資源簡介

2024年中考二輪復(fù)習(xí)
專題4 二次函數(shù)與幾何綜合
題型一 二次函數(shù)的面積問題
【知識(shí)梳理】
二次函數(shù)的面積問題是二次函數(shù)和幾何綜合?？碱}型，有4種常用解法。
方法一：公式法：當(dāng)三角形某邊長在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸時(shí)，直接利用三角形的面積公式：×底×高
方法二：割補(bǔ)法。方法要點(diǎn)是，把所求圖像的面積適當(dāng)?shù)母钛a(bǔ)，轉(zhuǎn)化成有利于面積表達(dá)的常規(guī)幾何圖形。
方法三：鉛錘法
如圖，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
方法四：切線法，適用于求面積最值問題。
【例題講解】
1．（2023·湖南）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（1）解：將點(diǎn)，代入，得
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）∵ ，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，
解得：
∴，則
∵，則
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距離等于到的距離，
∵，，設(shè)直線的解析式為
∴
解得：
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點(diǎn)作的平行線，交拋物線于點(diǎn)，

設(shè)的解析式為，將點(diǎn)代入得，
解得：
∴直線的解析式為，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如圖所示，延長至，使得，過點(diǎn)作的平行線，交軸于點(diǎn)，則，則符合題意的點(diǎn)在直線上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：
∴直線的解析式為
聯(lián)立
解得：或
∴或
綜上所述，或或；
2．（2023·遼寧阜新）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．
(3)如圖2，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與平行，則在直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）解：由題意得，
；
（2）解：如圖1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
拋物線的對稱軸是直線：，
，
，
，
，
故只需的邊上的高最大時(shí)，的面積最大，
設(shè)過點(diǎn)與平行的直線的解析式為：，
當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖2，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，
點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對稱，
，
設(shè)，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
∴；
如圖3，
當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，由上可知：，
同理可得：，
綜上所述：或．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·湖南婁底）如圖，拋物線過點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．
(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)
①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)的解析式為：，
將，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式為：，
過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，交軸于點(diǎn)，

∵，則，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為，則縱坐標(biāo)為，
∴，
的面積
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由題意可知拋物線的對稱軸為直線，
∵軸，
∴，，則，
當(dāng)點(diǎn)在對稱軸左側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時(shí)，即點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)在對稱軸右側(cè)時(shí)，即時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時(shí)：，即點(diǎn)；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，為等腰直角三角形．
題型二 二次函數(shù)的線段最值問題
【知識(shí)梳理】
二次函數(shù)的線段問題主要包括以下四種類型：
一、直接求解線段長度表達(dá)式型：單線段最值問題
1、平面直角坐標(biāo)系線段長度的公式：
若AB平行y軸，則AB=，縱坐標(biāo)相減，上減下；
若AB平行x軸，則AB=，橫坐標(biāo)相減，右減左；
若AB不平行于坐標(biāo)軸，則AB=
2、拋物線中兩類線段最值問題
（1）拋物線中豎直線段PQ
解題方法：先求出拋物線與直線AC的解析式，利用點(diǎn)P在拋物線山，點(diǎn)Q在直線AC上，PQ//y軸，設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m，進(jìn)而得到P、Q的坐標(biāo)，兩者作差即可得到PQ的長度。
（2）拋物線中斜線段PH
方法一：相似三角形法，利用相似△PQH∽△ACO，等到（常數(shù)），PH=kPQ
方法二：銳角三角函數(shù)法，sin∠PQH=sin∠ACO=
方法三：等面積法：
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二、將軍飲馬問題：線段和最小，線段差最大、周長最小等
口訣：異側(cè)和最小，同側(cè)差最大。
線段和最小 如圖，在l 上找一點(diǎn) P ，使 PA PB 最小. 【技巧】做點(diǎn) B 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn) B' ，直線 AB' 與l 的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) P ， PA PB 最小值為AB' .
線段差最大 如同，在直線上找一點(diǎn)P，使最大。 【技巧】作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最大值為AB′
三、胡不歸問題與阿氏圓問題
（1）胡不歸問題：若點(diǎn)P在某條直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求形如“PA+ k·PB”（k≠1且k為正數(shù)）的最值問題.
解題思路：構(gòu)造射線BD，使，即將問題轉(zhuǎn)化為求PA十PH的最小值，過A點(diǎn)作AH⊥BD交MN于點(diǎn)P，交BD于點(diǎn)H，此時(shí)PA+PH取到最小值，即PA十k·PB的值最小。
（2）阿氏圓問題：若點(diǎn)P在某圓上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求形如“PA+ k·PB”（k≠1且k為正數(shù)）的最值問題.
解題思路：在線段OB上截取OC使OC=kR，連接PO，PC，則可說明△BPO與△PCO相似，則有kPB=PC.故求PA+kPB的最小值可以轉(zhuǎn)化為求PA+PC的最小值，其中A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的值最小。
【例題講解】
1．（2023·寧夏）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小．求點(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
（1）解：∵點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，對稱軸為直線，
∴點(diǎn)為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴，
連接，

