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分式的運(yùn)算6大題型
【知識(shí)點(diǎn)1 分式的加減】
同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；
異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。
①同分母分式的加減：；
②異分母分式的加法：。
注：不論是分式的哪種運(yùn)算，都要先進(jìn)行因式分解。
【題型1 分式的加減】
【例1】（2023春 鹽城月考）化簡(jiǎn)：
（1）；
（2）．
【變式1-1】當(dāng)m＞﹣3時(shí)，比較與的大?。?br/>【變式1-2】（2023 樂(lè)山）已知，求A、B的值．
【變式1-3】（2023春 河南期末）若a＞0，M，N
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，M＝　　，N＝　??；當(dāng)a＝3時(shí)，M＝　　，N＝　??；
（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想．
【題型2 分式與整式的混合運(yùn)算 】
【例2】（2023 嘉興一模）計(jì)算x+2時(shí)，兩位同學(xué)的解法如下：
解法一：x+2 解法二：x+2
（1）判斷：兩位同學(xué)的解題過(guò)程有無(wú)計(jì)算錯(cuò)誤？若有誤，請(qǐng)?jiān)阱e(cuò)誤處打“×”．
（2）請(qǐng)選擇一種你喜歡的方法，完成解答．
【變式2-1】（2023 梧州）計(jì)算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
【變式2-2】（2023秋 昌平區(qū)期中）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．
我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式．例如：，在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式是假分式；，這樣的分式是真分式．類(lèi)似的，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式．
例如：，
．
解決下列問(wèn)題：
（1）將分式化為整式與真分式的和的形式；
（2）如果分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．
【變式2-3】（2023春 玄武區(qū)期中）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則．”
《見(jiàn)微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類(lèi)比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門(mén)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．
閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)難度較大，這時(shí)，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（分式）的和（差）的形式，通過(guò)對(duì)它的簡(jiǎn)單分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問(wèn)題時(shí)頗為有效．
將分式分離常數(shù)可類(lèi)比假分?jǐn)?shù)變形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行，如：xx﹣1，這樣，分式就拆分成一個(gè)分式與一個(gè)整式x﹣1的和的形式．
根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問(wèn)題：
（1）假分式可化為帶分式　 　形式；
（2）利用分離常數(shù)法，求分式的取值范圍；
（3）若分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11，則m2+n2+mn的最小值為　 ?。?br/>【知識(shí)點(diǎn)2 分式的混合運(yùn)算】
1.乘法法則：。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。
2.除法法則：。分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
3.分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分別乘方。
4.分式的混合運(yùn)算：與實(shí)數(shù)運(yùn)算類(lèi)似，分式的混合運(yùn)算應(yīng)先乘方、后乘除、最后加減，有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)里面的，并恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。一個(gè)分式與一個(gè)整式相加減時(shí)，可以把整式視為分母為1的分式，以免通分漏項(xiàng)。
【題型3 分式的混合運(yùn)算】
