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專題6-5 反比例函數(shù)與特殊三角形、四邊形及新定義圖形綜合模型
模塊1：模型簡(jiǎn)介
反比例函數(shù)與特殊三角形的、特殊四邊形、新定義圖形的綜合問題，浙江各類考試的熱點(diǎn)，常見于壓軸題中，其融合了特殊平行四邊形、特殊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等數(shù)學(xué)核心知識(shí)，考查學(xué)生的分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想、綜合分析和應(yīng)用知識(shí)的能力。
模塊2：核心模型點(diǎn)與典例
反比例函數(shù)與特殊三角形的、特殊四邊形的綜合、新定義圖形解題步驟為：先設(shè)出幾何圖形中的未知數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的圖像用含未知數(shù)的式子表示出幾何圖形與圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)解析式及幾何圖形的性質(zhì)寫出含未知數(shù)及待求字母系數(shù)的當(dāng)成（組），解方程（組）即可得所求幾何圖形的未知量或函數(shù)解析式中待定字母的值。
特殊幾何圖形的存在性問題解題思想：（1）找點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四邊形等問題；（2）找點(diǎn)構(gòu)成三角形全等問題；（3）求點(diǎn)的坐標(biāo)。
雖然部分特殊幾何的存在性問題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無單一模式，對(duì)學(xué)生提出了相當(dāng)大的挑戰(zhàn)。然而萬變不離其宗，從特殊三角形、四邊形本身的性質(zhì)入手，結(jié)合邊、角的相互轉(zhuǎn)化，就能撥開迷霧、追尋真跡。
模型1.反比例函數(shù)與特殊三角形的綜合問題
例1．（2023年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第四象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式：(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出x的取值范圍；(3)在雙曲線上是否存在點(diǎn)P，使是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】（1）將，代入,求得一次函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可；（2）將一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)果；（3）過點(diǎn)A作交y軸于點(diǎn)M，勾股定理得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，在求出直線AP的表達(dá)式，與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組即可．
【詳解】（1）解：把，代入中得：，∴，
∴直線的解析式為，
在中，當(dāng)時(shí)，，∴，
把代入中得：，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）解：聯(lián)立，解得或，
∴一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
∴由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
∴當(dāng)時(shí)，或；
（3）解：如圖所示，設(shè)直線交y軸于點(diǎn)，
∵，，∴，，，
∵是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴，
∴，∴，解得，∴，
同理可得直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理，正確利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．(2)求反比例函數(shù)的解析式．(3)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，若是直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】(1)(2)(3)或
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合題：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，即可求解；（2）把代入，即可求解；（3）分兩種情況，結(jié)合勾股定理，即可求解．
【詳解】（1）解：在中，，，，
∴，；故答案為：；
（2）解：把代入得：，解得：，∴反比例函數(shù)解析式為；
（3）解：分三種情況考慮：過作軸，此時(shí)為直角頂點(diǎn)時(shí)，的坐標(biāo)為；
過作，交軸于點(diǎn)，此時(shí)為直角頂點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)，∵，，∴，，
∵，∴，解得：，即點(diǎn)；
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．
例2．（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)在軸上，是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為(2)或或
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的長(zhǎng)，再分兩種情形討論即可．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入一次函數(shù)得，解得：，
故一次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)代入，得，，
把點(diǎn)代入，得，故反比例函數(shù)的解析式為；
（2）解：，，，
當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，
綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023·廣東潮州·一模）已知反比例函數(shù)（為常數(shù)，）．
(1)其圖象與正比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，的值；
(2)若在其圖象的每一支上，隨的增大而減小，求的取值范圍；
(3)若其圖象的一支位于第二象限，在這一支上任取兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小．(4)在第（1）小題的條件下，在軸上求點(diǎn)，使是等腰三角形．
【答案】(1)(2)(3)(4)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或
【分析】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的定義，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上可得，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將的坐標(biāo)代入，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（2）由于在反比例函數(shù)圖象的每一支上，隨的增大而減小可得，即可得解；
（3）由反比例函數(shù)圖象的一支位于第二象限，可得在該函數(shù)圖象的每一支上，隨的增大而增大，由此即可得解；（4）根據(jù)等腰三角形的定義分情況討論即可得出答案．
【詳解】（1）解：由題意，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上，，即，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，解得：；
（2）解：∵在反比例函數(shù)圖象的每一支上，隨的增大而減小，，解得；
（3）解：∵反比例函數(shù)圖象的一支位于第二象限，
∴在該函數(shù)圖象的每一支上，隨的增大而增大，
∵點(diǎn)與點(diǎn)在該函數(shù)的第二象限的圖象上，且，；
（4）解：由（1）知，，，
當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的垂直平分線上，此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
例3．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，函數(shù)的圖象過點(diǎn)和兩點(diǎn)．

