資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024年中考二輪復習
專題2 幾何最值問題
題型一 將軍飲馬模型
【知識梳理】
線段和最小值模型（三點共線）
兩定一動模型 一定兩動模型
PA+PB最小 （異側） PA+PB最小 （同側） △PCD周長最小 PD+CD最小
線段差最大值模型（三點共線）
兩定一動模型 一定兩動模型
|PA-PB|最大 （同側） |PA-PB|最大 （異側）
【例題講解】
1．（2023·廣東廣州）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，且，F為對角線上一動點，連接，，則的最小值為 ．

解：如圖，連接交于一點F，連接，
∵四邊形是正方形，
∴點A與點C關于對稱，
∴，
∴，此時最小，
∵正方形的邊長為4，
∴，
∵點E在上，且，
∴，即的最小值為
故答案為：．

2．如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為________．

解：作的對稱點，連接并延長交于點，∴，∴，
當在同一條直線上時，有最大值，
∵在菱形中，，∴，，
∴是等邊三角形，∴，，，
∵，∴，∵，∴，
∵點為的中點，∴為的中點，∴，
∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為；

3．如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是 ．
解：分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．
∵點P關于的對稱點為C，關于的對稱點為D，
∴；
∵點P關于的對稱點為D，
∴，
∴，，
∴是等邊三角形，∴．
∴的周長的最小值．
故答案為：．
【變式訓練】
1．（2022·黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是 ．
解：如圖，作點O關于AB的對稱點F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時，PO+PE最小，最小值=EF的長，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB==，
∴OA=，
∴點O關于AB的對稱點F，
∴OF⊥AB，OG=FG，
∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，
∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．故答案為：．
2．（2023·遼寧盤錦）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（ ）

A． B．3 C． D．
解：四邊形是矩形，
，，
點M，N分別是的中點，
，，，，
，，
，
又 ，
四邊形是平行四邊形，
，
，
如圖，作點C關于直線的對稱點M，連接，，

則，
當點B，P，M三點共線時，的值最小，最小值為，
在中，，，
，
的最小值，
故選C．
3．（2023·四川宜賓）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數的表達式和直線所對應的一次函數的表達式；
(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．
（1）解：過點A作軸于點E，過點B作軸于點D，
則，

∵點，，
∴ ，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點A的坐標是，
∵A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．
∴，
解得，
∴點A的坐標是，點B的坐標是，
∴，
∴反比例函數的解析式是，
設直線所對應的一次函數的表達式為，把點A和點B的坐標代入得，
，解得,
∴直線所對應的一次函數的表達式為，
（2）延長至點，使得，連接交x軸于點P，連接，

