資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
2024年中考二輪復(fù)習(xí)
專(zhuān)題1 數(shù)與式、方程與不等式
題型一 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
【知識(shí)梳理】
1、常見(jiàn)實(shí)數(shù)的運(yùn)算：
運(yùn)算 法則 特殊計(jì)算
乘方 ①（-a）n=an n為偶數(shù) ②（-a）n= -an n為奇數(shù) ①（-1）n = 1 n為偶數(shù) ②（-1）n = -1 n為奇數(shù)
零次冪 a0=1 （a≠0）
負(fù)整數(shù)的指數(shù)冪 a-n = （a≠0，n為正整數(shù)） a-1= （a≠0）
去括號(hào) ① -（a-b）= - a+b 或 b-a ② +（a-b）= a-b
去絕對(duì)值符號(hào) ①|(zhì)a-b|=a-b， a>b ②|a-b|=0， a=b ③|a-b|=b-a， a2、特殊三角函數(shù)值：
三角函數(shù) 30° 45° 60°
1
3、實(shí)數(shù)運(yùn)算的“兩個(gè)關(guān)鍵”：
①明確運(yùn)算順序：要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算．
②運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．
【例題講解】
1．（2023·云南）計(jì)算：．
解：
．
2．（2023·眉山）計(jì)算：
解：原式
．
3．（2023·沈陽(yáng)）計(jì)算：．
解：
．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·德陽(yáng)）計(jì)算：
解：．
2．（2023·烏魯木齊·二模）計(jì)算：．
解：
3．（2023·陽(yáng)江·二模）計(jì)算：．
解：原式
．
題型二 整式與分式的運(yùn)算
【知識(shí)梳理】
1、整式的運(yùn)算
（1）冪的運(yùn)算：①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n；②冪的乘方：(am)n=amn；
③積的乘方：(ab)n=anbn；④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。
（2）整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a -b ；
②完全平方公式：（a±b） =a ±2ab+b 。
（3）運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的，先算括號(hào)內(nèi)的，去括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中大括號(hào)。
2、因式分解
概念 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式叫做因式分解.因式分解與整式乘法是互逆變形.
基本
方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 ① 運(yùn)用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
② 運(yùn)用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2
進(jìn)階
方法 十字相乘法 a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 【口訣】首尾分解，交叉相乘，試驗(yàn)篩選，求和湊中.
分組分解法 ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
換元法 如果多項(xiàng)式中某部分代數(shù)式，那么可將這部分代數(shù)式用另一個(gè)字母代替.
例：因式分解(x2+5x+2)(x2+5x+3)-12，設(shè)x2+5x+2=t 則原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)= (x+2)(x+3)(x2+5x-1)
一般
步驟 1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式； 2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，可以嘗試使用公式法：①為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式； ②為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式； ③為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解； 3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止． 以上步驟可以概括為“一提二套三檢”.
3、分式的運(yùn)算
分式運(yùn)算 說(shuō)明
分式的加減法 1）同分母：分母不變，分子相加減，即： . 2）異分母：先通分，化為同分母的分式，再加減.即： .
分式的乘除法 1）乘法：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.即： 2）除法：把除式的分子、分母顛倒位置，再與被除式相乘.即：
分式的乘方 把分子、分母分別乘方，即：
分式的混合運(yùn)算 運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減.有括號(hào)的，先算括號(hào)里的.靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式．
【例題講解】
1．（2023·湖南）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
解：
當(dāng)時(shí)，原式．
2．（2023·淄博）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
解：原式,
當(dāng) 時(shí),
原式 ．
3．（2023·青海）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
4．（2023·深圳）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
解：
∵
∴原式．
5．（2023·濱州）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中滿(mǎn)足．
解：
；
∵，
即，
∴原式．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·南充）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
解：原式=
=；
當(dāng)x=時(shí)，
原式=
=3+1-
=-．
2．（2022·廣西）先化簡(jiǎn)，再求值，其中．
解：
=x2-y2+y2-2y
=x2-2y
當(dāng)x=1，y=時(shí)，原式=12-2×=0．
3．（2023·武威）化簡(jiǎn)：．
解：原式
．
4．（2023·煙臺(tái)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是使不等式成立的正整數(shù)．
解：
，
解不等式得：，
∵a為正整數(shù)，
∴，，，
∵要使分式有意義，
∴，
∵當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴把代入得：原式．
5．（2023·聊城）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
解：
；
當(dāng)時(shí)，
．
6．（2023·通遼）以下是某同學(xué)化簡(jiǎn)分式的部分運(yùn)算過(guò)程：
解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ……
(1)上面的運(yùn)算過(guò)程中第___________步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；
(2)請(qǐng)你寫(xiě)出完整的解答過(guò)程．
（1）解：
故第一步錯(cuò)誤．
故答案為：一．
（2）解：
．
題型三 解方程與不等式
【知識(shí)梳理】
1、解一元一次方程的一般步驟：
（1）去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)
（2）去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)