(1)求和的值；(2)點(diǎn)是雙曲線上介于點(diǎn)和點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，第二象限內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得是以為腰的等腰直角三角形 若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)和的值分別為，；(2)，(3)點(diǎn)或。
【分析】（1）將、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)解析式，解方程組得、的值；
（2）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)做軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，以為底，由的面積解出點(diǎn)坐標(biāo)；（3）先用待定系數(shù)法求得進(jìn)而求出直線的解析式，再分兩種情況進(jìn)行討論：①以為直角邊，為直角頂點(diǎn)；②以為直角邊，為直角頂點(diǎn)．再觀察圖形并利用點(diǎn)的移動(dòng)特點(diǎn)寫出答案．
【詳解】（1）解：函數(shù)的圖像過點(diǎn)和兩點(diǎn)，
，解得，故和的值分別為，；
（2）解：，，設(shè)直線的解析式為：，
把代入，得，解得，∴直線的解析式為：，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，

設(shè)，，，
，或（不符合題意舍去），
（3）解：，直線的解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，
點(diǎn)在直線上，，，即，直線的解析式為：；
當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，
根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①以為直角邊，為直角頂點(diǎn)；
如圖，過做軸于點(diǎn)，可知：，
，，
又，，又，
，，
故點(diǎn)到點(diǎn)的平移規(guī)律是：向左移個(gè)單位，向上移個(gè)單位得點(diǎn)坐標(biāo)，
，且在第二象限，即；
②以為直角邊，為直角頂點(diǎn)；同①理得，將點(diǎn)向左移個(gè)單位，向上移個(gè)單位得點(diǎn)坐標(biāo)，得．綜上所述：點(diǎn)或
【點(diǎn)睛】此題考查關(guān)于一次函數(shù)、反比例函數(shù)與動(dòng)態(tài)三角形的綜合題，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準(zhǔn)確完整地討論等腰直角三角形的各種可能的情況是解此題的關(guān)鍵．
變式1．（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的斜邊在x軸上，直線經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點(diǎn)A，連接．
【基礎(chǔ)應(yīng)用】（1）求k的值；（2）求直線的函數(shù)表達(dá)式；
【拓展應(yīng)用】（3）若點(diǎn)P為x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A的右側(cè)的的圖象上是否存在一點(diǎn)M，使得是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）過點(diǎn)作軸，易得，設(shè)，代入一次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求值即可；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；
（3）過點(diǎn)作軸，交雙曲線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，證明，得到，進(jìn)一步求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作軸，

∵為等腰直角三角形，∴，∴，設(shè)，
∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，∴，∵在雙曲線上，∴；
（2）由（1）知：，∴，
∵，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線的解析式為，
把，代入，得：，∴直線的解析式為：；
（3）存在，過點(diǎn)作軸，交雙曲線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
又，∴是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
∵，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在雙曲線上，，∴．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．掌握相關(guān)性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
例4．（23-24八年級(jí)·上海青浦·期中）已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖形上的動(dòng)點(diǎn)，軸，軸，分別交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是直線上的一點(diǎn)．

(1)請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示P、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)．(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，連接，的面積是否變化，若不變，請(qǐng)求出的面積，若改變，請(qǐng)說明理由．(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以為直角邊的和全等，如果存在，請(qǐng)求出m的值．
【答案】(1)，，；(2)不變，(3)或
【分析】本題考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)綜合問題，涉及了全等三角形的性質(zhì)，掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決第三問的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)，由軸，軸，在反比例函數(shù)的圖像上即可求解；（2）由題意得，分別表示出，即可求解；
（3）由題意分類討論，，兩種情況，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是反比例函數(shù)圖形上的動(dòng)點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)，
∵軸，軸，∴，，
∵在反比例函數(shù)的圖像上，∴，，即：點(diǎn)，點(diǎn)；
（2）解：的面積不變，為，理由如下：∵軸，軸，∴，
∵，，，∴，，∴；
（3）解：若以為直角邊的和全等，
，，如圖所示：

