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即為增根；
（2）將代入求得，根據(jù)題意可得或或，分別帶入求得的值即可．
【詳解】（1）解：由分式方程有增根，得到，
解得：，
將分式方程化為整式方程：，
整理得：，
將代入得：，
即若方程有增根，則．
（2）解：∵是方程的解，
將代入得：，
整理得：，
∴，
∴，且
∵，均為整數(shù)且，
∴或2或（舍去）或，
當(dāng)時(shí)，即，；
當(dāng)時(shí)，即，；
當(dāng)時(shí)，即
當(dāng)時(shí)，即，；
當(dāng)時(shí)，即，；
綜上，的值為或或8．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解題的關(guān)鍵是①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值
分式方程的應(yīng)用
【例題5】（22-23七年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期末）某口罩廠共有45名員工，每名員工每天可以生產(chǎn)200個(gè)面罩或800個(gè)耳繩．已知一個(gè)面罩需要配兩個(gè)耳繩，每天生產(chǎn)的面罩和耳繩需剛好配套，設(shè)安排名員工生產(chǎn)耳繩，則下面所列方程正確的是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)安排名員工生產(chǎn)耳繩，則每天可生產(chǎn)個(gè)耳繩，生產(chǎn)罩面為，則每天可生產(chǎn)罩面，即可得出關(guān)于x的分式方程即可解答．
【詳解】設(shè)安排名員工生產(chǎn)耳繩，則每天可生產(chǎn)個(gè)耳繩，
生產(chǎn)罩面為，則每天可生產(chǎn)罩面，
由題可得：，
即：．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程
【變式1】（23-24七年級(jí)上·廣東江門·開(kāi)學(xué)考試）汽車從甲地到乙地，先上坡后下坡共用了3小時(shí)．當(dāng)汽車從乙地返回甲地，上坡速度和下坡速度都不變時(shí)，要用3.5小時(shí)．如果此汽車從乙地返回甲地時(shí)，用上坡速度駛完全程，則需要4小時(shí)．那么當(dāng)汽車以下坡速度駛完從乙地返回甲地的全程，需要 小時(shí)．
【答案】//
【分析】根據(jù)行程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，將題意中的等量關(guān)系用等式表示，根據(jù)等式性質(zhì)，利用已知的等式變形處理求解．
【詳解】解：設(shè)從甲地到乙地上坡距離為，下坡距離為，上坡速度為，下坡速度為，由題意知，
，，
，
，．
故需要小時(shí)．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查行程問(wèn)題，列代數(shù)式，等式的性質(zhì)；利用等式的性質(zhì)對(duì)已知等式變形是解題的關(guān)鍵
【變式2】（2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）A，B兩種機(jī)器人都被用來(lái)搬運(yùn)化工原料，A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)，A型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間相等，兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少化工原料？
【答案】B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)化工原料，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)化工原料．
【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量關(guān)系列方程，注意得到方程的解需要檢驗(yàn)．設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)化工原料，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)化工原料．根據(jù)“A型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間相等，”列方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)化工原料，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)化工原料．
依題意可得：，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
則（）．
答：B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)化工原料，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)化工原料
【變式3】（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）寧波楊梅季，本地慈溪楊梅在寧波人的心中是一種家鄉(xiāng)的味道．今年是楊梅大年，某楊梅種植大戶為了能讓居民品嘗到物美價(jià)廉的楊梅，對(duì)1000斤的楊梅進(jìn)行打包方式優(yōu)惠出售，打包方式及售價(jià)如下：圓籃每籃8斤，售價(jià)160元；方籃每籃18斤，售價(jià)270元．假如用這兩種打包方式恰好全部裝完這1000斤楊梅．
(1)若銷售a籃圓籃和a籃方籃共收入8600元，求a的值；
(2)當(dāng)銷售總收入為16760元時(shí)，
①若這批楊梅全部售完，請(qǐng)問(wèn)圓籃共包裝了多少籃，方籃共包裝了多少籃？
②若楊梅大戶留下b（b＞0）籃圓籃送人，其余的楊梅全部售出，求b的值；
(3)為了讓更多的人及時(shí)吃到楊梅，幾家種植大戶聯(lián)合，一起拼車用大、中兩種快遞送貨車運(yùn)送方形籃楊梅720籃，大車每車比中車每車多送30籃，若一半楊梅用大車送貨，一半楊梅用中車裝．運(yùn)送完這批楊梅大中貨車運(yùn)送車次比為，求每輛大、中貨車各運(yùn)送方形楊梅幾籃？
【答案】(1)a的值為20
(2)①圓籃共包裝了44籃，則方籃共包裝36 籃；②b的值為9或18
(3)每輛大貨車運(yùn)送方形楊梅120籃，每輛中貨車運(yùn)送方形楊梅90籃
【分析】（1）根據(jù)收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可；
（2）①設(shè)圓籃共包裝了x籃，則方籃共包裝y 籃，根據(jù)等量關(guān)系可得出方程組，解出即可；②設(shè)此時(shí)出售了m籃圓籃，n籃方籃楊梅，根據(jù)等量關(guān)系可得出關(guān)于m和n的方程組，根據(jù)n為正整數(shù)，可以求出b的大致范圍以及b為9的倍數(shù)，從而得到b的值；
（3）每輛大貨車運(yùn)送方形楊梅p籃，則每輛中貨車運(yùn)送方形楊梅籃，再根據(jù)運(yùn)送完這批楊梅大中貨車運(yùn)送車次比為列方程組求解即可．
【詳解】（1）解：由題意，得，
解得：，
答：a的值為20．
（2）解：①設(shè)圓籃共包裝了x籃，方籃共包裝y 籃，
由題意，得，
解得：，
