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分式章末重難點突破10大題型
【考點1 分式及最簡分式的概念 】
【例1】（2023春 吉安期中）下列各式中，分式的個數是（　　）
．
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式1-1】（2023秋 閔行區期末）在分式，，，，中，最簡分式有　　個．
【變式1-2】（2023秋 萊州市期中）在式子、、、、、9x中，分式有　　個．
【變式1-3】（2023秋 房山區校級月考）把下列各式化為最簡分式：
（1）　 　；
（2）　 　．
【考點2 分式有意義的條件】
【例2】（2023 覃塘區模擬）若式子1在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是　　．
【變式2-1】（2023秋 浦東新區期末）分式無意義的條件是　　．
【變式2-2】（2023 深圳模擬）式子無意義，則（y+x）（y﹣x）+x2的值等于　　．
【變式2-3】（2023秋 西青區校級期末）已知（x﹣1）0有意義，則x的取值范圍是　 ．
【考點3 分式值為0的條件】
【例3】（2023春 肇東市期末）若分式的值為0，則m的值為　　．
【變式3-1】（2023秋 婁底月考）已知分式的值為零，求x的值．
【變式3-2】（2023秋 東莞市校級期中）當a取何值時，分式的值為零．
【變式3-3】（2023春 白云區校級月考）若a、b是實數，且分式0，則3a+b的值是（　　）
A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案
【考點4 分式的基本性質】
【例4】（2023春 姜堰區期末）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023秋 遵義期末）除了通過分式的基本性質進行分式變形外，有時，就是只把分式中的a，b同時擴大為原來的2倍后，分式的值也不會變，則此時h的值可以是下列中的（　　）
A．2 B． C．ab D．a2
【變式4-2】（2023秋 泰山區期末）下列各式從左到右的變形正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【變式4-3】（2023 射陽縣校級模擬）不改變分式的值，把它的分子分母的各項系數都化為整數，所得結果正確的為（　　）
A． B． C． D．
【考點5 利用分式基本性質求值】
【例5】（2023春 太子河區校級期末）若，則　　；若，則　．
【變式5-1】（2023春 微山縣校級月考）已知y＝3xy+x，求代數式的值．
【變式5-2】（2023春 姜堰區期末）若，求的值＝　　．
【變式5-3】（2023春 大邑縣校級期中）已知a，b，c是不為0的實數，且，那么的值是　　．
【考點6 分式的運算】
【例6】（2023 江岸區校級自主招生）先化簡，再求值：（）÷（1），其中x是不等式x﹣3的最小整數解．
【變式6-1】（2023秋 武清區期末）計算下列各式：
（1）
（2）．
【變式6-2】（2023秋 來鳳縣期末）如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和諧分式”是　　（填寫序號即可）；
（2）若a為正整數，且為“和諧分式”，請寫出a的值；
（3）在化簡時，
小東和小強分別進行了如下三步變形：
小東：
小強：
顯然，小強利用了其中的和諧分式，第三步所得結果比小東的結果簡單，原因是： 　，
請你接著小強的方法完成化簡．
【變式6-3】（2023秋 寧江區期末）閱讀下列材料：
小銘和小雨在學習過程中有如下一段對話：
小銘：“我知道一般當m≠n時，m2+n≠m+n2．可是我見到有這樣一個神奇的等式：（）2（）2（其中a，b為任意實數，且b≠0）．你相信它成立嗎？”
小雨：“我可以先給a，b取幾組特殊值驗證一下看看．”
完成下列任務：
（1）請選擇兩組你喜歡的、合適的a，b的值，分別代入閱讀材料中的等式，寫出代入后得到的具體等式并驗證它們是否成立；
①當a＝　　，b＝　　時，等式　　（填“成立”或“不成立”）；
②當a＝　　，b＝　　時，等式　　（填“成立”或“不成立”）．
（2）對于任意實數a，b（b≠0），通過計算說明（）2（）2是否成立．
【考點7 解分式方程】
【例7】（2023秋 武城縣期末）解方程：
（1）2
（2）若方程1的解是正數，求a的取值范圍．
【變式7-1】（2023春 郟縣期末）請閱讀下列材料并回答問題：
在解分式方程時，小明的解法如下：
解：方程兩邊同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①
去括號，得2x﹣1＝3﹣1 ②
解得x
檢驗：當x時，（x+1）（x﹣1）≠0 ③
所以x是原分式方程的解 ④
（1）你認為小明在哪里出現了錯誤　 　（只填序號）
（2）針對小明解分式方程出現的錯誤和解分式方程中的其他重要步驟，請你提出三條解分式方程時的注意事項；
（3）寫出上述分式方程的正確解法．
【變式7-2】（2023春 邛崍市期中）因為1，，…，，
所以11．
解答下列問題：