（3）移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊
（4）合并同類(lèi)項(xiàng)：把方程化成的形式
（5）系數(shù)化為1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解為
2、解二元一次方程組的方法：加減消元法與整體代入法；
3、解分式方程的步驟
（1）去分母。方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方程。
（2）去括號(hào)。系數(shù)分別乘以括號(hào)里的數(shù)。
（3）移項(xiàng)。含有未知數(shù)的式子移到方程左邊，常數(shù)移到方程右邊。
（4）合并同類(lèi)項(xiàng)。
（5）系數(shù)化為1。
（6）檢驗(yàn)。把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母等于0，這個(gè)根就是增根；如果最簡(jiǎn)公分母不等于0，這個(gè)根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程無(wú)解。
4、解一元二次方程的方法：
（1）直接開(kāi)平方法
（2）配方法
（3）公式法：ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為
（4）因式分解法：十字相乘法
【例題講解】
1．（2022·黔西）小明解方程的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得①
去括號(hào)，得②
移項(xiàng)，得③
合并同類(lèi)項(xiàng)，得④
以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
解：方程兩邊同乘6，得①
∴開(kāi)始出錯(cuò)的一步是①，
故選：A．
2．解下列方程或不等式
（1）（2023·連云港）解方程組 （2）（2023·常德）解方程組：
（3）（2023·山西）解方程：． （4）（2023·赤峰）方程
（5）（2023·鹽城）解不等式：. （6）（2023·徐州）解不等式組
（7）（2023·齊齊哈爾）x2﹣3x+2＝0． （8）（2023·無(wú)錫）解方程：
（1）解：
①+②得，
解得，
將代入①得，
解得．
∴原方程組的解為
（2）解：將①得：③
得：
將代入①得：
所以是原方程組的解．
（3）解：原方程可化為．
方程兩邊同乘，得．
解得．
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．
∴原方程的解是．
（4）解：，
方程兩邊同時(shí)乘以得，，
，
，
，
或．
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，故舍去．
原方程的解為：．
（5）去分母得：
去括號(hào)得：
移項(xiàng)得：
合并同類(lèi)項(xiàng)得：
系數(shù)化為1：．
（6）解：
解不等式①得，，解不等式②得，，
∴不等式組的解集是．
（7）解x2﹣3x+2＝0．
()()=0
，
（8）解：
解：∵，
∴ ，
∴
解得：，；
3．（2023·眉山）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿(mǎn)足，則m的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：，
得，
，
代入，可得，
解得，
故選：B．
4．（2023·巴中）關(guān)于x的分式方程有增根，則 ．
解：，
解：方程兩邊同時(shí)乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
5．（2023·黑龍江）關(guān)于的不等式組有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
解：解不等式組得：，
∵關(guān)于的不等式組有3個(gè)整數(shù)解，
∴這3個(gè)整數(shù)解為，，，
∴，
解得：，
故答案為：．
6．（2023·南充）已知關(guān)于x的一元二次方程
(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
(2)若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m的值．
（1）證明：關(guān)于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不論為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值為或．
【變式訓(xùn)練】
1．解下列方程或不等式：
（1）（2023 衢州）解方程： （2）（2022·濰坊）解方程：
（3）（2023·廣州）解方程： （4）（2023·無(wú)錫）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（5）（2023·蘇州）解不等式組： （6）（2023·揚(yáng)州）解不等式組
（7）（2023·廣西）解方程：． （8）（2023·河源二模）解方程 ．
（1）解：
7=2（4-1）+6
7=8-2+6
=-4
（2）解：，
①×2+②×3，得13x=26，
解得：x=2，
把x=2代入②，得6-2y=0，
解得y=3，
故方程組的解為．
故答案為：．
（3）解：，
，
或，
，．
（4）解：
解：∵，
∴ ，
∴
解得：，；
（5）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：
（6）解：
解不等式①得·，
解不等式②，得：，
（7）解：
去分母得，
移項(xiàng)，合并得，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以原分式方程的解為．
（8）解：方程可變?yōu)椋?br/>，
方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母得，
，
去括號(hào)，得，
解得，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
∴原方程的解是．
2．（2023·南充）關(guān)于x，y的方程組的解滿(mǎn)足，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
解：法一：，
得，
解得，
將代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故選：D．
3．（2023·眉山）關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是 ．
解：解，可得，
的方程的解為非負(fù)數(shù)，
，
解得，
，
，
即，
的取值范圍是且，
故答案為：且．
4．（2022·綏化）不等式組的解集為，則m的取值范圍為 ．
解：，
解①得：，
又因?yàn)椴坏仁浇M的解集為x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案為：m≤2．
5．（2023·巴中）（1）計(jì)算：．
（2）求不等式組的解集．
（3）先化簡(jiǎn)，再求值，其中x的值是方程的根．
【答案】（1）；（2）；（3），
【分析】（1）先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，二次根式的化簡(jiǎn)與乘方運(yùn)算，再合并即可；
（2）先分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，再確定兩個(gè)不等式的解集的公共部分即可；
（3）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的加減運(yùn)算，再計(jì)算除法運(yùn)算得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再解一元二次方程結(jié)合分式有意義的條件確定的值，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）原式
；
（2）由不等式①得：；
由不等式②得： ；
∴原不等式組的解集為：；
（3）原式
；
解方程
得
，；
，
原式
．
6．（2023·荊州）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，用配方法解方程．
（1）解：依題意得：，
解得且；
（2）解：當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)椋海?br/>則有：，
，
，
方程的根為，．
題型四 方程與不等式的實(shí)際問(wèn)題
【知識(shí)梳理】
一次方程與分式方程的實(shí)際問(wèn)題 解應(yīng)用題的步驟：①審清題意;②找等量關(guān)系;③設(shè)未知數(shù);④列方程;⑤解方程;⑥驗(yàn)根;⑦作答.
