資源簡(jiǎn)介

(共77張PPT)
第一章
§1.2　常用邏輯用語
1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.
2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定.
課標(biāo)要求
內(nèi)容索引
第一部分 落實(shí)主干知識(shí)
第二部分 探究核心題型
課時(shí)精練
第一部分
落實(shí)主干知識(shí)
1.充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的　　　條件，q是p的　　　條件
p是q的　　　　　　條件 p q且q p
p是q的　　　　　　條件 p q且q p
p是q的　　　條件 p q
p是q的　　　　　　　　　條件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“　　”表示.
(2)存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“　　”表示.


3.全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結(jié)構(gòu) 對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡(jiǎn)記 _____________ _____________
否定 x∈M，綈p(x) _______________
x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
x∈M，綈p(x)
1.充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系
設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.
(1)若p是q的充分條件，則A B；
(2)若p是q的充分不必要條件，則A?B；
(3)若p是q的必要不充分條件，則B?A；
(4)若p是q的充要條件，則A＝B.
2.含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.
3.命題p與p的否定的真假性相反.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)當(dāng)p是q的充分條件時(shí)，q是p的必要條件.(　　)
(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題.(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.(　　)
(4)命題“ x∈R， ”是真命題.(　　)
×
√
√
√
2.(必修第一冊(cè)P30例4(1)改編)(多選)已知命題p： x∈R，x＋2≤0，則下列說法正確的是
A.p是真命題 B.綈p： x∈R，x＋2>0
C.綈p是真命題 D.綈p： x∈R，x＋2>0
當(dāng)x＝0時(shí)，x＋2≤0不成立，故p是假命題，故A錯(cuò)誤；
由含量詞命題的否定可知，p： x∈R，x＋2≤0的否定為綈p： x∈R，x＋2>0，故D正確，B錯(cuò)誤；
綈p是真命題，故C正確.
√
√
3.(必修第一冊(cè)P22T2(5)改編)設(shè)x>0，y>0，則“x2>y2”是“x>y”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
4.已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要條件，則a的取值范圍為__________.
(－∞，3)
由題意知，x∈A x∈B，x∈B x∈A，即A?B，所以a<3.
返回
第二部分
探究核心題型
例1　(1)(2023·葫蘆島模擬)已知向量n為平面α的一個(gè)法向量，向量m為直線l的一個(gè)方向向量，則m∥n是l⊥α的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
題型一　充分、必要條件的判定
√
當(dāng)m∥n時(shí)，l⊥α，
當(dāng)l⊥α?xí)r，m∥n，
綜上所述，m∥n是l⊥α的充要條件.
(2)在等比數(shù)列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
當(dāng)a1>0，且q>1時(shí)，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}為遞增數(shù)列；當(dāng){an}為遞增數(shù)列時(shí)，即對(duì)一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且00，且q>1.則“a1>0，且公比q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.
充分、必要條件的三種判定方法
(1)定義法：根據(jù)p q，q p是否成立進(jìn)行判斷.
(2)集合法：根據(jù)p，q成立對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.
(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：對(duì)所給題目的條件進(jìn)行一系列的等價(jià)轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2024·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)，則“φ＝ ”是“f(x)是奇函數(shù)”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
f(x)是奇函數(shù)等價(jià)于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，
即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)，
故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，
(2)當(dāng)命題“若p，則q”為真命題，則“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分條件.也可以這樣說，若q不成立，那么p一定不成立，q對(duì)p成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)ァ⒐骞郑浅Ｖ^，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的
A.充分條件 B.必要條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
√
因?yàn)椤胺怯兄菊卟荒苤烈病奔础坝兄尽辈怀闪r(shí)“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件.
例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分條件；②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要條件這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，并求解下列問題.
問題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}.
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求A∩B；
題型二　充分、必要條件的應(yīng)用
由(x＋1)(x－3)<0，
解得－1所以B＝{x|－1當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}.
(2)若________，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
選①“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A B，
選②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要條件，則A B，
充分不必要條件的等價(jià)形式
p是q的充分不必要條件，等價(jià)于綈q是綈p的充分不必要條件.
微拓展
典例　已知命題p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________.
(1，＋∞)
由|x|≤1，即－1≤x≤1，由題意知p是q的充分不必要條件，所以a＞1.
求參數(shù)問題的解題策略
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.
(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).
跟蹤訓(xùn)練2　從①“充分不必要條件”，②“必要不充分條件”這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，并解答下列問題：已知集
合A＝ ，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}.
(1)若m＝3，求A∪B；
依題意，得2－2≤2x≤25，
解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，
當(dāng)m＝3時(shí)，解不等式x2－4x－5≤0，
得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，
所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}.