【例3】（2023秋 萊蕪區(qū)期中）計(jì)算：
（1）（ab﹣b2） ；
（2）（x﹣1）．
【變式3-1】（2023 榆陽(yáng)區(qū)模擬）化簡(jiǎn)：（x﹣1）．
【變式3-2】（2023 南京）計(jì)算．
【變式3-3】（2023 宛城區(qū)二模）復(fù)習(xí)備考時(shí)，王老師在黑板上寫(xiě)了一道分式化簡(jiǎn)題的正確計(jì)算結(jié)果，隨后用手遮住了原題目的一部分，如圖：
（﹣a+1）
（1）求被手遮住部分的代數(shù)式，并將其化簡(jiǎn)；
（2）原代數(shù)式的值能等于3嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型4 分式的規(guī)律問(wèn)題】
【例4】（2023 安徽三模）觀察下列不等式：
①；
②；
③；
④；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第6個(gè)不等式：　 ??；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)不等式： 　（用含n的等式表示）；
（3）比較和的大?。?br/>【變式4-1】（2022春 溫江區(qū)期末）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2，S3，S4，…按此規(guī)律，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示S2022＝　 　．
【變式4-2】（2023春 玄武區(qū)校級(jí)期中）如果記f（x），并且f（1）表示當(dāng)x＝1時(shí)y的值，即f（1），f（）表示當(dāng)x時(shí)y的值，即f（）．
（1）f（6）＝　??；f（）＝　?。?br/>（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝　n?。ńY(jié)果用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．
【變式4-3】（2022秋 海港區(qū)期中）觀察下列各式：
第一式：；
第二式：；
第三式：；
…
（1）請(qǐng)你根據(jù)觀察得到的規(guī)律寫(xiě)出這列式子的第n式：　　；
（2）求和：；
（3）已知a2﹣6a+9與|b﹣1|互為相反數(shù)，求的值．
【知識(shí)點(diǎn)3 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算】
1.整數(shù)負(fù)指數(shù)冪：。
2.若，且a≠0，則m=n；反之，若a≠0，且m=n，則。據(jù)此，可解決某些條件求值問(wèn)題。
【題型5 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算】
【例5】（2022秋 海淀區(qū)校級(jí)期中）|（﹣1）|+|﹣5|×（[﹣（2）3]）×（）．
【變式5-1】（2023春 江都區(qū)期中）已知a＝﹣3﹣2，b＝（）﹣2，c＝（）0，比較a、b、c的大小，并用“＜”號(hào)連接起來(lái)：　 　．
【變式5-2】（2022春 江都區(qū)月考）a﹣p（a≠0），即a的負(fù)P次冪等于a的p次冪的倒數(shù)．例：4﹣2．
（1）計(jì)算：5﹣2＝　 ?。唬ī?）﹣2＝　 ??；
（2）如果2﹣p，那么p＝　 ??；如果a﹣2，那么a＝ 　 ；
（3）如果a﹣p，且a、p為整數(shù)，求滿足條件的a、p的取值．
【變式5-3】（2023春 鹽都區(qū)月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，請(qǐng)用“＜”把它們按從小到大的順序連接起來(lái)，說(shuō)明理由．
（2）請(qǐng)?zhí)剿魇沟玫仁剑?x+3）x+2022＝1成立的x的值．
【題型6 分式的化簡(jiǎn)與求值】
【例6】（2023秋 泰興市期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a滿足a2﹣2a﹣1＝0．
【變式6-1】設(shè)有理數(shù)a，b，c都不為零，且a+b+c＝0，則的值為（　?。?br/>A．1 B．﹣1 C．0 D．不能確定
【變式6-2】（2023 濰城區(qū)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：（ ）÷（x+2），其中x是不等式組的整數(shù)解．
【變式6-3】（2023春 萬(wàn)山區(qū)期末）求值：
（1）已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝4．求xy的值；
（2）已知x3，求x4的值．
分式的運(yùn)算-重難點(diǎn)題型
【知識(shí)點(diǎn)1 分式的加減】
同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；
異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p。
①同分母分式的加減：；
②異分母分式的加法：。
注：不論是分式的哪種運(yùn)算，都要先進(jìn)行因式分解。
【題型1 分式的加減】
【例1】（2023春 鹽城月考）化簡(jiǎn)：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先通分再進(jìn)行加減，即可得出答案；
