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（蘇科版）七年級下冊數(shù)學(xué)《第十章 二元一次方程組》
10.1——10.3
二元一次方程&二元一次方程組&解二元一次方程組
★二元一次方程的定義：每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.
★二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0)
【注意】二元一次方程需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．
★二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.
【注意】1、二元一次方程的解都是成對出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)，一般要用大括號括起來.
2、在二元一次方程中，只要給定其中一個(gè)未知數(shù)的值，就可以相應(yīng)地求出另一個(gè)未知數(shù)的值，因此二元一次方程有無數(shù)個(gè)解.
★二元一次方程組的定義：方程組有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組.
【注意】1、二元一次方程組需滿足三個(gè)條件：① 2個(gè)未知數(shù)；② 未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1； ③ 方程的左右兩邊都是整式.
2、二元一次方程組不一定都是由兩個(gè)二元一次方程合在一起組成的，方程的個(gè)數(shù)可以超過兩個(gè)，其中有的方程也可以是一元一次方程.
★1、二元一次方程組的解定義： 一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.
★2、只要告訴一組值是某個(gè)二元一次方程組的解，就說明這組值是這個(gè)方程組中每個(gè)方程的解．
★3、方程組中的某個(gè)方程的解不一定是這個(gè)方程組的解，因此，要檢驗(yàn)一對未知數(shù)的值是否為一個(gè)方程組的解時(shí)，必須將這對未知數(shù)的值分別代入方程組的每一個(gè)方程中進(jìn)行檢驗(yàn)．
★1、消元思想：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想方法，叫做消元思想.
★2、代入法： 把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解. 這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.
★3、用代入法解二元一次方程組的一般步驟：
①從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．
②將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．
③解這個(gè)一元一次方程，求出x（或y）的值．
④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．
⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．
★1、加減法：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.
★2、用加減法解二元一次方程組的一般步驟：
①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．
②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．
③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值．
④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．
⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．
題型突破·典例精析
【例題1】（2024春 鄞州區(qū)期中）下列是二元一次方程的是（　　）
A．x+2y＝3 B．x2+y＝1 C． D．2x﹣1＝5
【分析】含有兩個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程是二元一次方程，根據(jù)定義判斷即可．
【解答】解：A、符合定義，故符合題意；
B、最高次數(shù)是2，不符合定義，故不符合題意；
C、不是整式方程，不符合定義，故不符合題意；
D、只含有一個(gè)未知數(shù)，不符合定義，故不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉 判斷二元一次方程的方法是看它是否需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．
【變式1-1】（2024春 瑞安市期中）下列方程中，屬于二元一次方程的是（　　）
A．x2+1＝3 B．3a﹣b＝2c C． D．4x﹣y＝5
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A．方程x2+1＝3是一元二次方程，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．方程3a﹣b＝2c是三元一次方程，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．方程x＝0是分式方程，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．方程4x﹣y＝5是二元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的定義，能熟記二元一次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含
【變式1-2】（2024春 濰城區(qū)期中）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．2x﹣y＝0 B．xy+1＝0 C．x2+2x＝3 D．
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，從二元一次方程的未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)方面辨別．
【解答】解：A、2x﹣y＝0，符合二元一次方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；
B、xy+1＝0，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是2，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、x2+2x＝3，是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，是分式方程，不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程的定義，二元一次方程必須符合以下三個(gè)條件：（1）方程中只含有2個(gè)未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．
【變式1-3】（2023秋 巴中期末）若3x|k|+（k﹣1）y＝2是關(guān)于x，y的二元一次方程，則k的值為（　　）
A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出|k|＝1且k﹣1≠0，再求出k即可．
【解答】解：∵方程3x|k|+（k﹣1）y＝2是關(guān)于x，y的二元一次方程，
∴|k|＝1且k﹣1≠0，
∴k＝±1且k≠1，
∴k＝﹣1．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的定義，能根據(jù)二元一次方程的定義得出|k|＝1且k﹣1≠0是解此題的關(guān)鍵．
【變式1-4】（2023春 南崗區(qū)校級期中）方程x+5ya﹣2＝7是二元一次方程，則a的取值情況（　　）
A．a(chǎn)＝3 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝3或a＝1 D．a(chǎn)≠2
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得a﹣2＝1，求解即可獲得答案．
【解答】解：若方程x+5ya﹣2＝7是二元一次方程，
則有a﹣2＝1，
解得a＝3．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程的定義以及解一元一次方程，理解并掌握二元一次方程的定義是解題關(guān)鍵．
【變式1-5】（2023春 南部縣校級期中）在①x+3y＝z；②3x﹣5y＝2；③2xy﹣x﹣2y＝1；④x+1＝2；⑤x﹣3y＝0；⑥2xy＝6中是二元一次方程的個(gè)數(shù)是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】利用二元一次方程的定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)最高次數(shù)為1次，這樣的整式方程為二元一次方程，判斷即可．
【解答】解：①x+3y＝z，三元一次方程，不符合題意；
②3x﹣5y＝2，二元一次方程，符合題意；
③2xy﹣x﹣2y＝1，二元二次方程，不符合題意；
④x+1＝2，一元一次方程，不符合題意；
⑤x﹣3y＝0，二元一次方程，符合題意；
⑥2xy＝6，二元二次方程，不符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．
【變式1-6】（2023秋 靖邊縣期末）若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a+b的值
為（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，得出a+b＝1，3a+2b﹣4＝1，解出a、b的值，然后把a(bǔ)、b的值代入a+b，計(jì)算即可得出結(jié)果．
【解答】解：∵4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是關(guān)于x，y的二元一次方程，
∴，
解得：，
當(dāng)a＝3，b＝﹣2時(shí)，a+b＝3﹣2＝1．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查二元一次方程定義，二元一次方程必須符合以下三個(gè)條件：（1）方程中只含有2個(gè)未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都為一次；（3）方程是整式方程．
【變式1-7】（2024春 桐鄉(xiāng)市月考）已知（m﹣1）x+y|m|＝4是關(guān)于x、y二元一次方程，則m＝　 　．
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得到關(guān)于m的式子，求解即可．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x+y|m|＝4是關(guān)于x，y的二元一次方程，
∴m﹣1≠0，且|m|＝1
∴m≠1，m＝±1，
∴m＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的定義，掌握含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程是二元一次方程是關(guān)鍵．
【變式1-8】（2023 江北區(qū)開學(xué)）方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是關(guān)于x、y的方程，試問當(dāng)k為何值時(shí)，（1）方程為一元一次方程？（2）方程為二元一次方程？
【分析】（1）若方程為關(guān)于x、y的一元一次方程，則二次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為0，然后x或y的系數(shù)中有一個(gè)為0，另一個(gè)不為0即可．
（2）若方程為關(guān)于x、y的二元一次方程，則二次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)為0且x或y的系數(shù)不為0．
【解答】解：（1）因?yàn)榉匠虨殛P(guān)于x、y的一元一次方程，所以：
①，解得k＝﹣2；
②，無解，
所以k＝﹣2時(shí)，方程為一元一次方程．
（2）根據(jù)二元一次方程的定義可知，解得k＝2，
所以k＝2時(shí)，方程為二元一次方程．
【點(diǎn)評】此題比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是熟知一元一次方程與二元一次方程的定義．
【變式1-9】（2023春 貴州期中）已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是關(guān)于x，y的二元一次方程．
（1）求m，n的值；
（2）求x時(shí)，y的值．
【分析】二元一次方程是含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程，當(dāng)所含未知數(shù)的系數(shù)有待定字母時(shí)，則必須保證兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都不為零，由此入手列不等式組即可求解．
【解答】解：（1）因?yàn)椋阎匠蹋╩﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是關(guān)于x，y的二元一次方程，
所以，
解這個(gè)不等式組得：m＝﹣2，n＝3
即：m＝﹣2，n＝3
（2）因?yàn)椋?dāng)m＝﹣2，n＝3時(shí)，二元一次方程可化為：﹣4x+6y＝6
所以，當(dāng)x時(shí)，有：
﹣46y＝6
y
即：求x時(shí)，y的值為
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒍x所限制的條件“翻譯”成對應(yīng)的數(shù)學(xué)式子．
【例題2】（2023春 麻陽縣校級期中）下列方程組中屬于二元一次方程組的有（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義逐一判斷即可．
【解答】解：A．是三元一次方程組，不符合題意；
B．是二元一次方程組，符合題意；
C．y＝2不是整式方程，不符合題意；
D．xy＝1不是一次方程，不是二元一次方程組，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查二元一次方程組的定義，二元一次方程組也滿足三個(gè)條件：①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③每個(gè)方程都是一次方程．
解題技巧提煉 本題運(yùn)用定義法解題，在識別二元一次方程組時(shí)，首先看是否有兩個(gè)未知數(shù)，其次看含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是否是1，另外還要注意方程是不是整式方程.