答：圓籃共包裝了44籃，則方籃共包裝36 籃．
②設(shè)此時(shí)出售了m籃圓籃，n籃方籃楊梅，
由題意得，
解這個(gè)關(guān)于m和n的方程組，可得：，
∵n為正整數(shù)，
∴，且b應(yīng)為9的倍數(shù)，
解得：，
∴b的值為9或18．
（3）解：設(shè)設(shè)每輛大貨車運(yùn)送方形楊梅p籃，則每輛中貨車運(yùn)送方形楊梅籃，
由題意得， ，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
∴
答：每輛大貨車運(yùn)送方形楊梅120籃，每輛中貨車運(yùn)送方形楊梅90籃．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了本二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式和分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解題目所述的意思，轉(zhuǎn)化為方程思想求解，難度一般．
思想方法專題
整體思想
【例題6】（22-23七年級(jí)下·浙江·期中）設(shè)滿足且，則的值為（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由可得：， ，然后對(duì)分式進(jìn)行變形，先利用平方差公式的逆用，再根據(jù)需要代入，變形，利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求值．
【詳解】解：
，，，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，平方差公式的逆用以及整體代入的相關(guān)知識(shí)，能靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)對(duì)分式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn)．其中，平方差公式為：．
【變式1】（22-23七年級(jí)下·安徽池州·期末）若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題知，，由變形得，所以．
【詳解】解：由題知，，
∵
∴
∴
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，完全平方公式；運(yùn)用完全平方公式對(duì)等式變形是解題的關(guān)鍵
【變式2】（22-23七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知，求分式的值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)可知原式可化為 然后將 代入原式即可求出答案.
【詳解】由分式的基本性質(zhì)可知：原式
∴當(dāng) 時(shí),原式 ，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查分式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型
【變式3】（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）已知：．
(1)，求代數(shù)式，的值．
(2)若，判斷代數(shù)式的值與0的大小關(guān)系并說(shuō)明理由．
【答案】(1)37
(2)代數(shù)式的值小于0，理由見(jiàn)解析
【分析】本題綜合考查了分式的化簡(jiǎn)求值及配方法在化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，題目計(jì)算難度較大，綜合性較強(qiáng)．
（1）由化簡(jiǎn)出的值，可求，再配方即可求得的值；
（2）由，可得小于0及大于0，將要求得式子通分，配方化簡(jiǎn)，利用完全平方式可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：，
，
，
∴的值為49，的值為37；
（2）解：代數(shù)式，
理由如下：
，
，
，
故代數(shù)式的值小于0
倒數(shù)法
【例題7】（21-22七年級(jí)下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用倒數(shù)關(guān)系求出的值，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：
，
的值為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的值，掌握是解決問(wèn)題的關(guān)鍵
【變式1】（20-21七年級(jí)下·浙江金華·期末）已知，則 ．
【答案】
【分析】先將已知的式子化為倒數(shù)形式 ，化簡(jiǎn)后兩邊平方，再把所要求的式子的倒數(shù)化簡(jiǎn)求值，可得到最終結(jié)果．
【詳解】，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】考查分式值的計(jì)算，有一定靈活性，解題的關(guān)鍵是先求倒數(shù)
【變式2】（22-23七年級(jí)上·上海松江·階段練習(xí)）閱讀材料：已知，求的值．
解：由得，，則有，
由此可得，；所以
請(qǐng)理解上述材料后求：已知，用的代數(shù)式表示的值．
【答案】
【分析】先根據(jù)求出的值，然后求出的倒數(shù)的值，進(jìn)而可得答案．
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，在解答時(shí)應(yīng)從已知條件和所求問(wèn)題的特點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃巍⑥D(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)解題的捷徑．熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵
【變式3】完成下列各題．
（1）不改變分式的值，把下列分子和分母的最高次的系數(shù)都化為正數(shù)________．
（2）不改變分式的值，把下列分子和分母的中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)________．
（3）若分式的值是整數(shù)，求整數(shù)的值．
（4）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或0或2或6；（4）
【分析】（1）利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母都乘以即可；
（2）利用分式的基本性質(zhì)，分子、分母都乘以10 即可，
（3）將分式變形得，要使結(jié)果是整數(shù)，，或，進(jìn)而求出的整數(shù)值即可，
（4）先求出要求的代數(shù)式的倒數(shù)，利用整體代入的方法進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)分式基本性質(zhì)，分子、分母都乘以得，
；
（2）根據(jù)分式基本性質(zhì)，分子、分母都乘以10得，
，
（3），
要使分式的值為整數(shù)，
，或，
解得，，，，，
∴整數(shù)的值為0，2，6，；
（4），兩邊平方得：
，
，
．
故答案為：（1）；（2）；（3）x=-4或0或2或6；（4）.