∴點A與點關于x軸對稱，
∴，，
∵，
∴的最小值是的長度，
∵，即是定值，
∴此時的周長為最小，
設直線的解析式是，
則，
解得，
∴直線的解析式是，
當時，，解得，
即點P的坐標是，
此時，
綜上可知，在x軸上存在一點，使周長的值最小，最小值是．
題型二 隱圓模型
【知識梳理】
定點定長 定弦定角
四點共圓
最短距離：“一箭穿心”，然后點到圓心的距離-半徑； 最長距離：“一箭穿心”，然后點到圓心的距離+半徑。
【例題講解】
1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是__________．
【分析】考慮到將△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P點軌跡是以F點為圓心，FC為半徑的圓弧．過F點作FH⊥AB，與圓的交點即為所求P點，此時點P到AB的距離最小．由相似先求FH，再減去FP，即可得到PH．答案為1.2.
2．（2024浙江金華·模擬預測）如圖，正方形的邊長為4，點E是正方形內的動點，點P是邊上的動點，且．連結，，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
解：∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點E在以為直徑的半圓上移動，
如圖，設的中點為O，
作正方形關于直線對稱的正方形，
則點D的對應點是F，
連接交于P，交半圓O于E，
根據對稱性有：，
則有：，
則線段的長即為的長度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的長度最小值為，
故選：A．
3．如圖，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，則AD的最大值為 　 　．
解：∵∠ABC＝∠ADC＝45°，
∴A，C，D，B四點共圓，
如圖，作⊙O經過A，C，D，B四點，
當AD（D′）為直徑時，AD有最大值，
∵∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AC＝6，
∴AO＝6×＝3，
∴AD′＝2AO＝6，即AD的最大值為6．
故答案為：6．
4．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點，連接DE，則線段DE長度的最小值為 　 　．
解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A、B、C、D四點共圓，且BD為直徑，取BD中點O，則圓心為點O，
連接AO、CO，取AO中點F，連接EF，DF，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD為等邊三角形，
∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，
∴∠AFD＝90°，則DF＝，
∵EF是△AOC的中位線，
∴EF＝OC＝1，
在△DEF中，DF﹣EF≤DE，
∴當D、E、F三點共線時，DE取到最小，最小值為．
5．（2023廣東廣州·模擬預測）如圖，四邊形中，，，，，點是四邊形內的一個動點，滿足，則面積的最小值為 ．
解：如圖，
取的中點，連接，過點作交的延長線于點，過點作于，交于，則，，，，，
， ，，
，，，四邊形為等腰梯形，，
，，，，點在以點為圓心，2為半徑的圓上，
，，，
，，，，
，，，，
當三點共線時，有最小值，面積的最小值為．
【變式訓練】
1．（2022·山東泰安·三模）如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是 ．
解：∵BC＝2，線段BC繞點B旋轉到BD，
∴BD＝2，
∴．
由題意可知，D在以B為圓心，BD長為半徑的圓上運動，
∵E為AD的中點，
∴E在以BA中點為圓心，長為半徑的圓上運動，
CE的最大值即C到BA中點的距離加上長．
∵，，BC＝2，
∴C到BA中點的距離即，
又∵，
∴CE的最大值即．
故答案為3．
2．如圖，點A，B的坐標分別為為坐標平面內一點，，M為線段的中點，連接，當取最大值時，點M的坐標為__________．
解：如圖，∵點C為坐標平面內一點，，
∴C在⊙B上，且半徑為，
在x軸上取OD=OA=6，連接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM=CD，
∴即當OM最大時，CD最大，而D，B，C三點共線時，即當C在DB的延長線上時，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，且C(2,8),
∴OM=CD，即OM的最大值為，
∵M是AC的中點，則M（4,4），
故答案為：（4,4）．
3．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC內一點，∠BPC＝120°，連接AP，則AP長的最小值為___________．
【答案】2
提示：作BD⊥AC于D
∵∠BAC＝60°，∴AD＝ AB＝ ，BD＝
DC＝AC－AD＝ ，BC＝＝7
∵∠BPC＝120°，∴點P在以BC為弦的一段圓弧上運動
設圓心為O，連接OA、OB、OC、OP
則∠OBP＝∠OPB，∠OPC＝∠OCP
∵∠OPB＋∠OPC＝120°，∴∠OBP＋∠OCP＝120°
∴∠BOC＝120°，∴OB＝OC＝OP＝ BC＝
設圓弧交AC于點E，連接BE、OE
則OB＝OE，∠BEC＝∠BPC＝120°，∴∠AEB＝60°
∴△ABE是等邊三角形，∴AB＝AE
∴△AOB≌△AOE，∠OAB＝∠OAE＝30°，∴AO⊥BE
設垂足為H，則BH＝ AB＝ ，AH＝
OH＝＝ ，AO＝AH＋OH＝，
∴AP≥AO－OP＝2，即AP長的最小值為2
4．如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個動點，且BE=CF，連接AE、BF，交點為P點，則CP的最小值為________．
答案為
【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所對的邊AF是變化的．所以考慮∠APB=120°，其對邊AB是定值．所以如圖所示，P點軌跡是以點O為圓心的圓弧．（構造OA=OB且∠AOB=120°）
當O、P、C共線時，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再減去OP即可．
5．如圖，AB⊥BC，AB＝5，點E、F分別是線段AB、射線BC上的動點，以EF為斜邊向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，連接AD，則AD的最小值為 　 　．
解：連接BD并延長，如圖，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°，
∴∠ABC+∠EDF＝180°，
∴B，E，D，F四點共圓，
∵△DEF為等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
∴∠DBF＝∠DEF＝45°，
∴∠DBF＝∠DBE＝45°，
∴點D的軌跡為∠ABC的平分線上，
∵垂線段最短，
∴當AD⊥BD時，AD取最小值，
∴AD的最小值為AB＝，
故答案為：．
題型三 胡不歸模型
【知識梳理】
【模型建立】
如圖1，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1圖1 圖2 圖3
【解題方法】
（1），記，即求BC+kAC的最小值.
（2）如圖2，構造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉化為求BC+CH最小值.
（3）如圖3，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【例題講解】
1．（2023·湖南湘西）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為 ．