此時(shí)，即：點(diǎn)，
∵點(diǎn)C是直線上的一點(diǎn)，∴，解得：，（舍），
，，如圖所示：此時(shí)，即：點(diǎn)，
∵點(diǎn)C是直線上的一點(diǎn)，∴，解得：，（舍），
綜上所述：或時(shí)，以為直角邊的和全等．
模型2.反比例函數(shù)與特殊四邊形的綜合問題
例1．（2023年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與，軸分別相交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C，已知，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．(1)求，的值；(2)平行于軸的動(dòng)直線與和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)D，E，若以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【答案】(1)，；(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為或
【分析】（1）求得，利用待定系數(shù)法即可求得直線的式，再求得，據(jù)此即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，用平行四邊形的性質(zhì)得到，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵，∴，
∵直線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，，∴直線的解析式為，
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，∴，∴，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，∴；
（2）解：由（1）得反比例函數(shù)的解析式為，令，則，∴點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
∵以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴，
∴，整理得或，
由得，整理得，解得，
∵，∴，∴點(diǎn)；由得，
整理得，解得，∵，∴，∴點(diǎn)；
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
變式1．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)Q．(1)求a、k的值；(2)直線過點(diǎn)P，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，，連接．①求的面積；②點(diǎn)M在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)N在x軸上，若以點(diǎn)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M坐標(biāo)．
【答案】(1)，(2)①；②，
【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可求出的值，再將坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求出的值；（2）過點(diǎn)A作軸，交PQ于點(diǎn)H，設(shè)B的坐標(biāo)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)的縱坐標(biāo)，可以求出的值，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)可求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，，在和中，為底邊， 高分別是點(diǎn)、軸到的距離，根據(jù)點(diǎn)、點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求得，根據(jù)面積公式計(jì)算即可；（3）分兩種情況，當(dāng)MN和PQ為對(duì)角線時(shí)，可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以及平移來確定點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出的坐標(biāo)；當(dāng)MQ和NP為對(duì)角線時(shí)，以及平移來確定點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而求解．
【詳解】（1）解：（1）把點(diǎn)代入解得，，把代入解得，；
（2）∵，∴反比例函數(shù)解析式為．
①設(shè)B的坐標(biāo)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∵，，∴，把代入得：，∴點(diǎn)，
∵一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)Q．∴Q的坐標(biāo)為，
過點(diǎn)A作軸，交PQ于點(diǎn)H．則點(diǎn)H坐標(biāo)，
∴，∴，
②設(shè)點(diǎn)，，∵，，點(diǎn)M、N、P、Q構(gòu)成平行四邊形；
當(dāng)和為對(duì)角線時(shí)，如下圖：點(diǎn)可看做是將點(diǎn)先向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，
故點(diǎn)也是相應(yīng)關(guān)系，即點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，如下圖：
故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為點(diǎn)縱坐標(biāo)加：，即，M的坐標(biāo)為；
當(dāng)和為對(duì)角線時(shí)， 如下圖：
點(diǎn)可看做是將點(diǎn)先再向下平移個(gè)單位，向左平移個(gè)單位得到，
故點(diǎn)也是相應(yīng)關(guān)系，即點(diǎn)是點(diǎn)再向下平移個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位得到，如下圖：
故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，，故此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為：；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)運(yùn)用．并利用圖像的平移找到點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系，從而求解．
例2．（23-24九年級(jí)·山西晉中·期末）綜合與探究:如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)線段與之和最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)作直線軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面直角系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，或或或
【分析】（1）先將點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式，求解即可；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，求出的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（3）分為菱形的邊長(zhǎng)，以及為菱形的對(duì)角線，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：把代入，得：，∴，
∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：；
（2）∵，當(dāng)時(shí)間，，∴，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
則：，，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，
連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為：，把代入，得：，
∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴；
（3）∵過點(diǎn)作直線軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，設(shè)，設(shè)，
則：，，；
當(dāng)點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，分兩種情況：
①當(dāng)為邊時(shí)，則：，當(dāng)時(shí)：，，則：，解得：，
當(dāng)時(shí)：，，即：；
當(dāng)時(shí)：，，即：；
當(dāng)時(shí)，，，則：，解得：或（舍掉），
當(dāng)時(shí)，，，即：；
②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)：則，∴，
此時(shí)，即：，解得：，∴，即：；
綜上：或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，涉及求函數(shù)解析式，利用軸對(duì)稱解決線段和最小問題，菱形的性質(zhì)．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．屬于壓軸題．
變式1．（2024·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別交于A、C兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為．其中．
(1)四邊形是____．(填寫四邊形的形狀)；(2)當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形是矩形，求的值．(3)試探究：隨著k與m的變化，四邊形能不能成為菱形？若能，請(qǐng)直接寫出k的值；若不能，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)平行四邊形(2)(3)不能，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得，，由此即可得到結(jié)論；（2）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出m的值即可得到答案；（3）由于菱形對(duì)角線互相垂直，若為菱形，則，則點(diǎn)A在y軸上，這與反比例函數(shù)與y軸沒有交點(diǎn)矛盾，據(jù)此可得答案．
【詳解】（1）解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象分別交于A、C兩點(diǎn)，
∴由反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴，同理可得，∴四邊形是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；
（2）解：∵，且A在反比例函數(shù)圖象上，∴，即，∴．
∵ 四邊形是矩形，∴，∴，∴．
（3）解：不能，理由如下：∵當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，則．
∵在x軸上，∴在y軸上，而反比例函數(shù)y=與y軸沒有交點(diǎn)，
則隨著k與m的變化，四邊形不能成為菱形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
例3．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：某數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃設(shè)計(jì)一款美麗的“魚形”圖案．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上．以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為邊構(gòu)造菱形；軸于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，連接；以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧．
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求出圖案中陰影部分的面積；(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，在反比例函數(shù)的圖象上找一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或
【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)，反比例函數(shù)幾何問題，矩形判定及性質(zhì)，菱形性質(zhì)及面積公式，扇形面積公式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等．（1）根據(jù)題意把代入求出即可；
（2）連接菱形的對(duì)角線，交軸于點(diǎn)，則軸，得到，繼而求得菱形和扇形面積，繼而得到本題答案；（3）設(shè)直線的表達(dá)式為，分情況討論，當(dāng)和時(shí)，待定系數(shù)法求出直線解析式即可求得本題答案．
【詳解】（1）解：把代入得，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）解：連接菱形的對(duì)角線，交軸于點(diǎn)，則軸，
，，四邊形是菱形，，
是等邊三角形，，，，
軸于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，，，
；
（3）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，代入點(diǎn)和點(diǎn)，得：，
①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的表達(dá)式為，代入點(diǎn)得，
聯(lián)立，得：（舍），，當(dāng)時(shí)，，；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的表達(dá)式為，代入點(diǎn)，
得：，聯(lián)立，得：（舍），
當(dāng)時(shí)，，，綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．
變式1．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)的圖像與正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)、點(diǎn)，與正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)、點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為，()．