【變式2-1】（2023秋 北碚區(qū)校級期末）下列方程組是二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用二元一次方程組的定義，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)中的方程組，即可得出結(jié)論．
【解答】解：A．方程組中的第二個(gè)方程不是整式方程，所以不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．方程組符合二元一次方程組的定義，故本選項(xiàng)符合題意；
C．方程組中的第二個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是2，所以不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．方程組中的第二個(gè)方程中未知數(shù)的次數(shù)是2，所以不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的定義，牢記“①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程；②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)；③每個(gè)方程都是一次方程”是解題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春 仁壽縣校級期中）下列方程組中是二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分別根據(jù)二元一次方程組的定義對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【解答】解：A、是分式方程組，故A錯(cuò)誤，不符合題意；
B、第二個(gè)方程最高次數(shù)為2，不符合二元一次方程組的定義，故B錯(cuò)誤，不符合題意；
C、符合二元一次方程組的定義，故C正確，符合題意；
D、是三元一次方程組，故D錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是二元一次方程組的定義，二元一次方程組也滿足三個(gè)條件：①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③每個(gè)方程都是一次方程，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023秋 東明縣期末）下列方程組中，屬于二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)相同的未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．
【解答】解：A．含有三個(gè)未知數(shù)，故不符合二元一次方程組的定義，故本選項(xiàng)不合題意；
B．符合二元一次方程組的定義，故本選項(xiàng)符合題意；
C．第2個(gè)方程的未知數(shù)的最高次數(shù)是2，故不符合二元一次方程組的定義，故本選項(xiàng)不合題意．
D．第2個(gè)方程含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2，故不符合二元一次方程組的定義，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的定義，解題時(shí)需要掌握二元一次方程組滿足三個(gè)條件：①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③每個(gè)方程都是一次方程．
【變式2-4】（2023春 九龍坡區(qū)校級期中）下列各方程組中，屬于二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義，對選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、有三個(gè)未知數(shù)，∴不是二元一次方程組，故該選項(xiàng)不合題意；
B、最高次數(shù)為2，∴不是二元一次方程組，故該選項(xiàng)不合題意；
C、是二元一次方程組，故該選項(xiàng)符合題意；
D、含有分式，∴不是二元一次方程組，故該選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的定義，有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)一次方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．
【變式2-5】（2023春 象山區(qū)校級期中）下列方程組中，不是二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．
【解答】解：A．是二元一次方程組，不符合題意；
B．是二元一次方程組，不符合題意；
C．中xy＝2不是一次方程，不是二元一次方程組，符合題意；
D．是二元一次方程組，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查二元一次方程組的定義，二元一次方程組也滿足三個(gè)條件：①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③每個(gè)方程都是一次方程．
【變式2-6】（2021春 平?jīng)銎谀┓匠探M是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則ab的值是 　 　．
【分析】利用二元一次方程組的定義確定出a與b的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：由題意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，b＝5，
則原式＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解本題的關(guān)鍵．
【例題3】（2024春 忠縣期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程3x﹣ky＝7有一組解為，則k的值為（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣4
【分析】將方程解代入方程，即可求出k的值．已知二元一次方程的解，代入等式必成立，由此求出k的值．
【解答】解：將代入方程，則：
3×3﹣2k＝7，
解得：k＝1，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是將方程解代入方程，即可求出k的值．
解題技巧提煉 1、二元一次方程的解的定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解． 2、二元一次方程組的解的定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解． 3、一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程（組）的解的問題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．
【變式3-1】（2024春 海淀區(qū)校級期中）已知是二元一次方程3x﹣my＝18的一個(gè)解，那么m的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【分析】把代入二元一次方程3x﹣my＝18得關(guān)于m的方程，解方程求出m即可．
【解答】解：把代入二元一次方程3x﹣my＝18得：
6﹣3m＝18，
3m＝﹣12，
m＝﹣4，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
【變式3-2】（2024春 越秀區(qū)校級期中）以下方程的解為的是（　　）
A．2x+3y＝7 B．3x﹣2y＝1
C．﹣4x+3y＝﹣10 D．x+2y＝5
【分析】把代入每個(gè)方程，看看方程左右兩邊是否相等即可．
【解答】解：A．把代入方程2x+3y＝7，得左邊＝2×1+3×2＝8，右邊＝7，左邊≠右邊，
所以不是方程2x+3y＝7的解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．把代入方程3x﹣2y＝1，得左邊＝3×1﹣2×2＝﹣1，右邊＝﹣1，左邊≠右邊，
所以不是方程3x﹣2y＝1的解，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．把代入方程﹣4x+3y＝﹣10，得左邊＝﹣4×1+3×2＝2，右邊＝﹣10，左邊≠右邊，
所以不是方程﹣4x+3y＝﹣10的解，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．把代入方程x+2y＝5，得左邊＝1+2×2＝5，右邊＝5，左邊＝右邊，
所以是方程x+2y＝5的解，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的解，能熟記二元一次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．
【變式3-3】（2024春 浙江期中）已知是關(guān)于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一個(gè)解，則m的值為（　　）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【分析】把代入方程2x﹣my＝10得出2﹣2m＝10，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可．
【解答】解：∵是關(guān)于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一個(gè)解，
∴2×1﹣2m＝10，
∴2﹣2m＝10，
∴﹣2m＝10﹣2，
∴﹣2m＝8，
∴m＝﹣4．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的解，能得出關(guān)于m的方程2﹣2m＝10是解此題的關(guān)鍵．
【變式3-4】（2024春 江城區(qū)校級期中）已知是關(guān)于x，y的方程，x+ky＝3的一個(gè)解，則k的值
為（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】把x與y的值代入方程計(jì)算即可求出k的值．
【解答】解：∵是關(guān)于x、y的方程x+ky＝3的一個(gè)解，
∴把代入到原方程，得1+2k＝3，
解得k＝1，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程的解的定義，解一元一次方程，熟知方程的解是使方程兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．
【變式3-5】（2022春 建華區(qū)校級期中）關(guān)于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整數(shù)解有（　　）組．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】將y看作已知數(shù)，求出x，即可確定出方程的正整數(shù)解．