(2)若存在正實(shí)數(shù)m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
選①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，
則有A?B，
所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥4.
選②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”成立的必要不充分條件，
則有B?A，
于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，
解得0所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍是0命題點(diǎn)1　含量詞的命題的否定
例3　(1)(多選)下列說法正確的是
A.“正方形是菱形”是全稱量詞命題
B. x∈R，exC.命題“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“ x∈R，x2－2x＋3≠0”
D.命題“ x>1，都有2x＋1>5”的否定為“ x≤1，使得2x＋1≤5”
√
題型三　全稱量詞與存在量詞
√
√
對(duì)于A，“正方形是菱形”等價(jià)于“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)x＝1時(shí)，e對(duì)于C，命題“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“ x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正確；
對(duì)于D，命題“ x>1，都有2x＋1>5”的否定為“ x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正確.
(2)寫出“所有實(shí)數(shù)都不是無理數(shù)”的否定形式：______________________.
至少有一個(gè)實(shí)數(shù)是無理數(shù)
命題點(diǎn)2　含量詞的命題的真假判斷
例4　(多選)下列命題中的真命題是
A. x∈R,2x－1>0
B. x∈N*，(x－1)2>0
C. x∈R，lg x<1
D. x∈R，tan x＝2
√
√
√
指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，
所以 x∈R,2x－1>0，故A正確；
當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)2＝0，所以 x∈N*，(x－1)2>0是假命題，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝1時(shí)，lg x＝0<1，所以 x∈R，lg x<1，故C正確；
函數(shù)y＝tan x的值域?yàn)镽，所以 x∈R，tan x＝2，故D正確.
命題點(diǎn)3　含量詞的命題的應(yīng)用
例5　(1)若命題“ x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A.(－∞，0] B.(－∞，1]
C.(－∞，2] D.(－∞，5]
√
由“ x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命題可知，
不等式m≤x2＋1，對(duì) x∈[－1,2]恒成立，
因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，
易知函數(shù)y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值為1，所以m≤1.
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，1].
(2)(多選)命題p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值可以是
A.－1 B.0 C.1 D.2
√
√
√
若命題p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0為真命題，
則Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，
所以當(dāng)命題p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0為假命題時(shí)，m≤1，
符合條件的為A，B，C選項(xiàng).
含量詞命題的解題策略
(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假.
(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價(jià)命題求參數(shù)的范圍.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)下列命題為真命題的是
A.任意兩個(gè)等腰三角形都相似
B.所有的梯形都是等腰梯形
C. x∈R，x＋|x|≥0
D. x∈R，x2－x＋1＝0
√
對(duì)于A，任意兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命題，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正確；
(2)(多選)已知命題p： x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命題q： x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，則下列說法正確的是
A.命題p的否定是“ x∈[0,1]，不等式2x－2B.命題q的否定是“ x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”
C.當(dāng)命題p為真命題時(shí)，1≤m≤2
D.當(dāng)命題q為假命題時(shí)，a<4
√
√
√
命題p的否定是“ x∈[0,1]，不等式2x－2命題q的否定是“ x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0”，故B錯(cuò)誤；
若命題p為真命題，則當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正確；
返回
課時(shí)精練
一、單項(xiàng)選擇題
1.命題“ x>0，sin x－x≤0”的否定為
A. x≤0，sin x－x>0 B. x>0，sin x－x≤0
C. x>0，sin x－x>0 D. x≤0，sin x－x>0
√
由題意知命題“ x>0，sin x－x≤0”為存在量詞命題，
其否定為全稱量詞命題，即 x>0，sin x－x>0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.下列命題中，p是q的充分條件的是
A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C.p：x2>1，q：x>1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
對(duì)于C，x2>1 x>1或x<－1 x>1，故p不是q的充分條件；
3.設(shè)λ∈R，則“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行，
則3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)λ＝1或λ＝－3時(shí)，兩直線平行.
即“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要條件.
