資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024年中考二輪復習
專題3 反比例函數與幾何綜合
題型一 反比例函數中比較函數值大小問題
【知識梳理】
比較大小一般解題步驟：
①求交點：聯立方程求出方程組的解；
②分區間：將一次函數和反比例函數兩個交點以及y軸左右兩側分層4個區間；
③比大?。簣D像誰在上方誰就大；
④：寫出對應區間自變量的取值范圍。
【例題講解】
1．（2023 濱州）如圖，直線y＝kx+b（k，b為常數）與雙曲線（m為常數）相交于A（2，a），B（﹣1，2）兩點．
（1）求直線y＝kx+b的解析式；
（2）在雙曲線上任取兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，試確定y1和y2的大小關系，并寫出判斷過程；
（3）請直接寫出關于x的不等式的解集．
解：（1）由題意，將B點代入雙曲線解析式y＝，
∴2＝．
∴m＝﹣2．
∴雙曲線為y＝﹣．
又A（2，a）在雙曲線上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．
將A、B代入一次函數解析式得，
∴．
∴直線y＝kx+b的解析式為y＝﹣x+1．
（2）由題意，可分成兩種情形．
①M、N在雙曲線的同一支上，
由雙曲線y＝﹣，在同一支上時函數值隨x的增大而增大，
∴當x1＜x2時，y1＜y2．
②M、N在雙曲線的不同的一支上，
∵x1＜x2，
∴x1＜0＜x2．
∴此時由圖象可得y1＞0＞y2，
即此時當x1＜x2時，y1＞y2．
（3）依據圖象，即一次函數值大于反比例函數值，
∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），
∴不等式的解集為：x＜﹣1或0＜x＜2．
【變式訓練】
1．（2023 常德）如圖所示，一次函數y1＝﹣x+m圖象與反比例函數圖象相交于點A和點B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函數解析式；
（2）當y1＞y2時，求x的取值范圍．
解：（1）∵一次函數y1＝﹣x+m與反比例函數相交于點A和點B（3，﹣1），
∴﹣1＝﹣3+m，﹣1＝，
解得m＝2，k＝﹣3，
∴反比例函數的解析式為y2＝﹣；
（2）解方程組，得或，
∴A（﹣1，3），
觀察圖象可得，當y1＞y2時，x的取值范圍為x＜﹣1或0＜x＜3．
2．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，直線與雙曲線相交于點，．

(1)求雙曲線及直線對應的函數表達式；
(2)將直線向下平移至處，其中點，點在軸上．連接，，求的面積；
(3)請直接寫出關于的不等式的解集．
解：（1）將代入雙曲線，
∴,
∴雙曲線的解析式為，
將點代入，
∴,
∴,
將代入,
，
解得，
∴直線解析式為；
（2）∵直線向下平移至,

∴,
設直線的解析式為將點代入
∴解得
∴直線的解析式為
∴
過點作交于,
設直線與軸的交點為，與軸的交點為,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
，
∵，
，
，
∴的面積
（3）由圖可知或時,
題型二 反比例函數的面積問題
【知識梳理】
求三角形面積的一般解題步驟：
類型一：三角形有其中一邊與坐標軸平行（垂直）的，以這邊為底邊，以該邊所對的頂點的坐標的絕對值為高。底邊平行于y軸，則以所對頂點的橫坐標的絕對值為高，反之則以縱坐標的絕對值為高。
類型二：三角形沒有其中一邊與坐標軸平行（垂直）的，可以用公式S△=水平寬×鉛垂高求解。
【例題講解】
1．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，，過點A作軸交x軸于點C，在x軸正半軸上取一點D，使，連接，．若的面積是6．