:解：如圖所示，過點P作，連接并延長交于點F，連接

∵是等邊三角形，
∴
∵是等邊三角形的外接圓，其半徑為4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值為的長度
∵是等邊三角形，，
∴
∴的最小值為6．
故答案為：6．
2．（2022·內蒙古鄂爾多斯）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 ．
解：如圖，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此時PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB sin45°＝4，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，
故答案為：．
3．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點在y軸上，連接，則的最小值是 ．

解：連接，過作，過作，

令，即，解得或1，，，
，，，．
，根據垂線段最短可知，的最小值為，
，，，
的最小值為．故答案為：．
【變式訓練】
1．如圖，在菱形中，，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值為 ．
解：過作，
菱形，，
，，即為等邊三角形，，
在中，，
，
當、、三點共線時，取得最小值，
，，
，
在中，，
則的最小值為．
故答案為：．
2．如圖，在矩形中，對角線交于點O，，點M在線段上，且．點P為線段上的一個動點，則的最小值為 ．

解：∵四邊形是矩形，∴，
∵，∴，∴是等邊三角形，∴，
∴。
過點P作于點E，過點M作于點F，

在中，由（1）知：，∴，∴，
在矩形中，，∵，∴，
在中，，∴，∴的最小值為2，故答案為：2．
3．（2023·遼寧錦州）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是 ．
解：過點P作于點Q，過點C作于點H，
由題意知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當C、P、Q三點共線，且與垂直時，最小，最小值為，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即最小值為．
故答案為：．
4．如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為 ．

解：∵四邊形是矩形，，，
∴，，，
∴，
在線段下方作，過點作于點，連接，

∴，
∴，
當、、三點共線時，的值最小，
此時，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值為：，
∴的最小值為
題型四 阿氏圓模型
【知識梳理】
【模型建立】
如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點 A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？
【解題方法】
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。
【例題講解】
1．（2023·甘肅天水·一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為 ．
解：在BC上取一點G，使得BG＝1，如圖，
∵，，∴，
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，
當點P在DG的延長線上時，PD PC的值最大，最大值為DG＝＝5．
故答案為5
2．（2023·山東煙臺）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；
(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．
（1）解：∵拋物線的對稱軸，，
∴，
將代入直線，得，
解得，
∴直線的解析式為；
將代入，得
，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在點，
∵直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點．
∴當時，，
∴，
①當時，
設直線的解析式為，將點A坐標代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
得或，
∴點M的坐標為；
②當時，
設直線的解析式為，將代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
解得或，
∴點M的坐標為 或
綜上，點M的坐標為或 或；
（3）如圖，在上取點，使，連接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴當點C、P、F三點共線時，的值最小，即為線段的長，
∵，
∴，
∴的最小值為．

【變式訓練】
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（ ）
A．7 B．5 C． D．
解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM CA，∴，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．
2．（2023江蘇·二模）如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動點，則的最大值是 ．
解：如圖：連接、、
根據題意正方形的邊長為4，的半徑為2
，
在上做點，使，則，連接
在與中
，
，則
在上做點，使，則，連接
在與中
，
，則
如圖所示連接
在與中
，，
故答案為：2．
3．如圖，在邊長為6的正方形中，M為上一點，且，N為邊上一動點．連接，將沿翻折得到，點P與點B對應，連接，則的最小值為 ．

解：由題意可得：
∴點在以為圓心，以為半徑的圓上，
在線段上取一點，使得，則

∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
如下圖所示，當且僅當三點共線時，取得最小值

，
∴的最小值為：
題型五 瓜豆原理模型
【知識梳理】
條件：兩個定量 主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）； 主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）． 結論：（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．
【例題講解】
1．（2023·江蘇）在四邊形中，為內部的任一條射線（不等于），點關于的對稱點為，直線與交于點，連接，則面積的最大值是 ．