（2）先化簡(jiǎn)再進(jìn)行加減，即可得出答案．
【解答】解：（1）原式1；
（2）原式1．
【變式1-1】當(dāng)m＞﹣3時(shí)，比較與的大小．
【分析】根據(jù)比較大小若a﹣b＞0，則a＞b，若a﹣b＜0，則a＜b，得，由已知m＞﹣3，則可得（m+3）＞0，m+4＞1，（m+3）（m+4）＞0，即可得出答案．
【解答】解：
，
∵m＞﹣3，
∴m+3＞0，m+4＞1，
∴（m+3）（m+4）＞0，
∴0，
∴．
【變式1-2】（2023 樂(lè)山）已知，求A、B的值．
【分析】根據(jù)異分母分式的加減法法則把等式的左邊進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可．
【解答】解：，
∴，
解得．
【變式1-3】（2023春 河南期末）若a＞0，M，N
（1）當(dāng)a＝1時(shí)，M＝　　，N＝　　；當(dāng)a＝3時(shí)，M＝　　，N＝　　；
（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想．
【分析】（1）直接代入計(jì)算即可；
（2）利用求差法比較M與N的大小關(guān)系，根據(jù)分式的加減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，最后判斷其正負(fù)．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，M，N，
當(dāng)a＝3時(shí)，M，N，
故答案為：，，，；
（2）M＜N，理由是：
M﹣N，
，
，
∵a＞0，
∴（a+1）（a+2）＞0，
∴0，
即M﹣N＜0，
∴M＜N．
【題型2 分式與整式的混合運(yùn)算 】
【例2】（2023 嘉興一模）計(jì)算x+2時(shí)，兩位同學(xué)的解法如下：
解法一：x+2 解法二：x+2
（1）判斷：兩位同學(xué)的解題過(guò)程有無(wú)計(jì)算錯(cuò)誤？若有誤，請(qǐng)?jiān)阱e(cuò)誤處打“×”．
（2）請(qǐng)選擇一種你喜歡的方法，完成解答．
【分析】（1）根據(jù)添括號(hào)法則判斷解法一，根據(jù)提取公因式的方法判斷解法二；
（2）原式進(jìn)行通分，然后再根據(jù)同分母分式加減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算或者將原式通過(guò)提取公因式進(jìn)行變形，然后結(jié)合乘法公式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算．
【解答】解：（1）解法一有錯(cuò)誤，
解法一的做法相當(dāng)于添括號(hào)，括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)要改變符號(hào)，
∴原式，
解法二的做法相當(dāng)于提取公因式，
∴原式
，
∴解法二正確，
（2）選擇解法一：
原式
；
選擇解法二：
原式
，
．
【變式2-1】（2023 梧州）計(jì)算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
【分析】將所求式子用完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、分式加減法依次運(yùn)算，然后再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
＝x2﹣4x+4﹣x2+x+x﹣4
＝﹣2x．
【變式2-2】（2023秋 昌平區(qū)期中）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．
我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式．例如：，在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式是假分式；，這樣的分式是真分式．類(lèi)似的，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式．
例如：，
．
解決下列問(wèn)題：
（1）將分式化為整式與真分式的和的形式；
（2）如果分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．
【分析】（1）原式利用閱讀材料中的方法變形為整式和真分式之和即可；
（2）原式利用閱讀材料中的方法變形為整式和真分式之和，根據(jù)原式的值為整數(shù)，得到真分式為整數(shù)0，即可確定出x的整數(shù)值．
【解答】解：（1）原式1；
（2）原式
＝x
＝x
＝x﹣1，
∵原式的值為整數(shù)，且x為整數(shù)，
∴為整數(shù)，即x+3＝±1或x+3＝±3，
則x＝﹣2或﹣4或0或﹣6．
【變式2-3】（2023春 玄武區(qū)期中）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則．”
《見(jiàn)微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類(lèi)比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門(mén)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法．
閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)難度較大，這時(shí)，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（分式）的和（差）的形式，通過(guò)對(duì)它的簡(jiǎn)單分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問(wèn)題時(shí)頗為有效．
將分式分離常數(shù)可類(lèi)比假分?jǐn)?shù)變形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行，如：xx﹣1，這樣，分式就拆分成一個(gè)分式與一個(gè)整式x﹣1的和的形式．
根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問(wèn)題：
（1）假分式可化為帶分式　1　形式；
（2）利用分離常數(shù)法，求分式的取值范圍；
（3）若分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11，則m2+n2+mn的最小值為　27　．
【分析】（1）按照閱讀材料方法，把變形即可；
（2）用分離常數(shù)法，把原式化為2，由03即可得答案；
（3）用分離常數(shù)法，把原式化為5x﹣1，根據(jù)已知用x的代數(shù)式表示m、n和m2+n2+mn，配方即可得答案．
【解答】解：（1）1，
故答案為：1；
（2）2，
∵x2+1≥1，
∴03，
∴25；
（3）∵5x﹣1，
而分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：5m﹣11，
∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），
∴m＝x+2，n＝﹣x+4，
∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，
而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+27≥27，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，m2+n2+mn最小值是27．
故答案為：27．
【知識(shí)點(diǎn)2 分式的混合運(yùn)算】
1.乘法法則：。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。
2.除法法則：。分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
3.分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分別乘方。
4.分式的混合運(yùn)算：與實(shí)數(shù)運(yùn)算類(lèi)似，分式的混合運(yùn)算應(yīng)先乘方、后乘除、最后加減，有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)里面的，并恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。一個(gè)分式與一個(gè)整式相加減時(shí)，可以把整式視為分母為1的分式，以免通分漏項(xiàng)。
【題型3 分式的混合運(yùn)算】
【例3】（2023秋 萊蕪區(qū)期中）計(jì)算：
（1）（ab﹣b2） ；
（2）（x﹣1）．
【分析】（1）先根據(jù)分式的乘方算乘方，再根據(jù)分式的乘法和除法法則進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)分式的加法法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)分式的減法法則算括號(hào)里面的，再根據(jù)分式的除法進(jìn)行計(jì)算，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）原式 b（a﹣b）
＝0；
（2）原式


＝﹣（x+2）（x﹣1）
＝﹣（x2+x﹣2）
＝﹣x2﹣x+2．
【變式3-1】（2023 榆陽(yáng)區(qū)模擬）化簡(jiǎn)：（x﹣1）．
【分析】根據(jù)分式的減法和除法法則可以解答本題．
【解答】解：（x﹣1）
＝[]

．
【變式3-2】（2023 南京）計(jì)算．
【分析】根據(jù)分式的加減法和除法可以解答本題．
【解答】解：
＝[]
．
【變式3-3】（2023 宛城區(qū)二模）復(fù)習(xí)備考時(shí)，王老師在黑板上寫(xiě)了一道分式化簡(jiǎn)題的正確計(jì)算結(jié)果，隨后用手遮住了原題目的一部分，如圖：
（﹣a+1）
（1）求被手遮住部分的代數(shù)式，并將其化簡(jiǎn)；
（2）原代數(shù)式的值能等于3嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)被除式＝商×除式，其中的一個(gè)加式＝和﹣另一個(gè)加式，列出表示被遮擋部分的算式，然后根據(jù)分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)原式值為3列出分式方程求解，然后結(jié)合分式有意義的條件進(jìn)行分析判斷．
【解答】解：（1）被遮擋部分可表示為：
a﹣1
a﹣1
，
∴被遮擋部分的代數(shù)式為，
（2）不能，理由如下：
當(dāng)原式的值為3時(shí)，
3，
解得：a＝﹣1，
經(jīng)檢驗(yàn)：a＝﹣1是分式方程的解，