∵，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，為的長，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，
∴；
∴點(diǎn)，的最小值為；
（3）過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，
設(shè)拋物線的解析式為：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則：，
由（2）知：直線：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·山東棗莊）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）解：∵拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴，
設(shè)直線，
則：，解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴；
作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接，
則：，，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長，

∵，，
∴，
即：的最小值為：；
（3）解：存在；
∵，
∴對稱軸為直線，
設(shè)，，
當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)：
①為對角線時(shí)：，

∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴；
②當(dāng)為對角線時(shí)：，

∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴；
③當(dāng)為對角線時(shí)：，

∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴；
綜上：當(dāng)以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，或或．
2．（2022·山東東營）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)在對稱軸上找一點(diǎn)Q，使的周長最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：∵拋物線解析式為，與y軸交于點(diǎn)C，
∴拋物線對稱軸為直線，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）
如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E，連接AE，EQ，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3），
由軸對稱的性質(zhì)可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周長=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周長最小，則AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴當(dāng)A、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，AQ+QE最小，
設(shè)直線AE的解析式為，
∴，
∴，
∴直線AE的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）；
（3）解： 如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，∠BPM=90°時(shí)，過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)M作MF⊥EF于F，過點(diǎn)B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB為腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），
∴，
∴，，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1-m，m-2），
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；
同理當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，∠BPM=90°時(shí)可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；
如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，∠PBM=90°時(shí)，過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)P作PE⊥EF于E，過點(diǎn)M作MF⊥EF于F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），
同理可證△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-m，-2），
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，-2）；
如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，∠PBM=90°時(shí)，
同理可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，2）；
綜上所述，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）或（，-2）或（，2）．
3．（2023·四川內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（1）解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為；
設(shè)（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的最大值為，
，
．
故的最大值為，．
題型三 二次函數(shù)中特殊三角形的存在性問題
【知識(shí)梳理】
二次函數(shù)中特殊三角形的存在性問題主要包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的存在性問題，具體解題方法如下：
一、等腰三角形存在性問題
解題策略：
（一）構(gòu)造等腰三角形的一般思路
平面直角坐標(biāo)系中已知一條線段，構(gòu)造等腰三角形，用的是“兩圓一線”：分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，線段長為半徑作圓，再作線段的垂直平分線。
（二）動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC為等腰三角形為例：
1、代數(shù)法
（1）分類.；AB=AC，AB=BC，AC=BC；
（2）畫圖；
①以AB為半徑，點(diǎn)A為圓心做圓， 此時(shí)，圓上的點(diǎn)與 A、B構(gòu)成以A為頂點(diǎn)的等腰三角形
②以AB為半徑，點(diǎn)B為圓心做圓， 此時(shí)，圓上的點(diǎn)與 A、B構(gòu)成以B為頂點(diǎn)的等腰三角形
③做AB的垂直平分線，此時(shí)，直線上的點(diǎn)（除 F 點(diǎn)外）與 A、B 構(gòu)成以C為頂點(diǎn)的等腰三角形
（3）列方程；利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出線段AB,BC,AC的長度.根據(jù)AB=AC，AB=BC，AC=BC分類列方程
注意：如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來
2、幾何法
（1）設(shè)未知數(shù)，表示出A,B,C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形以及三角函數(shù)表示出線段AB,BC,AC的長度.
（3）分類列方程：AB=BC,BC=CA,AB=AC.
注意：如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．
用相似的方法得到的代數(shù)式構(gòu)造一般比較簡單，但對幾何能力的要求較高，用勾股定理則反之
數(shù)學(xué)思想方法：分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸和方程建模等數(shù)學(xué)思想. 有時(shí)幾何法和代數(shù)法相結(jié)合使用，可以使得解題更快。
問題總結(jié)：
（1）兩定一動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)可在直線上、拋物線上；
（2）一定兩動(dòng)：兩動(dòng)點(diǎn)必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長度列方程求解；
（3）三動(dòng)點(diǎn)：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．
二、直角三角形存在性問題
（一）構(gòu)造直角三角形的一般思路:
構(gòu)造直角三角形，用的是“兩線一圓”：分別過已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)作已知線段的垂線，再以已知線段為直徑作圓.
（二）動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC為直角三角形為例
1、代數(shù)法
（1）列出A、B、C的坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)用參數(shù)表示；
（2）列出線段AB、AC、BC長度的平方；
（3）分類列方程：①，②，③；
2、幾何法 （用相似三角形）
當(dāng)直角三角形存在時(shí)可從三個(gè)角度進(jìn)行分析研究：
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，常用的方法是① ，②三角形相似 ③勾股定理；
三、等腰直角三角形的存在性
1、基本題型
一定兩動(dòng)探索等腰直角三角形問題；三動(dòng)探索等腰直角三角形問題
2、解題思路
（1）分類：不管是哪種類型的等腰直角三角形三角形問題，分類討論的依據(jù)都是三個(gè)角分別為直角。
（2）構(gòu)造K型全等三角形
（3）列方程
【例題講解】
1．（2023·青海）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對稱軸與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積（請?jiān)趫D1中探索）；
(3)二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（請?jiān)趫D中探索）．
（1）解：由題意得，
，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，