工程問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間
利息問(wèn)題：利息=本金×利率×期數(shù);本息和=本金+利息
行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間;其中,相遇問(wèn)題:s甲+s乙=s總; 追及問(wèn)題：(同地異時(shí))前者走的路程=追者走的路程; (異地同時(shí))前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程 水中航行問(wèn)題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度． 飛機(jī)航行問(wèn)題：順風(fēng)速度=靜風(fēng)速度+風(fēng)速度；逆風(fēng)速度=靜風(fēng)速度-風(fēng)速度．
利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售-進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=×100%.售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣；銷(xiāo)售額=售價(jià)×數(shù)量
數(shù)字問(wèn)題：兩位數(shù)=10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)=100×百位數(shù)字+10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字
一元二次方程的實(shí)際問(wèn)題 （1）平均增長(zhǎng)/下降率問(wèn)題： 設(shè)a為原來(lái)量，m為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量，則；當(dāng)m為平均下降率時(shí)，則有．
（2）利潤(rùn)問(wèn)題：總利潤(rùn)＝ 單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量 =（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售數(shù)量
（3）面積問(wèn)題 類(lèi)型1：如圖1所示的矩形長(zhǎng)為a，寬為b，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為． 類(lèi)型2：如圖2所示的矩形長(zhǎng)為a，寬為b，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為． 類(lèi)型3：如圖3所示的矩形長(zhǎng)為a，寬為b，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為． 圖1 圖2 圖3
（4）相互問(wèn)題：握手問(wèn)題： 禮物問(wèn)題：x(x－1)
（5）傳染問(wèn)題：第二輪總數(shù)：(1+x)2 第n輪總數(shù)：(1+x)n
（6）分支問(wèn)題和轉(zhuǎn)發(fā)問(wèn)題：x2+x+1=總數(shù)
【例題講解】
1．（2023·衢州）某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了人，則可得到方程（ ）
A． B．
C． D．
解：由題意得：，
故選：C．
2．（2023·湖州）某品牌新能源汽車(chē)2020年的銷(xiāo)售量為20萬(wàn)輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車(chē)的銷(xiāo)售量逐年遞增，2022年的銷(xiāo)售量比2020年增加了萬(wàn)輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量的平均年增長(zhǎng)率為x，那么可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得
，
故選：D．
3．（2023·遼寧）某校八年級(jí)學(xué)生去距離學(xué)校的游覽區(qū)游覽，一部分學(xué)生乘慢車(chē)先行，出發(fā)后，另一部分學(xué)生乘快車(chē)前往，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知快車(chē)的速度是慢車(chē)速度的倍，求慢車(chē)的速度，設(shè)慢車(chē)的速度是，所列方程正確的是（　　）
A． B． C． D．
解：設(shè)慢車(chē)的速度是，則快車(chē)的速度為，
依題意得，
故選：B．
4．（2023·揚(yáng)州）近年來(lái)，市民交通安全意識(shí)逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大．某商店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔，已知購(gòu)買(mǎi)甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費(fèi)2920元，甲種頭盔的單價(jià)比乙種頭盔的單價(jià)高11元．
(1)甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是多少元？
(2)商店決定再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，促銷(xiāo)方式如下：甲種頭盔按單價(jià)的八折出售，乙種頭盔每只降價(jià)6元出售．如果此次購(gòu)買(mǎi)甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購(gòu)買(mǎi)多少只甲種頭盔，使此次購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最??？最小費(fèi)用是多少元？
（1）解:設(shè)購(gòu)買(mǎi)乙種頭盔的單價(jià)為x元，則甲種頭盔的單價(jià)為元，根據(jù)題意，得
解得，，
，
答：甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是65元， 54元．
（2）解：設(shè)購(gòu)m只甲種頭盔，此次購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最小,設(shè)總費(fèi)用為w,
則，解得，故最小整數(shù)解為，
，
∵，則w隨m的增大而增大，
∴時(shí)，w取最小值，最小值．
答：購(gòu)14只甲種頭盔，此次購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最小,最小費(fèi)用為1976元．
5．（2023·瀘州）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來(lái)臨之際，某商場(chǎng)預(yù)測(cè)A粽子能夠暢銷(xiāo)．根據(jù)預(yù)測(cè)，每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
(1)該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)是多少元？
(2)如果該商場(chǎng)在節(jié)前和節(jié)后共購(gòu)進(jìn)A粽子400千克，且總費(fèi)用不超過(guò)4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)多少千克A粽子獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（1）解：設(shè)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為x元，則每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)題意得：
，
解得：，，
經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的解，但不符合實(shí)際舍去，
答：節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)為10元．
（2）解：設(shè)該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)m千克A粽子，則節(jié)后購(gòu)進(jìn)千克A粽子，獲得的利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w隨m的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，w取最大值，且最大值為：，
答：節(jié)前購(gòu)進(jìn)300千克A粽子獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3000元．
6．（2023·河南）某健身器材專(zhuān)賣(mài)店推出兩種優(yōu)惠活動(dòng)，并規(guī)定購(gòu)物時(shí)只能選擇其中一種．
活動(dòng)一：所購(gòu)商品按原價(jià)打八折；
活動(dòng)二：所購(gòu)商品按原價(jià)每滿(mǎn)300元減80元．（如：所購(gòu)商品原價(jià)為300元，可減80元，需付款220元；所購(gòu)商品原價(jià)為770元，可減160元，需付款610元）
(1)購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)為450元的健身器材時(shí)，選擇哪種活動(dòng)更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)在500元以下的健身器材時(shí)，若選擇活動(dòng)一和選擇活動(dòng)二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價(jià)．
(3)購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)在900元以下的健身器材時(shí)，原價(jià)在什么范圍內(nèi)，選擇活動(dòng)二比選擇活動(dòng)一更合算？設(shè)一件這種健身器材的原價(jià)為a元，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．
（1）解：購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)為450元的健身器材時(shí)，
活動(dòng)一需付款：元，活動(dòng)二需付款：元，
∴活動(dòng)一更合算；
（2）設(shè)這種健身器材的原價(jià)是元，
則，
解得，
答：這種健身器材的原價(jià)是400元，
（3）這種健身器材的原價(jià)為a元，
