資源簡介

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分式方程6大題型
【知識點1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知數的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍數）將分式方程先轉化為整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步驟：
①利用等式的性質去分母，將分式方程轉換為整式方程
②解整式方程
③驗根--檢驗整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【題型1 解分式方程（基本法）】
【例1】（2023春 碑林區校級月考）解方程：
（1）；
（2）1．
【變式1-1】（2023 濰坊）若x＜2，且|x﹣2|+x﹣1＝0，則x＝　 　．
【變式1-2】（2023 宜都市一模）解方程：0．
【變式1-3】（2023 北碚區校級開學）解分式方程：
（1）．
（2）．
【題型2 解分式方程（新定義問題）】
【例2】（2023春 寶安區期末）定義新運算：a#b，例如2#3，則方程x#2＝1的解為 　 　．
【變式2-1】（2023 懷化）定義a b＝2a，則方程3 x＝4 2的解為（　　）
A．x B．x C．x D．x
【變式2-2】（2023春 甘孜州期末）定義運算“※”：a※b，如果5※x＝2，那么x的值為 　 　．
【變式2-3】 （2023秋 信都區校級月考）運符號“”，稱為二階行列式，規定它的運算法則為：ad﹣bc，請你根據上述規定，求出下列等式中x的值：1．
【知識點2 分式的運算技巧-裂項法】
解題技巧：裂項相消法：
【題型3 裂項法解分式方程】
【例3】觀察下面的變形規律：；；；…
解答下面的問題：
（1）若n為正整數，且寫成上面式子的形式，請你猜想　　．
（2）說明你猜想的正確性．
（3）計算：　　．
（4）解關于n的分式方程．
【變式3-1】（2022春 京口區校級月考）觀察下列算式：
，，，……
（1）由此可推斷：　　；
（2）請用含字母m（m為正整數）的等式表示（1）中的一般規律　　；
（3）仿照以上方法解方程：．
【變式3-2】（2022秋 五華區期末）觀察下列式：1，，．
將以上三個等式兩邊分別相加的：1．
（1）猜想并填空：　　；　　．　　．
（2）化簡：．
（3）探索并作答：
①計算：；
②解分式方程：1．
【變式3-3】（2022秋 天心區校級月考）觀察下列等式：，，，
將以上三個等式兩邊分別相加得：，
（1）猜想并寫出：　　．
（2）直接寫出下列各式的計算結果：
①　　；
②　　．
（3）若的值為，求n的值．
【知識點3 換元法解分式方程】
換元法：引進新的變量，把一個較復雜的關系轉化為簡單數量關系
例解方程：
另（x－y）=u，則原方程轉換為：
方程轉換為了一個比較簡潔的形式，再按照二元一次方程組的求法進行求解，以簡化計算。
注：當熟練應用換算法后，可以直接將某個整體式子看成一個未知數，在計算中，不必將這個整體換元為某個字母，而是直接整體求解。
【題型4 換元法解分式方程】
【例4】（2023春 平陰縣期末）請閱讀下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的過程．
解：設x2+1＝y，則原方程可變形為y2﹣2y﹣3＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣1．
當y＝3時，x2+1＝3，
∴x＝±．
當y＝﹣1時，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程無實數解．
∴原方程的解為：x1，x2．
我們將上述解方程的方法叫做換元法，
請用換元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．
、
【變式4-1】（2023春 松江區期末）用換元法解方程7＝0時，可設y，那么原方程可化為關于y的整式方程是 　 　．
【變式4-2】（2022春 青川縣期末）閱讀下面材料，解答后面的問題
解方程：．
解：設，則原方程化為：，方程兩邊同時乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
經檢驗：y＝±2都是方程的解，∴當y＝2時，，解得：x＝﹣1，
當y＝﹣2時，，解得：x，經檢驗：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣1或 x．上述這種解分式方程的方法稱為換元法．
問題：
（1）若在方程中，設，則原方程可化為：　 　；
（2）若在方程中，設，則原方程可化為：　 ；
（3）模仿上述換元法解方程：．