∵，
∴，
∴，，
由得，，
∴，
∴；
（3）解：設(shè)，，
∵，
∴，
由得，
∴，
∴．
2．（2023·四川內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（1）解：由題意得
，
解得：，
拋物線的解析式為．
（2）解：存在，
如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，

∵拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)，
，
，
，
，
，
解得：，
；
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線解析式為，
，且經(jīng)過，
直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
；
綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．
3．（2022·山東東營）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解： 如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，∠BPM=90°時(shí)，過點(diǎn)P作軸，過點(diǎn)M作MF⊥EF于F，過點(diǎn)B作BE⊥EF于E，
∵△PBM是以PB為腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），
∴PE=MF，BE=PF，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），
∴，
∴，，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1-m，m-2），
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；
同理當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，∠BPM=90°時(shí)可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；
如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，∠PBM=90°時(shí)，過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)P作PE⊥EF于E，過點(diǎn)M作MF⊥EF于F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），
同理可證△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-m，-2），
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，-2）；
如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，∠PBM=90°時(shí)，
同理可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，2）；
綜上所述，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）或（，-2）或（，2）．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·貴州黔東南）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，解得：a=-1，
∵拋物線過點(diǎn)，
∴，解得：c=3，
∴拋物線解析式為；
（2）解：存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，則，
解得：，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴OA=1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），即OC=3，
∴，
設(shè)直線BC的解析式為，
把點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直線BC的解析式為，
設(shè)點(diǎn)N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
當(dāng)AC=AN時(shí)，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此時(shí)點(diǎn)N（2，1）；
當(dāng)AC=CN時(shí)，，
解得：或（舍去），
∴此時(shí)點(diǎn)N；
當(dāng)AN=CN時(shí)，，
解得：，
∴此時(shí)點(diǎn)N；
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)（2，1）或或，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；
2．（2023·湖北隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn) 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；
(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；
(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）解：拋物線過點(diǎn)，，
拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入上式，得，
．
拋物線的表達(dá)式為，即．
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)，代入上式，
得，
解得．
直線的表達(dá)式為．
（2）解：點(diǎn)在直線上，且，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，，．
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，
①若，則，
即，
解得．
②若，則，
即，
解得或（舍去）．
③若，則，
即，
解得（舍去）或．
綜上，或或．
（3）解：點(diǎn)與點(diǎn)相對應(yīng)，
或．
①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
則，，．
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
當(dāng)，即時(shí)，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，
則，．
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
當(dāng)，即時(shí)，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
綜上，，或，或，．
題型四 二次函數(shù)中特殊四邊形的存在性問題
【知識(shí)梳理】
1、平行四邊形的存在性問題
平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍?dòng)”和“兩定兩動(dòng)”兩大類問題，若四邊形ABCD是平行四邊形，則平行四邊形的坐標(biāo)滿足以下等式:
2、菱形的存在性問題
若四邊形ABCD是菱形，則菱形的坐標(biāo)滿足以下等式：
3、矩形的存在性問題
若四邊形ABCD是矩形，則矩形的坐標(biāo)滿足以下等式：
【例題講解】
1．（2022·四川攀枝花）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連結(jié)，，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（1）解：二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對稱軸上一點(diǎn)，
二次函數(shù)頂點(diǎn)為，
設(shè)二次函數(shù)解析式為，
將點(diǎn)代入得，，
，
；
（2）如圖，連接，