解：如圖所示，連接，

∵點關于的對稱點為，
∴，
∵，
∴在半徑為的上，
在優弧上任取一點，連接,
則，
∵，∴，
∴，∴是等邊三角形，
當取得最大值時，面積最大，
∵在上運動，則最大值為，
則面積的最大值是．
故答案為：．
2．如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．6
解：如圖，以為邊向上作等邊三角形，連接，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴點D的運動軌跡是以點M為圓心，長為半徑的圓，要使的面積最大，則求出點D到線段的最大距離，
∵是邊長為4的等邊三角形，
∴點M到的距離為，
∴點D到的最大距離為，
∴的面積最大值是，
故選A．
【變式訓練】
1．如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為 ．
解：如圖，作，使得，，則，，，
，，
，
，
，
，
即（定長），
點是定點，是定長，
點在半徑為1的上，
，
的最大值為，
故答案為：．
2．（2023·安徽·一模）如圖，在矩形中，，，點E是矩形內部一動點，且，點P是邊上一動點，連接、，則的最小值為（ ）
A．8 B． C．10 D．
解：如圖，設點O為的中點，由題意可知，
點E在以為直徑的半圓O上運動，作半圓O關于的對稱圖形（半圓），
點E的對稱點為，連接,則，
∴當點D、P、、共線時，的值最小，最小值為的長，
如圖所示，在中，，，
，
又，
，即的最小值為8，
故選：A．
3．（2022·廣東河源·二模）如圖，已知，平面內點P到點O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為 ．
解：如圖所示，延長PB到D使得PB=DB，
∵，
∴，
又∵∠APB=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∵B為PD的中點，
∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，
∴∠BAP=30°，
以AO為斜邊在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，連接CM，過點M作MH⊥AC于H，
∴，
同理可得，
∵∠OAM=30°=∠PAB，
∴∠BAM=∠PAO，
又∵，
∴△AMB∽△AOP，
∴，
∵點P到點O的距離為2，即OP=2，
∴，
∴點B在以M為圓心，以為半徑的圓上，
連接CM交圓M（半徑為）于，
∴當M、B、C三點共線時，即點B在點的位置時，BC有最小值，
∵AC=2AO=8，
∴AO=4，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴BC的最小值為，
故答案為：．
題型六 費馬點模型
【知識梳理】
將△APC邊以A為頂點逆時針旋轉60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當B、P、Q、E四點共線時取得最小值BE。
【例題講解】
1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內一點，求PA+PB+PC的最小值．
【答案】
【分析】如圖，以AC為邊構造等邊△ACD，連接BD，BD的長即為PA+PB+PC的最小值．
考慮到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，過點D作DH⊥BA交BA的延長線于H點，根據勾股定理，即可得出結果．
2．（2023·湖北隨州）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點）
當的三個內角均小于時，
如圖1，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，

由，可知為 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有 ③ ；
已知當有一個內角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為 ④ 點．
(2)如圖4，在中，三個內角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知．現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元．（結果用含a的式子表示）
（1）解：∵，
∴為等邊三角形；
∴，，
又，故，
由兩點之間線段最短可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，
最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最小．
又∵已知當有一個內角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．
∴該三角形的“費馬點”為點A，
故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③；④．
（2）將繞，點C順時針旋轉得到，連接，
由（1）可知當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，

∵，
∴，
又∵
∴，
由旋轉性質可知：，
∴，
∴最小值為，
（3）∵總的鋪設成本
∴當最小時，總的鋪設成本最低，
將繞，點C順時針旋轉得到，連接，
由旋轉性質可知：，，，，
∴，
∴，
當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為，

過點作，垂足為，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值為
總的鋪設成本（元）
故答案為：
【變式訓練】
1．如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．
【分析】依然構造60°旋轉，將三條折線段轉化為一條直線段．
分別以AD、AM為邊構造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，
易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
過F作FH⊥BC交BC于H點，線段FH的長即為所求的最小值．
2．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD= ．
解：如圖1，將△BQC繞點B順時針旋轉60°得到△BNM，連接QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN是等邊三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴當點A，點Q，點N，點M共線時，QA+QB+QC值最小，
此時，如圖2，連接MC
∵將△BQC繞點B順時針旋轉60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD=60°，
∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，此時P與D重合，設PD=x，則DQ=x-2，
∴x=，
∴x=3+，
∴PD=3+．
故答案為：．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)2024年中考二輪復習
專題2 幾何最值問題
題型一 將軍飲馬模型
【知識梳理】
線段和最小值模型（三點共線）
兩定一動模型 一定兩動模型
PA+PB最小 （異側） PA+PB最小 （同側） △PCD周長最小 PD+CD最小
線段差最大值模型（三點共線）
兩定一動模型 一定兩動模型
|PA-PB|最大 （同側） |PA-PB|最大 （異側）
【例題講解】
1．（2023·廣東廣州）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，且，F為對角線上一動點，連接，，則的最小值為 ．