則活動(dòng)一所需付款為：元，
活動(dòng)二當(dāng)時(shí)，所需付款為：元，
當(dāng)時(shí)，所需付款為：元，
當(dāng)時(shí)，所需付款為：元，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)論為何值，都是活動(dòng)一更合算，不符合題意，
②當(dāng)時(shí)，，解得，
即：當(dāng)時(shí)，活動(dòng)二更合算，
③當(dāng)時(shí)，，解得，
即：當(dāng)時(shí)，活動(dòng)二更合算，
綜上：當(dāng)或時(shí)，活動(dòng)二更合算．
7．（2023·金華）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．

（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是 ．
（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個(gè)的值，使得到的矩形面積為，則的值是 ．
（1）根據(jù)題意，得，起始長(zhǎng)方形的面積為，變化后長(zhǎng)方形的面積為，
∵，邊減少，得到的矩形面積不變，
∴，
解得，
故答案為：6．
（2）根據(jù)題意，得，起始長(zhǎng)方形的面積為，變化后長(zhǎng)方形的面積為，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵有且只有一個(gè)的值，
∴，
∴，
解得（舍去），
故答案為：．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·貴州）《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶(hù)分一頭鹿后，還有剩余，將剩下的鹿按每3戶(hù)共分一頭，恰好分完，問(wèn)：有多少戶(hù)人家？若設(shè)有x戶(hù)人家，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
解：x戶(hù)人家，每戶(hù)分一頭鹿需x頭鹿，每3戶(hù)共分一頭需頭鹿，
由此可知，
故選C．
2．（2023·甘孜）有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛．1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（ ）
A． B． C． D．
解：設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根據(jù)題意得，，
故選：A．
3．（2023·山東）《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四、問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”題目大意是：有幾個(gè)人一起去買(mǎi)一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．問(wèn)有多少人？該物品價(jià)值多少元？設(shè)有x人，該物品價(jià)值y元，根據(jù)題意列方程組： ．
解：設(shè)有人，物品價(jià)值為元，
由題意得：．故答案為：．
4．（2023·遼寧）某禮品店經(jīng)銷(xiāo)A，B兩種禮品盒，第一次購(gòu)進(jìn)A種禮品盒10盒，B種禮品盒15盒，共花費(fèi)2800元；第二次購(gòu)進(jìn)A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費(fèi)1200元
(1)求購(gòu)進(jìn)A，B兩種禮品盒的單價(jià)分別是多少元；
(2)若該禮品店準(zhǔn)備再次購(gòu)進(jìn)兩種禮品盒共40盒，總費(fèi)用不超過(guò)4500元，那么至少購(gòu)進(jìn)A種禮品盒多少盒？
（1）解：設(shè)A禮品盒的單價(jià)是a元，B禮品盒的單價(jià)是b元，
根據(jù)題意得：，解得：，
答：A禮品盒的單價(jià)是100元，B禮品盒的單價(jià)是120元；
（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A禮品盒x盒，則購(gòu)進(jìn)B禮品盒盒，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∵x為整數(shù)，
∴x的最小整數(shù)解為15，
∴至少購(gòu)進(jìn)A種禮品盒15盒．
5．（2023·宿遷）某商場(chǎng)銷(xiāo)售兩種商品，每件進(jìn)價(jià)均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出種20件，種10件，銷(xiāo)售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷(xiāo)售總額為660元．
(1)求兩種商品的銷(xiāo)售單價(jià)．
(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，種商品按原售價(jià)銷(xiāo)售，可售出40件，原售價(jià)每降價(jià)1元，銷(xiāo)售量可增加10件；種商品的售價(jià)不變，種商品售價(jià)不低于種商品售價(jià)．設(shè)種商品降價(jià)元，如果兩種商品銷(xiāo)售量相同，求取何值時(shí)，商場(chǎng)銷(xiāo)售兩種商品可獲得總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（1）解：設(shè)的銷(xiāo)售單價(jià)為元、的銷(xiāo)售單價(jià)為元，則
，解得，
答：的銷(xiāo)售單價(jià)為元、的銷(xiāo)售單價(jià)為元；
（2）解： 種商品售價(jià)不低于種商品售價(jià)，
，解得，即，
設(shè)利潤(rùn)為，則
，
，
在時(shí)能取到最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，商場(chǎng)銷(xiāo)售兩種商品可獲得總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．
6．（2023·恩施）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長(zhǎng)·書(shū)香恩施”的號(hào)召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加朗誦比賽，因活動(dòng)需要，計(jì)劃給每個(gè)學(xué)生購(gòu)買(mǎi)一套服裝．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，購(gòu)買(mǎi)1套男裝和1套女裝共需220元；購(gòu)買(mǎi)6套男裝與購(gòu)買(mǎi)5套女裝的費(fèi)用相同．
(1)男裝、女裝的單價(jià)各是多少？
(2)如果參加活動(dòng)的男生人數(shù)不超過(guò)女生人數(shù)的，購(gòu)買(mǎi)服裝的總費(fèi)用不超過(guò)17000元，那么學(xué)校有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？怎樣購(gòu)買(mǎi)才能使費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少？
（1）解：設(shè)男裝單價(jià)為x元，女裝單價(jià)為y元，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：男裝單價(jià)為100元，女裝單價(jià)為120元．
（2）解：設(shè)參加活動(dòng)的女生有a人，則男生有人，
根據(jù)題意可得，
解得：，
∵a為整數(shù)，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個(gè)數(shù)，
故一共有11種方案，
設(shè)總費(fèi)用為w元，則，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，w有最小值，最小值為（元）．
此時(shí)，（套）．
答：當(dāng)女裝購(gòu)買(mǎi)90套，男裝購(gòu)買(mǎi)60套時(shí)，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為16800元．
7．（2023·東營(yíng)）如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門(mén)（建在處，另用其他材料）．

(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640的羊圈？
(2)羊圈的面積能達(dá)到 嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）解：設(shè)矩形的邊，則邊 ．
根據(jù)題意，得．
化簡(jiǎn)，得．
解得，．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為 的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由題意，得．
化簡(jiǎn)，得．
∵，
∴一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
∴羊圈的面積不能達(dá)到 ．
8．（2023·德陽(yáng)）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時(shí)代”為主題的世界清潔能源裝備大會(huì)在德陽(yáng)舉行．大會(huì)聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點(diǎn)和前瞻性問(wèn)題，著力實(shí)現(xiàn)會(huì)展聚集帶動(dòng)產(chǎn)業(yè)聚集．其中德陽(yáng)清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽(yáng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積平方公里，計(jì)劃2025年基本建成．若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項(xiàng)工程，已知由甲單獨(dú)施工需要18個(gè)月完成任務(wù)，若由乙先單獨(dú)施工2個(gè)月，再由甲、乙合作施工10個(gè)月恰好完成任務(wù)．承建公司每個(gè)月需要向甲工程隊(duì)支付施工費(fèi)用8萬(wàn)元，向乙工程隊(duì)支付施工費(fèi)用5萬(wàn)元．
(1)乙隊(duì)單獨(dú)完工需要幾個(gè)月才能完成任務(wù)？