當(dāng)時(shí)，，
或2，，
點(diǎn)P在拋物線上，
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，
；
（3）設(shè)，
當(dāng)為對角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，
當(dāng)為對角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，
當(dāng)為對角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，
綜上：或或．
2．（2023·海南）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；
(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（1）解：由題意可得，，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，如圖，
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∴，，
令，則，
解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
（3）解：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，理由如下：
如圖，當(dāng)為邊時(shí)，四邊形為符合條件的矩形，交y軸于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，連接，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)N，
∵，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴和為等腰直角三角形，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，，
∴和為全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立方程組得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖，當(dāng)為對角線時(shí)，四邊形為矩形，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，
則，，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
分解因式得：，
解得：（舍去），（舍去），，
∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．
綜上所述，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；
3．（2023·西藏）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)或或或；
(3)存在，，或，或，或或
【分析】（1）將，代入，求出,即可得出答案；
（2）分別以點(diǎn)為頂點(diǎn)、以點(diǎn)為頂點(diǎn)、當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)，計(jì)算即可；
（3）拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，，求出，，，分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線．
【詳解】（1）解：（1）∵，兩點(diǎn)在拋物線上，
∴
解得，，
∴拋物線的解析式為：；
（2）令，
∴，
由為等腰三角形，如圖甲，

當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，
∴；
當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，，是等腰中線，
∴，
∴；
當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為或，
∴綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或或或．
（3）存在，理由如下：
拋物線的對稱軸為：直線，
設(shè)，，
∵，
則，
，
，
∵以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∴分三種情況：以為對角線或以為對角線或以為對角線，
當(dāng)以為對角線時(shí)，則，如圖1，

∴，
解得：，
∴或
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，
當(dāng)時(shí)，
∴，
解得：，
∴
當(dāng)時(shí)，
∴，
解得：，
∴
以為對角線時(shí)，則，如圖2，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與中點(diǎn)重合，
∴，
解得：，
∴；
當(dāng)以為對角線時(shí)，則，如圖3，

∴，
解得：，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，即與的中點(diǎn)重合，
∴，
解得：
∴，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為： ，或，或，或或
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·內(nèi)蒙古）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)
解得
拋物線的解析式為：；
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得：，
解得
∴直線的解析式為，
設(shè)，
∵軸，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
又∵點(diǎn)在直線上，
∴，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
答：的最大值為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：，
則拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸為，
情況一：當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，為拋物線的頂點(diǎn)，
∵四邊形為矩形，
∴與縱坐標(biāo)相同，
∴；
情況二：當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，四邊形為矩形，
過作軸的垂線，垂足為，過作軸的垂線，垂足為，
設(shè)，則，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵拋物線對稱軸為，點(diǎn)在對稱軸上，，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
綜上所述：符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：或．
2．（2023·四川廣安）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，
∴，即，
∴，
∴二次函數(shù)解析式為；
（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，且對稱軸為直線，
∴，
∴，
∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，
∴，
∴；
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：設(shè)，則，，
∵軸，
∴軸，即，
∴是以、為頂點(diǎn)的菱形的邊；
如圖3-1所示，當(dāng)為對角線時(shí)，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
∴軸，即軸，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
∴，
∴；
如圖3-2所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如圖3-3所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如圖3-4所示，當(dāng)為邊時(shí)，則，