又∵a+2≠0，a+1≠0，
∴a≠﹣2且a≠﹣1，
∴原式的值不能為3．
【題型4 分式的規(guī)律問(wèn)題】
【例4】（2023 安徽三模）觀察下列不等式：
①；
②；
③；
④；
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出第6個(gè)不等式：　??；
（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)不等式：　　（用含n的等式表示）；
（3）比較和的大?。?br/>【分析】（1）觀察以上規(guī)律，寫(xiě)出第6個(gè)不等式即可；
（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)不等式即可；
（3）利用作差法計(jì)算可再結(jié)合n大于0得結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)規(guī)律可得第6個(gè)不等式為：，
故答案為：；
（2）根據(jù)規(guī)律可得第n個(gè)不等式為：，
故答案為：；
（3）∵0，
∴．
【變式4-1】（2022春 溫江區(qū)期末）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2，S3，S4，…按此規(guī)律，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示S2022＝　a+1?。?br/>【分析】根據(jù)題意可得S2，S3，S4a+1，…，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而可以求得S2022的值．
【解答】解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），
∴S2，
S3，
S4a+1，
…，
∴3個(gè)一循環(huán)，
∵2022÷3＝673…1，
∴S2022＝a+1．
故答案為：a+1．
【變式4-2】（2023春 玄武區(qū)校級(jí)期中）如果記f（x），并且f（1）表示當(dāng)x＝1時(shí)y的值，即f（1），f（）表示當(dāng)x時(shí)y的值，即f（）．
（1）f（6）＝　??；f（）＝　??；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝　n?。ńY(jié)果用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）．
【分析】（1）把x＝6和x代入f（x）中計(jì)算即可；
（2）利用f（n）+f（）＝1進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：（1）f（6）；
f（）；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+…+[f（n+1）+f（）]
1×n
n．
故答案為；；n．
【變式4-3】（2022秋 海港區(qū)期中）觀察下列各式：
第一式：；
第二式：；
第三式：；
…
（1）請(qǐng)你根據(jù)觀察得到的規(guī)律寫(xiě)出這列式子的第n式：　??；
（2）求和：；
（3）已知a2﹣6a+9與|b﹣1|互為相反數(shù)，求的值．
【分析】（1）直接根據(jù)給出的例子找出規(guī)律即可；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律直接計(jì)算即可；
（3）先根據(jù)相反數(shù)的定義求出a、b的值，代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵第一式，第二式，第三式，
∴第n式．
故答案為：；
（2）原式
；
（3）∵a2﹣6a+9與|b﹣1|互為相反數(shù)，
∴a2﹣6a+9+|b﹣1|＝0，即（a﹣3）2+|b﹣1|＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴原式
．
【知識(shí)點(diǎn)3 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算】
1.整數(shù)負(fù)指數(shù)冪：。
2.若，且a≠0，則m=n；反之，若a≠0，且m=n，則。據(jù)此，可解決某些條件求值問(wèn)題。
【題型5 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算】
【例5】（2022秋 海淀區(qū)校級(jí)期中）|（﹣1）|+|﹣5|×（[﹣（2）3]）×（）．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：原式|1|+5×[（﹣8）]×（）
5（）
．
【變式5-1】（2023春 江都區(qū)期中）已知a＝﹣3﹣2，b＝（）﹣2，c＝（）0，比較a、b、c的大小，并用“＜”號(hào)連接起來(lái)：　a＜c＜b?。?br/>【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣3﹣2，b＝（）﹣2＝9，c＝（）0＝1，
∴a＜c＜b．
故答案為：a＜c＜b．
【變式5-2】（2022春 江都區(qū)月考）a﹣p（a≠0），即a的負(fù)P次冪等于a的p次冪的倒數(shù)．例：4﹣2．
（1）計(jì)算：5﹣2＝　?。唬ī?）﹣2＝　??；
（2）如果2﹣p，那么p＝　3　；如果a﹣2，那么a＝　±4??；