(2)為保證該工程在兩年內(nèi)完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)施工，并將該工程分成兩部分，甲隊(duì)完成其中一部分工程用了a個(gè)月，乙隊(duì)完成另一部分工程用了b個(gè)月，已知甲隊(duì)施工時(shí)間不超過(guò)6個(gè)月，乙隊(duì)施工時(shí)間不超過(guò)24個(gè)月，且a，b為正整數(shù)，則甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費(fèi)用最低？
（1）解：設(shè)乙單獨(dú)完成需要個(gè)月，則
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解且符合題意；
答：乙隊(duì)單獨(dú)完工需要27個(gè)月才能完成任務(wù)．
（2）由題意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∵都為正整數(shù)，
∴為3的倍數(shù)，
∴或或，
∴甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排有3種方式，
方案①：安排甲工作6個(gè)月，乙工作18個(gè)月，費(fèi)用為：（萬(wàn)元），
方案②：安排甲工作4個(gè)月，乙工作21個(gè)月，費(fèi)用為：（萬(wàn)元），
方案③：安排甲工作2個(gè)月，乙工作24個(gè)月，費(fèi)用為：（萬(wàn)元），
∴安排甲工作2個(gè)月，乙工作24個(gè)月，費(fèi)用最低為萬(wàn)元．
9．（2023·懷化）某中學(xué)組織學(xué)生研學(xué)，原計(jì)劃租用可坐乘客人的種客車(chē)若干輛，則有人沒(méi)有座位；若租用可坐乘客人的種客車(chē)，則可少租輛，且恰好坐滿(mǎn)．
(1)求原計(jì)劃租用種客車(chē)多少輛？這次研學(xué)去了多少人？
(2)若該校計(jì)劃租用、兩種客車(chē)共輛，要求種客車(chē)不超過(guò)輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車(chē)方案？
(3)在（2）的條件下，若種客車(chē)租金為每輛元，種客車(chē)租金每輛元，應(yīng)該怎樣租車(chē)才最合算？
【答案】(1)原計(jì)劃租用種客車(chē)輛，這次研學(xué)去了人
(2)共有種租車(chē)方案，方案一：租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛；方案二：租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛；方案三：租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛，
(3)租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛才最合算
【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃租用種客車(chē)輛，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解；
（3）分別求得三種方案的費(fèi)用，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)原計(jì)劃租用種客車(chē)輛，根據(jù)題意得，
，
解得：
所以（人）
答：原計(jì)劃租用種客車(chē)輛，這次研學(xué)去了人；
（2）解：設(shè)租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛，根據(jù)題意，得
解得：，
∵為正整數(shù)，則，
∴共有種租車(chē)方案，
方案一：租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛，
方案二：租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛，
方案三：租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛，
（3）∵種客車(chē)租金為每輛元，種客車(chē)租金每輛元，
∴種客車(chē)越少，費(fèi)用越低，
方案一：租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛，費(fèi)用為元，
方案二：租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛，費(fèi)用為元，
方案三：租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛，費(fèi)用為元，
∴租用種客車(chē)輛，則租用種客車(chē)輛才最合算．
10．（2023·內(nèi)江）某水果種植基地為響應(yīng)政府號(hào)召，大力種植優(yōu)質(zhì)水果．某超市看好甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果的市場(chǎng)價(jià)值，經(jīng)調(diào)查，這兩種水果的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：
水果種類(lèi) 進(jìn)價(jià)（元千克） 售價(jià)（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
該超市購(gòu)進(jìn)甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購(gòu)進(jìn)甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)該超市決定每天購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共100千克進(jìn)行銷(xiāo)售，其中甲種水果的數(shù)量不少于30千克，且不大于80千克．實(shí)際銷(xiāo)售時(shí)，若甲種水果超過(guò)60千克，則超過(guò)部分按每千克降價(jià)3元銷(xiāo)售．求超市當(dāng)天售完這兩種水果獲得的利潤(rùn)y（元）與購(gòu)進(jìn)甲種水果的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，超市在獲得的利潤(rùn)y（元）取得最大值時(shí)，決定售出的甲種水果每千克降價(jià)元，乙種水果每千克降價(jià)m元，若要保證利潤(rùn)率（）不低于，求m的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)1.2
【分析】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果的數(shù)量的數(shù)量為x千克，則購(gòu)進(jìn)乙種水果的數(shù)量的數(shù)量為千克，根據(jù)題意分兩種情況：和，然后分別表示出總利潤(rùn)即可；
（3）首先根據(jù)題意求出y的最大值，然后根據(jù)保證利潤(rùn)率（）不低于列出不等式求解即可．
【詳解】（1）由題意列方程組為：，
解得；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果的數(shù)量的數(shù)量為x千克，則購(gòu)進(jìn)乙種水果的數(shù)量的數(shù)量為千克，
∴當(dāng)時(shí)，
；
當(dāng)時(shí)，
；
綜上所述，；
（3）當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，y取最大值，此時(shí)（元），
當(dāng)時(shí)，，
∴（元），
∴由上可得：當(dāng)時(shí)，y取最大值520（元），
∴由題意可得，，
∴解得．
∴m的最大值為1.2．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)2024年中考二輪復(fù)習(xí)
專(zhuān)題1 數(shù)與式、方程與不等式
題型一 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
【知識(shí)梳理】
1、常見(jiàn)實(shí)數(shù)的運(yùn)算：
運(yùn)算 法則 特殊計(jì)算
乘方 ①（-a）n=an n為偶數(shù) ②（-a）n= -an n為奇數(shù) ①（-1）n = 1 n為偶數(shù) ②（-1）n = -1 n為奇數(shù)
零次冪 a0=1 （a≠0）
負(fù)整數(shù)的指數(shù)冪 a-n = （a≠0，n為正整數(shù)） a-1= （a≠0）
去括號(hào) ① -（a-b）= - a+b 或 b-a ② +（a-b）= a-b
去絕對(duì)值符號(hào) ①|(zhì)a-b|=a-b， a>b ②|a-b|=0， a=b ③|a-b|=b-a， a2、特殊三角函數(shù)值：
三角函數(shù) 30° 45° 60°
1
3、實(shí)數(shù)運(yùn)算的“兩個(gè)關(guān)鍵”：
①明確運(yùn)算順序：要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算．
②運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．
【例題講解】
1．（2023·云南）計(jì)算：．
2．（2023·眉山）計(jì)算：
3．（2023·沈陽(yáng)）計(jì)算：．
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【變式訓(xùn)練】
1．（2023·德陽(yáng)）計(jì)算：
2．（2023·烏魯木齊·二模）計(jì)算：．
3．（2023·陽(yáng)江·二模）計(jì)算：．
題型二 整式與分式的運(yùn)算
【知識(shí)梳理】
1、整式的運(yùn)算
（1）冪的運(yùn)算：①同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n；②冪的乘方：(am)n=amn；
③積的乘方：(ab)n=anbn；④同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n。
（2）整式乘法公式：①平方差公式：（a+b）（a-b）=a -b ；
②完全平方公式：（a±b） =a ±2ab+b 。
（3）運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的，先算括號(hào)內(nèi)的，去括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中大括號(hào)。
2、因式分解
概念 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式叫做因式分解.因式分解與整式乘法是互逆變形.