（1）在和式中，第九項是　　；第n項是　　．
（2）解方程1．
【變式7-3】（2023春 長寧區期末）解方程：x2+3x8．
【考點8 分式方程的增根】
【例8】（2023秋 新化縣期中）解關于x的方程 時產生了增根，請求出所有滿足條件的k的值．
【變式8-1】（2023秋 定陶縣期末）a為何值時，關于x的方程會產生增根？
【變式8-2】（2023春 姜堰區期末）①已知x＝3是方程1的一個根，則a＝　　；
②已知x＝1是方程的一個增根，則k＝　　．
【變式8-3】（2023春 長泰縣月考）已知關于x的分式方程
（1）若方程的增根為x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程無解，求m的值．
【考點9 分式方程的應用（行程與工程問題）】
【例9】（2023春 秦都區期末）某單位為美化環境，計劃對面積為1200平方米的區域進行綠化，現安排甲、乙兩個工程隊來完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的1.5倍，并且在獨立完成面積為360平方米區域的綠化時，甲隊比乙隊少用3天．
（1）甲、乙兩工程隊每天能綠化的面積分別是多少平方米？
（2）若該單位每天需付給甲隊的綠化費用為700元，付給乙隊的費用為500元，要使這次的綠化總費用不超過14500元，至少安排甲隊工作多少天？
【變式9-1】（2023 鐵嶺模擬）為順利通過“國家文明城市”驗收，某市政府擬對城區部分路段的人行道地磚、綠化帶、排水管等公用設施全面更新改造，根據市政建設的需要，需在40天內完成工程．現有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工程，經調查知道，乙工程隊單獨完成此項工程的時間是甲工程隊單獨完成此項工程時間的2倍．若甲、乙兩工程隊合作只需要10天完成．
（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工程各需多少天？
（2）若甲工程隊每天的工程費用是4.5萬元，乙工程隊每天的工程費用是2.5萬元，請你設計一種方案，既能按時完工，又使工程費用最少．
【變式9-2】（2023秋 烏蘇市期末）近年來，安全快捷、平穩舒適的中國高鐵，為世界高速鐵路商業運營樹立了新的標桿．隨著中國特色社會主義進入新時代，作為“中國名片”的高速鐵路也將踏上自己的新征程，跑出發展新速度，這就意味著今后外出旅行的路程與時間將大大縮短，但也有不少游客根據自己的喜好依然選擇乘坐普通列車；已知從A地到某市的高鐵行駛路程是400千米，普通列車的行駛路程是高鐵行駛路程的1.3倍，請完成以下問題：
（1）普通列車的行駛路程為多少千米？
（2）若高鐵的平均速度（千米/時）是普通列車平均速度（千米/時）的2.5倍，且乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時，求普通列車和高鐵的平均速度．
【變式9-3】（2023 樂陵市一模）用電腦程序控制小型賽車進行50m比賽，“暢想號”和“和諧號”兩輛賽車進入了決賽．比賽前的練習中，兩輛車從起點同時出發，“暢想號”到達終點時，“和諧號”離終點還差3m．已知“暢想號”的平均速度為2.5m/s．
（1）求“和諧號”的平均速度；
（2）如果兩車重新開始比賽，“暢想號”從起點向后退3m，兩車同時出發，兩車能否同時到達終點？若能，求出兩車到達終點的時間；若不能，請重新調整一輛車的平均速度，使兩車能同時到達終點．
【考點10分式方程的應用（銷售與方案問題）】
【例10】（2023秋 河北區期末）春節前夕，某超市用6000元購進了一批箱裝飲料，上市后很快售完，接著又用8800元購進第二批這種箱裝飲料．已知第二批所購箱裝飲料的進價比第一批每箱多20元，且數量是第一批箱數的倍．
（1）求第一批箱裝飲料每箱的進價是多少元；
（2）若兩批箱裝飲料按相同的標價出售，為加快銷售，商家決定最后的10箱飲料按八折出售，如果兩批箱裝飲料全部售完利潤率不低于36%（不考慮其他因素），那么每箱飲料的標價至少多少元？
【變式10-1】（2023春 定遠縣期末）某商場準備購進甲、乙兩種商品進行銷售，若每個甲商品的進價比每個乙商品的進價少2元，且用80元購進甲商品的數量與用100元購進乙商品的數量相同．
（1）求每個甲、乙兩種商品的進價分別是多少元？
（2）若該商場購進甲商品的數量比乙商品的數量的3倍還少5個，且購進甲、乙兩種商品的總數量不超過95個，則商場最多購進乙商品多少個？
（3）在（2）的條件下，如果甲、乙兩種商品的售價分別是12元/個和15元/個，且將購進的甲、乙兩種商品全部售出后，可使銷售兩種商品的總利潤超過380元，那么該商場購進甲、乙兩種商品有哪幾種方案？
【變式10-2】（2023秋 路北區期末）某一工程，在工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書．施工一天，需付甲工程隊工程款1.2萬元，乙工程隊工程款0.5萬元．工程領導小組根據甲，乙兩隊的投標書測算，有如下方案：
（1）甲隊單獨完成這項工程剛好如期完成；
（2）乙隊單獨完成這項工程要比規定日期多用6天；