(1)求反比例函數的解析式．
(2)點P為第一象限內直線上一點，且的面積等于面積的2倍，求點P的坐標．
（1）解：∵，的面積是6，
∴，
∴，
∵圖象在第二象限，
∴，
∴反比例函數解析式為：；
（2）∵點，，在的圖象上，
∴，，
∴，，
設直線的解析式為，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵軸交x軸于點C，
∴，
∴，
設直線上在第一象限的點，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練】
1．（2023 恩施州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，直線y＝x+2交y軸于點A，交x軸于點B，與雙曲線y＝（k≠0）在一，三象限分別交于C，D兩點，AB＝BC，連接CO，DO．
（1）求k的值；
（2）求△CDO的面積．
解：（1）在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∵AB＝BC，
∴A為BC中點，
∴C（2，4），
把C（2，4）代入y＝得：
4＝，
解得k＝8；
∴k的值為8；
（2）由得：或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴S△DOC＝S△DOB+S△COB＝×2×2+×2×4＝2+4＝6，
∴△CDO的面積是6．
2．（2023 湖北）如圖，一次函數y1＝kx+b（k≠0）與函數為（x＞0）的圖象交于A（4，1），B（，a）兩點．
（1）求這兩個函數的解析式；
（2）根據圖象，直接寫出滿足y1﹣y2＞0時x的取值范圍；
（3）點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數y2的圖象于點Q，若△POQ的面積為3，求點P的坐標．
解：（1）∵反比例函數y2＝（x＞0）的圖象經過點A（4，1），
∴1＝．
∴m＝4．
∴反比例函數解析式為y2＝（x＞0）．
把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．
∴點B坐標為（，8），
∵一次函數解析式y1＝kx+b圖象經過A（4，1），B（，8），
∴．
∴．
故一次函數解析式為：y1＝﹣2x+9．
（2）由y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，即反比例函數值小于一次函數值．
由圖象可得，＜x＜4．
（3）由題意，設P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，
∴Q（p，）．
∴PQ＝﹣2p+9﹣．
∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣） p＝3．
解得p1＝，p2＝2．
∴P（，4）或（2，5）．
3．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，與x軸交于點B， 與y軸交于點．

(1)求m的值和一次函數的表達式；
(2)已知P為反比例函數圖象上的一點，，求點P的坐標．
（1）解：點在反比例函數的圖象上，
，
，
，
又點，都在一次函數的圖象上，
，
解得，
一次函數的解析式為．
（2）解：對于，當時，，
∴，
，
∵，

過點A作軸于點H，過點P作軸于點D，如圖所示．

，
．
，
解得．
點P的縱坐標為2或．
將代入得，
將代入得，
∴點或．
題型三 反比例函數中線段和差問題
【知識梳理】
將軍飲馬模型：同側差最大，異側和最小。
解題步驟：先作對稱，然后連定點，最后求交點或最小值。
【例題講解】
1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數的表達式和直線所對應的一次函數的表達式；
(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最?。舸嬖冢蟪鲎钚≈?；若不存在，請說明理由．
（1）解：過點A作軸于點E，過點B作軸于點D，
則，

∵點，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點A的坐標是，
∵A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．
∴，
解得，
∴點A的坐標是，點B的坐標是，
∴，
∴反比例函數的解析式是，
設直線所對應的一次函數的表達式為，把點A和點B的坐標代入得，
，解得,
∴直線所對應的一次函數的表達式為，
（2）延長至點，使得，連接交x軸于點P，連接，

∴點A與點關于x軸對稱，
∴，，
∵，
∴的最小值是的長度，
∵，即是定值，
∴此時的周長為最小，
設直線的解析式是，
則，
解得，
∴直線的解析式是，
當時，，解得，
即點P的坐標是，
此時，
綜上可知，在x軸上存在一點，使周長的值最小，最小值是．
【變式訓練】
1．（2023·廣東云浮·二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的兩邊、分別在坐標軸上，且，，連接．反比例函數的圖象經過線段的中點，并與、分別交于點、．一次函數的圖象經過、兩點．
(1)分別求出一次函數和反比例函數的表達式．
(2)點P是x軸上一動點，當的值最小時，求點P的坐標．
（1）解： 四邊形為矩形，，，
．由中點坐標公式可得點坐標為，
反比例函數的圖象經過線段的中點，，
故反比例函數表達式為．令，則；令，則．故點坐標為，．
設直線的解析式為，代入、坐標得：，解得：，
故一次函數的解析式為．
（2）作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時最?。鐖D．
由坐標可得對稱點，
設直線的解析式為，代入點、坐標，得：，解得：．
則直線的解析式為，令，則．點坐標為，．故答案為：，．
2．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，與軸交于點，與軸交于點，軸于點，，點關于直線的對稱點為點．
(1)點是否在這個反比例函數的圖像上？請說明理由；
(2)連接、，若四邊形為正方形．
①求、的值；
②若點在軸上，當最大時，求點的坐標．

（1）解：點在這個反比例函數的圖像上．
理由如下：
一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，
設點的坐標為，
點關于直線的對稱點為點，
，平分，
連接交于，如圖所示：