【變式4-3】（2023春 玄武區校級期中）換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數或變數稱為元．所謂換元法，就是解題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使得復雜問題簡單化．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元．
例如解方程組，設m，n，則原方程組可化為，
解之得，即所以原方程組的解為．
運用以上知識解決下列問題：
（1）求值：　 　．
（2）方程組的解為　　．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　 　．
（4）解方程組．
（5）已知關于x、y的方程組的解是，求關于x、y的方程組的解．
【知識點4 增根的討論】
方程有增根，則這個根使得分式的分母為0.利用這個條件，我們可以先求解出增根的情況，在根據題意求解出其他字母的值。
【題型5 增根的討論】
【例5】（2022秋 荷塘區校級期中）已知關于x的分式方程．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解為負數，求k的取值范圍．
【變式5-1】（2023 岳麓區校級模擬）若解關于x的方程1時產生增根，那么常數m的值為（　　）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣1
【變式5-2】（2023春 桐城市期末）已知關于x的分式方程．
（1）若該方程有增根，則增根是 　 　．
（2）若該方程的解大于1，則m的取值范圍是 　 　．
【變式5-3】（2022春 百色期末）增根是一個數學用語，其定義為在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根．對于分式方程：．
（1）若該分式方程有增根，則增根為　 　．
（2）在（1）的條件下，求出m的值，
【知識點5 根據分式方程解的情況求待定系數值或取值范圍】
（1）方程無解，即方程的根為增根；
（2）方程的解為正值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＞0，求解出字母取值范圍；
（3）方程的解為負值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＜0，求解出字母取值范圍
【題型6 根據分式方程解的情況求值】
【例6】（2023 市中區校級二模）已知關于x的分式方程有解，則a的取值范圍是 　 　．
【變式6-1】（2023秋 北碚區校級期中）關于x的不等式組有解且最多5個整數解，且使關于y的分式方程的解為正整數，則所有滿足條件的整數a的積為（　　）
A．3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣12
【變式6-2】（2022秋 雨花區校級月考）請你利用我們學習的“分式方程及其解法”解決下列問題：
（1）已知關于x的方程1的解為負數，求m的取值范圍；
（2）若關于x的分式方程1無解，求n的取值范圍．
【變式6-3】（2023秋 岱岳區校級月考）如果關于x的方程無解，求a的值
分式方程-重難點題型
【知識點1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知數的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍數）將分式方程先轉化為整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步驟：
①利用等式的性質去分母，將分式方程轉換為整式方程
②解整式方程
③驗根--檢驗整式方程解得的根是否符合分式方程
④作答
【題型1 解分式方程（基本法）】
【例1】（2023春 碑林區校級月考）解方程：
（1）；
（2）1．
【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣2＝5，
去括號得：9x﹣3﹣2＝5，
移項合并得：9x＝10，
解得：x，
檢驗：把x代入得：2（3x﹣1）≠0，
∴x是分式方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）﹣3＝（x﹣1）（x+2），
整理得：x2+2x﹣3＝x2+x﹣2，
解得：x＝1，
檢驗：把x＝1代入得：（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程無解．
【變式1-1】（2023 濰坊）若x＜2，且|x﹣2|+x﹣1＝0，則x＝　1　．
【分析】先去掉絕對值符號，整理后方程兩邊都乘以x﹣2，求出方程的解，再進行檢驗即可．