4.已知p： >1，q：x>m，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A.[0，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，0] D.(－∞，1]
√
記A＝{x|0m}，
若p是q的充分條件，
則A是B的子集，所以m≤0，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，0].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.下列說法正確的是
A.“對(duì)任意一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是真命題
B.“xy>0”是“x＋y>0”的充要條件
C.命題“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1<0”
D.若“1　取值范圍是[1,3]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
當(dāng)x＝－2，y＝－1時(shí)，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要條件，B錯(cuò)誤；
命題“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1≤0”，C錯(cuò)誤；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.設(shè)p：關(guān)于x的不等式x2＋ax＋1>0對(duì)一切x∈R恒成立，q：對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，那么p是q的
A.充分不必要條件 B.充要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋1>0對(duì)一切x∈R恒成立，則Δ＝a2－4<0，即－21
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知命題p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.－4C.－4命題p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，即命題綈p： x∈R，ax2＋2ax－4<0為真命題，
當(dāng)a＝0時(shí)，－4<0恒成立，符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，則a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4綜上可知，－41
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
8.(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙： 為等差數(shù)列，則
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法一　甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，
有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
兩式相減得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，對(duì)n＝1也成立，
因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二　甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上邊兩式相減得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，
所以an＝a1＋2(n－1)D，
當(dāng)n＝1時(shí)，上式成立，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數(shù)，
因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
二、多項(xiàng)選擇題
9.下列命題是真命題的是
A. a∈R，使函數(shù)y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數(shù)
B. x∈R，函數(shù)y＝sin x＋cos x＋ 的值恒為正數(shù)
C. x∈R，2x＜x2
D. x∈(0，＋∞)， ＞
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
當(dāng)a＝1時(shí)，y＝2x＋2－x為偶函數(shù)，故A為真命題；
當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，2x＜x2，故C為真命題；
當(dāng)x＝ 時(shí)， ∈(0,1)， ＝1，∴ ，故D為假命題.
10.下列命題中正確的是
A.“A∪B＝A”是“B A”的充分不必要條件
B.“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根”的充要條件是“m<0”
C.“冪函數(shù)y＝ 為反比例函數(shù)”的充要條件是“m＝0”
D.“函數(shù)f(x)＝－x2＋2mx在區(qū)間[1,3]上不單調(diào)”的一個(gè)必要不充分條件是
　“1≤m≤3”
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
對(duì)于A，由A∪B＝A可得B A，故充分性成立，
由B A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B A”的充要條件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根，設(shè)為x1，x2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
當(dāng)m<0時(shí)，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，則方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根，滿足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根”的充要條件是“m<0”，故B正確；
對(duì)于C，若冪函數(shù)y＝ 　 為反比例函數(shù)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)y＝x－1為冪函數(shù)，也為反比例函數(shù)，滿足充分性，
所以“冪函數(shù)y＝ 為反比例函數(shù)”的充要條件是“m＝0”，故C正確；
對(duì)于D，若函數(shù)f(x)＝－x2＋2mx在區(qū)間[1,3]上不單調(diào)，則1所以“函數(shù)f(x)＝－x2＋2mx在區(qū)間[1,3]上不單調(diào)”的一個(gè)必要不充分條件是“1≤m≤3”，故D正確.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
三、填空題
11.在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
充要
在△ABC中，∠A＝∠B a＝b sin A＝sin B，
故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要條件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.為了證明“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明：
______________________.
存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)
因?yàn)槊}“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，則命題“存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”為真命題，所以為了證明“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.設(shè)p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
由4x－3<1，解得x<1，即p：x<1，記A＝{x|x<1}；
由x－(2a＋1)<0，解得x<2a＋1，
即q: x<2a＋1，記B＝{x|x<2a＋1}，
因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以A?B，即2a＋1>1，
解得a>0，
所以a的取值范圍是(0，＋∞).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(0，＋∞)
14.《墨子·經(jīng)說上》上說：“小故，有之不必然，無之必不然，體也，若有端，大故，有之必然，若見之成見也.”這一段文字蘊(yùn)含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的__________________.
(填“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”或“既不充分也不必要條件”)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
必要不充分條件
由“小故，有之不必然，無之必不然”，
知“小故”只是構(gòu)成某一結(jié)果的幾個(gè)條件中的一個(gè)或一部分條件，
故“小故”是邏輯中的必要不充分條件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，則“a2 021A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
若a2 021則a2 021－a2 024<0，即a2 021(1－q3)<0.
因?yàn)閍1＝1>0，所以a2 021＝a1q2 020>0，所以q3>1，所以q>1；
若a2 023因?yàn)閍1＝1>0，所以a2 023＝a1q2 022>0，
所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.
所以“a2 0211
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知函數(shù)f(x)＝x＋ ，g(x)＝2x＋a，若 x1∈ ， x2∈[2,3]，使得
f(x1)≤g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
依題意知f(x)max≤g(x)max.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又g(x)＝2x＋a在[2,3]上單調(diào)遞增，
返回§1.2　常用邏輯用語
課標(biāo)要求　1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定．
知識(shí)梳理
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件 p q且q p
p是q的必要不充分條件 p q且q p
p是q的充要條件 p q
p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p
2.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“ ”表示．
(2)存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“ ”表示．
3．全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結(jié)構(gòu) 對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡(jiǎn)記 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈p(x) x∈M，綈p(x)
常用結(jié)論
1．充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系
設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分條件，則A B；
(2)若p是q的充分不必要條件，則A?B；
(3)若p是q的必要不充分條件，則B?A；
(4)若p是q的充要條件，則A＝B.
