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分式6大題型
【知識點1 分式的定義】
一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【題型1 分式的概念】
【例1】（2023秋 信都區校級月考）在代數式3x、、6x2y、、、中，分式有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-1】（2023秋 新化縣校級期中）在下列各式中，分式的個數是（　?。﹤€．
，，，，﹣m2，．
A．3 B．4 C．5 D．2
【變式1-2】（2022秋 萊州市期中）在式子、、、、、9x中，分式有　 　個．
【變式1-3】（2023春 秦淮區期末）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦﹣3x2，是分式的有 　 　，是整式的有 　 ?。ㄖ惶钚蛱枺?br/>【題型2 分式有意義的條件】
【例2】（2022秋 夏津縣校級月考）x取何值時，下列分式有意義：
（1）
（2）
（3）．
【變式2-1】（2023春 溫州期末）要使分式有意義，實數a必須滿足（　?。?br/>A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a≠2 D．a≠2且a≠﹣2
【變式2-2】（2022春 衛輝市期中）使代數式有意義的x的取值范圍是　 ?。?br/>【變式2-3】（2022秋 賽罕區校級期中）要使式子有意義，則x的取值范圍為　 　．
【題型3 分式的值為零】
【例3】當x取何值時，下列分式的值為零？
（1）
（2）
（3）
（4）．
【變式3-1】（2023春 碑林區校級期中）若，則x＝　 ?。?br/>【變式3-2】（2023春 白云區校級月考）若a、b是實數，且分式0，則3a+b的值是（　?。?br/>A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案
【變式3-3】（2023春 江陰市校級月考）當x　≠1　時，分式有意義；如果分式的值為0，那么x的值是　?。攛滿足　 　時，分式的值為負數．
【知識點2 分式的基本性質】
分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變。
；（C≠0）。
【題型4 分式的基本性質】
【例4】（2023秋 河北月考）若分式中的x和y都擴大3倍，且分式的值不變，則□可以是（　　）
A．2 B．y C．y2 D．3y
【變式4-1】（2023春 米易縣期末）下列式子從左到右變形正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023春 碑林區校級期末）已知，則a的取值范圍是 　 ?。?br/>【變式4-3】（2022春 和平區期中）如果分式的值為9，把式中的x，y同時變為原來的3倍，則分式的值是 　 ?。?br/>【知識點3 分式的約分和通分】
定義1：根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。
定義2：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。
定義3：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定義4：各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡公分母。
【題型5 分式的約分與通分】
【例5】（2022秋 聊城期中）約分：
（1）；
（2）；
（3）．
【變式5-1】（2023春 玄武區校級期中）分式的最簡公分母是　 ?。?br/>【變式5-2】（2022秋 丹江口市期中）通分：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【變式5-3】（2023秋 岱岳區校級月考）已知分式，，a是這兩個分式中分母的公因式，b是這兩個分式的最簡公分母，且3，試求這兩個分式的值．
【題型6 運用分式的基本性質求值】
【例6】（2023春 蘭州期末）閱讀下列解題過程，然后解題：
題目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：設，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列問題：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
【變式6-1】（2022秋 沂源縣期中）若2，則　 　
【變式6-2】（2023 奉化區）若，則　　；若，則　 ?。?br/>【變式6-3】（2022秋 武陵區校級期中）閱讀下列解題過程，并完成問題：
若2，求的值．
解：因為2，所以a＝﹣2b．
所以．
（1）解題過程中，由得，是對分式進行了 　約分?。?br/>（2）已知，求的值；
（3）已知0，求的值．
分式-重難點題型
【知識點1 分式的定義】
一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【題型1 分式的概念】
【例1】（2023秋 信都區校級月考）在代數式3x、、6x2y、、、中，分式有（　?。?br/>A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
【解答】解：3x、6x2y、、的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式．
、中分母中含有字母，因此是分式．
故選：B．
【變式1-1】（2023秋 新化縣校級期中）在下列各式中，分式的個數是（　?。﹤€．
，，，，﹣m2，．
A．3 B．4 C．5 D．2
【分析】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
【解答】解：，﹣m2的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式．
，，，的分母中含有字母，因此是分式，分式共有4個．