(1)如圖1，若點(diǎn)坐標(biāo)為．①求，的值；②若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接，求的面積．(2)如圖2，依次連接，，，，若四邊形為矩形，求的值．
【答案】(1)①，；②(2)
【分析】（1）①將點(diǎn)代入解析式，求得； ②根據(jù)反比例函數(shù)解析式可得，分別過點(diǎn)、作軸的垂線交軸于點(diǎn)、，根據(jù)，，，可得；（2）直線，經(jīng)過原點(diǎn)且與反比例函數(shù)分別交于點(diǎn)，，，，反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則四邊形為平行四邊形．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)，得出，根據(jù)在上，得出，，在上，得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：①點(diǎn)在上，，；
點(diǎn)在上，，
②點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，；
分別過點(diǎn)、作軸的垂線交軸于點(diǎn)、，
，，
；

（2）解：直線，經(jīng)過原點(diǎn)且與反比例函數(shù)分別交于點(diǎn)，，，，反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，，四邊形為平行四邊形．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．
點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，，
，
又在上，， ，在上，
，．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
例4．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)①直接寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍；②連接和，求的面積；(3)點(diǎn)為線段（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交反比例函數(shù)于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)，，，四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為正方形時(shí)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】(1)(2)①或；②4(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為，或
【分析】（1）利用待定系數(shù)可得答案；（2）①根據(jù)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象，即可求解；
②根據(jù)一次函數(shù)求得的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（3）將正方形問題轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形，再分為斜邊和直角邊兩種情形，分別畫圖，利用全等三角形來解決問題．
【詳解】（1）解：將代入，得，反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
將代入，得解得，一次函數(shù)的表達(dá)式為，
聯(lián)立方程組消得，即，解得：，，
由可知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)的坐標(biāo)為
（2）①∵，，根據(jù)函數(shù)圖象可得當(dāng)時(shí)，或；
②由得點(diǎn)為，
即的面積為4；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，如圖，過作于，
∵軸，∴，
∵四邊形為正方形，∴，，
∴，∴，∴，

∵，而，同理可得：直線的解析式為，
∵，點(diǎn)在直線上，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)時(shí)，，∴；
②當(dāng)時(shí)，如圖，過作交于點(diǎn)H，交軸于，交反比例函數(shù)圖象于，過作軸于，則四邊形是矩形，∴，∴，
∵四邊形為正方形，∴，，同理可得：，∴，
由①知直線的解析式為，與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，
∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴為等腰直角三角形，
∵，∴，∴，
∵是的中點(diǎn)，∴，設(shè)，，∴，
∴（舍去）或，∴，∴，
當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)E在左側(cè)時(shí)，記與軸的交點(diǎn)為，

同理可得：，，設(shè)，則，
∵直線為，∴，，
∴，解得，∴，
當(dāng)點(diǎn)E在右側(cè)時(shí)，同理可得，
設(shè)，則，∴，∴，
∵為中點(diǎn)，∴，∴，而在直線上，
∴，解得，且滿足分式方程，
∵，∴，∴，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)與方程的關(guān)系，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意分類討論．
變式1．（2023·湖南婁底·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形為正方形．點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)A．

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)寫出的解集；(3)點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若的面積恰好等于正方形的面積，求P點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)，(2)或(3)或
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法分別求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式即可；（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)函數(shù)圖象可得答案；（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)的面積恰好等于正方形的面積列方程求出x，然后可得對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵正方形，，，∴，∴，
把代入得：，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；
把，代入一次函數(shù)得：，解得，
∴一次函數(shù)解析式為；
（2）聯(lián)立，解得：或，∴，，
由函數(shù)圖象可得，的解集是：或；
（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式，三角形的面積計(jì)算等知識(shí)．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想以及方程思想是解題的關(guān)鍵．
模型3.反比例函數(shù)與新定義幾何圖形綜合問題
例1．（2023·四川成都·一模）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)C的直線交x軸于點(diǎn)E，且與反比例函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，求CE的長(zhǎng)；(3)我們把一組鄰邊垂直且相等，一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形叫做“維納斯四邊形”．設(shè)點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是第一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是“維納斯四邊形”時(shí)，求Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）由一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，兩解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的解析式為設(shè)，由，整理得，，根據(jù)題意得到，求得，即可得到直線的解析式，從而即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用勾股定理即可求得；（3）通過證得，得出，，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，解方程即可求得點(diǎn)橫坐標(biāo)．
【詳解】（1）∵過，∴，∴，則，
又∵過，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
∴，解得：或，∴．
（2）令，則，∴．
設(shè)直線的解析式為設(shè)，∴，即：，
∵直線與反比例函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴，∴，∴，令，則，
∴，∴．
（3）由圖可知在第一象限、不可能相等，如圖，當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)作軸于，軸于，與的交點(diǎn)為，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵，∴，
∵，，∴，∴，，
∴，∴，∴，設(shè)（），∴，
∵點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，∴，整理得，
解得（負(fù)數(shù)舍去），∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值為．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
變式1．（22-23八年級(jí)下·江蘇淮安·期末）定義：有一組對(duì)邊平行，有一個(gè)內(nèi)角是它對(duì)角的兩倍的凸四邊形叫做倍角梯形． 如圖1，直線，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)、在直線上，若， 則四邊形是倍角梯形．