2．含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”．
3．命題p與p的否定的真假性相反．
自主診斷
1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)當(dāng)p是q的充分條件時(shí)，q是p的必要條件．(　√　)
(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題．(　√　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件．(　√　)
(4)命題“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命題．(　×　)
2．(必修第一冊(cè)P30例4(1)改編)(多選)已知命題p： x∈R，x＋2≤0，則下列說法正確的是(　　)
A．p是真命題
B．綈p： x∈R，x＋2>0
C．綈p是真命題
D．綈p： x∈R，x＋2>0
答案　CD
解析　當(dāng)x＝0時(shí)，x＋2≤0不成立，故p是假命題，故A錯(cuò)誤；由含量詞命題的否定可知，p： x∈R，x＋2≤0的否定為綈p： x∈R，x＋2>0，故D正確，B錯(cuò)誤；綈p是真命題，故C正確．
3．(必修第一冊(cè)P22T2(5)改編)設(shè)x>0，y>0，則“x2>y2”是“x>y”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　C
4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要條件，則a的取值范圍為________．
答案　(－∞，3)
解析　由題意知，x∈A x∈B，x∈B x∈A，即A?B，所以a<3.
題型一　充分、必要條件的判定
例1　(1)(2023·葫蘆島模擬)已知向量n為平面α的一個(gè)法向量，向量m為直線l的一個(gè)方向向量，則m∥n是l⊥α的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　C
解析　當(dāng)m∥n時(shí)，l⊥α，
當(dāng)l⊥α?xí)r，m∥n，
綜上所述，m∥n是l⊥α的充要條件．
(2)在等比數(shù)列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　當(dāng)a1>0，且q>1時(shí)，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}為遞增數(shù)列；當(dāng){an}為遞增數(shù)列時(shí)，即對(duì)一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且00，且q>1.則“a1>0，且公比q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件．
思維升華　充分、必要條件的三種判定方法
(1)定義法：根據(jù)p q，q p是否成立進(jìn)行判斷．
(2)集合法：根據(jù)p，q成立對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．
(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：對(duì)所給題目的條件進(jìn)行一系列的等價(jià)轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2024·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)，則“φ＝”是“f(x)是奇函數(shù)”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　f(x)是奇函數(shù)等價(jià)于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，
即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)，
故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z.
則“φ＝”是“f(x)是奇函數(shù)”的充分不必要條件．
(2)當(dāng)命題“若p，則q”為真命題，則“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分條件．也可以這樣說，若q不成立，那么p一定不成立，q對(duì)p成立也是很必要的．王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)ァ⒐骞郑浅Ｖ^，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的(　　)
A．充分條件
B．必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　B
解析　因?yàn)椤胺怯兄菊卟荒苤烈病奔础坝兄尽辈怀闪r(shí)“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件．
題型二　充分、必要條件的應(yīng)用
例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分條件；②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要條件這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，并求解下列問題．
問題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求A∩B；
(2)若________，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
解　(1)由(x＋1)(x－3)<0，
解得－1所以B＝{x|－1當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)選①“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A B，所以解得－1選②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要條件，則A B，所以解得－1充分不必要條件的等價(jià)形式
p是q的充分不必要條件，等價(jià)于綈q是綈p的充分不必要條件．
典例　已知命題p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________________________________________________________________．
答案　(1，＋∞)
解析　由|x|≤1，即－1≤x≤1，由題意知p是q的充分不必要條件，所以a＞1.
思維升華　求參數(shù)問題的解題策略
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．
(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．
跟蹤訓(xùn)練2　從①“充分不必要條件”，②“必要不充分條件”這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，并解答下列問題：已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．
(1)若m＝3，求A∪B；
(2)若存在正實(shí)數(shù)m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
解　(1)依題意，得2－2≤2x≤25，
解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，
當(dāng)m＝3時(shí)，解不等式x2－4x－5≤0，
得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，
所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}．
(2)選①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，
則有A?B，
于是得或解得m>4或m≥4，即有m≥4，
所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥4.
選②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，
解不等式x2－4x＋4－m2≤0，
得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，
因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”成立的必要不充分條件，
則有B?A，
于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，
解得0所以正實(shí)數(shù)m的取值范圍是0題型三　全稱量詞與存在量詞
命題點(diǎn)1　含量詞的命題的否定
例3　(1)(多選)下列說法正確的是(　　)
A．“正方形是菱形”是全稱量詞命題
B． x∈R，exC．命題“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“ x∈R，x2－2x＋3≠0”
D．命題“ x>1，都有2x＋1>5”的否定為“ x≤1，使得2x＋1≤5”
答案　ABC
解析　對(duì)于A，“正方形是菱形”等價(jià)于“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)x＝1時(shí)，e對(duì)于C，命題“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“ x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正確；
對(duì)于D，命題“ x>1，都有2x＋1>5”的否定為“ x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正確．
(2)寫出“所有實(shí)數(shù)都不是無理數(shù)”的否定形式：________________________.