【解答】解：|x﹣2|+x﹣1＝0，
∵x＜2，
∴方程為2﹣x+x﹣1＝0，
即1，
方程兩邊都乘以x﹣2，得1＝﹣（x﹣2），
解得：x＝1，
經檢驗x＝1是原方程的解，
故答案為：1．
【變式1-2】（2023 宜都市一模）解方程：0．
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，
去括號得：3x﹣3+6x﹣x﹣5＝0，
移項合并得：8x＝8，
解得：x＝1，
檢驗：把x＝1代入得：x（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程無解．
【變式1-3】（2023 北碚區校級開學）解分式方程：
（1）．
（2）．
【分析】（1）方程兩邊同乘（x﹣5），將分式方程轉化為整式方程，然后解方程，注意分式方程的結果要進行檢驗．
（2）方程兩邊同乘（x﹣2）（x+2），將分式方程轉化為整式方程，然后解方程，注意分式方程的結果要進行檢驗．
【解答】解：（1）方程兩邊同乘（x﹣5），
得3﹣x+5＝2x﹣1，
解得x＝3，
經檢驗，x＝3是原方程的解；
（2）方程兩邊同乘（x﹣5）（x+2），
得12﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（6﹣x）（x+2），
解得x＝﹣2，
經檢驗，x＝﹣2是增根，原方程無解．
【題型2 解分式方程（新定義問題）】
【例2】（2023春 寶安區期末）定義新運算：a#b，例如2#3，則方程x#2＝1的解為 　x　．
【分析】根據新定義列出方程，解出這個方程即可．
【解答】解：根據題意得，
x#21，
即22﹣2x﹣1＝0，
解得x，
經檢驗，x是原方程的解，
故答案為：．
【變式2-1】（2023 懷化）定義a b＝2a，則方程3 x＝4 2的解為（　　）
A．x B．x C．x D．x
【分析】利用題中的新定義化簡已知等式，求出解即可得到x的值．
【解答】解：根據題中的新定義得：
3 x＝2×3，
4 2＝2×4，
∵3 x＝4 2，
∴2×32×4，
解得：x，
經檢驗，x是分式方程的根．
故選：B．
【變式2-2】（2023春 甘孜州期末）定義運算“※”：a※b，如果5※x＝2，那么x的值為 　4或10　．
【分析】根據定義運算，分5＞x或5＜x兩種情況列方程求解，注意分式方程的結果要進行檢驗．
【解答】解：①當5＞x時，
，
去分母，可得：2＝2（5﹣x），
解得：x＝4，
檢驗：當x＝4時，5﹣x≠0，且符合題意，
∴x＝4是原方程的解；
②當5＜x時，
，
去分母，得：x＝2（x﹣5），
解得：x＝10，
檢驗：當x＝10時，x﹣5≠0，且符合題意，
∴x＝10是原方程的解；
綜上，x的值為4或10，
故答案為：4或10．
【變式2-3】 （2023秋 信都區校級月考）運符號“”，稱為二階行列式，規定它的運算法則為：ad﹣bc，請你根據上述規定，求出下列等式中x的值：1．
【分析】利用題中的新定義化簡所求方程，求出解即可．
【解答】解：根據題中的新定義化簡所求方程得：
1，
去分母得：2+1＝x﹣1，
解得：x＝4，
當x＝4時，x﹣1＝3≠0，
∴x＝4是分式方程的解，
故x的值為4．
【知識點2 分式的運算技巧-裂項法】
解題技巧：裂項相消法：
【題型3 裂項法解分式方程】
【例3】觀察下面的變形規律：；；；…
解答下面的問題：
（1）若n為正整數，且寫成上面式子的形式，請你猜想　　．
（2）說明你猜想的正確性．
（3）計算：　　．
（4）解關于n的分式方程．
【分析】（1）由題意可得；
（2）利用通分即可證明等式成立；
（3）原式＝1，再計算即可求解；
（4）方程可以化簡為1，再解分式方程即可求解．
【解答】解：（1），
故答案為：；
（2）
，
∴成立；
（3）
＝1
＝1
；
（4）
＝1
＝1
＝1，
∴，
方程兩邊同時乘（n+1）（n+9），
得n+9＝2（n+1），
去括號，得n+9＝2n+2，
解得n＝7，
經檢驗，n＝7是方程的解，
∴原方程的解為n＝7．
【變式3-1】（2022春 京口區校級月考）觀察下列算式：
，，，……
（1）由此可推斷：　　；
（2）請用含字母m（m為正整數）的等式表示（1）中的一般規律　　；
（3）仿照以上方法解方程：．
【分析】（1）觀察已知等式得到所求即可；
（2）歸納總結得到一般性規律，寫出即可；
（3）方程利用得出的規律變形，計算即可求出解．
【解答】解：（1）根據題意得：；
（2）根據題意得：；
（3）方程整理得：，
即，
去分母得：x＝2x﹣4，
解得：x＝4，
經檢驗x＝4是分式方程的解．
故答案為：（1）；（2）
【變式3-2】（2022秋 五華區期末）觀察下列式：1，，．
將以上三個等式兩邊分別相加的：1．
（1）猜想并填空：　　；　　．　　．
（2）化簡：．
（3）探索并作答：
①計算：；
②解分式方程：1．