（3）若甲，乙兩隊合做3天，余下的工程由乙隊單獨做也正好如期完成．試問：在不耽誤工期的前提下，你覺得哪一種施工方案最節省工程款？請說明理由．
【變式10-3】（2023秋 松滋市期末）松滋臨港貿易公司現有480噸貨物，準備外包給甲、乙兩個車主來完成運輸任務，已知甲車主單獨完成運輸任務比乙車主單獨完成任務要多用10天，而乙車主每天運輸的噸數是甲車主的1.5倍，公司需付甲車主每天800元運輸費，乙車主每天運輸費1200元，同時公司每天要付給發貨工人200元工資．
（1）求甲、乙兩個車主每天各能運輸多少噸貨物？
（2）公司制定如下方案，可以單獨由甲乙任意一個車主完成，也可以由兩車主合作完成．請你通過計算，幫該公司選擇一種既省錢又省時的外包方案．
分式章末重難點突破
【考點1 分式及最簡分式的概念 】
【例1】（2023春 吉安期中）下列各式中，分式的個數是（　　）
．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解題思路】判斷分式的依據是看代數式的分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
【解答過程】解：，的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式；
a的分子不是整式，因此不是分式．
，，的分母中含有字母，因此是分式．
故選：B．
【變式1-1】（2023秋 閔行區期末）在分式，，，，中，最簡分式有　1　個．
【解題思路】根據最簡分式的定義對各個分式逐一判斷即可得．
【解答過程】解：，
是最簡分式，
m﹣n，
，
1，
所以最簡分式只有1個，
故答案為：1．
【變式1-2】（2023秋 萊州市期中）在式子、、、、、9x中，分式有　3　個．
【解題思路】判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
【解答過程】解：式子、、9x的分母中含有字母，屬于分式，其他的分母中不含有字母，不是分式．
故答案是：3．
【變式1-3】（2023秋 房山區校級月考）把下列各式化為最簡分式：
（1）　　；
（2）　　．
【解題思路】（1）先把分子和分母分解因式，再約分即可；
（2）先把分子和分母分解因式，再約分即可．
【解答過程】解：（1）
，
故答案為：；
（2）
，
故答案為：．
【考點2 分式有意義的條件】
【例2】（2023 覃塘區模擬）若式子1在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是　x≠﹣2　．
【解題思路】分式有意義的條件是分母不等于零，據此可得．
【解答過程】解：若式子1在實數范圍內有意義，則x+2≠0，即x≠﹣2，
故答案為：x≠﹣2．
【變式2-1】（2023秋 浦東新區期末）分式無意義的條件是　x＝1　．
【解題思路】根據分式無意義的條件是分母等于零可得x﹣1＝0，再解即可．
【解答過程】解：由題意得：x﹣1＝0，
解得：x＝1，
故答案為：x＝1．
【變式2-2】（2023 深圳模擬）式子無意義，則（y+x）（y﹣x）+x2的值等于　　．
【解題思路】根據式子無意義，先確定y的值，再化簡代數式（y+x）（y﹣x）+x2，最后代入求值．
【解答過程】解：因為式子無意義，所以3y﹣1＝0，y．
（y+x）（y﹣x）+x2＝y2﹣x2+x2＝y2
當y時，原式＝（）2
故答案為：
【變式2-3】（2023秋 西青區校級期末）已知（x﹣1）0有意義，則x的取值范圍是　x≠2且x≠1　 ．
【解題思路】根據分式有意義，分母不等于0，零指數冪的底數不等于0解答．
【解答過程】解：由題意得，x﹣2≠0且x﹣1≠0，
解得x≠2且x≠1．
故答案為：x≠2且x≠1．
【考點3 分式值為0的條件】
【例3】（2023春 肇東市期末）若分式的值為0，則m的值為　3　．
【解題思路】直接利用分式的值為零，則分子為零，且分母不為零，進而得出答案．
【解答過程】解：由題意，得
m2﹣9＝0且m+3≠0，
解得m＝3，
故答案為：3．
【變式3-1】（2023秋 婁底月考）已知分式的值為零，求x的值．
【解題思路】根據分式的值為0，分子為0且分母不為0，可得出x的值．
【解答過程】解：根據題意得，x2﹣5x﹣6＝0，
即（x+1）（x﹣6）＝0，
∴x+1＝0，x﹣6＝0，
解得x＝﹣1或x＝6，
又x+1≠0，
解得x≠﹣1，
∴x的值是6．
【變式3-2】（2023秋 東莞市校級期中）當a取何值時，分式的值為零．
【解題思路】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據此可以解答本題．
【解答過程】解：由分式的值為零，得
3﹣|a|＝0，且6+2a≠0．
解得a＝3，
當a＝3時，分式的值為零．
【變式3-3】（2023春 白云區校級月考）若a、b是實數，且分式0，則3a+b的值是（　　）
A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案
【解題思路】根據分式為0的條件得，再根據絕對值的非負性以及平方的非負性，求得a＝2，b＝4，從而解決此題．
【解答過程】解：∵分式0，
∴．
∴b≠﹣4．
又∵（a﹣2）2≥0，|b2﹣16|≥0，