答案　至少有一個(gè)實(shí)數(shù)是無理數(shù)
命題點(diǎn)2　含量詞的命題的真假判斷
例4　(多選)下列命題中的真命題是(　　)
A． x∈R,2x－1>0
B． x∈N*，(x－1)2>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，tan x＝2
答案　ACD
解析　指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0，＋∞)，
所以 x∈R,2x－1>0，故A正確；
當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)2＝0，所以 x∈N*，(x－1)2>0是假命題，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝1時(shí)，lg x＝0<1，所以 x∈R，lg x<1，故C正確；
函數(shù)y＝tan x的值域?yàn)镽，所以 x∈R，tan x＝2，故D正確．
命題點(diǎn)3　含量詞的命題的應(yīng)用
例5　(1)若命題“ x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．(－∞，2] D．(－∞，5]
答案　B
解析　由“ x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命題可知，
不等式m≤x2＋1，對(duì) x∈[－1,2]恒成立，
因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，
易知函數(shù)y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值為1，所以m≤1.
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]．
(2)(多選)命題p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　ABC
解析　若命題p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0為真命題，
則Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，
所以當(dāng)命題p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0為假命題時(shí)，m≤1，
符合條件的為A，B，C選項(xiàng)．
思維升華　含量詞命題的解題策略
(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個(gè)成立即可．當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假．
(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價(jià)命題求參數(shù)的范圍．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)下列命題為真命題的是(　　)
A．任意兩個(gè)等腰三角形都相似
B．所有的梯形都是等腰梯形
C． x∈R，x＋|x|≥0
D． x∈R，x2－x＋1＝0
答案　C
解析　對(duì)于A，任意兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命題，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?x∈R，x2－x＋1＝2＋≥>0，故D錯(cuò)誤．
(2)(多選)已知命題p： x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命題q： x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，則下列說法正確的是(　　)
A．命題p的否定是“ x∈[0,1]，不等式2x－2B．命題q的否定是“ x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”
C．當(dāng)命題p為真命題時(shí)，1≤m≤2
D．當(dāng)命題q為假命題時(shí)，a<4
答案　ACD
解析　命題p的否定是“ x∈[0,1]，不等式2x－20”，故B錯(cuò)誤；若命題p為真命題，則當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正確；若命題q為假命題，則 x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0為真命題，即a課時(shí)精練
一、單項(xiàng)選擇題
1．命題“ x>0，sin x－x≤0”的否定為(　　)
A． x≤0，sin x－x>0
B． x>0，sin x－x≤0
C． x>0，sin x－x>0
D． x≤0，sin x－x>0
答案　C
解析　由題意知命題“ x>0，sin x－x≤0”為存在量詞命題，
其否定為全稱量詞命題，即 x>0，sin x－x>0.
2．下列命題中，p是q的充分條件的是(　　)
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：>
答案　A
解析　對(duì)于A，ab≠0 a≠0，故p是q的充分條件；對(duì)于B，a2＋b2≥0 a≥0且b≥0，故p不是q的充分條件；對(duì)于C，x2>1 x>1或x<－1 x>1，故p不是q的充分條件；對(duì)于D，當(dāng)a>b時(shí)，若b，故p不是q的充分條件．
3．設(shè)λ∈R，則“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　若直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行，
則3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)λ＝1或λ＝－3時(shí)，兩直線平行．
即“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要條件．
4．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
答案　C
解析　由>1可得x(x－1)<0，解得0記A＝{x|0m}，
若p是q的充分條件，
則A是B的子集，所以m≤0，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，0]．
5．下列說法正確的是(　　)
A．“對(duì)任意一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是真命題
B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要條件
C．命題“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1<0”
D．若“1答案　D
解析　是無理數(shù)，x2＝2是有理數(shù)，A錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝－2，y＝－1時(shí)，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要條件，B錯(cuò)誤；
命題“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1≤0”，C錯(cuò)誤；
“16．設(shè)p：關(guān)于x的不等式x2＋ax＋1>0對(duì)一切x∈R恒成立，q：對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，那么p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．充要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
答案　C
解析　若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋1>0對(duì)一切x∈R恒成立，則Δ＝a2－4<0，即－27．已知命題p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．－4C．－4答案　C
解析　命題p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，即命題綈p： x∈R，ax2＋2ax－4<0為真命題，