，
軸于，
軸，，
，
，
，
在Rt中，，
，
為邊上的中線，即，
，
，
，
點在這個反比例函數的圖像上；
（2）解：①四邊形為正方形，
，垂直平分，
，
設點的坐標為，
，，
，
（負值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延長交軸于，如圖所示：

，，點與點關于軸對稱，
，則點即為符合條件的點，
由①知，，，，，
設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，
當時，，即，故當最大時，點的坐標為．
題型四 反比例函數的存在性問題
【例題講解】
1．（2023 廣安）如圖，一次函數y＝kx+（k為常數，k≠0）的圖象與反比例函數y＝（m為常數，m≠0）的圖象在第一象限交于點A（1，n），與x軸交于點B（﹣3，0）．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式．
（2）點P在x軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．
解：（1）將A（1，n）、B（﹣3，0）分別代入一次函數y＝kx+，得
．
解得．
故A（1，3）．
將其代入反比例函數y＝，得
＝3．
解得m＝3．
故一次函數的解析式為y＝x+，反比例函數的解析式為y＝；
（2）由（1）知，A（1，3）、B（﹣3，0），則AB＝5．
設P（a，0），
當AB＝AP時，5＝．
解得a＝5或a＝﹣3（舍去）．
故P（5，0）；
當AB＝PB時，5＝|﹣3﹣a|．
解得a＝﹣8或a＝2．
故P（﹣8，0）或（2，0）．
綜上所述，符合條件的點P的坐標為：（5，0）或（﹣8，0）或（2，0）．
【變式訓練】
1．（2023 綿陽）如圖，過原點O的直線與反比例函數y1＝（k≠0）的圖象交于A（1，2），B兩點，一次函數y2＝mx+b（m≠0）的圖象過點A與反比例函數交于另一點C（2，n）．
（1）求反比例函數的解析式；當y1＞y2時，根據圖象直接寫出x的取值范圍；
（2）在y軸上是否存在點M，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
解：（1）由題知，
將A點坐標代入反比例函數解析式得，
k＝1×2＝2，
所以反比例函數的解析式為．
由函數圖象可知，
在直線x＝0和x＝1之間的部分及直線x＝2右側的部分，
反比例函數y1的圖象在一次函數y2的圖象的上方，
即y1＞y2．
所以x的取值范圍是：0＜x＜1或x＞2．
（2）將x＝2代入反比例函數解析式得，
y＝1，
所以點C的坐標為（2，1）．
則OC＝．
當OC＝OM時，
OM＝，
所以點M坐標為（0，）或（0，﹣）．
當CM＝CO時，
點C在OM的垂直平分線上，
又因為點C坐標為（2，1），
所以點M坐標為（0，2）．
當MO＝MC時，
點M在OC的垂直平分線上，
過點C作CN⊥y軸于點N，
令MO＝m，則MC＝m，MN＝m﹣1，
在Rt△CMN中，
CN2+MN2＝MC2，
即22+（m﹣1）2＝m2，
解得m＝．
所以點M的坐標為（0，）．
綜上所述：點M的坐標為（0，）或（0，）或（0，2）或（0，）．
2．（2023·廣東云浮·校考一模）如圖，點在反比例函數的圖象上，軸，垂足為C，連接．
(1)求m的值；
(2)求證：；
(3)點D在反比例函數的圖象上，點E在平面內，當以點B，C，D，E為頂點的四邊形是以為邊的正方形時，求點D的坐標．
（1）解：∵點在反比例函數的圖象上，
∴，且，
∴，
解得：；
（2）證明：過B作于點M，
∵，
∴點A的坐標為，點B的坐標為，點C的坐標為，
∴點B縱的坐標為6，即，
∵A的縱坐標為12，即，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（3）解：存在．
如圖，過D作于點N，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
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專題3 反比例函數與幾何綜合
題型一 反比例函數中比較函數值大小問題
【知識梳理】
比較大小一般解題步驟：
①求交點：聯立方程求出方程組的解；
②分區間：將一次函數和反比例函數兩個交點以及y軸左右兩側分層4個區間；
③比大小：圖像誰在上方誰就大；
④：寫出對應區間自變量的取值范圍。
【例題講解】
1．（2023 濱州）如圖，直線y＝kx+b（k，b為常數）與雙曲線（m為常數）相交于A（2，a），B（﹣1，2）兩點．
（1）求直線y＝kx+b的解析式；
（2）在雙曲線上任取兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，試確定y1和y2的大小關系，并寫出判斷過程；
（3）請直接寫出關于x的不等式的解集．
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【變式訓練】
1．（2023 常德）如圖所示，一次函數y1＝﹣x+m圖象與反比例函數圖象相交于點A和點B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函數解析式；
（2）當y1＞y2時，求x的取值范圍．
2．（2023·山東淄博·中考真題）如圖，直線與雙曲線相交于點，．