【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)、分式的加減運(yùn)算，掌握分式的基本性質(zhì)和計(jì)算法則是正確解答的前提
3.裂項(xiàng)相消法
【例題8】（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平方差公式、提公因式的方法因式分解化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查分式約分，掌握公式法、提取公因式是關(guān)鍵
【變式1】（21-22七年級(jí)下·浙江寧波·期末）若，，，則 ．
【答案】
【分析】首先求出，將原代數(shù)式的分母變形為，將該式進(jìn)一步化簡(jiǎn)變形，借助已知條件即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，，
原式
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用有關(guān)公式將所給的代數(shù)式恒等變形，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，對(duì)綜合的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求
【變式2】（22-23七年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期末）先化簡(jiǎn)代數(shù)式，再?gòu)牡姆秶鷥?nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)x代入求值．
【答案】
【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，先計(jì)算分式的減法，再計(jì)算分式的除法得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再根據(jù)分式有意義的條件選取代入求解即可.
【詳解】解：
．
∵要使分式有意義，則不能取，1，2．
∴在中任取一個(gè)合適整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，原式
【變式3】（22-23七年級(jí)上·上海楊浦·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，滿足．
【答案】，5
【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值．原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，再化簡(jiǎn)得整體代入計(jì)算即可求出值．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴原式中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第9章 分式 全章熱門考點(diǎn)專練（5個(gè)知識(shí)方法專題個(gè)3思想方法專題）
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【知識(shí)清單】
知識(shí)方法專題
分式的相關(guān)概念
【例題1】（22-23七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）要使分式有意義，則的取值應(yīng)滿足（ ）
A．或 B．且 C． D．
【變式1】（22-23七年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）若分式的值為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是 ．
【變式2】（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）（1）取何值時(shí)，分式的值為零？無(wú)意義？
（2）當(dāng)?shù)扔谑裁磿r(shí)，分式的值為零．
【變式3】（2023七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，分式總有意義，求m的取值范圍．
小明對(duì)此題剛寫(xiě)了如下的部分過(guò)程，便有事離開(kāi)．
解：
(1)請(qǐng)將小明對(duì)此題的解題過(guò)程補(bǔ)充完整；
(2)利用小明的思路，解決下列問(wèn)題：無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，分式都有意義，求m的取值范圍．
分式的運(yùn)算
【例題2】（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）下列分式計(jì)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式1】（2023七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）括號(hào)內(nèi)應(yīng)填 ．
【變式2】（22-23七年級(jí)上·湖北武漢·期末）已知非零有理數(shù)x、y滿足．
(1)若x是方程的解，求y的值；
(2)求的值．
【變式3】（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：
(1) (2)
(4)
解分式方程
【例題3】（22-23七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）若，則（ ）
A． B．或0 C．或0 D．
【變式1】（22-23七年級(jí)下·廣西百色·期末）對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義一種新運(yùn)算“”為：，這里等式右邊是通常的實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如：，則方程的解是 ．
【變式2】（22-23七年級(jí)上·上海楊浦·期末）解方程：．
【變式3】（22-23七年級(jí)下·黑龍江七臺(tái)河·期末）（1）解方程：；