故選：B．
【變式1-2】（2022秋 萊州市期中）在式子、、、、、9x中，分式有　3　個．
【分析】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
【解答】解：式子、、9x的分母中含有字母，屬于分式，其他的分母中不含有字母，不是分式．
故答案是：3．
【變式1-3】（2023春 秦淮區期末）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦﹣3x2，是分式的有 ?、佟ⅱ?、⑤、⑥　，是整式的有 ?、?、④、⑦　．（只填序號）
【分析】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
【解答】解：②；④；⑦﹣3x2的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式．
①；③；⑤；⑥分母中含有字母，因此是分式．
故答案是：①、③、⑤、⑥，②、④、⑦．
【題型2 分式有意義的條件】
【例2】（2022秋 夏津縣校級月考）x取何值時，下列分式有意義：
（1）
（2）
（3）．
【分析】（1）根據分式的分母不為零分式有意義，可得答案；
（2）根據分式的分母不為零分式有意義，可得答案；
（3）根據分式的分母不為零分式有意義，可得答案．
【解答】解：（1）要使有意義，
得2x﹣3≠0．
解得x，
當x時，有意義；
（2）要使有意義，得
|x|﹣12≠0．
解得x≠±12，
當x≠±12時，有意義；
（3）要使有意義，得
x2+1≠0．
x為任意實數，有意義．
【變式2-1】（2023春 溫州期末）要使分式有意義，實數a必須滿足（　?。?br/>A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a≠2 D．a≠2且a≠﹣2
【分析】根據分母不為零分式有意義，可得答案．
【解答】解：∵分式有意義，
∴a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≠0．
∴a﹣2≠0．
解得a≠2．
故選：C．
【變式2-2】（2022春 衛輝市期中）使代數式有意義的x的取值范圍是　x≠±3且x≠﹣4　．
【分析】根據分式的分母不等于零得到：x﹣3≠0、x+4≠0、且x2﹣9≠0．
【解答】解：由題意，得．
解得x≠±3且x≠﹣4．
故答案是：x≠±3且x≠﹣4．
【變式2-3】（2022秋 賽罕區校級期中）要使式子有意義，則x的取值范圍為　x≠﹣1且x≠﹣2?。?br/>【分析】根據分式的分母為負數不能為0，可得答案．
【解答】解：1+x≠0，10，
x≠﹣1，x≠﹣2
故答案為：x≠﹣1且x≠﹣2．
【題型3 分式的值為零】
【例3】當x取何值時，下列分式的值為零？
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】（1）由分式值為0的條件可知；x2﹣4＝0且x+2≠0，從而可解得x的值；
（2）由分式值為0的條件可知；x2+2x﹣3＝0且|x|﹣1≠0，從而可解得x的值；
（3）由分式值為0的條件可知；x2﹣1＝0且|x2﹣3x+2≠0，從而可解得x的值；
（4）由分式值為0的條件可知；5﹣|x＝0且x2+4x﹣5≠0，從而可解得x的值．
【解答】解：（1）∵分式值為0，
∴x2﹣4＝0且x+2≠0，
解得x＝2；
（2）∵分式值為0，
∴x2+2x﹣3＝0且|x|﹣1≠0，
解得：x＝﹣3；
（3）∵分式值為0，
∴x2﹣1＝0且|x2﹣3x+2≠0，
解得：x＝﹣1；
（4）∵分式值為0，
∴5﹣|x＝0且x2+4x﹣5≠0，
∴x＝±5，且（x+5）（x﹣1）≠0
∴x＝5．
【變式3-1】（2023春 碑林區校級期中）若，則x＝　﹣1　．
【分析】分式的值為零時：分子＝0，分母≠0．
【解答】解：根據題意，得|x|﹣1＝0且x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≠0．
解得x＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【變式3-2】（2023春 白云區校級月考）若a、b是實數，且分式0，則3a+b的值是（　?。?br/>A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案
【分析】根據分式為0的條件得，再根據絕對值的非負性以及平方的非負性，求得a＝2，b＝4，從而解決此題．
【解答】解：∵分式0，
∴．
∴b≠﹣4．
又∵（a﹣2）2≥0，|b2﹣16|≥0，
∴（a﹣2）2＝0，|b2﹣16|＝0．
∴a＝2，b＝4．
∴3a+b＝3×2+4＝10．
故選：A．
【變式3-3】（2023春 江陰市校級月考）當x　≠1　時，分式有意義；如果分式的值為0，那么x的值是　1　．當x滿足　x＜2且x≠﹣1　時，分式的值為負數．
【分析】依據分式有意義的條件、分式的值為0的條件以及分式的值為負數的條件，即可得出結論．
【解答】解：由題可得，x﹣1≠0，
解得x≠1，
∴當x≠1時，分式有意義；
由題可得，，
解得x＝1，
∴如果分式的值為0，那么x的值是1．
由題可得，，
解得x＜2且x≠﹣1，
當x滿足x＜2且x≠﹣1時，分式的值為負數．
故答案為：≠1；1；x＜2且x≠﹣1．
【知識點2 分式的基本性質】
分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變。
；（C≠0）。
【題型4 分式的基本性質】
【例4】（2023秋 河北月考）若分式中的x和y都擴大3倍，且分式的值不變，則□可以是（　　）
A．2 B．y C．y2 D．3y
【分析】x和y都擴大3倍，則2xy擴大到原來的9倍，要使分式的值不變，則x2+□也擴大到原來的9倍，所以□可以是y2．
【解答】解：∵x和y都擴大3倍，
∴2xy擴大到原來的：3×3＝9倍，
∵分式的值不變，
∴x2+□也擴大到原來的9倍，
∵x擴大3倍，x2擴大到原來的9（32＝9）倍，
∴□也要擴大到原來的9倍，
∵y擴大3倍，y、3y都擴大到原來的3倍，y2擴大到原來的9（32＝9）倍，
∴□可以是y2．
故選：C．