【解答】解：2x+3y＝20，
，
當(dāng)y＝2時(shí)，x＝7；當(dāng)y＝4時(shí)，x＝4；當(dāng)y＝6時(shí)，x＝1，
則方程的正整數(shù)解有3對．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將y看作已知數(shù)，表示出x．
【變式3-6】（2023秋 薛城區(qū)期末）若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一個(gè)解，則3a﹣2b+2025的值為 　 　．
【分析】先將方程的解代入方程ax+by＝﹣1，求出3a﹣2b＝﹣1，再整體代入求值即可．
【解答】解：將代入方程ax+by＝﹣1可得，3a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝﹣1+2025
＝2024；
故答案為：2024．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的解和代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵是運(yùn)用整體代入的思想方法．
【變式3-7】（2023秋 歷下區(qū)期中）是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，求a與b的值．
【分析】根據(jù)二元一次方程的解的概念解答即可．
【解答】解：∵是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，
所以，
解得，
即a的值是7，b的值是8．
【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的解，要注意：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．
【變式3-8】（2023 南京模擬）已知和都是關(guān)于x，y的二元一次方程y＝x+b的解．
（1）請用含n的代數(shù)式表示m；
（2）若m﹣2n＝b2+2b﹣7，求b的值．
【分析】（1）和都是關(guān)于x，y的二元一次方程y＝x+b的解，將其代入方程即可求解；
（2）由（1）m﹣2n＝2b﹣2，結(jié)合m﹣2n＝b2+2b﹣7可得b2+2b﹣7＝2b﹣2，解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）將和代入方程得，
，
即4＝2n+m﹣2，即m＝6﹣2n，
∴n的代數(shù)式表示m為m＝6﹣2n．
（2）由（1）可得，，
則m﹣2n＝2b﹣2，
則m﹣2n＝b2+2b﹣7＝2b﹣2，
整理得b2＝5，解得，
∴b的值為．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程及一元二次方程，熟練掌握方程的解與方程的關(guān)系是解題的關(guān)系．
【例題4】（2023 永州）某2020年人均可支收入為2.36萬元，2022年達(dá)到2.7萬元，若2020年至2022年間每年人均可支配收入的增長率都為x，則下面所列方程正確的是（　　）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
【分析】利用2022年間每年人均可支配收入＝2020年間每年人均可支配收入×（1+每年人均可支配收入的增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：根據(jù)題意得2.36（1+x）2＝2.7．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉 由實(shí)際問題列二元一次方程組：在解決實(shí)際問題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出表示問題的兩個(gè)相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出二元一次方程組．
【變式4-1】（2024春 昌平區(qū)校級期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”，你能用二元一次方程組表示題中的數(shù)量關(guān)系嗎？設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，則下面方程組正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)等量關(guān)系：上有三十五頭，下有九十四足，即可列出方程組．
【解答】解：根據(jù)題意，可列方程組為．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系．
【變式4-2】（2023秋 玉林期末）在3月12日是植樹節(jié)這天，小剛和小敏積極踴躍地參加植樹活動(dòng)，小剛平均每小時(shí)比小敏多植1棵樹，小剛植樹3小時(shí)，小敏植樹2小時(shí)，兩人一共植樹18棵樹．設(shè)小剛平均每小時(shí)植樹x棵，小敏平均每小時(shí)植樹y棵，那么根據(jù)題意，下列所列方程組中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)“小剛平均每小時(shí)比小敏多植1棵樹，小剛植樹3小時(shí)，小敏植樹2小時(shí)，兩人一共植樹18棵樹”，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：∵小剛平均每小時(shí)比小敏多植1棵樹，
∴x﹣y＝1；
∵小剛植樹3小時(shí)，小敏植樹2小時(shí)，兩人一共植樹18棵樹，
∴3x+2y＝18．
∴根據(jù)題意可列方程組．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2024 青白江區(qū)模擬）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》第七章主要內(nèi)容是“盈不足術(shù)”，其中有這樣一道盈虧類問題：“今有共買羊，人出五，不足九十；人出五十，適足．問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”題目大意是：“有幾個(gè)人共同購買一只羊，若每人出五元，還差九十元；若每人出五十元，剛好夠．問有幾個(gè)人，羊的價(jià)格是多少？”設(shè)有x人，羊的價(jià)格為y元，可列方程組為（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)“每人出五元，還差九十元；每人出五十元，剛好夠”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：∵每人出五元，還差九十元，
∴5x﹣y＝﹣90；
∵每人出五十元，剛好夠，
∴50x﹣y＝0．
∴根據(jù)題意可列方程組．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式4-4】（2024 金牛區(qū)模擬）某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值﹣總支出）為200萬元．今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元．去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則可列方程組為（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%即可解決．
【解答】解：根據(jù)題意，可列方程組．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找等量關(guān)系列出方程組是解決問題的關(guān)鍵．
【變式4-5】（2024春 鄞州區(qū)期中）用如圖1中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖2的豎式和橫式兩種無蓋紙盒．現(xiàn)在倉庫里有500張正方形紙板和800張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個(gè)，恰好將庫存的紙板用完？設(shè)做豎式紙盒x個(gè)，橫式紙盒y個(gè)，恰好將庫存的紙板用完，則可列方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)共有500張正方形紙板和800張長方形紙板，列方程組即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意，得，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找出合適的等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式4-6】（2024春 福州期中）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”其可譯為：“有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛．則1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？”設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒x斛，1個(gè)小桶可以盛酒y斛，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
【分析】設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒x斛，1個(gè)小桶可以盛酒y斛，根據(jù)“5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛，1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛”即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組．
【解答】解：設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒x斛，1個(gè)小桶可以盛酒y斛，
根據(jù)題意得：，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
【例題5】用代入法解方程組有以下過程，其中錯(cuò)誤的一步是（　　）
A．由①得x③
B．把③代入②得35y＝5
C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5
D．解得y＝1，再由③得x＝2.5
【分析】利用代入消元法求出方程組的解，即可作出判斷．
【解答】解：方程組，
由①得：x③，
把③代入②得：35y＝5，
去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，
解得：y，
再由③得：x，
則錯(cuò)誤的一步為去分母．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
解題技巧提煉 用代入法解方程組時(shí)，選擇方程用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)是關(guān)鍵，它影響著解題的繁簡成對，應(yīng)盡量選取系數(shù)比較簡單的方程.