同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如圖3-5所示，當(dāng)為對角線時(shí)，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴軸，
∴軸，這與題意相矛盾，
∴此種情形不存在
如圖3-6所示，當(dāng)為對角線時(shí)，設(shè)交于S，

∵軸，
∴，
∵，
∴，這與三角形內(nèi)角和為180度矛盾，
∴此種情況不存在；
綜上所述，或或．
題型五 二次函數(shù)中角的存在性問題
【知識(shí)梳理】
二次函數(shù)與角綜合問題，常見的主要有兩種類型：
1、特殊角問題：
（1）利用特殊角的三角函數(shù)值找到線段之間的數(shù)量關(guān)系
（2）遇到特殊角可以構(gòu)造特殊三角形，如遇到45°構(gòu)造等腰直角三角形，遇到30°、60°構(gòu)造等邊三角形，遇到90°構(gòu)造直角三角形
2、角的數(shù)量關(guān)系問題
（1）等角問題：借助特殊圖形的性質(zhì)、全等和相似的性質(zhì)來解決；構(gòu)造圓，利用圓周角的性質(zhì)來解決
（2）二倍角問題：利用角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、對稱、輔助圓等知識(shí)來解答
（3）角的和差問題
【例題講解】
1．（2023·湖南常德）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求四邊形的面積；
(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．
∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為
∵，
∴，即的坐標(biāo)為
則，得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
過作于，作于，
四邊形的面積
；

（3）如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)時(shí)，
連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐標(biāo)為
所以過的直線的解析式為
令
解得，或
所以直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為
即所求的坐標(biāo)為
2．（2023·四川自貢）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）解：∵拋物線與x軸交于，
∴
解得：，
∴拋物線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，
解得：，
∴
（2）∵，，，
設(shè)，
∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
當(dāng)為對角線時(shí)，
解得：，
∴；
當(dāng)為對角線時(shí)，
解得：
∴
當(dāng)為對角線時(shí)，
解得：
∴
綜上所述，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，或或
（3）解：如圖所示，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
設(shè)，則
解得：（舍去）
∴點(diǎn)
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：.
∴直線的解析式
∵，，
∴拋物線對稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川達(dá)州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)連接，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；
（1）解：∵由二次函數(shù)，令，則，
，
過點(diǎn)，，
設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 ，
將點(diǎn)代入得，
，
解得，
，
（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，
拋物線的對稱軸為，
①如圖，過點(diǎn)作關(guān)于的對稱點(diǎn)，
，
，
，
，
②軸上取一點(diǎn)，使得，則，設(shè)，
則，
，
解得，
即，
設(shè)直線CD的解析式為，
，
解得，
直線CD的解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
，
綜上所述，或，
2．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，與軸交于點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過點(diǎn)作軸，垂足為，線段與直線相交于點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
則，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：設(shè)存在點(diǎn)，使得，理由如下：
延長到，設(shè)，連接，如圖：