當(dāng)a＝0時(shí)，－4<0恒成立，符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，則a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4綜上可知，－48．(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則(　　)
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
答案　C
解析　方法一　甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d，
則Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，
即－＝＝為常數(shù)，設(shè)為t，
即＝t，
則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，
有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
兩式相減得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，對(duì)n＝1也成立，
因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件．
方法二　甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
即Sn＝na1＋d，
則＝a1＋d＝n＋a1－，
因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為D，
則－＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上邊兩式相減得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，
所以an＝a1＋2(n－1)D，
當(dāng)n＝1時(shí)，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數(shù)，
因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件．
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列命題是真命題的是(　　)
A． a∈R，使函數(shù)y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數(shù)
B． x∈R，函數(shù)y＝sin x＋cos x＋的值恒為正數(shù)
C． x∈R,2x＜x2
D． x∈(0，＋∞)，x＞
答案　AC
解析　當(dāng)a＝1時(shí)，y＝2x＋2－x為偶函數(shù)，故A為真命題；y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，當(dāng)sin＝－1時(shí)，y＝0，故B為假命題；當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，2x＜x2，故C為真命題；當(dāng)x＝時(shí)，∈(0,1)，＝1，∴，故D為假命題．
10．下列命題中正確的是(　　)
A．“A∪B＝A”是“B A”的充分不必要條件
B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根”的充要條件是“m<0”
C．“冪函數(shù)y＝為反比例函數(shù)”的充要條件是“m＝0”
D．“函數(shù)f(x)＝－x2＋2mx在區(qū)間[1,3]上不單調(diào)”的一個(gè)必要不充分條件是“1≤m≤3”
答案　BCD
解析　對(duì)于A，由A∪B＝A可得B A，故充分性成立，
由B A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B A”的充要條件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根，設(shè)為x1，x2，
則解得m<0，滿足必要性，
當(dāng)m<0時(shí)，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，則方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根，滿足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根”的充要條件是“m<0”，故B正確；
對(duì)于C，若冪函數(shù)y＝為反比例函數(shù)，則解得m＝0，滿足必要性，
當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)y＝x－1為冪函數(shù)，也為反比例函數(shù)，滿足充分性，
所以“冪函數(shù)y＝為反比例函數(shù)”的充要條件是“m＝0”，故C正確；
對(duì)于D，若函數(shù)f(x)＝－x2＋2mx在區(qū)間[1,3]上不單調(diào)，則1所以“函數(shù)f(x)＝－x2＋2mx在區(qū)間[1,3]上不單調(diào)”的一個(gè)必要不充分條件是“1≤m≤3”，故D正確．
三、填空題
11．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案　充要
解析　在△ABC中，∠A＝∠B a＝b sin A＝sin B，
故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要條件．
12．為了證明“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明：________________.
答案　存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)
解析　因?yàn)槊}“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，則命題“存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”為真命題，所以為了證明“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)．
13．設(shè)p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案　(0，＋∞)
解析　由4x－3<1，解得x<1，即p：x<1，記A＝{x|x<1}；
由x－(2a＋1)<0，解得x<2a＋1，
即q: x<2a＋1，記B＝{x|x<2a＋1}，
因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以A?B，即2a＋1>1，
解得a>0，
所以a的取值范圍是(0，＋∞)．
14．《墨子·經(jīng)說上》上說：“小故，有之不必然，無之必不然，體也，若有端，大故，有之必然，若見之成見也．”這一段文字蘊(yùn)含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的________________．(填“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”或“既不充分也不必要條件”)
答案　必要不充分條件
解析　由“小故，有之不必然，無之必不然”，
知“小故”只是構(gòu)成某一結(jié)果的幾個(gè)條件中的一個(gè)或一部分條件，
故“小故”是邏輯中的必要不充分條件．
15．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，則“a2 021A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　A
解析　設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
若a2 021則a2 021－a2 024<0，即a2 021(1－q3)<0.
因?yàn)閍1＝1>0，所以a2 021＝a1q2 020>0，
所以q3>1，所以q>1；
若a2 023即a2 023(1－q2)<0.
因?yàn)閍1＝1>0，所以a2 023＝a1q2 022>0，
所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.
所以“a2 02116．已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案　
解析　依題意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)＝x＋在上單調(diào)遞減，
∴f(x)max＝f ＝.