∴（a﹣2）2＝0，|b2﹣16|＝0．
∴a＝2，b＝4．
∴3a+b＝3×2+4＝10．
故選：A．
【考點4 分式的基本性質】
【例4】（2023春 姜堰區期末）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據分式的基本性質，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變，從而求出答案．
【解答過程】解：，
故選：C．
【變式4-1】（2023秋 遵義期末）除了通過分式的基本性質進行分式變形外，有時，就是只把分式中的a，b同時擴大為原來的2倍后，分式的值也不會變，則此時h的值可以是下列中的（　　）
A．2 B． C．ab D．a2
【解題思路】直接利用分式的基本性質分別代入判斷得出答案．
【解答過程】解：當h，原式，
故選：B．
【變式4-2】（2023秋 泰山區期末）下列各式從左到右的變形正確的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】根據分式的基本性質依次進行判斷即可．
【解答過程】解：A、，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
B、，原變形不符合分式的運算法則，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
C、，原變形不符合分式的基本性質，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
D、，原變形正確，故此選項符合題意；
故選：D．
【變式4-3】（2023 射陽縣校級模擬）不改變分式的值，把它的分子分母的各項系數都化為整數，所得結果正確的為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】因為要求不改變分式的值，把的分子分母的各項系數都化為整數，根據此題的特點，只要將分子、分母同乘以10即可．
【解答過程】解：∵不改變分式的值，
∴把的分子分母的各項系數都乘以10得：．
故選：C．
【考點5 利用你是的基本性質求值】
【例5】（2023春 太子河區校級期末）若，則　　；若，則　　．
【解題思路】（1）可設a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，將其代入原式即可；
（2）將已知條件變換即可得．
【解答過程】解：1）可設a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，將其代入分式得：；
（2）由已知可得出，3（x﹣2y）＝2y，3x＝8y，所以．
故答案為、．
【變式5-1】（2023春 微山縣校級月考）已知y＝3xy+x，求代數式的值．
【解題思路】根據已知條件y＝3xy+x，求出x﹣y與xy的關系，再將所求分式的分子、分母整理成x﹣y與xy和的形式，進行整體代入求解．
【解答過程】解：因為y＝3xy+x，所以x﹣y＝﹣3xy，當x﹣y＝﹣3xy時，．
【變式5-2】（2023春 姜堰區期末）若，求的值＝　3　．
【解題思路】將通分變形，轉化為x﹣y＝﹣3xy，再把它整體代入原式約分求值．
【解答過程】解：∵，∴x﹣y＝﹣3xy，再把它整體代入原式：3．
故答案為3．
【變式5-3】（2023春 大邑縣校級期中）已知a，b，c是不為0的實數，且，那么的值是　　．
【解題思路】將已知條件進行變換，然后將分式代簡，即可得出結果．
【解答過程】解：∵，
∴3，即3①；
同理可得4②，
5③；
∴①+②+③得：2（）＝3+4+5；6；
又∵的倒數為，即為6，則原數為．
故答案為．
【考點6 分式的運算】
【例6】（2023 江岸區校級自主招生）先化簡，再求值：（）÷（1），其中x是不等式x﹣3的最小整數解．
【解題思路】先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再求出不等式的取值范圍，找出符合條件的x的最小整數解代入進行計算即可．
【解答過程】解：原式＝[]÷（）
＝[]

，
解不等式x﹣3，得：x≥4，
則不等式得最小整數解為x＝4，
當x＝4時，分式無意義，
所以符合條件的x的最小整數解為x＝5，
則原式．
【變式6-1】（2023秋 武清區期末）計算下列各式：
（1）
（2）．
【解題思路】（1）先將除法轉化為乘法，再計算乘法即可得；
（2）先通分，再計算減法，最后約分即可得．
【解答過程】解：（1）原式 （）
；
（2）原式
【變式6-2】（2023秋 來鳳縣期末）如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和諧分式”是　②　（填寫序號即可）；
（2）若a為正整數，且為“和諧分式”，請寫出a的值；
（3）在化簡時，
小東和小強分別進行了如下三步變形：
小東：
小強：
顯然，小強利用了其中的和諧分式，第三步所得結果比小東的結果簡單，原因是：　小強通分時，利用和諧分式找到了最簡公分母　，
請你接著小強的方法完成化簡．
【解題思路】（1）根據題意可以判斷題目中的各個小題哪個是和諧分式，從而可以解答本題；
（2）根據和諧分式的定義可以得到a的值；