【變式4-1】（2023春 米易縣期末）下列式子從左到右變形正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【分析】根據分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，可得答案．
【解答】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
B、分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
C、分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
D、分子分母都乘以b（b≠0），分式的值不變，原變形正確，故此選項符合題意；
故選：D．
【變式4-2】（2023春 碑林區校級期末）已知，則a的取值范圍是 　a＜3?。?br/>【分析】根據絕對值的意義作答，可得答案．
【解答】解：∵，
∴a﹣3＜0．
解得a＜3．
故答案是：a＜3．
【變式4-3】（2022春 和平區期中）如果分式的值為9，把式中的x，y同時變為原來的3倍，則分式的值是 　3?。?br/>【分析】直接利用分式的性質將原式變形進而得出答案．
【解答】解：∵分式的值為9，把式中的x，y同時變為原來的3倍，
∴原式3．
故答案為：3．
【知識點3 分式的約分和通分】
定義1：根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。
定義2：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。
定義3：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
定義4：各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡公分母。
【題型5 分式的約分與通分】
【例5】（2022秋 聊城期中）約分：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】首先把分子分母分解因式，然后再約掉分子分母的公因式即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式m；
（3）原式．
【變式5-1】（2023春 玄武區校級期中）分式的最簡公分母是　x（x+2）（x﹣2）?。?br/>【分析】首先把分母分解因式，然后再確定最簡公分母．
【解答】解：，
則最簡公分母為x（x+2）（x﹣2），
故答案為：x（x+2）（x﹣2）．
【變式5-2】（2022秋 丹江口市期中）通分：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【分析】（1）直接找出最簡公分母（x﹣1）2（x+1），進而通分運算得出答案；
（2）直接找出最簡公分母（a+b）2（a﹣b），進而通分運算得出答案；
（3）直接找出最簡公分母2（x+y）（x﹣y），進而通分運算得出答案；
（4）直接找出最簡公分母（a﹣2b）（a+b），進而通分運算得出答案．
【解答】解：（1），
；
（2），
；
（3），
；
（4），
．
【變式5-3】（2023秋 岱岳區校級月考）已知分式，，a是這兩個分式中分母的公因式，b是這兩個分式的最簡公分母，且3，試求這兩個分式的值．
【分析】找出兩分式中分母的公因式確定出a，找出最簡公分母確定出b．
【解答】解：兩分式分母的公因式為a＝x﹣1，最簡公分母為b＝3（x+1）（x﹣1），
∴3（x+1）＝3，即x＝0
則．
2．
【題型6 運用分式的基本性質求值】
【例6】（2023春 蘭州期末）閱讀下列解題過程，然后解題：
題目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：設，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k 0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列問題：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
【分析】根據提示，先設比值為k，再利用等式列出三元一次方程組，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代數式．
【解答】解：設k，
則：，
（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴原式．
【變式6-1】（2022秋 沂源縣期中）若2，則　　
【分析】由2，得x+y＝2xy，整體代入所求的式子化簡即可．
【解答】解：由2，得x+y＝2xy
則．
故答案為．
【變式6-2】（2023 奉化區）若，則　　；若，則　　．
【分析】（1）可設a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，將其代入原式即可；
（2）將已知條件變換即可得．
【解答】解：1）可設a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，將其代入分式得：；
（2）由已知可得出，3（x﹣2y）＝2y，3x＝8y，所以．
故答案為、．
【變式6-3】（2022秋 武陵區校級期中）閱讀下列解題過程，并完成問題：
若2，求的值．
解：因為2，所以a＝﹣2b．
所以．
（1）解題過程中，由得，是對分式進行了 　約分　；
（2）已知，求的值；
（3）已知0，求的值．
【分析】（1）根據分式的分子、分母都除以b2，知道是對分式進行了約分；
（2）根據條件得：b＝2a，代入代數式中，約去a2即可得到答案；
（3）設k（k≠0），則x＝3k，y＝4k，z＝6k，代入代數式中，約去k，即可得到答案．
【解答】解：（1）分式的分子、分母都除以b2，
故答案為：約分；
（2）∵，
∴b＝2a，
∴原式
；
（3）設k（k≠0），
則x＝3k，y＝4k，z＝6k，
∴原式
．

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