【分析】（1）觀察已知等式得到拆項的方法，計算即可；
（2）原式利用拆項法變形，計算即可求出值；
（3）①原式利用拆項法變形，計算即可求出值；
②方程利用拆項法變形，計算即可求出解．
【解答】解：（1），
11；
11；
故答案為：；；；
（2）原式；
（3）①原式（）（）；
②方程整理得：1，即1，
解得：x＝5，
經檢驗x＝5是分式方程的解．
【變式3-3】（2022秋 天心區校級月考）觀察下列等式：，，，
將以上三個等式兩邊分別相加得：，
（1）猜想并寫出：　　．
（2）直接寫出下列各式的計算結果：
①　　；
②　　．
（3）若的值為，求n的值．
【分析】（1）根據已知等式猜想得到所求即可；
（2）各式利用拆項法變形，計算即可求出值；
（3）根據題意列出方程，利用拆項法變形，計算即可求出n的值．
【解答】解：（1）猜想得：；
（2）①原式＝1
＝1
；
②原式＝1
＝1
；
（3）根據題意得：，
整理得：（1），
即1，
移項合并得：，即2n+1＝35，
解得：n＝17，
經檢驗n＝17是分式方程的解，
則n的值為17．
【知識點3 換元法解分式方程】
換元法：引進新的變量，把一個較復雜的關系轉化為簡單數量關系
例解方程：
另（x－y）=u，則原方程轉換為：
方程轉換為了一個比較簡潔的形式，再按照二元一次方程組的求法進行求解，以簡化計算。
注：當熟練應用換算法后，可以直接將某個整體式子看成一個未知數，在計算中，不必將這個整體換元為某個字母，而是直接整體求解。
【題型4 換元法解分式方程】
【例4】（2023春 平陰縣期末）請閱讀下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的過程．
解：設x2+1＝y，則原方程可變形為y2﹣2y﹣3＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣1．
當y＝3時，x2+1＝3，
∴x＝±．
當y＝﹣1時，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程無實數解．
∴原方程的解為：x1，x2．
我們將上述解方程的方法叫做換元法，
請用換元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．
【分析】根據材料的提示，可以利用換元法解答分式方程，設a，把分式方程化為整式方程，解出并驗根即可．
【解答】解：（）2﹣2（）﹣8＝0，
設a，
則a2﹣2a﹣8＝0，
解得a＝﹣2或a＝4，
當a＝﹣2時，2，解得x，經檢驗x是分式方程的解，
當a＝4時，4，解得x，經檢驗x是分式方程的解，
∴原分式方程的解是x1，x2．
【變式4-1】（2023春 松江區期末）用換元法解方程7＝0時，可設y，那么原方程可化為關于y的整式方程是 　2y2+7y﹣1＝0　．
【分析】根據題意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．
【解答】解：設y，則，
∴原方程可變行為：2y7＝0，
去分母，得：2y2+7y﹣1＝0，
故答案為：2y2+7y﹣1＝0．
【變式4-2】（2022春 青川縣期末）閱讀下面材料，解答后面的問題
解方程：．
解：設，則原方程化為：，方程兩邊同時乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
經檢驗：y＝±2都是方程的解，∴當y＝2時，，解得：x＝﹣1，
當y＝﹣2時，，解得：x，經檢驗：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x＝﹣1或 x．上述這種解分式方程的方法稱為換元法．
問題：
（1）若在方程中，設，則原方程可化為：　　；
（2）若在方程中，設，則原方程可化為：　　；
（3）模仿上述換元法解方程：．
【分析】（1）和（2）將所設的y代入原方程即可；
（3）利用換元法解分式方程，設，將原方程化為，求出y的值并檢驗是否為原方程的解，然后求解x的值即可．
【解答】解：（1）將代入原方程，則原方程化為；
（2）將代入方程，則原方程可化為；
（3）原方程化為：，
設，則原方程化為：，
方程兩邊同時乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
經檢驗：y＝±1都是方程的解．
當y＝1時，，該方程無解；
當y＝﹣1時，，解得：；
經檢驗：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為．
【變式4-3】（2023春 玄武區校級期中）換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數或變數稱為元．所謂換元法，就是解題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使得復雜問題簡單化．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元．