因式分解：．
分式方程的增根
【例題4】（22-23七年級(jí)下·青海西寧·期末）若解關(guān)于x的方程時(shí)產(chǎn)生增根，那么常數(shù)m的值為( )
A．4 B．3 C． D．
【變式1】（22-23七年級(jí)下·浙江溫州·期末）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為 ．
【變式2】（22-23七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知
(1)若該方程有增根，求a的取值
(2)若該方程的解為正數(shù)，求a的取值
【變式3】（22-23七年級(jí)下·浙江嘉興·期末）已知關(guān)于的方程，其中，均為整數(shù)且．
(1)若方程有增根，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？
(2)若是方程的解，求的值．
分式方程的應(yīng)用
【例題5】（22-23七年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期末）某口罩廠共有45名員工，每名員工每天可以生產(chǎn)200個(gè)面罩或800個(gè)耳繩．已知一個(gè)面罩需要配兩個(gè)耳繩，每天生產(chǎn)的面罩和耳繩需剛好配套，設(shè)安排名員工生產(chǎn)耳繩，則下面所列方程正確的是（ ）
B．
C． D．
【變式1】（23-24七年級(jí)上·廣東江門·開(kāi)學(xué)考試）汽車從甲地到乙地，先上坡后下坡共用了3小時(shí)．當(dāng)汽車從乙地返回甲地，上坡速度和下坡速度都不變時(shí)，要用3.5小時(shí)．如果此汽車從乙地返回甲地時(shí)，用上坡速度駛完全程，則需要4小時(shí)．那么當(dāng)汽車以下坡速度駛完從乙地返回甲地的全程，需要 小時(shí)．
【變式2】（2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）A，B兩種機(jī)器人都被用來(lái)搬運(yùn)化工原料，A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)，A型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)所用時(shí)間相等，兩種機(jī)器人每小時(shí)分別搬運(yùn)多少化工原料？
【變式3】（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）寧波楊梅季，本地慈溪楊梅在寧波人的心中是一種家鄉(xiāng)的味道．今年是楊梅大年，某楊梅種植大戶為了能讓居民品嘗到物美價(jià)廉的楊梅，對(duì)1000斤的楊梅進(jìn)行打包方式優(yōu)惠出售，打包方式及售價(jià)如下：圓籃每籃8斤，售價(jià)160元；方籃每籃18斤，售價(jià)270元．假如用這兩種打包方式恰好全部裝完這1000斤楊梅．
(1)若銷售a籃圓籃和a籃方籃共收入8600元，求a的值；
(2)當(dāng)銷售總收入為16760元時(shí)，
①若這批楊梅全部售完，請(qǐng)問(wèn)圓籃共包裝了多少籃，方籃共包裝了多少籃？
②若楊梅大戶留下b（b＞0）籃圓籃送人，其余的楊梅全部售出，求b的值；
(3)為了讓更多的人及時(shí)吃到楊梅，幾家種植大戶聯(lián)合，一起拼車用大、中兩種快遞送貨車運(yùn)送方形籃楊梅720籃，大車每車比中車每車多送30籃，若一半楊梅用大車送貨，一半楊梅用中車裝．運(yùn)送完這批楊梅大中貨車運(yùn)送車次比為，求每輛大、中貨車各運(yùn)送方形楊梅幾籃？
思想方法專題
整體思想
【例題6】（22-23七年級(jí)下·浙江·期中）設(shè)滿足且，則的值為（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【變式1】（22-23七年級(jí)下·安徽池州·期末）若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（22-23七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知，求分式的值為 ．
【變式3】（2023七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）已知：．
(1)，求代數(shù)式，的值．
(2)若，判斷代數(shù)式的值與0的大小關(guān)系并說(shuō)明理由．
倒數(shù)法
【例題7】（21-22七年級(jí)下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（20-21七年級(jí)下·浙江金華·期末）已知，則 ．
【變式2】（22-23七年級(jí)上·上海松江·階段練習(xí)）閱讀材料：已知，求的值．
解：由得，，則有，
由此可得，；所以
請(qǐng)理解上述材料后求：已知，用的代數(shù)式表示的值．
【變式3】完成下列各題．
（1）不改變分式的值，把下列分子和分母的最高次的系數(shù)都化為正數(shù)________．
（2）不改變分式的值，把下列分子和分母的中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)________．
（3）若分式的值是整數(shù)，求整數(shù)的值．
（4）已知，求的值．
3.裂項(xiàng)相消法
【例題8】（22-23七年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（21-22七年級(jí)下·浙江寧波·期末）若，，，則 ．
【變式2】（22-23七年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期末）先化簡(jiǎn)代數(shù)式，再?gòu)牡姆秶鷥?nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)x代入求值．
【變式3】（22-23七年級(jí)上·上海楊浦·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，滿足．

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