又g(x)＝2x＋a在[2,3]上單調(diào)遞增，
∴g(x)max＝8＋a，因此≤8＋a，則a≥.一、單項(xiàng)選擇題
1．命題“ x>0，sin x－x≤0”的否定為(　　)
A． x≤0，sin x－x>0
B． x>0，sin x－x≤0
C． x>0，sin x－x>0
D． x≤0，sin x－x>0
2．下列命題中，p是q的充分條件的是(　　)
A．p：ab≠0，q：a≠0
B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0
C．p：x2>1，q：x>1
D．p：a>b，q：>
3．設(shè)λ∈R，則“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．已知p：>1，q：x>m，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
5．下列說法正確的是(　　)
A．“對(duì)任意一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是真命題
B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要條件
C．命題“ x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“ x∈R，x2＋1<0”
D．若“16．設(shè)p：關(guān)于x的不等式x2＋ax＋1>0對(duì)一切x∈R恒成立，q：對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，那么p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．充要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
7．已知命題p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．－4C．－48．(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則(　　)
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列命題是真命題的是(　　)
A． a∈R，使函數(shù)y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數(shù)
B． x∈R，函數(shù)y＝sin x＋cos x＋的值恒為正數(shù)
C． x∈R,2x＜x2
D． x∈(0，＋∞)，x＞
10．下列命題中正確的是(　　)
A．“A∪B＝A”是“B A”的充分不必要條件
B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根”的充要條件是“m<0”
C．“冪函數(shù)y＝為反比例函數(shù)”的充要條件是“m＝0”
D．“函數(shù)f(x)＝－x2＋2mx在區(qū)間[1,3]上不單調(diào)”的一個(gè)必要不充分條件是“1≤m≤3”
三、填空題
11．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
12．為了證明“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明：________________.
13．設(shè)p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
14．《墨子·經(jīng)說上》上說：“小故，有之不必然，無之必不然，體也，若有端，大故，有之必然，若見之成見也．”這一段文字蘊(yùn)含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的________________．(填“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”或“既不充分也不必要條件”)
15．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，則“a2 021A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
16．已知函數(shù)f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
1．C　2.A　3.A　4.C　5.D　6.C
7．C　[命題p： x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，即命題綈p： x∈R，ax2＋2ax－4<0為真命題，
當(dāng)a＝0時(shí)，－4<0恒成立，符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，則a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4綜上可知，－48．C　[方法一　甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d，
則Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，
即－＝＝為常數(shù)，
設(shè)為t，即＝t，
則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有
Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，
兩式相減得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，
即an＋1－an＝2t，對(duì)n＝1也成立，
因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件．
方法二　甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
即Sn＝na1＋d，
則＝a1＋d＝n＋a1－，
因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為D，
則－＝D，＝S1＋(n－1)D，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，
上邊兩式相減得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，
當(dāng)n＝1時(shí)，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數(shù)，
因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件．]
9．AC　[當(dāng)a＝1時(shí)，y＝2x＋2－x為偶函數(shù)，故A為真命題；y＝sin x＋cos x＋＝sin＋，當(dāng)sin＝－1時(shí)，y＝0，故B為假命題；當(dāng)x∈(2,4)時(shí)，2x＜x2，故C為真命題；當(dāng)x＝時(shí)，∈(0,1)，＝1，∴，故D為假命題．]
10．BCD　[對(duì)于A，由A∪B＝A可得B A，故充分性成立，
由B A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B A”的充要條件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根，設(shè)為x1，x2，
則解得m<0，滿足必要性，
當(dāng)m<0時(shí)，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，則方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根，滿足充分性，
所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根”的充要條件是“m<0”，故B正確；
對(duì)于C，若冪函數(shù)y＝為反比例函數(shù)，則
解得m＝0，滿足必要性，
當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)y＝x－1為冪函數(shù)，也為反比例函數(shù)，滿足充分性，
所以“冪函數(shù)y＝為反比例函數(shù)”的充要條件是“m＝0”，故C正確；
對(duì)于D，若函數(shù)f(x)＝－x2＋2mx在區(qū)間[1,3]上不單調(diào)，則1所以“函數(shù)f(x)＝－x2＋2mx在區(qū)間[1,3]上不單調(diào)”的一個(gè)必要不充分條件是“1≤m≤3”，故D正確．]
11．充要
解析　在△ABC中，∠A＝∠B a＝b sin A＝sin B，故“∠A＝∠B”是“sin A＝sin B”的充要條件．
12．存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)
解析　因?yàn)槊}“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，則命題“存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”為真命題，所以為了證明“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)．
13．(0，＋∞)
14．必要不充分條件
15．A　[設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
若a2 021即a2 021(1－q3)<0.
因?yàn)閍1＝1>0，
所以a2 021＝a1q2 020>0，
所以q3>1，所以q>1；
若a2 023即a2 023(1－q2)<0.
因?yàn)閍1＝1>0，
所以a2 023＝a1q2 022>0，
所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.
所以“a2 02116.
解析　依題意知f(x)max≤g(x)max.
∵f(x)＝x＋在上單調(diào)遞減，
∴f(x)max＝f ＝.