（3）根據題意和和諧分式的定義可以解答本題．
【解答過程】解：（1）②分式，不可約分，
∴分式是和諧分式，
故答案為：②；
（2）∵分式為和諧分式，且a為正整數，
∴a＝4，a＝5；
（3）小強利用了其中的和諧分式，第三步所得結果比小東的結果簡單，原因是：小強通分時，利用和諧分式找到了最簡公分母，
原式
故答案為：小強通分時，利用和諧分式找到了最簡公分母．
【變式6-3】（2023秋 寧江區期末）閱讀下列材料：
小銘和小雨在學習過程中有如下一段對話：
小銘：“我知道一般當m≠n時，m2+n≠m+n2．可是我見到有這樣一個神奇的等式：（）2（）2（其中a，b為任意實數，且b≠0）．你相信它成立嗎？”
小雨：“我可以先給a，b取幾組特殊值驗證一下看看．”
完成下列任務：
（1）請選擇兩組你喜歡的、合適的a，b的值，分別代入閱讀材料中的等式，寫出代入后得到的具體等式并驗證它們是否成立；
①當a＝　1　，b＝　1　時，等式　成立　（填“成立”或“不成立”）；
②當a＝　1　，b＝　2　時，等式　成立　（填“成立”或“不成立”）．
（2）對于任意實數a，b（b≠0），通過計算說明（）2（）2是否成立．
【解題思路】（1）任取兩個符合要求的數代入題目中的式子，等式兩邊的結果看是否一致即可解答本題；
（2）分別對等式兩邊展開化簡，看最后的結果是否相等，即可解答本題．
【解答過程】解：（1）①當a＝1，b＝1時，
（）2，（）21，
∴（）2（）2成立，
故答案為：1，1，成立；
②當a＝1，b＝2時，
（）2，（）2，
∴（）2（）2成立，
故答案為：1，2，成立；
（2）∵，
，
∴等式成立．
【考點7 解分式方程】
【例7】（2023秋 武城縣期末）解方程：
（1）2
（2）若方程1的解是正數，求a的取值范圍．
【解題思路】（1）方程兩邊都乘以3（x﹣3），化分式方程為整式方程，解之求得x的值后檢驗即可得；
（2）去分母化分式方程為整式方程，解之可得x，根據方程的解為正數知0且x≠2，即2，解之可得答案．
【解答過程】解：（1）方程兩邊都乘以3（x﹣3），得：2x+9＝3（4x﹣7）+6（x﹣3），
解得：x＝3，
檢驗：x＝3時，3（x﹣3）＝0，
則x＝3是分式方程的增根，
所以原分式方程無解；
（2）兩邊都乘以x﹣2，得：2x+a＝2﹣x，
解得：x，
∵方程的解為正數，
∴0，且x≠2，即2，
解得：a＜2且a≠﹣4．
【變式7-1】（2023春 郟縣期末）請閱讀下列材料并回答問題：
在解分式方程時，小明的解法如下：
解：方程兩邊同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①
去括號，得2x﹣1＝3﹣1 ②
解得x
檢驗：當x時，（x+1）（x﹣1）≠0 ③
所以x是原分式方程的解 ④
（1）你認為小明在哪里出現了錯誤　①②　（只填序號）
（2）針對小明解分式方程出現的錯誤和解分式方程中的其他重要步驟，請你提出三條解分式方程時的注意事項；
（3）寫出上述分式方程的正確解法．
【解題思路】（1）觀察解方程過程，找出錯誤步驟即可；
（2）針對小明解分式方程出現的錯誤和解分式方程中的其他重要步驟，寫出三條注意事項即可；
（3）寫出正確的解答過程即可．
【解答過程】解：（1）小明在①②出現了錯誤；
故答案為：①②；
（2）三條注意事項：去分母時，注意方程中的每項都要乘以最簡公分母；去括號時，注意正確運用去括號法則；解整式方程求出x要進行檢驗；
（3）正確解法為：
去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+1）＝1，
去括號得：2x﹣2﹣3x﹣3＝1，
移項合并得：﹣x＝6，
解得：x＝﹣6，
經檢驗x＝﹣6是分式方程的解．
【變式7-2】（2023春 邛崍市期中）因為1，，…，，
所以11．
解答下列問題：
（1）在和式中，第九項是　　；第n項是　　．
（2）解方程1．
【解題思路】（1）歸納總結得到第九項，確定出第n項即可；
（2）方程利用拆項法變形，計算即可求出解．
【解答過程】解：（1）第九項為；第n項是；
（2）方程整理得：1，
整理得：1，即1，
解得：x＝0，
經檢驗x＝0是分式方程的解．
故答案為：（1）；
【變式7-3】（2023春 長寧區期末）解方程：x2+3x8．
【解題思路】根據換元法：設u，可得關于u的分式方程，根據解方程，可得答案．
【解答過程】解：設u，原方程等價于20u＝8．
化簡，得
20u2+8u﹣1＝0．
解得u，u．
當u時，x2+3x＝10．解得x＝﹣5，x＝2，經檢驗x＝﹣5，x＝2是原分式方程的解；
當u時，x2+3x+2＝0．解得x＝﹣1，x＝﹣2，經檢驗：x＝﹣1，x＝﹣2是原分式方程的解；
綜上所述：x＝﹣5，x＝2，x＝﹣1，x＝﹣2是原分式方程的解．
【考點8 分式方程的增根】
【例8】（2023秋 新化縣期中）解關于x的方程 時產生了增根，請求出所有滿足條件的k的值．
【解題思路】根據等式的性質，可得整式方程，根據方程的增跟適合整式方程，可得關于k的方程，根據解方程，可得答案．
【解答過程】解：方程去分母后得：（k+2）x＝﹣3，分以下兩種情況：
令x＝1，k+2＝﹣3，∴k＝﹣5
令x＝﹣2，﹣2（k+2）＝﹣3，∴k，