基本
方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)
公式法 ① 運(yùn)用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
② 運(yùn)用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2
進(jìn)階
方法 十字相乘法 a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 【口訣】首尾分解，交叉相乘，試驗(yàn)篩選，求和湊中.
分組分解法 ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
換元法 如果多項(xiàng)式中某部分代數(shù)式，那么可將這部分代數(shù)式用另一個(gè)字母代替.
例：因式分解(x2+5x+2)(x2+5x+3)-12，設(shè)x2+5x+2=t 則原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)= (x+2)(x+3)(x2+5x-1)
一般
步驟 1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式； 2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，可以嘗試使用公式法：①為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式； ②為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式； ③為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解； 3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止． 以上步驟可以概括為“一提二套三檢”.
3、分式的運(yùn)算
分式運(yùn)算 說(shuō)明
分式的加減法 1）同分母：分母不變，分子相加減，即： . 2）異分母：先通分，化為同分母的分式，再加減.即： .
分式的乘除法 1）乘法：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.即： 2）除法：把除式的分子、分母顛倒位置，再與被除式相乘.即：
分式的乘方 把分子、分母分別乘方，即：
分式的混合運(yùn)算 運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減.有括號(hào)的，先算括號(hào)里的.靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式．
【例題講解】
1．（2023·湖南）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
2．（2023·淄博）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
3．（2023·青海）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
4．（2023·深圳）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
5．（2023·山東濱州）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中滿(mǎn)足．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·南充）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
2．（2022·廣西）先化簡(jiǎn)，再求值，其中．
3．（2023·武威）化簡(jiǎn)：．
4．（2023·煙臺(tái)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中是使不等式成立的正整數(shù)．
5．（2023·聊城）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
6．（2023·通遼）以下是某同學(xué)化簡(jiǎn)分式的部分運(yùn)算過(guò)程：
解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 ……
(1)上面的運(yùn)算過(guò)程中第___________步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；
(2)請(qǐng)你寫(xiě)出完整的解答過(guò)程．
題型三 解方程與不等式
【知識(shí)梳理】
1、解一元一次方程的一般步驟：
（1）去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)
（2）去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)
（3）移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊
（4）合并同類(lèi)項(xiàng)：把方程化成的形式
（5）系數(shù)化為1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解為
2、解二元一次方程組的方法：加減消元法與整體代入法；
3、解分式方程的步驟
（1）去分母。方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方程。
（2）去括號(hào)。系數(shù)分別乘以括號(hào)里的數(shù)。
（3）移項(xiàng)。含有未知數(shù)的式子移到方程左邊，常數(shù)移到方程右邊。
（4）合并同類(lèi)項(xiàng)。
（5）系數(shù)化為1。
（6）檢驗(yàn)。把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母等于0，這個(gè)根就是增根；如果最簡(jiǎn)公分母不等于0，這個(gè)根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程無(wú)解。
4、解一元二次方程的方法：
（1）直接開(kāi)平方法
（2）配方法
（3）公式法：ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為
（4）因式分解法：十字相乘法
【例題講解】
1．（2022·黔西）小明解方程的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得①
去括號(hào)，得②
移項(xiàng)，得③
合并同類(lèi)項(xiàng)，得④
以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．解下列方程或不等式
（1）（2023·連云港）解方程組 （2）（2023·常德）解方程組：
（3）（2023·山西）解方程：． （4）（2023·赤峰）方程
（5）（2023·鹽城）解不等式：. （6）（2023·徐州）解不等式組
（7）（2023·齊齊哈爾）x2﹣3x+2＝0． （8）（2023·無(wú)錫）解方程：
3．（2023·眉山）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿(mǎn)足，則m的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2023·巴中）關(guān)于x的分式方程有增根，則 ．
5．（2023·黑龍江）關(guān)于的不等式組有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
6．（2023·南充）已知關(guān)于x的一元二次方程
(1)求證：無(wú)論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；
(2)若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求m的值．
【變式訓(xùn)練】
1．解下列方程或不等式：
（1）（2023 衢州）解方程： （2）（2022·濰坊）解方程：
（3）（2023·廣州）解方程： （4）（2023·無(wú)錫）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（5）（2023·蘇州）解不等式組： （6）（2023·揚(yáng)州）解不等式組
（7）（2023·廣西）解方程：． （8）（2023·河源二模）解方程 ．
2．（2023·南充）關(guān)于x，y的方程組的解滿(mǎn)足，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2023·眉山）關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是 ．
4．（2022·綏化）不等式組的解集為，則m的取值范圍為 ．
5．（2023·巴中）（1）計(jì)算：．
（2）求不等式組的解集．
（3）先化簡(jiǎn)，再求值，其中x的值是方程的根．
6．（2023·荊州）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，用配方法解方程．
題型四 方程與不等式的實(shí)際問(wèn)題
【知識(shí)梳理】
一次方程與分式方程的實(shí)際問(wèn)題 解應(yīng)用題的步驟：①審清題意;②找等量關(guān)系;③設(shè)未知數(shù);④列方程;⑤解方程;⑥驗(yàn)根;⑦作答.