，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，
，
，
，
，
，
解得（舍去）或（舍去）或，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．2024年中考二輪復(fù)習(xí)
專題4 二次函數(shù)與幾何綜合
題型一 二次函數(shù)的面積問題
【知識(shí)梳理】
二次函數(shù)的面積問題是二次函數(shù)和幾何綜合?？碱}型，有4種常用解法。
方法一：公式法：當(dāng)三角形某邊長在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸時(shí)，直接利用三角形的面積公式：×底×高
方法二：割補(bǔ)法。方法要點(diǎn)是，把所求圖像的面積適當(dāng)?shù)母钛a(bǔ)，轉(zhuǎn)化成有利于面積表達(dá)的常規(guī)幾何圖形。
方法三：鉛錘法
如圖，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
方法四：切線法，適用于求面積最值問題。
【例題講解】
1．（2023·湖南）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
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2．（2023·遼寧阜新）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．
(3)如圖2，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與平行，則在直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·湖南婁底）如圖，拋物線過點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．
(2)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)
①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
題型二 二次函數(shù)的線段最值問題
【知識(shí)梳理】
二次函數(shù)的線段問題主要包括以下四種類型：
一、直接求解線段長度表達(dá)式型：單線段最值問題
1、平面直角坐標(biāo)系線段長度的公式：
若AB平行y軸，則AB=，縱坐標(biāo)相減，上減下；
若AB平行x軸，則AB=，橫坐標(biāo)相減，右減左；
若AB不平行于坐標(biāo)軸，則AB=
2、拋物線中兩類線段最值問題
（1）拋物線中豎直線段PQ
解題方法：先求出拋物線與直線AC的解析式，利用點(diǎn)P在拋物線山，點(diǎn)Q在直線AC上，PQ//y軸，設(shè)點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)為m，進(jìn)而得到P、Q的坐標(biāo)，兩者作差即可得到PQ的長度。
（2）拋物線中斜線段PH
方法一：相似三角形法，利用相似△PQH∽△ACO，等到（常數(shù)），PH=kPQ
方法二：銳角三角函數(shù)法，sin∠PQH=sin∠ACO=
方法三：等面積法：
二、將軍飲馬問題：線段和最小，線段差最大、周長最小等
口訣：異側(cè)和最小，同側(cè)差最大。
線段和最小 如圖，在l 上找一點(diǎn) P ，使 PA PB 最小. 【技巧】做點(diǎn) B 關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn) B' ，直線 AB' 與l 的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) P ， PA PB 最小值為AB' .
線段差最大 如同，在直線上找一點(diǎn)P，使最大。 【技巧】作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最大值為AB′
三、胡不歸問題與阿氏圓問題
（1）胡不歸問題：若點(diǎn)P在某條直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求形如“PA+ k·PB”（k≠1且k為正數(shù)）的最值問題.
解題思路：構(gòu)造射線BD，使，即將問題轉(zhuǎn)化為求PA十PH的最小值，過A點(diǎn)作AH⊥BD交MN于點(diǎn)P，交BD于點(diǎn)H，此時(shí)PA+PH取到最小值，即PA十k·PB的值最小。
（2）阿氏圓問題：若點(diǎn)P在某圓上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求形如“PA+ k·PB”（k≠1且k為正數(shù)）的最值問題.
解題思路：在線段OB上截取OC使OC=kR，連接PO，PC，則可說明△BPO與△PCO相似，則有kPB=PC.故求PA+kPB的最小值可以轉(zhuǎn)化為求PA+PC的最小值，其中A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的值最小。
【例題講解】
1．（2023·寧夏）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在對稱軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·山東棗莊）如圖，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；
(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以D，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2．（2022·山東東營）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)在對稱軸上找一點(diǎn)Q，使的周長最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．
3．（2023·四川內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
題型三 二次函數(shù)中特殊三角形的存在性問題
【知識(shí)梳理】
二次函數(shù)中特殊三角形的存在性問題主要包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的存在性問題，具體解題方法如下：
一、等腰三角形存在性問題
解題策略：
（一）構(gòu)造等腰三角形的一般思路
平面直角坐標(biāo)系中已知一條線段，構(gòu)造等腰三角形，用的是“兩圓一線”：分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，線段長為半徑作圓，再作線段的垂直平分線。
（二）動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形的一般解法，以三角形ABC為等腰三角形為例：
1、代數(shù)法
（1）分類.；AB=AC，AB=BC，AC=BC；
（2）畫圖；
①以AB為半徑，點(diǎn)A為圓心做圓， 此時(shí)，圓上的點(diǎn)與 A、B構(gòu)成以A為頂點(diǎn)的等腰三角形
②以AB為半徑，點(diǎn)B為圓心做圓， 此時(shí)，圓上的點(diǎn)與 A、B構(gòu)成以B為頂點(diǎn)的等腰三角形
③做AB的垂直平分線，此時(shí)，直線上的點(diǎn)（除 F 點(diǎn)外）與 A、B 構(gòu)成以C為頂點(diǎn)的等腰三角形
（3）列方程；利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出線段AB,BC,AC的長度.根據(jù)AB=AC，AB=BC，AC=BC分類列方程
注意：如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來
2、幾何法
（1）設(shè)未知數(shù)，表示出A,B,C三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形以及三角函數(shù)表示出線段AB,BC,AC的長度.
（3）分類列方程：AB=BC,BC=CA,AB=AC.