綜上所述，k的值為﹣5，或．
【變式8-1】（2023秋 定陶縣期末）a為何值時，關于x的方程會產生增根？
【解題思路】增根是化為整式方程后產生的不適合分式方程的根．所以應先確定增根的可能值，讓最簡公分母（x﹣2）（x﹣2）＝0，得到x＝2或﹣2，然后代入化為整式方程的方程算出a的值．
【解答過程】解：方程兩邊都乘（x﹣2）（x+2），
得x+2+ax＝3（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最簡公分母（x﹣2）（x+2）＝0，
解得x＝2或﹣2，
x＝2時，a＝﹣2，
當x＝﹣2，a＝6，
當a＝﹣2或a＝6時，關于x的方程會產生增根．
【變式8-2】（2023春 姜堰區期末）①已知x＝3是方程1的一個根，則a＝　3　；
②已知x＝1是方程的一個增根，則k＝　﹣1　．
【解題思路】①中有兩個未知數，但x的值是已知的，只需把x的值代入即可．
②增根是由整式方程解出的不適合分式方程的根，所以要把x＝1代入化為整式方程的方程來求解．
【解答過程】解：①把x＝3代入原方程，得
，解得a＝3，
經檢驗，a＝3是分式方程的解．
②方程兩邊都乘（x+1）（x﹣1），得
x（x+1）+k（x+1）＝x（x﹣1），
把x＝1代入得，k＝﹣1．
【變式8-3】（2023春 長泰縣月考）已知關于x的分式方程
（1）若方程的增根為x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程無解，求m的值．
【解題思路】方程去分母轉化為整式方程，
（1）根據分式方程的增根為x＝1，求出m的值即可；
（2）根據分式方程有增根，確定出x的值，進而求出m的值；
（3）分m+1＝0與m+1≠0兩種情況，根據分式方程無解，求出m的值即可．
【解答過程】解：方程兩邊同時乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移項合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
當x＝﹣2時，m＝1.5；當x＝1時，m＝﹣6；
（3）當m+1＝0時，該方程無解，此時m＝﹣1；
當m+1≠0時，要使原方程無解，由（2）得：m＝﹣6或m，
綜上，m的值為﹣1或﹣6或1.5．
【考點9 分式方程的應用（行程與工程問題）】
【例9】（2023春 秦都區期末）某單位為美化環境，計劃對面積為1200平方米的區域進行綠化，現安排甲、乙兩個工程隊來完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的1.5倍，并且在獨立完成面積為360平方米區域的綠化時，甲隊比乙隊少用3天．
（1）甲、乙兩工程隊每天能綠化的面積分別是多少平方米？
（2）若該單位每天需付給甲隊的綠化費用為700元，付給乙隊的費用為500元，要使這次的綠化總費用不超過14500元，至少安排甲隊工作多少天？
【解題思路】（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x平方米，則甲工程隊每天能完成綠化的面積是1.5x平方米，根據工作時間＝工作總量÷工作效率結合在獨立完成面積為360平方米區域的綠化時甲隊比乙隊少用3天，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；
（2）設安排甲隊工作m天，則需安排乙隊工作天，根據總費用＝700×甲隊工作時間+500×乙隊工作時間結合這次的綠化總費用不超過14500元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結論．
【解答過程】解：（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x平方米，則甲工程隊每天能完成綠化的面積是1.5x平方米，
依題意，得：3，
解得：x＝40，
經檢驗，x＝40是原方程的解，且符合題意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程隊每天能完成綠化的面積是60平方米，乙工程隊每天能完成綠化的面積是40平方米．
（2）設安排甲隊工作m天，則需安排乙隊工作天，
依題意，得：700m+50014500，
解得：m≥10．
所以m最小值是10．
答：至少應安排甲隊工作10天．
【變式9-1】（2023 鐵嶺模擬）為順利通過“國家文明城市”驗收，某市政府擬對城區部分路段的人行道地磚、綠化帶、排水管等公用設施全面更新改造，根據市政建設的需要，需在40天內完成工程．現有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工程，經調查知道，乙工程隊單獨完成此項工程的時間是甲工程隊單獨完成此項工程時間的2倍．若甲、乙兩工程隊合作只需要10天完成．
（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工程各需多少天？
（2）若甲工程隊每天的工程費用是4.5萬元，乙工程隊每天的工程費用是2.5萬元，請你設計一種方案，既能按時完工，又使工程費用最少．