【變式5-1】（2024春 蒼南縣期中）對于方程組，把②代入①得（　　）
A．2x﹣4x﹣1＝5 B．2x﹣4x+1＝5 C．2x﹣4x+2＝5 D．2x﹣4x﹣2＝5
【分析】把②代入①，進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．
【解答】解：．
把②代入①得：2x﹣2（2x﹣1）＝5．
2x﹣4x+2＝5．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查代入法解方程組，掌握代入法解方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2024 喀喇沁旗模擬）用代入法解一元二次方程過程中，下列變形不正確的是（　　）
A．由①得 B．由①得y＝5﹣2x
C．由②得 D．由②得
【分析】根據(jù)代入消元法解方程組的方法，進(jìn)行變形時(shí)要特別注意移項(xiàng)后符號要變號．
【解答】解：由①得y＝5﹣2x或，
故A、B正確，不符合題意；
由②得或，
故C不正確，符合題意；D正確，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了解方程的方法，解題關(guān)鍵是掌握代入消元法解方程組的相關(guān)知識．
【變式5-3】（2023春 祿勸縣校級期中）用代入消元法解方程組使得代入后化簡比較容易的變形是（　　）
A．由①得x B．由①得x
C．由②得x D．由②得y＝2x﹣5
【分析】利用代入消元法判斷即可．
【解答】解：用代入消元法解方程組使得代入后化簡比較容易的變形是由②得y＝2x﹣5．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法由：代入消元法與加減消元法．
【變式5-4】（2024 武威二模）方程組用代入法消去y后所得的方程是（　　）
A．3x﹣4x﹣10＝8 B．3x﹣4x+5＝8
C．3x﹣4x﹣5＝8 D．3x﹣4x+10＝8
【分析】把方程組中第一個(gè)方程代入第二個(gè)方程消去y即可得到結(jié)果．
【解答】解：，
把①代入②得：3x﹣2（2x﹣5）＝8，
去括號得：3x﹣4x+10＝8，
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式5-5】（2024春 印江縣月考）二元一次方程組，最適合用下列哪種消元法求解（　　）
A．代入消元法
B．加減消元法
C．代入消元法或加減消元法
D．無法確定
【分析】根據(jù)兩個(gè)式子分別有﹣y，y，運(yùn)用加減消元進(jìn)行消y，能快速求出x的值，即可作答．
【解答】解：∵二元一次方程組兩個(gè)式子分別有﹣y，y，
∴運(yùn)用加減消元進(jìn)行消y，能快速求出x的值
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是關(guān)鍵．
【變式5-6】用代入法解方程組時(shí)，最好是先把　 　變形為　 　，再代入方程　 　，求出　 　的值，然后再求出　 的值，最后寫方程組的解．
【分析】首先，把方程組中第二個(gè)方程變形為x＝8+3y，再代入第一個(gè)方程消去x求出y的值；然后求出x的值，寫出方程組的解即可．
【解答】解：用代入法解方程組時(shí)，最好是先把x﹣3y＝8變形為x＝8+3y，再代入方程2x+4y＝7，求出y的值，然后再求出x的值，最后寫出方程組的解．
故答案為：x﹣3y＝8；x＝8+3y；2x+4y＝7；y；x．
【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握代入法是解本題的關(guān)鍵．
【變式5-7】用代入法解二元一次方程組：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）應(yīng)用代入消元法，求出方程組的解即可；
（2）應(yīng)用代入消元法，求出方程組的解即可；
（3）應(yīng)用代入消元法，求出方程組的解即可．
【解答】解：（1），
①代入②，可得：x+（x﹣4）＝6，
解得x＝5，
把x＝5代入①，可得y＝5﹣4＝1，
∴原方程組的解是．
（2），
由②，可得：x＝2y﹣3③，
③代入①，可得：3（2y﹣3）﹣y＝﹣4，
解得y＝1，
把y＝1代入③，可得x＝2×1﹣3＝﹣1，
∴原方程組的解是．
（3），
由①，可得：x﹣3y＝7③，
由②，可得：2x﹣5y＝﹣6④，
由③，可得：x＝3y+7⑤，
⑤代入④，可得：2（3y+7）﹣5y＝﹣6，
解得y＝﹣20，
把y＝﹣20代入⑤，可得x＝3×（﹣20）+7＝﹣53，
∴原方程組的解是．
【點(diǎn)評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用是關(guān)鍵．
【變式5-8】用代入法解下列方程組：
（1） （2）
（3） （4）
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程組即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程組即可；
（3）用代入消元法解二元一次方程組即可；
（4）用代入消元法解二元一次方程組即可．
【解答】解：（1），
將②代入①得，x＝1，
將x＝1代入②，得y＝﹣1，
∴方程組的解為；
（2），
由②得，y＝4x﹣1③，
將③代入①得，x，
將x代入③得，y，
∴方程組的解為；
（3），
由②得，y＝5﹣3x③，
將③代入①得，x，
將x代入③，得y，
∴方程組的解為；
（4），
由①得，y＝3x﹣8③，
將③代入②得，x＝5，
將x＝5代入③得，y＝7，
∴方程組的解為．
【點(diǎn)評】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式5-9】（2022春 安溪縣期中）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代入”的解法如下：
解：將方程②變形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為；
請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組．
【分析】由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．然后整體代入，從而求得x，進(jìn)而解決此題．
【解答】解：由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．
把①代入，得．
∴x＝1．
把x＝1代入①，得3+2y＝2．
∴y．
∴方程組的解為．
【點(diǎn)評】本題主要考查解二元一次方程，熟練掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．
【例題6】（2023秋 惠來縣期末）對于方程組，用加減法消去x得到的方程是（　　）
A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2
【分析】根據(jù)加減消元法，將方程①﹣方程②即可．
【解答】解：方程①﹣方程②得，﹣11y＝﹣32，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查解二元一次方程組，掌握加減消元法是正確解答的前提．
解題技巧提煉 用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，一般有三種情況: (1)方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等,則直接利用加減法求解; (2)方程組中任意一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不相等,但某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值成倍數(shù)關(guān)系,則將其中一個(gè)方程乘這個(gè)倍數(shù)后再利用加我法求解; (3)方程組中任意一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值既不相等,也不成倍數(shù)關(guān)系,可利用最小公倍數(shù)的知識,把兩個(gè)方程都適當(dāng)?shù)爻艘粋€(gè)數(shù)，使某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等,然后再利用加減法求解.