又g(x)＝2x＋a在[2,3]上單調(diào)遞增，
∴g(x)max＝8＋a，
因此≤8＋a，則a≥.§1.2　常用邏輯用語
課標(biāo)要求　1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定．
知識(shí)梳理
1．充分條件、必要條件與充要條件的概念
若p q，則p是q的____________條件，q是p的____________條件
p是q的____________條件 p q且q p
p是q的____________條件 p q且q p
p是q的____________條件 p q
p是q的________________條件 p q且q p
2.全稱量詞與存在量詞
(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“__________”表示．
(2)存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“________”表示．
3．全稱量詞命題和存在量詞命題
名稱 全稱量詞命題 存在量詞命題
結(jié)構(gòu) 對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
簡(jiǎn)記
否定 x∈M，綈p(x)
常用結(jié)論
1．充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系
設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分條件，則A B；
(2)若p是q的充分不必要條件，則A?B；
(3)若p是q的必要不充分條件，則B?A；
(4)若p是q的充要條件，則A＝B.
2．含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”．
3．命題p與p的否定的真假性相反．
自主診斷
1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)當(dāng)p是q的充分條件時(shí)，q是p的必要條件．(　　)
(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題．(　　)
(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件．(　　)
(4)命題“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命題．(　　)
2．(必修第一冊(cè)P30例4(1)改編)(多選)已知命題p： x∈R，x＋2≤0，則下列說法正確的是(　　)
A．p是真命題
B．綈p： x∈R，x＋2>0
C．綈p是真命題
D．綈p： x∈R，x＋2>0
3．(必修第一冊(cè)P22T2(5)改編)設(shè)x>0，y>0，則“x2>y2”是“x>y”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要條件，則a的取值范圍為________________________.
題型一　充分、必要條件的判定
例1　(1)(2023·葫蘆島模擬)已知向量n為平面α的一個(gè)法向量，向量m為直線l的一個(gè)方向向量，則m∥n是l⊥α的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)在等比數(shù)列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
思維升華 充分、必要條件的三種判定方法
(1)定義法：根據(jù)p q，q p是否成立進(jìn)行判斷．
(2)集合法：根據(jù)p，q成立對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．
(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：對(duì)所給題目的條件進(jìn)行一系列的等價(jià)轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2024·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos(2x＋φ)，則“φ＝”是“f(x)是奇函數(shù)”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)當(dāng)命題“若p，則q”為真命題，則“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分條件．也可以這樣說，若q不成立，那么p一定不成立，q對(duì)p成立也是很必要的．王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)ァ⒐骞郑浅Ｖ^，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的(　　)
A．充分條件
B．必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
題型二　充分、必要條件的應(yīng)用
例2　在①“x∈A”是“x∈B”的充分條件；②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要條件這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，并求解下列問題．
問題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求A∩B；
(2)若________，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
充分不必要條件的等價(jià)形式
p是q的充分不必要條件，等價(jià)于綈q是綈p的充分不必要條件．
典例　已知命題p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________________________________________________________________．
跟蹤訓(xùn)練2　從①“充分不必要條件”，②“必要不充分條件”這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，并解答下列問題：已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．
(1)若m＝3，求A∪B；
(2)若存在正實(shí)數(shù)m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
題型三　全稱量詞與存在量詞
命題點(diǎn)1　含量詞的命題的否定
例3　(1)(多選)下列說法正確的是(　　)
A．“正方形是菱形”是全稱量詞命題
B． x∈R，exC．命題“ x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“ x∈R，x2－2x＋3≠0”
D．命題“ x>1，都有2x＋1>5”的否定為“ x≤1，使得2x＋1≤5”
(2)寫出“所有實(shí)數(shù)都不是無理數(shù)”的否定形式：
________________________________________________________________________.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
命題點(diǎn)2　含量詞的命題的真假判斷
例4　(多選)下列命題中的真命題是(　　)
A． x∈R,2x－1>0
B． x∈N*，(x－1)2>0
C． x∈R，lg x<1
D． x∈R，tan x＝2
命題點(diǎn)3　含量詞的命題的應(yīng)用
例5　(1)若命題“ x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．(－∞，2] D．(－∞，5]
(2)(多選)命題p： x∈R，x2＋2x＋2－m<0為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
跟蹤訓(xùn)練3　(1)下列命題為真命題的是(　　)
A．任意兩個(gè)等腰三角形都相似
B．所有的梯形都是等腰梯形
C． x∈R，x＋|x|≥0
D． x∈R，x2－x＋1＝0
(2)(多選)已知命題p： x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命題q： x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，則下列說法正確的是(　　)
A．命題p的否定是“ x∈[0,1]，不等式2x－2B．命題q的否定是“ x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”
C．當(dāng)命題p為真命題時(shí)，1≤m≤2
D．當(dāng)命題q為假命題時(shí)，a<4

展開更多......

收起↑