(1)如圖2，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，，，．若四邊形是倍角梯形，則的長(zhǎng)是___________；(2)如圖3，以的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊所在直線為軸，對(duì)角線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，滿足．求證：四邊形是倍角梯形；(3)在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，將四邊形向左平移個(gè)單位后，恰有兩個(gè)頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖像上，直接寫出的值．
【答案】(1)5(2)見解析(3)或
【分析】（1）根據(jù)倍角梯形的定義可得出，進(jìn)而可得出，由等角對(duì)等邊可得出，結(jié)合即可求出的長(zhǎng)，（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，進(jìn)而可得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)可得出，再結(jié)合倍角梯形的定義即可證出四邊形是倍角梯形；（3）由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合，可得出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；四邊形向左平移個(gè)單位后，用含的代數(shù)式表示出平移后點(diǎn)，，的坐標(biāo)，分點(diǎn)，落在反比例函數(shù)圖象上及點(diǎn)，落在反比例函數(shù)圖象上兩種情況考慮，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)，可得出關(guān)于的一元一次方程，求出的值，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出的值即可．
【詳解】（1）解：點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，，，，四邊形是倍角梯形，，，
，，，故答案為：5；
（2）證明：四邊形為平行四邊形，，，
，，又，四邊形是倍角梯形；
（3）解：在（2）的條件下，，，
，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；四邊形向左平移個(gè)單位后，點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)椋c(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)椋c(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)椋?br/>情況一：當(dāng)四邊形向左平移個(gè)單位后，點(diǎn)，落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，，解得：，；
情況二：當(dāng)四邊形向左平移個(gè)單位后，點(diǎn)，落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，，解得：，，
綜上所述：的值為為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及解一元一次方程，熟練運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
例2．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，點(diǎn)P是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A．把直線l上方的反比例函數(shù)圖象沿著直線l翻折，其它部分保持不變，所形成的新圖象稱為“的l鏡像”．

(1)當(dāng)時(shí)；①點(diǎn)________“的l鏡像”；（填“在”或“不在”）
②“的l鏡像”與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是_________；
(2)過y軸上的點(diǎn)作y軸垂線，與“的l鏡像”交于點(diǎn)B、C，若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)①在；②(2)的長(zhǎng)為或
【分析】（1）①根據(jù)函數(shù)“的鏡像”定義知：反比函數(shù)圖象沿著直線翻折前后部分關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)值，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，得出點(diǎn)在“的鏡像”；②“ 的鏡像”與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)是0，根據(jù)直線對(duì)稱點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上縱坐標(biāo)應(yīng)為時(shí)，“的鏡像”與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是．（2）由過軸上的點(diǎn)作軸垂線，與“的鏡像”交于點(diǎn)、知：點(diǎn)，縱坐標(biāo)，點(diǎn)，，故，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，．當(dāng)點(diǎn)，位置交換時(shí)，．
【詳解】（1）解：①由反比例函數(shù)知：當(dāng)時(shí)，．
且過點(diǎn)作軸的垂線．關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．
由“的鏡像”定義得：點(diǎn)在“的鏡像”上．故答案為：在．
② “的鏡像”與軸相交點(diǎn)縱坐標(biāo)為0．
關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)在反比例函數(shù)上點(diǎn)縱坐標(biāo)為6．時(shí)，．
“的鏡像”與軸交點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．
（2）解：如圖，①過軸上的點(diǎn)作軸垂線，與“的鏡像”交于點(diǎn)、．

點(diǎn)，縱坐標(biāo)為．點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上．點(diǎn)坐標(biāo)．．
．．點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的值．
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．
由“的鏡像”定義得：．的長(zhǎng)為．
②當(dāng)點(diǎn)，位置交換時(shí)，同理得的長(zhǎng)為．的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，分類討論、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
模塊3：同步培優(yōu)題庫(kù)
全卷共18題 測(cè)試時(shí)間：90分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別在函數(shù)和的圖象上，若軸，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，則的值為（ ）