【解題思路】（1）設甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需2x天．再根據“甲、乙兩隊合作完成工程需要10天”，列出方程解決問題；
（2）首先根據（1）中的結果，從而可知符合要求的施工方案有三種：方案一：由甲工程隊單獨完成；方案二：由乙工程隊單獨完成；方案三：由甲乙兩隊合作完成．針對每一種情況，分別計算出所需的工程費用．
【解答過程】解：（1）設甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需2x天．
根據題意得：，
方程兩邊同乘以2x，得
2x＝30
解得：x＝15
經檢驗，x＝15是原方程的解．
∴當x＝15時，2x＝30．
答：甲工程隊單獨完成該工程需15天，則乙工程隊單獨完成該工程需30天；
（2）因為甲乙兩工程隊均能在規定的40天內單獨完成，所以有如下三種方案：
方案一：由甲工程隊單獨完成．所需費用為：4.5×15＝67.5（萬元）；
方案二：由乙工程隊單獨完成．所需費用為：2.5×30＝75（萬元）；
方案三：由甲乙兩隊合作完成．所需費用為：（4.5+2.5）×10＝70（萬元）．
∵75＞70＞67.5
∴應該選擇甲工程隊承包該項工程．
【變式9-2】（2023秋 烏蘇市期末）近年來，安全快捷、平穩舒適的中國高鐵，為世界高速鐵路商業運營樹立了新的標桿．隨著中國特色社會主義進入新時代，作為“中國名片”的高速鐵路也將踏上自己的新征程，跑出發展新速度，這就意味著今后外出旅行的路程與時間將大大縮短，但也有不少游客根據自己的喜好依然選擇乘坐普通列車；已知從A地到某市的高鐵行駛路程是400千米，普通列車的行駛路程是高鐵行駛路程的1.3倍，請完成以下問題：
（1）普通列車的行駛路程為多少千米？
（2）若高鐵的平均速度（千米/時）是普通列車平均速度（千米/時）的2.5倍，且乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時，求普通列車和高鐵的平均速度．
【解題思路】（1）根據高鐵的行駛路程是400千米和普通列車的行駛路程是高鐵的行駛路程的1.3倍，兩數相乘即可得出答案；
（2）設普通列車平均速度是x千米/時，根據高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時，列出分式方程，然后求解即可．
【解答過程】解：（1）普通列車的行駛路程為：400×1.3＝520（千米）；
（2）設普通列車的平均速度為x千米/時，則高鐵的平均速度為2.5x千米/時，則題意得：
3，
解得：x＝120，
經檢驗x＝120是原方程的解，
則高鐵的平均速度是120×2.5＝300（千米/時），
答：普通列車的平均速度是120千米/時，高鐵的平均速度是300千米/時．
【變式9-3】（2023 樂陵市一模）用電腦程序控制小型賽車進行50m比賽，“暢想號”和“和諧號”兩輛賽車進入了決賽．比賽前的練習中，兩輛車從起點同時出發，“暢想號”到達終點時，“和諧號”離終點還差3m．已知“暢想號”的平均速度為2.5m/s．
（1）求“和諧號”的平均速度；
（2）如果兩車重新開始比賽，“暢想號”從起點向后退3m，兩車同時出發，兩車能否同時到達終點？若能，求出兩車到達終點的時間；若不能，請重新調整一輛車的平均速度，使兩車能同時到達終點．
【解題思路】（1）設“和諧號”的平均速度為x，根據，“暢想號”運動50m與“和諧號”運動47m所用時間相等，可得方程，解出即可．
（2）不能同時到達，設調整后“和諧號”的平均速度為y，根據時間相等，得出方程求解即可．
【解答過程】解：（1）設“和諧號”的平均速度為xm/s，
由題意得，，
解得：x＝2.35，
經檢驗x＝2.35是原方程的解．
答：“和諧號”的平均速度2.35m/s．
（2）不能同時到達．
設調整后“和諧號”的平均速度為y，
，
解得：y．
答：調整“和諧號”的車速為m/s可使兩車能同時到達終點．
【考點10分式方程的應用（銷售與方案問題）】
【例10】（2023秋 河北區期末）春節前夕，某超市用6000元購進了一批箱裝飲料，上市后很快售完，接著又用8800元購進第二批這種箱裝飲料．已知第二批所購箱裝飲料的進價比第一批每箱多20元，且數量是第一批箱數的倍．
（1）求第一批箱裝飲料每箱的進價是多少元；
（2）若兩批箱裝飲料按相同的標價出售，為加快銷售，商家決定最后的10箱飲料按八折出售，如果兩批箱裝飲料全部售完利潤率不低于36%（不考慮其他因素），那么每箱飲料的標價至少多少元？
【解題思路】（1）該第一批箱裝飲料每箱的進價是x元，則第二批購進（x+20）元，根據第二批購進數量是第一批箱數的倍，列方程求解；
（2）設每箱飲料的標價為y元，根據兩批箱裝飲料全部售完利潤率不低于36%，列出不等式，求解即可．
【解答過程】解：（1）該第一批箱裝飲料每箱的進價是x元，則第二批購進（x+20）元，
根據題意，得
解得：x＝200
經檢驗，x＝200是原方程的解，且符合題意，∴第一批箱裝飲料每箱的進價是200元．
（2）設每箱飲料的標價為y元，
根據題意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）
解得：y≥296
答：至少標價296元．