【變式6-1】（2024春 余杭區(qū)月考）已知方程組，則②﹣①得（　　）
A．2x＝4 B．2y＝4 C．4y＝4 D．3y＝10
【分析】由②﹣①得：x﹣x+y﹣（﹣3y）＝7﹣3，整理即可求出答案．
【解答】解：，
由②﹣①得：x﹣x+y﹣（﹣3y）＝7﹣3，
整理得：4y＝4，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2024春 鼓樓區(qū)校級期中）利用加減消元法解方程，下列做法正確的、是（　　）
A．要消去x，可以將①×（﹣5）+②×3
B．要消去x，可以將①×5﹣②×（﹣3）
C．要消去y，可以將①×（﹣3）+②×2
D．要消去y，可以將①×6﹣②×4
【分析】根據(jù)加減消元法，逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：∵①×（﹣5）+②×3，可得﹣38y＝19，消去了x，
∴選項(xiàng)A符合題意；
∵①×5﹣②×（﹣3），可得30x+2y＝179，沒有消去x，
∴選項(xiàng)B不符合題意；
∵①×（﹣3）+②×2，可得x﹣24y＝18，沒有消去y，
∴選項(xiàng)C不符合題意；
∵①×6﹣②×4，可得﹣2x+48y＝﹣36，沒有消去y，
∴選項(xiàng)D不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用是關(guān)鍵．
【變式6-3】（2024春 海口期中）用加減法解方程組，下列解法正確的是（　　）
A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y
C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y
【分析】根據(jù)等式的可加性直接求解即可得到答案．
【解答】解：由題意可得，
①×3+②×2，消去x，故A選項(xiàng)不符合題意，
①×2+②×3，消去y，故B選項(xiàng)不符合題意，
①×（﹣3）﹣②×2，消去x，故C選項(xiàng)不符合題意，
①×2﹣②×（﹣3），消去y，故D選項(xiàng)符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是關(guān)鍵．
【變式6-4】（2023春 麻陽縣校級期中）解方程組時(shí)，消去未知數(shù)y，最簡單的是（　　）
A．①×2﹣②×4
B．①﹣②×2
C．①+②×2
D．由②得，y，再代入①
【分析】觀察方程組中兩方程中y的系數(shù)確定出加減消元法即可．
【解答】解：解方程組時(shí)，消去未知數(shù)y最簡單的方法是①+②×2，
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
【變式6-5】（2024春 新野縣期中）解方程組的最佳方法是（　　）
A．代入法消去y，由①得y
B．代入法消去x，由②得x
C．加減法消去y，①+②得6x＝12
D．加減法消去x，①×2﹣②得﹣9y＝9
【分析】根據(jù)方程組中未知數(shù)y的系數(shù)的特點(diǎn)得出答案即可．
【解答】解：，
①+②，得6x＝12，即消去y，
所以解此方程組的最佳方法是①+②得6x＝12，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了解二元一次方程組，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M是解此題的關(guān)鍵．
【變式6-6】用加減法解方程組具體步驟如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）把x＝2代入①，解得y；（4）∴這個(gè)方程組的解是．其中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是（　　）
A．（4） B．（3） C．（2） D．（1）
【分析】第（1）步兩方程相減時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
【解答】解：用加減消元法解方程組：．（1）①﹣②，得2x＝10；（2）所以x＝5；（3）把x＝5代入①，得y＝﹣4；（4）所以這個(gè)方程組得解為，
最先出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是（1），
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
【變式6-7】（2024春 海淀區(qū)校級期中）在解關(guān)于x，y的方程組時(shí)，可以用①×7﹣②×3消去未知數(shù)x，也可以用①×2+②×5消去未知數(shù)y，則m＝　 ；n＝　 　．
【分析】根據(jù)題意，利用加減消元法列的關(guān)于m，n的方程組，解方程組即可．
【解答】解：由題意可得，
整理得，
解得：，
故答案為：2；5．
【點(diǎn)評】本題考查解二元一次方程組，結(jié)合已知條件列得關(guān)于m，n的方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式6-8】（2024春 鼓樓區(qū)校級期中）解二元一次方程組：
（1）．
（2）．
【分析】（1）利用加減消元法解方程組即可；
（2）將原方程組整理后利用加減消元法解方程組即可．
【解答】解：（1），
②﹣①得：3y＝3，
解得：y＝1，
將y＝1代入②得：x+1＝10，
解得：x＝9，
故原方程組的解為；
（2）原方程組整理得，
①+②得：9x＝27，
解得：x＝3，
將x＝3代入①得：12+3y＝24，
解得：y＝4，
故原方程組的解為．
【點(diǎn)評】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式6-9】用加減法解二元一次方程組：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】各方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：4y＝16，
解得：y＝4，
把y＝4代入①得：x＝﹣3，
則方程組的解為；
（2），
②﹣①得：5b＝﹣15，
解得：b＝﹣3，
把b＝﹣3代入①得：a＝1，
則方程組的解為；
（3），
①×2﹣②得：9n＝63，
解得：n＝7，
把n＝7代入①得：3m+14＝8，
解得：m＝﹣2，
則方程組的解為；
（4）方程組整理得：，
①+②得：6x＝48，
解得：x＝8，
把x＝8代入①得：8﹣2y＝17，
解得：y＝﹣4.5，
則方程組的解為．
【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
【例題7】（2024春 楊浦區(qū)期中）
【分析】設(shè)a，b，于是得到原方程化為：，解方程組即可得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)a，b，
∴原方程化為：，
解得：，
∴1，2，
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程組的解．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．
解題技巧提煉 換元法是通過引入新的變量(元)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，然后求解.
【變式7-1】用換元法解下列方程組：
（1）
（2）．
【分析】（1）令x+y＝m、x﹣y＝n得關(guān)于m、n的方程組，解得m、n的值，從而可得關(guān)于x、y的方程組，求解可得；
（2）令x﹣4y＝a、x+5y＝b得關(guān)于a、b的方程組，解該方程組可得a、b的值，從而可得關(guān)于x、y的方程組，求解可得．
【解答】解：（1）令x+y＝m，x﹣y＝n，
則原方程組可化為：，
解得：，
即，
解得：；
（2）令x﹣4y＝a，x+5y＝b，
則原方程組可化為：，
解得：，
即：，
解得：．
【點(diǎn)評】本題主要考查換元法解方程組的能力，熟練而準(zhǔn)確地解方程組是基礎(chǔ)，正確找到共同的整體加以換元是關(guān)鍵．
【變式7-2】（2023春 云陽縣期中）閱讀探索：解方程組
解：設(shè)a﹣1＝x，b+2＝y(tǒng)原方程組可以化為，解得，即：，此種解方程組的方法叫換元法．
（1）拓展提高
運(yùn)用上述方法解下列方程組；
（2）能力運(yùn)用
已知關(guān)于x，y的方程組的解為，求關(guān)于m、n的方程組的解．
【分析】（1）仿照“閱讀探索“的思路，利用換元法進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）仿照“閱讀探索“的思路，利用換元法進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）設(shè)1＝x，2＝y(tǒng)，
∴原方程組可變?yōu)椋海?br/>解這個(gè)方程組得：，
即：，
所以：；
（2）設(shè)，
可得：，
解得：．
【點(diǎn)評】本題考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解，理解并掌握例題的換元法是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022秋 山亭區(qū)期末）解方程（組）：
（1）；
（2）閱讀材料：善于思考的小明同學(xué)在解方程組時(shí)，采用了一種“整體換元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一個(gè)整體，設(shè)m+5＝x，n+3＝y(tǒng)，原方程組可化為，解得∴，∴原方程組的解為．請仿照小明同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組．
【分析】設(shè)x+y＝m，x﹣y＝n，則原方程可化為，求出方程的解為，再得方程組，解出方程組即可．
【解答】解：設(shè)x+y＝m，x﹣y＝n，
原方程可化為，即，
②﹣①得，n＝﹣1，
把n＝﹣1代入②得，，
∴，
∴，
解得．
【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法，利用整體思想解方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式7-4】（2024春 印江縣月考）閱讀材料，回答問題．
解方程組，時(shí)，如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，也容易出錯(cuò)，如果把方程組中的x+y和x﹣y分別看作一個(gè)整體，設(shè)x+y＝A，x﹣y＝B，原方程組可變形為，解得，即，再解這個(gè)方程組得．這種解方程組的方法叫做整體換元法．
（1）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，的解為，那么在關(guān)于a，b的二元一次方程組，中，a+b＝　 　，2a﹣b＝　 　；
（2）用材料中的方法解二元一次方程組．
【分析】（1）設(shè)a+b＝x，2a﹣b＝y(tǒng)，原方程組可化為，根據(jù)的解為，即可求解；
（2）設(shè)x+y＝m，x﹣y＝n，原方程組可化為，解得，即，即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)a+b＝x，2a﹣b＝y(tǒng)，
原方程組可化為，
∵的解為，
∴，
故答案為：﹣1；10；
（2），
設(shè)x+y＝m，x﹣y＝n，
原方程組可化為，
解得，
即，
解得，
∴原方程組的解為．
【點(diǎn)評】本題考查了用換元法解二元一次方程組，掌握合理換元是解題的關(guān)鍵．
【例題8】（2023秋 蒲城縣期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是關(guān)于x，y的二元一次方程4x+ky＝13的解，則k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【分析】先解關(guān)于x，y的二元一次方程組，求出x，y，再把所求x，y代入4x+ky＝13得關(guān)于k的方程，解方程即可．
【解答】解：，
①+②得：x＝2.5，
把x＝2.5代入①得：y＝1.5，
∴，
把代入4x+ky＝13得：
10+1.5k＝13，
1.5k＝3，
k＝2，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解是使各個(gè)方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
解題技巧提煉 求二元一次方程組中的字母參數(shù)的一般步驟： ①把字母參數(shù)看作已知數(shù)并解方程組； ②根據(jù)方程組解的特點(diǎn)，得到關(guān)于字母參數(shù)的方程； ③解方程組求得字母參數(shù).