A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】D
【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及正方形性質(zhì)，
連接交于，延長(zhǎng)交軸于，設(shè)，，根據(jù)軸，可得，，，即知，從而，，由在反比例函數(shù)的圖象上，在的圖象上，得，，即得．
【詳解】解：連接交于，延長(zhǎng)交軸于，如圖：

四邊形是正方形，，設(shè)，，
軸，，，，
，都在反比例函數(shù)的圖象上，，
，，，，
在反比例函數(shù)的圖象上，在的圖象上，
，，；故選：D．
2．（23-24九年級(jí)·廣東·期末）如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是OA邊的中點(diǎn)，連接CD，將△OCD沿著CD折疊得到△ECD，CE與OB交于點(diǎn)F．若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)F，則m的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，，解關(guān)于、的方程組得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，易得直線的解析式為，解方程組得，，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求的值．
【詳解】解：正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，
沿著折疊得到，，，
設(shè)，，，，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)直線的解析式為，
把，，分別代入得，解得，直線的解析式為，
易得直線的解析式為，解方程組得，，，
點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積是定值，即．也考查了正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．
3．（2021·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在第二象限，其余頂點(diǎn)都在第一象限，AB∥X軸，AO⊥AD，AO=AD．過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，DE=4CE．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與邊AB交于點(diǎn)F，連接OE，OF，EF．若，則k的值為（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【分析】延長(zhǎng)EA交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作x軸的垂線，垂足分別為H，則可得△DEA≌△AGO，從而可得DE=AG，AE=OG，若設(shè)CE=a，則DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得點(diǎn)E、A的坐標(biāo)，由AB與x軸平行，從而也可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù) ，即可求得a的值，從而可求得k的值．
【詳解】如圖，延長(zhǎng)EA交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作x軸的垂線，垂足分別為H
∵四邊形ABCD是菱形∴CD=AD=AB，CD∥AB ∵AB∥x軸，AE⊥CD∴EG⊥x軸，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD∴∠DAE+∠GAO=90゜∴∠GAO=∠D ∵OA=OD∴△DEA≌△AGO(AAS)∴DE=AG，AE=OG
設(shè)CE=a，則DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x軸，AG⊥x軸，F(xiàn)H⊥x軸∴四邊形AGHF是矩形∴FH=AG=3a，AF=GH
∵E點(diǎn)在雙曲線上∴ 即
∵F點(diǎn)在雙曲線上，且F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4a∴ 即∴
∵∴ 解得：
∴ 故選：A．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是作輔助線及證明△DEA≌△AGO，從而求得E、A、F三點(diǎn)的坐標(biāo)．
4．（2023年黑龍江龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是等腰三角形，過原點(diǎn)，底邊軸，雙曲線過兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交雙曲線于點(diǎn)，若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性可得，然后過點(diǎn)A作于E，求出，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，再根據(jù)列式求出，進(jìn)而可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出的值．
【詳解】解：由題意，設(shè)，∵過原點(diǎn)，∴，
過點(diǎn)A作于E，∵是等腰三角形，

∴，∴，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，
∵底邊軸，軸，∴，
∴，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，
∴，∴，解得：，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，設(shè)出點(diǎn)B坐標(biāo)，正確表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·重慶中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D是平行四邊形OABC內(nèi)一點(diǎn)，AD與軸平行，BD與軸平行，，，．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，則的值是（ ）
A． B． C．-12 D．-24
【答案】B
【分析】過點(diǎn)C作CE⊥y軸，延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)F，易證△COE≌△ABD，求得OE=2，根據(jù)S△BDC=6，求得CF=6，得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，設(shè)C（m，），則D（m+6，4），由反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖象經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，從而求出m，進(jìn)而可得k的值．
【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥y軸，延長(zhǎng)BD交CE于點(diǎn)F，
∵AD與x軸平行，BD與y軸平行，∴∠ADB=90°，∠1=∠ABD，
∵四邊形OABC為平行四邊形， ∴AB∥OC，AB=OC， ∴∠COE=∠1=∠ABD，
在△COE和△ABD中，，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE=BD=，CE=AD，
∵S△BDC=BD CF=6，∴CF=6，
∵∠BDC=120°，∴∠CDF=60°，∴DF＝2，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，
設(shè)C（m，2），則D（m+6，4），∵反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖象經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，
∴k=2m=4（m+6），∴m=-12，∴C（-12，2），∴k=-24，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合，掌握平行四邊形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖像的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
6．（2023年湖南省張家界市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)D在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D及矩形的對(duì)稱中心M，連接．若的面積為3，則k的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)矩形對(duì)稱中心的性質(zhì)得出延長(zhǎng)恰好經(jīng)過點(diǎn)B，，確定，然后結(jié)合圖形及反比例函數(shù)的意義，得出，代入求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∵矩形的對(duì)稱中心M，∴延長(zhǎng)恰好經(jīng)過點(diǎn)B，，