【變式10-1】（2023春 定遠縣期末）某商場準備購進甲、乙兩種商品進行銷售，若每個甲商品的進價比每個乙商品的進價少2元，且用80元購進甲商品的數量與用100元購進乙商品的數量相同．
（1）求每個甲、乙兩種商品的進價分別是多少元？
（2）若該商場購進甲商品的數量比乙商品的數量的3倍還少5個，且購進甲、乙兩種商品的總數量不超過95個，則商場最多購進乙商品多少個？
（3）在（2）的條件下，如果甲、乙兩種商品的售價分別是12元/個和15元/個，且將購進的甲、乙兩種商品全部售出后，可使銷售兩種商品的總利潤超過380元，那么該商場購進甲、乙兩種商品有哪幾種方案？
【解題思路】（1）設每件乙種商品的進價為x元，則每件甲種商品的進價為（x﹣2）元，根據題意建立方程求出其解就可以了．
（2）本題中“根據進兩種商品的總數量不超過95個”可得出不等式；
（3）根據“使銷售兩種商品的總利潤（利潤＝售價﹣進價）超過380元”可以得出關于利潤的不等式，組成不等式組后得出未知數的取值范圍，然后根據取值的不同情況，列出不同的方案．
【解答過程】解：（1）設每件乙種商品的進價為x元，則每件甲種商品的進價為（x﹣2）元，
根據題意，得，
解得：x＝10，
經檢驗，x＝10是原方程的根，
每件甲種商品的進價為：10﹣2＝8．
答：每件甲種商品的進價為8元，每件乙種商品件的進價為10元．
（2）設購進乙種商品y個，則購進甲種商品（3y﹣5）個．
由題意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商場最多購進乙商品25個；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y為整數，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2種方案．
方案一：購進甲種商品67個，乙商品件24個；
方案二：購進甲種商品70個，乙種商品25個．
【變式10-2】（2023秋 路北區期末）某一工程，在工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書．施工一天，需付甲工程隊工程款1.2萬元，乙工程隊工程款0.5萬元．工程領導小組根據甲，乙兩隊的投標書測算，有如下方案：
（1）甲隊單獨完成這項工程剛好如期完成；
（2）乙隊單獨完成這項工程要比規定日期多用6天；
（3）若甲，乙兩隊合做3天，余下的工程由乙隊單獨做也正好如期完成．試問：在不耽誤工期的前提下，你覺得哪一種施工方案最節省工程款？請說明理由．
【解題思路】方案（1）、（3）不耽誤工期，符合要求，求出費用即可判斷，方案（2）顯然不符合要求．
【解答過程】解：設規定日期為x天．由題意得
1，
3（x+6）+x2＝x（x+6），
3x＝18，
解之得：x＝6．
經檢驗：x＝6是原方程的根．
方案（1）：1.2×6＝7.2（萬元）；
方案（2）比規定日期多用6天，顯然不符合要求；
方案（3）：1.2×3+0.5×6＝6.6（萬元）．
∵7.2＞6.6，
∴在不耽誤工期的前提下，選第三種施工方案最節省工程款．
【變式10-3】（2023秋 松滋市期末）松滋臨港貿易公司現有480噸貨物，準備外包給甲、乙兩個車主來完成運輸任務，已知甲車主單獨完成運輸任務比乙車主單獨完成任務要多用10天，而乙車主每天運輸的噸數是甲車主的1.5倍，公司需付甲車主每天800元運輸費，乙車主每天運輸費1200元，同時公司每天要付給發貨工人200元工資．
（1）求甲、乙兩個車主每天各能運輸多少噸貨物？
（2）公司制定如下方案，可以單獨由甲乙任意一個車主完成，也可以由兩車主合作完成．請你通過計算，幫該公司選擇一種既省錢又省時的外包方案．
【解題思路】（1）設甲車主每天能運輸x噸貨物，則乙車主每天能運輸1.5x噸貨物，根據工作時間＝工作總量÷工作效率結合甲車主單獨完成運輸任務比乙車主單獨完成任務要多用10天，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；
（2）根據工作時間＝工作總量÷工作效率及總費用＝每日所需費用×運輸天數，分別求出甲車主單獨完成、乙車主單獨完成及甲、乙兩車主合作完成所需時間及總費用，比較后即可得出結論．
【解答過程】解：（1）設甲車主每天能運輸x噸貨物，則乙車主每天能運輸1.5x噸貨物，
根據題意得：10，
解得：x＝16，
經檢驗，x＝16是原方程的解，且符合題意，
∴1.5x＝24．
答：甲車主每天能運輸16噸貨物，乙車主每天能運輸24噸貨物．
（2）甲車主單獨完成所需時間為480÷16＝30（天），
乙車主單獨完成所需時間為480÷24＝20（天），
甲、乙兩車主合作完成所需時間為480÷（16+24）＝12（天），
甲車主單獨完成所需費用為30×（800+200）＝30000（元），
乙車主單獨完成所需費用為20×（1200+200）＝28000（元），
甲、乙兩車主合作完成所需費用為12×（800+1200+200）＝26400（元）．
∵30000＞28000＞26400，30＞20＞12，
∴該公司選擇由兩車主合作完成既省錢又省時．

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