(1)求雙曲線及直線對應的函數表達式；
(2)將直線向下平移至處，其中點，點在軸上．連接，，求的面積；
(3)請直接寫出關于的不等式的解集．
題型二 反比例函數的面積問題
【知識梳理】
求三角形面積的一般解題步驟：
類型一：三角形有一邊與坐標軸平行（垂直）的，以這邊為底邊，以該邊所對的頂點的坐標的絕對值為高。底邊平行于y軸，則以所對頂點的橫坐標的絕對值為高，反之則以縱坐標的絕對值為高。
類型二：三角形沒有其中一邊與坐標軸平行（垂直）的，可以用公式S△=水平寬×鉛垂高求解。
【例題講解】
1．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，，過點A作軸交x軸于點C，在x軸正半軸上取一點D，使，連接，．若的面積是6．
(1)求反比例函數的解析式．
(2)點P為第一象限內直線上一點，且的面積等于面積的2倍，求點P的坐標．
【變式訓練】
1．（2023 恩施州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，直線y＝x+2交y軸于點A，交x軸于點B，與雙曲線y＝（k≠0）在一，三象限分別交于C，D兩點，AB＝BC，連接CO，DO．
（1）求k的值；
（2）求△CDO的面積．
2．（2023 湖北）如圖，一次函數y1＝kx+b（k≠0）與函數為（x＞0）的圖象交于A（4，1），B（，a）兩點．
（1）求這兩個函數的解析式；
（2）根據圖象，直接寫出滿足y1﹣y2＞0時x的取值范圍；
（3）點P在線段AB上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數y2的圖象于點Q，若△POQ的面積為3，求點P的坐標．
3．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，與x軸交于點B， 與y軸交于點．

(1)求m的值和一次函數的表達式；
(2)已知P為反比例函數圖象上的一點，，求點P的坐標．
題型三 反比例函數中線段和差問題
【知識梳理】
將軍飲馬模型：同側差最大，異側和最小。
解題步驟：先作對稱，然后連定點，最后求交點或最小值。
【例題講解】
1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數的表達式和直線所對應的一次函數的表達式；
(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．
【變式訓練】
1．（2023·廣東云浮·二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的兩邊、分別在坐標軸上，且，，連接．反比例函數的圖象經過線段的中點，并與、分別交于點、．一次函數的圖象經過、兩點．
(1)分別求出一次函數和反比例函數的表達式．
(2)點P是x軸上一動點，當的值最小時，求點P的坐標．
2．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于點，與軸交于點，與軸交于點，軸于點，，點關于直線的對稱點為點．
(1)點是否在這個反比例函數的圖像上？請說明理由；
(2)連接、，若四邊形為正方形．
①求、的值；
②若點在軸上，當最大時，求點的坐標．

題型四 反比例函數的存在性問題
【例題講解】
1．（2023 廣安）如圖，一次函數y＝kx+（k為常數，k≠0）的圖象與反比例函數y＝（m為常數，m≠0）的圖象在第一象限交于點A（1，n），與x軸交于點B（﹣3，0）．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式．
（2）點P在x軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．
【變式訓練】
1．（2023 綿陽）如圖，過原點O的直線與反比例函數y1＝（k≠0）的圖象交于A（1，2），B兩點，一次函數y2＝mx+b（m≠0）的圖象過點A與反比例函數交于另一點C（2，n）．
（1）求反比例函數的解析式；當y1＞y2時，根據圖象直接寫出x的取值范圍；
（2）在y軸上是否存在點M，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
2．（2023·廣東云浮·校考一模）如圖，點在反比例函數的圖象上，軸，垂足為C，連接．
(1)求m的值；
(2)求證：；
(3)點D在反比例函數的圖象上，點E在平面內，當以點B，C，D，E為頂點的四邊形是以為邊的正方形時，求點D的坐標．

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