∵點(diǎn)D在上，且，∴，∴，∴
∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵，
∴，解得：，∴，故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
7．（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖，矩形的邊，，動(dòng)點(diǎn)在邊上（不與、重合），過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，直線分別與軸和軸相交于點(diǎn)和．給出下列命題：若，則的面積為；若，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上；滿足題設(shè)的的取值范圍是；若，則；其中正確的命題個(gè)數(shù)是（　　）
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
【答案】C
【分析】若則計(jì)算故命題正確；如答圖所示，若，可證明直線是線段的垂直平分線，故命題正確；因?yàn)辄c(diǎn)不經(jīng)過點(diǎn)，所以，即可得出的范圍；求出直線的解析式，得到點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后求出線段、的長(zhǎng)度； 利用算式，求出，故命題正確．
【詳解】∵，∴，，∴，，
∴
，故正確；
∵，∴，，∴，，
如答圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，
在線段上取一點(diǎn)，使得，連接，
在中，由勾股定理得：，∴，
在中，由勾股定理得：，∴，
又∵，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故正確；
由題意，點(diǎn)與點(diǎn)不重合， ∴，∴， 故錯(cuò)誤；
設(shè)， 則，，設(shè)直線的解析式為，則有，
，解得，∴，
令，得，∴，令，得，∴，
如上答圖， 過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，，，由勾股定理得：，
∴，解得，∴, 故命題正確；
綜上所述，正確的命題是：，共個(gè)，故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法、矩形及勾股定理等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
二、填空題（本大題共3小題，每小題4分，共12分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）
8．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（為大于0的常數(shù)，）圖象上的兩點(diǎn)，滿足．的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是 ．
【答案】2
【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，利用，，得到，結(jié)合梯形的面積公式解得，再由三角形面積公式計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，

；
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)中的幾何意義，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
9．（2023.江蘇中考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，將一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)稱為它的“互換點(diǎn)”，點(diǎn)M和A為函數(shù)的圖象第一象限上的一組互換點(diǎn)（M點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)）．直線AM分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，連接AO交雙曲線另一支于點(diǎn)B，連接BM分別交x軸、y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)．則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①；②；③若，則；④若，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則
【答案】①③④
【分析】設(shè)點(diǎn)A（m，n），則M（n，m），求出直線AM的解析式，得到OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x軸于P，MQ⊥y軸于Q，證明△OAP≌△OMQ，得到∠AOP=∠MOQ，由此判斷①正確；過O作OH⊥MA于H，得到DH=CH，結(jié)合，得到MH=AH，但是DM與MH不一定相等，故②錯(cuò)誤；作，連接FR，求出直線BM的解析式為，得到OF=OE=m-n，證明△BOE≌△AOR，判定四邊形AMFR是矩形，得到AR=MF，AM=FR，設(shè)MF=2x，則MB=7x，證明△BOE≌△MOF，求出EF=3x，由DM=AC=2x，故③正確；過H作HG⊥x軸于G，AN⊥HG于N，設(shè)AH=a，證明△AOM是等邊三角形，得到∠AOH=30°，∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，，，得到，求出a，得到A（，1），故④正確．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A（m，n），則M（n，m），∴直線AM的解析式為，
∴D（0，m+n），C（m+n，0），∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=45°，
作AP⊥x軸于P，MQ⊥y軸于Q，∴∠OQM=∠OPA=90°，QM=AP=n，OQ=OP=m，
∴△OAP≌△OMQ，∴∠AOP=∠MOQ，∴，故①正確；
過O作OH⊥MA于H，∵OC=OD，∴DH=CH，
∵，∴DM=AC，∴MH=AH，但是DM與MH不一定相等，
故不一定成立，故②錯(cuò)誤；
如圖，作，連接FR，則∠BEO=∠ARO，
∵連接AO交雙曲線另一支于點(diǎn)B，點(diǎn)A（m，n），∴B（-m，-n），OA=OB，
∵點(diǎn)M（n，m），∴直線BM的解析式為，
∴F（0，m-n），E（n-m，0），∴OF=OE=m-n，
∵∠BOE=∠AOR，∴△BOE≌△AOR，∴OR=OE=OF， ∴∠OFR=∠ORF=45°，
∵∠ARC=∠MEC=∠ACE=45°，∴∠EFR=∠ARF=∠RAC=90°，∴四邊形AMFR是矩形，
∴AR=MF，AM=FR，設(shè)MF=2x，則MB=7x，∴AC=AR=2x，BF=5x，
∵OE=OF， OA=OM=OB，∠BOE=∠AOR=∠MOE，∴△BOE≌△MOF，∴BE=MF=2x，∴EF=3x，
∵∠FER=∠FRE=45°，∴FR= EF=3x，∴AM=3x，∵DM=AC=2x，∴，故③正確；
過H作HG⊥x軸于G，AN⊥HG于N，設(shè)AH=a，
∵，OA=OM，∴△AOM是等邊三角形，∴∠AOM=∠OAM=60°，
∵OH⊥MA，∴∠AOH=30°，∴∠AOC=15°，∴∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，
∵AH=a，∴，∴，
∵M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴QM=AP=GN=1，∴，
得，∴，∴A（，1），∴，故④正確；故答案為：①③④．
【點(diǎn)撥】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識(shí)，反比例函數(shù)的軸對(duì)稱性，求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)并熟練應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．
10．（2023.山東中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)、為反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、為反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，若四邊形為菱形，則該菱形邊長(zhǎng)的最小值為___________．
【答案】4
【分析】連接AC、BD，則．設(shè)，，則．根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可分別求出AD、AB、OA、OD的長(zhǎng)．再根據(jù)菱形的性質(zhì)即得出，即可求出a和m的關(guān)系．最后在中，利用勾股定理即可求出AD的最小值．
【詳解】如圖，連接AC、BD，則．根據(jù)題意可設(shè)，，則．
∴,,
∴,
∵，∴．整理得：，即
在中，，即，
整理得：，將代入上式得：．
∵，∴．∴該菱形邊長(zhǎng)的最小值為4．故答案為4．
【點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，兩點(diǎn)的距離公式以及勾股定理，數(shù)據(jù)處理難度大，較難．作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共80分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
11．（22-23八年級(jí)下·江蘇·期末）定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，恰好落在函數(shù)圖象W上，則稱點(diǎn)M是點(diǎn)N關(guān)于函數(shù)圖象W的“直旋點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是原點(diǎn)O關(guān)于函數(shù)圖象的一個(gè)“直旋點(diǎn)”．(1)在①，②，③三點(diǎn)中，是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”的有 _ （填序號(hào)）；(2)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于反比例函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，求k的值；
(3)如圖1，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)B是在反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)A右側(cè)的一點(diǎn)，若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)的“直旋點(diǎn)”，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