（3）如果a﹣p，且a、p為整數(shù)，求滿足條件的a、p的取值．
【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則找到指數(shù)即可求解；
（3）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則找到底數(shù)和指數(shù)即可求解．
【解答】解：（1）5﹣2；（﹣2）﹣2，
故答案為：；；
（2）如果2﹣p，那么p＝3；
如果a﹣2，那么a＝±4，
故答案為：3；±4；
（3）由于a、p為整數(shù)，
所以當(dāng)a＝36時(shí)，p＝1；
當(dāng)a＝6時(shí)，p＝2；
當(dāng)a＝﹣6時(shí)，p＝2．
【變式5-3】（2023春 鹽都區(qū)月考）（1）已知a＝2﹣44444，b＝3﹣33333，c＝5﹣22222，請(qǐng)用“＜”把它們按從小到大的順序連接起來(lái)，說(shuō)明理由．
（2）請(qǐng)?zhí)剿魇沟玫仁剑?x+3）x+2022＝1成立的x的值．
【分析】（1）首先把負(fù)整數(shù)指數(shù)的冪化為11111，然后進(jìn)行比較，即可得出答案；
（2）等式的值為1，可以是非零數(shù)的0次冪，也可以是1的任何次方，也可以是﹣1的偶次冪，分別計(jì)算即可．
【解答】解：（1）a＞c＞b，理由如下：
a＝（2﹣4）11111＝（）11111＝（）11111，
b＝（3﹣3）11111＝（）11111＝（）11111，
c＝（5﹣2）11111＝（）11111＝（）11111，
∵，
∴（）11111＞（）11111＞（）11111，
∴a＞c＞b；
（2）當(dāng)x+2022＝0時(shí)，x＝﹣2022，此時(shí)2x+3＝﹣4037≠0，符合題意；
當(dāng)2x+3＝1時(shí)，x＝﹣1，符合題意；
當(dāng)2x+3＝﹣1時(shí)，x＝﹣2，此時(shí)x+2022＝2018，符合題意．
綜上所述，x＝﹣2或﹣1或﹣2022．
【題型6 分式的化簡(jiǎn)與求值】
【例6】（2023秋 泰興市期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a滿足a2﹣2a﹣1＝0．
【分析】先根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計(jì)算，把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，最后把a(bǔ)2﹣2a＝1代入，即可求出答案．
【解答】解：


，
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
當(dāng)a2﹣2a＝1時(shí)，原式1．
【變式6-1】設(shè)有理數(shù)a，b，c都不為零，且a+b+c＝0，則的值為（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．不能確定
【分析】根據(jù)完全平方公式得到b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，代入計(jì)算，得到答案．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴（a+b+c）2＝0，
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，
∴a2+b2﹣c2+2c2+2ab+2ac+2bc＝0，
∴a2+b2﹣c2+2c（c+a+b）+2ab＝0，
∴a2+b2﹣c2＝﹣2ab，
同理可得，b2+c2﹣a2＝﹣2bc，a2+c2﹣b2＝﹣2ac，
則原式0，
故選：C．
【變式6-2】（2023 濰城區(qū)二模）先化簡(jiǎn)，再求值：（ ）÷（x+2），其中x是不等式組的整數(shù)解．
【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則以及乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后解不等式求出x的值，最后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可求出答案．
【解答】解：原式＝[]÷[]
＝（）÷（）

，
由，
解得：﹣1＜x≤2，
∵x是整數(shù)，
∴x＝0，1，2，
由分式有意義的條件可知：x不能取0，1，
故x＝2，
∴原式2．
【變式6-3】（2023春 萬(wàn)山區(qū)期末）求值：
（1）已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝4．求xy的值；
（2）已知x3，求x4的值．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式將兩式分別展開(kāi)，然后兩式相減求得4xy的值，從而求出xy的值；
（2）將等式兩邊同時(shí)平方可得x2的值，然后再利用完全平方公式的變形求解．
【解答】解：（1）由（x+y）2＝9可得x2+2xy+y2＝9①，
由（x﹣y）2＝4可得x2﹣2xy+y2＝4②，
①﹣②，可得：4xy＝5，
∴xy；
（2）將x3兩邊同時(shí)平方，可得：
（x）2＝9，
∴x2+29，
即x27，
將x27兩邊同時(shí)平方，可得：
（x2）2＝49，
∴x4+249，
即x447．
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