例如解方程組，設m，n，則原方程組可化為，
解之得，即所以原方程組的解為．
運用以上知識解決下列問題：
（1）求值：　　．
（2）方程組的解為　　．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　（x+2）4　．
（4）解方程組．
（5）已知關于x、y的方程組的解是，求關于x、y的方程組的解．
【分析】（1）設，代入原式化簡即可得出結論；
（2）設，將原方程組變形，求得a，b，進而求出原方程組的解；
（3）設x2+4x+3＝m，展開后因式分解，再將m代入即可得出結論；
（4）將原方程組變形為，設2x＝m，3y＝n，解關于m，n的方程組，進而求得x．y的值；
（5）將關于x、y的方程組，變為，利用關于x、y的方程組的解是，可得：，解這個方程組可得原方程組的解．
【解答】解：（1）設，
原式＝（1+a）（a）﹣（1+a）a＝aa2a﹣a﹣a2a．
故答案為：．
（2）設，原方程組變為：
．
解得：．
∴．
解得：．
經檢驗，是原方程組的解．
故答案為：．
（3）設x2+4x+3＝m，
原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2+4x+3+1）2＝[（x+2）2]2＝（x+2）4．
故答案為：（x+2）4．
（4）原方程組變形為：，
設2x＝m，3y＝n，則．
解得：．
∴．
∴．
（5）將關于x、y的方程組整理得：
．
∵關于x、y的方程組的解是，
∴．
即：．
解這個方程組得：
，．
∴原方程組的解為：
，．
【知識點4 增根的討論】
方程有增根，則這個根使得分式的分母為0.利用這個條件，我們可以先求解出增根的情況，在根據題意求解出其他字母的值。
【題型5 增根的討論】
【例5】（2022秋 荷塘區校級期中）已知關于x的分式方程．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解為負數，求k的取值范圍．
【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，根據分式方程有增根，得到最簡公分母為0，代入整式方程計算即可求出k的值．
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x，根據解為負數求出k的范圍即可；
【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
由這個方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
將x＝1代入整式方程得：k＝6，
將x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，
則k的值為6或﹣8．
（2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
去括號合并得：7x﹣1＝k，即x，
根據題意得：0，且1且1，
解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．
【變式5-1】（2023 岳麓區校級模擬）若解關于x的方程1時產生增根，那么常數m的值為（　　）
A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣1
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，x＝3+m，由分式方程有增根，得到3+m＝2，求出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．
【解答】解：方程兩邊都乘以x﹣2，得：2x﹣5﹣m＝x﹣2，
x＝3+m
∵方程有增根，
∴3+m＝2，
m＝﹣1，
故選：D．
【變式5-2】（2023春 桐城市期末）已知關于x的分式方程．
（1）若該方程有增根，則增根是 　2　．
（2）若該方程的解大于1，則m的取值范圍是 　m，且k≠4．　．
【分析】（1）根據分式方程有增根，得到最簡公分母為0，即可求出x的值；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x，根據解為負數求出m的范圍即可．
【解答】解：（1）∵這個方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2．
故答案為：2；
（2）分式方程去分母得：3（m﹣2x）＝x﹣2，
去括號合并得：7x﹣2＝3m，即x，
根據題意得：，且，
解得：m，且m≠4．
故答案為：m，且m≠4．