【變式8-1】（2023秋 永修縣校級期末）若方程組的解滿足x+y＝2021，則k的值
為（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】以k為已知數(shù)解方程組，將方程組的解代入方程x+y＝2021，即可求得k的值．
【解答】解：，
①+②得：5x+5y＝5k﹣5，即x+y＝k﹣1
∵x+y＝2021，
∴k﹣1＝2021，
∴k＝2022，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解和二元一次方程組的解法．正確求得二元一次方程組的解是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023秋 西安期末）若方程組與方程3ax﹣2ay＝12具有相同的解，則a的值
為（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】先解方程組再代入后面方程即可．
【解答】解：解，
得，
因?yàn)榉匠探M與方程3ax﹣2ay＝12具有相同的解，
將代入3ax﹣2ay＝12，
所以6a﹣2a＝12，
解得a＝3，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的解，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．
【變式8-3】（2024春 新安縣期中）關(guān)于x、y、k的方程組的解中x、y的和為12，則k的值為 　 ．
【分析】首先把x+y＝12代入兩個(gè)方程得24+y＝k①，36+2y＝k+2②，然后①×2﹣②得：12＝k﹣2，解答即可得解．
【解答】解：∵x+y＝12，
∴由2x+3y＝k得：24+y＝k①，
由3x+5y＝k+2得：36+2y＝k+2②，
①×2﹣②得：12＝k﹣2，
解得：k＝14，
故答案為：14．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程組的解，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)方程組的特點(diǎn)進(jìn)行有針對性的計(jì)算．
【變式8-4】（2022秋 定遠(yuǎn)縣期末）已知是方程組的解，求a2022+b2023的值．
【分析】將代入，得到關(guān)于a、b的方程組，從而可求得a、b的值，則可得出答案．
【解答】解：把代入方程組得，
①+②得6a＝6，
∴a＝1，
把a(bǔ)＝1代入①得3﹣2b＝5，解得b＝﹣1，
∴a2022+b2023＝12022+（﹣1）2023＝1﹣1＝0．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是二元一次方程的解，得到關(guān)于a、b的方程組是解題的關(guān)鍵．
【變式8-5】（2024春 新華區(qū)校級期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足2x+3y＝1，求m的值．
【分析】把關(guān)于x，y的二元一次方程組的兩個(gè)方程的左右兩邊分別相加，可得4x+6y＝5﹣3m，再根據(jù)2x+3y＝1，求出m的值即可．
【解答】解：，
①+②得4x+6y＝5﹣3m，
即2（2x+3y）＝5﹣3m，
∵2x+3y＝1，
∴2×1＝5﹣3m，
解得m＝1．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二元一次方程組的解，解答此題的關(guān)鍵是注意觀察所給的方程組的兩個(gè)方程與2x+3y＝1之間的關(guān)系．
【變式8-6】（2023春 宜豐縣校級期中）已知關(guān)于x，y的方程組的解為試求的值．
【分析】將代入，得，解二元一次方程組，進(jìn)一步求解即可．
【解答】解：將代入，
得，
解得，
∴．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的解，算術(shù)平方根，熟練掌握二元一次方程組的解的含義是解題的關(guān)鍵．
【變式8-7】（2023秋 甘州區(qū)校級期末）已知方程組和方程組的解相同，
求（2a+b）2024的值．
【分析】由題意可得，解得x，y的值后分別代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得到關(guān)于a，b的方程組，解得a，b的值后代入（2a+b）2024中計(jì)算即可．
【解答】解：由題意可得，
解得：，
將分別代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得，
解得：，
則（2a+b）2024＝（2×1﹣3）2024＝（﹣1）2024＝1．
【點(diǎn)評】本題考查解二元一次方程組，結(jié)合已知條件列得并求得它的解是解題的關(guān)鍵．
【變式8-8】（2023春 萊蕪區(qū)期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組與有公共的解．求a2+b2﹣2ab的值．
【分析】根據(jù)方程有公共解，得到的解，即為方程組與的公共解，進(jìn)行求解即可，將方程組的解方程組中，求出a，b的值，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為（a﹣b）2，再代值計(jì)算即可．
【解答】解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程組與有公共的解，
∴的解即為兩個(gè)方程組的公共解，
解得：，
∴，
解得：，
∴a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＝（1+1）2＝4．
【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)方程組的解的情況，求參數(shù)的值，以及代數(shù)式求值．熟練掌握消元法解方程組，是解題的關(guān)鍵．
【變式8-9】（2023春 饒平縣校級期末）已知方程組由于甲看錯(cuò)了方程①中的a得到方程組的解為；乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為，若按正確的a，b計(jì)算，請你求原方程組的解．
【分析】把甲的結(jié)果代入第二個(gè)方程求出b的值，把乙的結(jié)果代入第一個(gè)方程求出a的值，確定出方程組，求出解即可．
【解答】解：把代入②得：﹣12+b＝﹣2，即b＝10；
把代入①得：5a﹣20＝15，即a＝7，
方程組為，
整理得：，
①﹣②得：5x＝16，
解得：x，
把x代入①得：y，
則方程組的解為．
【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
（蘇科版）七年級下冊數(shù)學(xué)《第十章 二元一次方程組》10.1——10.3
二元一次方程&二元一次方程組&解二元一次方程組
★二元一次方程的定義：每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.
★二元一次方程的一般形式：ax+by=c( a≠0,b≠0)
【注意】二元一次方程需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．
★二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.
【注意】1、二元一次方程的解都是成對出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)，一般要用大括號括起來.
2、在二元一次方程中，只要給定其中一個(gè)未知數(shù)的值，就可以相應(yīng)地求出另一個(gè)未知數(shù)的值，因此二元一次方程有無數(shù)個(gè)解.
★二元一次方程組的定義：方程組有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組.
【注意】1、二元一次方程組需滿足三個(gè)條件：① 2個(gè)未知數(shù)；② 未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1； ③ 方程的左右兩邊都是整式.
2、二元一次方程組不一定都是由兩個(gè)二元一次方程合在一起組成的，方程的個(gè)數(shù)可以超過兩個(gè)，其中有的方程也可以是一元一次方程.
★1、二元一次方程組的解定義： 一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.
★2、只要告訴一組值是某個(gè)二元一次方程組的解，就說明這組值是這個(gè)方程組中每個(gè)方程的解．
★3、方程組中的某個(gè)方程的解不一定是這個(gè)方程組的解，因此，要檢驗(yàn)一對未知數(shù)的值是否為一個(gè)方程組的解時(shí)，必須將這對未知數(shù)的值分別代入方程組的每一個(gè)方程中進(jìn)行檢驗(yàn)．
★1、消元思想：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想方法，叫做消元思想.
★2、代入法： 把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解. 這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.
★3、用代入法解二元一次方程組的一般步驟：
①從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．
②將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．
③解這個(gè)一元一次方程，求出x（或y）的值．
④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．
⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．
★1、加減法：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.