2．如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為________．

3．如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是 ．
【變式訓練】
1．（2022·黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是 ．
2．（2023·遼寧盤錦）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（ ）

A． B．3 C． D．
3．（2023·四川宜賓）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數的表達式和直線所對應的一次函數的表達式；
(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．
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題型二 隱圓模型
【知識梳理】
定點定長 定弦定角
四點共圓
最短距離：“一箭穿心”，然后點到圓心的距離-半徑； 最長距離：“一箭穿心”，然后點到圓心的距離+半徑。
【例題講解】
1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是__________．
2．（2024浙江金華·模擬預測）如圖，正方形的邊長為4，點E是正方形內的動點，點P是邊上的動點，且．連結，，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，則AD的最大值為 　 　．
4．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點，連接DE，則線段DE長度的最小值為 　 　．
5．（2023廣東廣州·模擬預測）如圖，四邊形中，，，，，點是四邊形內的一個動點，滿足，則面積的最小值為 ．
【變式訓練】
1．（2022·山東泰安·三模）如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是 ．
2．如圖，點A，B的坐標分別為為坐標平面內一點，，M為線段的中點，連接，當取最大值時，點M的坐標為__________．
3．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC內一點，∠BPC＝120°，連接AP，則AP長的最小值為___________．
4．如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個動點，且BE=CF，連接AE、BF，交點為P點，則CP的最小值為________．
5．如圖，AB⊥BC，AB＝5，點E、F分別是線段AB、射線BC上的動點，以EF為斜邊向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，連接AD，則AD的最小值為 　 　．
題型三 胡不歸模型
【知識梳理】
【模型建立】
如圖1，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1圖1 圖2 圖3
【解題方法】
（1），記，即求BC+kAC的最小值.
（2）如圖2，構造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉化為求BC+CH最小值.
（3）如圖3，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【例題講解】
1．（2023·湖南湘西）如圖，是等邊三角形的外接圓，其半徑為4．過點B作于點E，點P為線段上一動點（點P不與B，E重合），則的最小值為 ．

2．（2022·內蒙古鄂爾多斯）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 ．
3．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，點在y軸上，連接，則的最小值是 ．

【變式訓練】
1．如圖，在菱形中，，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值為 ．
2．如圖，在矩形中，對角線交于點O，，點M在線段上，且．點P為線段上的一個動點，則的最小值為 ．

3．（2023·遼寧錦州）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是 ．
4．如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為 ．

題型四 阿氏圓模型
【知識梳理】
【模型建立】
如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點 A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？
【解題方法】
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。
【例題講解】
1．（2023·甘肅天水·一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為 ．
2．（2023·山東煙臺）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；
(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形 若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．
【變式訓練】
1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（ ）
A．7 B．5 C． D．
2．（2023江蘇·二模）如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動點，則的最大值是 ．
3．如圖，在邊長為6的正方形中，M為上一點，且，N為邊上一動點．連接，將沿翻折得到，點P與點B對應，連接，則的最小值為 ．

題型五 瓜豆原理模型
【知識梳理】
條件：兩個定量 主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）； 主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）． 結論：（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．
【例題講解】
1．（2023·江蘇）在四邊形中，為內部的任一條射線（不等于），點關于的對稱點為，直線與交于點，連接，則面積的最大值是 ．

2．如圖，A是上任意一點，點C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．6
【變式訓練】
1．如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為 ．
2．（2023·安徽·一模）如圖，在矩形中，，，點E是矩形內部一動點，且，點P是邊上一動點，連接、，則的最小值為（ ）
A．8 B． C．10 D．
3．（2022·廣東河源·二模）如圖，已知，平面內點P到點O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為 ．
題型六 費馬點模型
【知識梳理】
將△APC邊以A為頂點逆時針旋轉60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當B、P、Q、E四點共線時取得最小值BE。
【例題講解】
1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內一點，求PA+PB+PC的最小值．
2．（2023·湖北隨州）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點）
當的三個內角均小于時，
如圖1，將繞，點C順時針旋轉得到，連接，

由，可知為 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，當B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有 ③ ；
已知當有一個內角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為 ④ 點．
(2)如圖4，在中，三個內角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知．現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元．（結果用含a的式子表示）
【變式訓練】
1．如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．
2．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD= ．

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