【變式5-3】（2022春 百色期末）增根是一個數學用語，其定義為在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根．對于分式方程：．
（1）若該分式方程有增根，則增根為　x1＝3，x2＝﹣3　．
（2）在（1）的條件下，求出m的值，
【分析】（1）分式方程會產生增根，即最簡公分母等于0，則x2﹣9＝0，故方程產生的增根有兩種可能：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）由增根的定義可知，x1＝3，x2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：（1），
方程兩邊都乘（x+3）（x﹣3）得2（x+3）+mx＝3（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3．
故答案為：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）當x＝3時，m＝﹣4，
當x＝﹣3時，m＝6．
故m的值為﹣4或6．
【知識點5 根據分式方程解的情況求待定系數值或取值范圍】
（1）方程無解，即方程的根為增根；
（2）方程的解為正值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＞0，求解出字母取值范圍；
（3）方程的解為負值，先求解出含有字母的方程根，令這個根＜0，求解出字母取值范圍
【題型6 根據分式方程解的情況求待定系數值或取值范圍】
【例6】（2023 市中區校級二模）已知關于x的分式方程有解，則a的取值范圍是 　a≥1且a≠4　．
【分析】解分式方程用a表示|x|，根據關于x的分式方程有解得|x|≥0且|x|﹣2≠0，列不等式組求解集．
【解答】解：，
2|2x|﹣2a＝|x|﹣2，
4|x|﹣|x|＝2a﹣2，
3|x|＝2a﹣2，
|x|，
∵關于x的分式方程有解，
∴0，且|x|﹣2≠0，即2，
解得a≥1且a≠4．
故答案為：a≥1且a≠4．
【變式6-1】（2023秋 北碚區校級期中）關于x的不等式組有解且最多5個整數解，且使關于y的分式方程的解為正整數，則所有滿足條件的整數a的積為（　　）
A．3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣12
【分析】根據分式方程的解法、一元一次不等式組的解法解決此題．
【解答】解：∵，
∴3x﹣4+6＜2（x+2）．
∴3x+2＜2x+4．
∴3x﹣2x＜4﹣2．
∴x＜2．
∵，
∴x﹣2a≥2﹣x﹣2．
∴x+x≥2a+2﹣2．
∴2x≥2a．
∴x≥a．
∴a≤x＜2．
∵關于x的不等式組有解且最多5個整數解，
∴﹣4＜a＜2．
∵，
∴ay+3+2（y﹣3）＝3﹣2y．
∴ay+3+2y﹣6＝3﹣2y．
∴ay+2y+2y＝3+6﹣3．
∴（a+4）y＝6．
∴y．
∵關于y的分式方程的解為正整數，
∴a+4＝1或6或2或3．
∴a＝﹣3或2或﹣2或﹣1．
∵﹣4＜a＜2，
∴a＝﹣3或﹣2或﹣1．
∴所有滿足條件的整數a的積為﹣3×（﹣2）×（﹣1）＝﹣6．
故選：C．
【變式6-2】（2022秋 雨花區校級月考）請你利用我們學習的“分式方程及其解法”解決下列問題：
（1）已知關于x的方程1的解為負數，求m的取值范圍；
（2）若關于x的分式方程1無解，求n的取值范圍．
【分析】（1）表示出分式方程的解，由分式方程的解為負數，列出關于m的不等式組，求出不等式組的解集即可確定出m的范圍；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程無解，確定出n的范圍即可．
【解答】解：（1）解關于x的分式方程得：x，
∵方程有解，且解為負數，
∴，
∴m且m；
（2）分式方程去分母得：3﹣2x+nx﹣2＝3﹣x，
整理得：（n﹣1）x＝2，
當n﹣1＝0時，方程無解，此時n＝1；
當n﹣1≠0時，解得：x，要使方程無解，則有3，即n，
綜上，n＝1或n．
【變式6-3】（2023秋 岱岳區校級月考）如果關于x的方程無解，求a的值．
【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：方程去分母得：（x﹣1）（x+1）﹣x（x+2）＝ax+2，即（a+2）x+3＝0
∵關于x的方程無解，
∴x＝1或x＝﹣2，
∴當x＝1時，﹣3＝a+2，即a＝﹣5，
當x＝﹣2時，3＝﹣2a+2，即a，
另當a＝﹣2時，方程變為3＝0，不成立，所以a＝﹣2時，方程也無解
∴a＝﹣5或﹣2或時方程無解．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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