★2、用加減法解二元一次方程組的一般步驟：
①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．
②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．
③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值．
④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．
⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．
題型突破·典例精析
【例題1】（2024春 鄞州區(qū)期中）下列是二元一次方程的是（　　）
A．x+2y＝3 B．x2+y＝1 C． D．2x﹣1＝5
解題技巧提煉 判斷二元一次方程的方法是看它是否需滿足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．
【變式1-1】（2024春 瑞安市期中）下列方程中，屬于二元一次方程的是（　　）
A．x2+1＝3 B．3a﹣b＝2c C． D．4x﹣y＝5
【變式1-2】（2024春 濰城區(qū)期中）下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．2x﹣y＝0 B．xy+1＝0 C．x2+2x＝3 D．
【變式1-3】（2023秋 巴中期末）若3x|k|+（k﹣1）y＝2是關(guān)于x，y的二元一次方程，則k的值為（　　）
A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0
【變式1-4】（2023春 南崗區(qū)校級期中）方程x+5ya﹣2＝7是二元一次方程，則a的取值情況（　　）
A．a(chǎn)＝3 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝3或a＝1 D．a(chǎn)≠2
【變式1-5】（2023春 南部縣校級期中）在①x+3y＝z；②3x﹣5y＝2；③2xy﹣x﹣2y＝1；④x+1＝2；⑤x﹣3y＝0；⑥2xy＝6中是二元一次方程的個(gè)數(shù)是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【變式1-6】（2023秋 靖邊縣期末）若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a+b的值
為（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【變式1-7】（2024春 桐鄉(xiāng)市月考）已知（m﹣1）x+y|m|＝4是關(guān)于x、y二元一次方程，則m＝　 　．
【變式1-8】（2023 江北區(qū)開學(xué)）方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8是關(guān)于x、y的方程，試問當(dāng)k為何值時(shí)，（1）方程為一元一次方程？（2）方程為二元一次方程？
【變式1-9】（2023春 貴州期中）已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+（n+3）6是關(guān)于x，y的二元一次方程．
（1）求m，n的值；
（2）求x時(shí)，y的值．
【例題2】（2023春 麻陽縣校級期中）下列方程組中屬于二元一次方程組的有（　　）
A． B．
C． D．
解題技巧提煉 本題運(yùn)用定義法解題，在識別二元一次方程組時(shí)，首先看是否有兩個(gè)未知數(shù)，其次看含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是否是1，另外還要注意方程是不是整式方程.
【變式2-1】（2023秋 北碚區(qū)校級期末）下列方程組是二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2023春 仁壽縣校級期中）下列方程組中是二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2023秋 東明縣期末）下列方程組中，屬于二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2-4】（2023春 九龍坡區(qū)校級期中）下列各方程組中，屬于二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2-5】（2023春 象山區(qū)校級期中）下列方程組中，不是二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式2-6】（2021春 平?jīng)銎谀┓匠探M是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則ab的值是 　 　．
【例題3】（2024春 忠縣期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程3x﹣ky＝7有一組解為，則k的值為（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣4
解題技巧提煉 1、二元一次方程的解的定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解． 2、二元一次方程組的解的定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解． 3、一般情況下二元一次方程組的解是唯一的．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到有關(guān)二元一次方程（組）的解的問題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù)．
【變式3-1】（2024春 海淀區(qū)校級期中）已知是二元一次方程3x﹣my＝18的一個(gè)解，那么m的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【變式3-2】（2024春 越秀區(qū)校級期中）以下方程的解為的是（　　）
A．2x+3y＝7 B．3x﹣2y＝1
C．﹣4x+3y＝﹣10 D．x+2y＝5
【變式3-3】（2024春 浙江期中）已知是關(guān)于x，y的二元一次方程2x﹣my＝10的一個(gè)解，則m的值為（　　）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【變式3-4】（2024春 江城區(qū)校級期中）已知是關(guān)于x，y的方程，x+ky＝3的一個(gè)解，則k的值
為（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【變式3-5】（2022春 建華區(qū)校級期中）關(guān)于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整數(shù)解有（　　）組．
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式3-6】（2023秋 薛城區(qū)期末）若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一個(gè)解，則3a﹣2b+2025的值為 　 　．
【變式3-7】（2023秋 歷下區(qū)期中）是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，求a與b的值．
【變式3-8】（2023 南京模擬）已知和都是關(guān)于x，y的二元一次方程y＝x+b的解．
（1）請用含n的代數(shù)式表示m；
（2）若m﹣2n＝b2+2b﹣7，求b的值．
【例題4】（2023 永州）某2020年人均可支收入為2.36萬元，2022年達(dá)到2.7萬元，若2020年至2022年間每年人均可支配收入的增長率都為x，則下面所列方程正確的是（　　）
A．2.7（1+x）2＝2.36 B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36 D．2.36（1﹣x）2＝2.7
解題技巧提煉 由實(shí)際問題列二元一次方程組：在解決實(shí)際問題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出表示問題的兩個(gè)相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出二元一次方程組．
【變式4-1】（2024春 昌平區(qū)校級期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何”，你能用二元一次方程組表示題中的數(shù)量關(guān)系嗎？設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，則下面方程組正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023秋 玉林期末）在3月12日是植樹節(jié)這天，小剛和小敏積極踴躍地參加植樹活動(dòng)，小剛平均每小時(shí)比小敏多植1棵樹，小剛植樹3小時(shí)，小敏植樹2小時(shí)，兩人一共植樹18棵樹．設(shè)小剛平均每小時(shí)植樹x棵，小敏平均每小時(shí)植樹y棵，那么根據(jù)題意，下列所列方程組中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式4-3】（2024 青白江區(qū)模擬）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》第七章主要內(nèi)容是“盈不足術(shù)”，其中有這樣一道盈虧類問題：“今有共買羊，人出五，不足九十；人出五十，適足．問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”題目大意是：“有幾個(gè)人共同購買一只羊，若每人出五元，還差九十元；若每人出五十元，剛好夠．問有幾個(gè)人，羊的價(jià)格是多少？”設(shè)有x人，羊的價(jià)格為y元，可列方程組為（　　）
A． B．
C． D．
【變式4-4】（2024 金牛區(qū)模擬）某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值﹣總支出）為200萬元．今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元．去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則可列方程組為（　　）
A．
B．
C．
D．
【變式4-5】（2024春 鄞州區(qū)期中）用如圖1中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖2的豎式和橫式兩種無蓋紙盒．現(xiàn)在倉庫里有500張正方形紙板和800張長方形紙板，問兩種紙盒各做多少個(gè)，恰好將庫存的紙板用完？設(shè)做豎式紙盒x個(gè)，橫式紙盒y個(gè)，恰好將庫存的紙板用完，則可列方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
【變式4-6】（2024春 福州期中）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”其可譯為：“有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛．則1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？”設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒x斛，1個(gè)小桶可以盛酒y斛，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
【例題5】用代入法解方程組有以下過程，其中錯(cuò)誤的一步是（　　）
A．由①得x③
B．把③代入②得35y＝5
C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5
D．解得y＝1，再由③得x＝2.5
解題技巧提煉 用代入法解方程組時(shí)，選擇方程用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)是關(guān)鍵，它影響著解題的繁簡成對，應(yīng)盡量選取系數(shù)比較簡單的方程.