注意：如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．
用相似的方法得到的代數(shù)式構(gòu)造一般比較簡單，但對幾何能力的要求較高，用勾股定理則反之
數(shù)學(xué)思想方法：分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸和方程建模等數(shù)學(xué)思想. 有時(shí)幾何法和代數(shù)法相結(jié)合使用，可以使得解題更快。
問題總結(jié)：
（1）兩定一動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)可在直線上、拋物線上；
（2）一定兩動(dòng)：兩動(dòng)點(diǎn)必有關(guān)聯(lián)，可表示線段長度列方程求解；
（3）三動(dòng)點(diǎn)：分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口．
二、直角三角形存在性問題
（一）構(gòu)造直角三角形的一般思路:
構(gòu)造直角三角形，用的是“兩線一圓”：分別過已知線段的兩個(gè)端點(diǎn)作已知線段的垂線，再以已知線段為直徑作圓.
（二）動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形的一般解法，以三角形ABC為直角三角形為例
1、代數(shù)法
（1）列出A、B、C的坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)用參數(shù)表示；
（2）列出線段AB、AC、BC長度的平方；
（3）分類列方程：①，②，③；
2、幾何法 （用相似三角形）
當(dāng)直角三角形存在時(shí)可從三個(gè)角度進(jìn)行分析研究：
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，常用的方法是① ，②三角形相似 ③勾股定理；
三、等腰直角三角形的存在性
1、基本題型
一定兩動(dòng)探索等腰直角三角形問題；三動(dòng)探索等腰直角三角形問題
2、解題思路
（1）分類：不管是哪種類型的等腰直角三角形三角形問題，分類討論的依據(jù)都是三個(gè)角分別為直角。
（2）構(gòu)造K型全等三角形
（3）列方程
【例題講解】
1．（2023·青海）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對稱軸與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積（請?jiān)趫D1中探索）；
(3)二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（請?jiān)趫D中探索）．
2．（2023·四川內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
3．（2022·山東東營）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰直角三角形時(shí)，請直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·貴州黔東南）如圖，拋物線的對稱軸是直線，與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
2．（2023·湖北隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn) 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；
(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；
(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
題型四 二次函數(shù)中特殊四邊形的存在性問題
【知識(shí)梳理】
1、平行四邊形的存在性問題
平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動(dòng)”和“兩定兩動(dòng)”兩大類問題，若四邊形ABCD是平行四邊形，則平行四邊形的坐標(biāo)滿足以下等式:
2、菱形的存在性問題
若四邊形ABCD是菱形，則菱形的坐標(biāo)滿足以下等式：
3、矩形的存在性問題
若四邊形ABCD是矩形，則矩形的坐標(biāo)滿足以下等式：
【例題講解】
1．（2022·四川攀枝花）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連結(jié)，，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
2．（2023·海南）如圖1，拋物線交x軸于A，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，求四邊形的面積；
(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線上方時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系是否存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
3．（2023·西藏）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·內(nèi)蒙古）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為和（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn)，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)為拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使四邊形為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
2．（2023·四川廣安）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
題型五 二次函數(shù)中角的存在性問題
【知識(shí)梳理】
二次函數(shù)與角綜合問題，常見的主要有兩種類型：
1、特殊角問題：
（1）利用特殊角的三角函數(shù)值找到線段之間的數(shù)量關(guān)系
（2）遇到特殊角可以構(gòu)造特殊三角形，如遇到45°構(gòu)造等腰直角三角形，遇到30°、60°構(gòu)造等邊三角形，遇到90°構(gòu)造直角三角形
2、角的數(shù)量關(guān)系問題
（1）等角問題：借助特殊圖形的性質(zhì)、全等和相似的性質(zhì)來解決；構(gòu)造圓，利用圓周角的性質(zhì)來解決
（2）二倍角問題：利用角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、對稱、輔助圓等知識(shí)來解答
（3）角的和差問題
【例題講解】
1．（2023·湖南常德）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求四邊形的面積；
(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
2．（2023·四川自貢）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川達(dá)州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)連接，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；
2．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，與軸交于點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，過點(diǎn)作軸，垂足為，線段與直線相交于點(diǎn).

(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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