工程問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間
利息問(wèn)題：利息=本金×利率×期數(shù);本息和=本金+利息
行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間;其中,相遇問(wèn)題:s甲+s乙=s總; 追及問(wèn)題：(同地異時(shí))前者走的路程=追者走的路程; (異地同時(shí))前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程 水中航行問(wèn)題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度． 飛機(jī)航行問(wèn)題：順風(fēng)速度=靜風(fēng)速度+風(fēng)速度；逆風(fēng)速度=靜風(fēng)速度-風(fēng)速度．
利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售-進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=×100%.售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣；銷(xiāo)售額=售價(jià)×數(shù)量
數(shù)字問(wèn)題：兩位數(shù)=10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)=100×百位數(shù)字+10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字
一元二次方程的實(shí)際問(wèn)題 （1）平均增長(zhǎng)/下降率問(wèn)題： 設(shè)a為原來(lái)量，m為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量，則；當(dāng)m為平均下降率時(shí)，則有．
（2）利潤(rùn)問(wèn)題：總利潤(rùn)＝ 單件利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量 =（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售數(shù)量
（3）面積問(wèn)題 類(lèi)型1：如圖1所示的矩形長(zhǎng)為a，寬為b，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為． 類(lèi)型2：如圖2所示的矩形長(zhǎng)為a，寬為b，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為． 類(lèi)型3：如圖3所示的矩形長(zhǎng)為a，寬為b，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為． 圖1 圖2 圖3
（4）相互問(wèn)題：握手問(wèn)題： 禮物問(wèn)題：x(x－1)
（5）傳染問(wèn)題：第二輪總數(shù)：(1+x)2 第n輪總數(shù)：(1+x)n
（6）分支問(wèn)題和轉(zhuǎn)發(fā)問(wèn)題：x2+x+1=總數(shù)
【例題講解】
1．（2023·衢州）某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了人，則可得到方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·湖州）某品牌新能源汽車(chē)2020年的銷(xiāo)售量為20萬(wàn)輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車(chē)的銷(xiāo)售量逐年遞增，2022年的銷(xiāo)售量比2020年增加了萬(wàn)輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車(chē)銷(xiāo)售量的平均年增長(zhǎng)率為x，那么可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·遼寧）某校八年級(jí)學(xué)生去距離學(xué)校的游覽區(qū)游覽，一部分學(xué)生乘慢車(chē)先行，出發(fā)后，另一部分學(xué)生乘快車(chē)前往，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知快車(chē)的速度是慢車(chē)速度的倍，求慢車(chē)的速度，設(shè)慢車(chē)的速度是，所列方程正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
4．（2023·揚(yáng)州）近年來(lái)，市民交通安全意識(shí)逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大．某商店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔，已知購(gòu)買(mǎi)甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費(fèi)2920元，甲種頭盔的單價(jià)比乙種頭盔的單價(jià)高11元．
(1)甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是多少元？
(2)商店決定再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，促銷(xiāo)方式如下：甲種頭盔按單價(jià)的八折出售，乙種頭盔每只降價(jià)6元出售．如果此次購(gòu)買(mǎi)甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購(gòu)買(mǎi)多少只甲種頭盔，使此次購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最??？最小費(fèi)用是多少元？
5．（2023·瀘州）端午節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來(lái)臨之際，某商場(chǎng)預(yù)測(cè)A粽子能夠暢銷(xiāo)．根據(jù)預(yù)測(cè)，每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價(jià)比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購(gòu)進(jìn)A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
(1)該商場(chǎng)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價(jià)是多少元？
(2)如果該商場(chǎng)在節(jié)前和節(jié)后共購(gòu)進(jìn)A粽子400千克，且總費(fèi)用不超過(guò)4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場(chǎng)節(jié)前購(gòu)進(jìn)多少千克A粽子獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
6．（2023·河南）某健身器材專(zhuān)賣(mài)店推出兩種優(yōu)惠活動(dòng)，并規(guī)定購(gòu)物時(shí)只能選擇其中一種．
活動(dòng)一：所購(gòu)商品按原價(jià)打八折；
活動(dòng)二：所購(gòu)商品按原價(jià)每滿(mǎn)300元減80元．（如：所購(gòu)商品原價(jià)為300元，可減80元，需付款220元；所購(gòu)商品原價(jià)為770元，可減160元，需付款610元）
(1)購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)為450元的健身器材時(shí)，選擇哪種活動(dòng)更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)在500元以下的健身器材時(shí)，若選擇活動(dòng)一和選擇活動(dòng)二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價(jià)．
(3)購(gòu)買(mǎi)一件原價(jià)在900元以下的健身器材時(shí)，原價(jià)在什么范圍內(nèi)，選擇活動(dòng)二比選擇活動(dòng)一更合算？設(shè)一件這種健身器材的原價(jià)為a元，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．
7．（2023·金華）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．

（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是 ．