【變式5-1】（2024春 蒼南縣期中）對于方程組，把②代入①得（　　）
A．2x﹣4x﹣1＝5 B．2x﹣4x+1＝5 C．2x﹣4x+2＝5 D．2x﹣4x﹣2＝5
【變式5-2】（2024 喀喇沁旗模擬）用代入法解一元二次方程過程中，下列變形不正確的是（　　）
A．由①得 B．由①得y＝5﹣2x
C．由②得 D．由②得
【變式5-3】（2023春 祿勸縣校級期中）用代入消元法解方程組使得代入后化簡比較容易的變形是（　　）
A．由①得x B．由①得x
C．由②得x D．由②得y＝2x﹣5
【變式5-4】（2024 武威二模）方程組用代入法消去y后所得的方程是（　　）
A．3x﹣4x﹣10＝8 B．3x﹣4x+5＝8
C．3x﹣4x﹣5＝8 D．3x﹣4x+10＝8
【變式5-5】（2024春 印江縣月考）二元一次方程組，最適合用下列哪種消元法求解（　　）
A．代入消元法
B．加減消元法
C．代入消元法或加減消元法
D．無法確定
【變式5-6】用代入法解方程組時(shí)，最好是先把　 　變形為　 　，再代入方程　 　，求出　 　的值，然后再求出　 的值，最后寫方程組的解．
【變式5-7】用代入法解二元一次方程組：
（1）；
（2）；
（3）．
【變式5-8】用代入法解下列方程組：
（1） （2）
（3） （4）
【變式5-9】（2022春 安溪縣期中）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代入”的解法如下：
解：將方程②變形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為；
請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組．
【例題6】（2023秋 惠來縣期末）對于方程組，用加減法消去x得到的方程是（　　）
A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2
解題技巧提煉 用加減消元法解二元一次方程組時(shí)，一般有三種情況: (1)方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等,則直接利用加減法求解; (2)方程組中任意一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不相等,但某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值成倍數(shù)關(guān)系,則將其中一個(gè)方程乘這個(gè)倍數(shù)后再利用加我法求解; (3)方程組中任意一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值既不相等,也不成倍數(shù)關(guān)系,可利用最小公倍數(shù)的知識,把兩個(gè)方程都適當(dāng)?shù)爻艘粋€(gè)數(shù)，使某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等,然后再利用加減法求解.
【變式6-1】（2024春 余杭區(qū)月考）已知方程組，則②﹣①得（　　）
A．2x＝4 B．2y＝4 C．4y＝4 D．3y＝10
【變式6-2】（2024春 鼓樓區(qū)校級期中）利用加減消元法解方程，下列做法正確的、是（　　）
A．要消去x，可以將①×（﹣5）+②×3
B．要消去x，可以將①×5﹣②×（﹣3）
C．要消去y，可以將①×（﹣3）+②×2
D．要消去y，可以將①×6﹣②×4
【變式6-3】（2024春 海口期中）用加減法解方程組，下列解法正確的是（　　）
A．①×3﹣②×2，消去x B．①×2﹣②×3，消去y
C．①×（﹣3）+②×2，消去x D．①×2﹣②×（﹣3），消去y
【變式6-4】（2023春 麻陽縣校級期中）解方程組時(shí)，消去未知數(shù)y，最簡單的是（　　）
A．①×2﹣②×4
B．①﹣②×2
C．①+②×2
D．由②得，y，再代入①
【變式6-5】（2024春 新野縣期中）解方程組的最佳方法是（　　）
A．代入法消去y，由①得y
B．代入法消去x，由②得x
C．加減法消去y，①+②得6x＝12
D．加減法消去x，①×2﹣②得﹣9y＝9
【變式6-6】用加減法解方程組具體步驟如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）把x＝2代入①，解得y；（4）∴這個(gè)方程組的解是．其中，開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是（　　）
A．（4） B．（3） C．（2） D．（1）
【變式6-7】（2024春 海淀區(qū)校級期中）在解關(guān)于x，y的方程組時(shí)，可以用①×7﹣②×3消去未知數(shù)x，也可以用①×2+②×5消去未知數(shù)y，則m＝　 ；n＝　 　．
【變式6-8】（2024春 鼓樓區(qū)校級期中）解二元一次方程組：
（1）．
（2）．
【變式6-9】用加減法解二元一次方程組：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【例題7】（2024春 楊浦區(qū)期中）
解題技巧提煉 換元法是通過引入新的變量(元)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，然后求解.
【變式7-1】用換元法解下列方程組：
（1）
（2）．
【變式7-2】（2023春 云陽縣期中）閱讀探索：解方程組
解：設(shè)a﹣1＝x，b+2＝y(tǒng)原方程組可以化為，解得，即：，此種解方程組的方法叫換元法．
（1）拓展提高
運(yùn)用上述方法解下列方程組；
（2）能力運(yùn)用
已知關(guān)于x，y的方程組的解為，求關(guān)于m、n的方程組的解．
【變式7-3】（2023秋 山亭區(qū)期末）解方程（組）：
（1）；
（2）閱讀材料：善于思考的小明同學(xué)在解方程組時(shí)，采用了一種“整體換元”的解法．
解：把m+5，n+3看成一個(gè)整體，設(shè)m+5＝x，n+3＝y(tǒng)，原方程組可化為，解得∴，∴原方程組的解為．請仿照小明同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組．
【變式7-4】（2024春 印江縣月考）閱讀材料，回答問題．
解方程組，時(shí)，如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運(yùn)算量比較大，也容易出錯(cuò)，如果把方程組中的x+y和x﹣y分別看作一個(gè)整體，設(shè)x+y＝A，x﹣y＝B，原方程組可變形為，解得，即，再解這個(gè)方程組得．這種解方程組的方法叫做整體換元法．
（1）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，的解為，那么在關(guān)于a，b的二元一次方程組，中，a+b＝　 　，2a﹣b＝　 　；
（2）用材料中的方法解二元一次方程組．
【例題8】（2023秋 蒲城縣期末）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解也是關(guān)于x，y的二元一次方程4x+ky＝13的解，則k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
解題技巧提煉 求二元一次方程組中的字母參數(shù)的一般步驟： ①把字母參數(shù)看作已知數(shù)并解方程組； ②根據(jù)方程組解的特點(diǎn)，得到關(guān)于字母參數(shù)的方程； ③解方程組求得字母參數(shù).
【變式8-1】（2023秋 永修縣校級期末）若方程組的解滿足x+y＝2021，則k的值
為（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【變式8-2】（2023秋 西安期末）若方程組與方程3ax﹣2ay＝12具有相同的解，則a的值
為（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【變式8-3】（2024春 新安縣期中）關(guān)于x、y、k的方程組的解中x、y的和為12，則k的值為 　 ．
【變式8-4】（2022秋 定遠(yuǎn)縣期末）已知是方程組的解，求a2022+b2023的值．
【變式8-5】（2024春 新華區(qū)校級期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足2x+3y＝1，求m的值．
【變式8-6】（2023春 宜豐縣校級期中）已知關(guān)于x，y的方程組的解為試求的值．
【變式8-7】（2023秋 甘州區(qū)校級期末）已知方程組和方程組的解相同，
求（2a+b）2024的值．
【變式8-8】（2023春 萊蕪區(qū)期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組與有公共的解．求a2+b2﹣2ab的值．
【變式8-9】（2023春 饒平縣校級期末）已知方程組由于甲看錯(cuò)了方程①中的a得到方程組的解為；乙看錯(cuò)了方程②中的b得到方程組的解為，若按正確的a，b計(jì)算，請你求原方程組的解．

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