（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個(gè)的值，使得到的矩形面積為，則的值是 ．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·貴州）《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶(hù)分一頭鹿后，還有剩余，將剩下的鹿按每3戶(hù)共分一頭，恰好分完，問(wèn)：有多少戶(hù)人家？若設(shè)有x戶(hù)人家，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘孜）有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛．1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，則可列方程組為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山東）《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)物，人出八，盈三；人出七，不足四、問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”題目大意是：有幾個(gè)人一起去買(mǎi)一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．問(wèn)有多少人？該物品價(jià)值多少元？設(shè)有x人，該物品價(jià)值y元，根據(jù)題意列方程組： ．
4．（2023·遼寧）某禮品店經(jīng)銷(xiāo)A，B兩種禮品盒，第一次購(gòu)進(jìn)A種禮品盒10盒，B種禮品盒15盒，共花費(fèi)2800元；第二次購(gòu)進(jìn)A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費(fèi)1200元
(1)求購(gòu)進(jìn)A，B兩種禮品盒的單價(jià)分別是多少元；
(2)若該禮品店準(zhǔn)備再次購(gòu)進(jìn)兩種禮品盒共40盒，總費(fèi)用不超過(guò)4500元，那么至少購(gòu)進(jìn)A種禮品盒多少盒？
5．（2023·宿遷）某商場(chǎng)銷(xiāo)售兩種商品，每件進(jìn)價(jià)均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出種20件，種10件，銷(xiāo)售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷(xiāo)售總額為660元．
(1)求兩種商品的銷(xiāo)售單價(jià)．
(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，種商品按原售價(jià)銷(xiāo)售，可售出40件，原售價(jià)每降價(jià)1元，銷(xiāo)售量可增加10件；種商品的售價(jià)不變，種商品售價(jià)不低于種商品售價(jià)．設(shè)種商品降價(jià)元，如果兩種商品銷(xiāo)售量相同，求取何值時(shí)，商場(chǎng)銷(xiāo)售兩種商品可獲得總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
6．（2023·恩施）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長(zhǎng)·書(shū)香恩施”的號(hào)召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加朗誦比賽，因活動(dòng)需要，計(jì)劃給每個(gè)學(xué)生購(gòu)買(mǎi)一套服裝．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，購(gòu)買(mǎi)1套男裝和1套女裝共需220元；購(gòu)買(mǎi)6套男裝與購(gòu)買(mǎi)5套女裝的費(fèi)用相同．
(1)男裝、女裝的單價(jià)各是多少？
(2)如果參加活動(dòng)的男生人數(shù)不超過(guò)女生人數(shù)的，購(gòu)買(mǎi)服裝的總費(fèi)用不超過(guò)17000元，那么學(xué)校有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？怎樣購(gòu)買(mǎi)才能使費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少？
7．（2023·東營(yíng)）如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門(mén)（建在處，另用其他材料）．

(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積為640的羊圈？
(2)羊圈的面積能達(dá)到 嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
8．（2023·德陽(yáng)）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時(shí)代”為主題的世界清潔能源裝備大會(huì)在德陽(yáng)舉行．大會(huì)聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點(diǎn)和前瞻性問(wèn)題，著力實(shí)現(xiàn)會(huì)展聚集帶動(dòng)產(chǎn)業(yè)聚集．其中德陽(yáng)清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽(yáng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積平方公里，計(jì)劃2025年基本建成．若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項(xiàng)工程，已知由甲單獨(dú)施工需要18個(gè)月完成任務(wù)，若由乙先單獨(dú)施工2個(gè)月，再由甲、乙合作施工10個(gè)月恰好完成任務(wù)．承建公司每個(gè)月需要向甲工程隊(duì)支付施工費(fèi)用8萬(wàn)元，向乙工程隊(duì)支付施工費(fèi)用5萬(wàn)元．
(1)乙隊(duì)單獨(dú)完工需要幾個(gè)月才能完成任務(wù)？
(2)為保證該工程在兩年內(nèi)完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)施工，并將該工程分成兩部分，甲隊(duì)完成其中一部分工程用了a個(gè)月，乙隊(duì)完成另一部分工程用了b個(gè)月，已知甲隊(duì)施工時(shí)間不超過(guò)6個(gè)月，乙隊(duì)施工時(shí)間不超過(guò)24個(gè)月，且a，b為正整數(shù)，則甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費(fèi)用最低？
9．（2023·懷化）某中學(xué)組織學(xué)生研學(xué)，原計(jì)劃租用可坐乘客人的種客車(chē)若干輛，則有人沒(méi)有座位；若租用可坐乘客人的種客車(chē)，則可少租輛，且恰好坐滿(mǎn)．
(1)求原計(jì)劃租用種客車(chē)多少輛？這次研學(xué)去了多少人？
(2)若該校計(jì)劃租用、兩種客車(chē)共輛，要求種客車(chē)不超過(guò)輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車(chē)方案？
(3)在（2）的條件下，若種客車(chē)租金為每輛元，種客車(chē)租金每輛元，應(yīng)該怎樣租車(chē)才最合算？
10．（2023·內(nèi)江）某水果種植基地為響應(yīng)政府號(hào)召，大力種植優(yōu)質(zhì)水果．某超市看好甲、乙兩種優(yōu)質(zhì)水果的市場(chǎng)價(jià)值，經(jīng)調(diào)查，這兩種水果的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：
水果種類(lèi) 進(jìn)價(jià)（元千克） 售價(jià)（元）千克）
甲 a 20
乙 b 23
該超市購(gòu)進(jìn)甲種水果15千克和乙種水果5千克需要305元；購(gòu)進(jìn)甲種水果20千克和乙種水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)該超市決定每天購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共100千克進(jìn)行銷(xiāo)售，其中甲種水果的數(shù)量不少于30千克，且不大于80千克．實(shí)際銷(xiāo)售時(shí)，若甲種水果超過(guò)60千克，則超過(guò)部分按每千克降價(jià)3元銷(xiāo)售．求超市當(dāng)天售完這兩種水果獲得的利潤(rùn)y（元）與購(gòu)進(jìn)甲種水果的數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，超市在獲得的利潤(rùn)y（元）取得最大值時(shí)，決定售出的甲種水果每千克降價(jià)元，乙種水果每千克降價(jià)m元，若要保證利潤(rùn)率（）不低于，求m的最大值．

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