【答案】(1)③(2)(3)點(diǎn)B的坐標(biāo)為
【分析】（1）根據(jù)“直旋點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)點(diǎn)M繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，證明，得出，，即可得出的坐標(biāo)為，求出k的值即可；（3）設(shè)點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，連接，，過點(diǎn)A作x軸的平行線，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，求出反比例函數(shù)解析式為，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，得出，，證明，得出，，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，根據(jù)點(diǎn)C在函數(shù)圖象上，得出，即可得出答案．
【詳解】（1）解：①點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，把代入得：，∴不在函數(shù)的圖象上，
∴不是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”；
②繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，把代入得：，
∴不在函數(shù)的圖象上，∴不是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”；
③繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，把代入得：，
∴在函數(shù)的圖象上，∴是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”；
綜上分析可知，是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”的有③．故答案為：③．
（2）解：設(shè)點(diǎn)M繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，如圖所示：

∵，，∴，，，∴，
∵，∴，
∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，
∴，，∴，∴的坐標(biāo)為，把代入得：．
（3）解：設(shè)點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，連接，，過點(diǎn)A作x軸的平行線，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，如圖所示：
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，
∵點(diǎn)B在函數(shù)圖象上，∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，，
∵，∴，
∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，
∴，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，
∵點(diǎn)C在函數(shù)圖象上，∴，解得：，（舍去），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出相應(yīng)的輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．
12．（2023·山東泰安·二模）如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)為第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，連接，如果的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)在軸上，反比例函數(shù)圖像上是否存在一點(diǎn)，使是以為直角邊的等腰直角三角形，如果存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】(1)，(2)或(3)存在，或或
【分析】（1）將代入，可得點(diǎn)坐標(biāo)，將代入，可得的值，再根據(jù)點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，根據(jù)，即可得出的方程；
（3）分或，分別根據(jù)型全等，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，從而解決問題．
【詳解】（1）解：將代入，得，解得：，∴，
將代入，得，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式為，
∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴．
（2）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于，設(shè)，則，
∵，∴，
當(dāng)時(shí)，解得：或（負(fù)值不符合題意，舍去）
當(dāng)時(shí)，解得：或（負(fù)值不符合題意，舍去）∴或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

（3）存在，當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，
過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，
∵是以為直角邊的等腰直角三角形，∴，，，
∵，∴，
在和中，∴，
∴，，設(shè)，∵∴，
∴，解得：或（舍去），∴；
當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸時(shí)，如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
同樣可得，∴，，設(shè)，
∵∴，∴，解得：或（舍去），∴；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同樣可得，∴，，
設(shè)，∵∴，解得：，∴；
當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
同樣可得，∴，，設(shè)，
∵∴，解得：，∴，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題反比例函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造型全等是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·山東濟(jì)南·三模）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)和軸之間移動(dòng)，是軸上一點(diǎn)，連接．

(1)求直線的表達(dá)式；(2)過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)．①求出面積的最大值；
②是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)直線AB的表達(dá)式為
(2)①△MBN面積的最大值為；②存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出m，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式；（2）①根據(jù)三角形的面積公式列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；
②分三種情況，根據(jù)勾股定理列出一元二次方程，解方程得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，解得：，∴直線的表達(dá)式為；
（2）解：①設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，
∴，∵，∴面積的最大值為；
②過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)H，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)H為的中點(diǎn)．∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，即，解得：，
此時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，
整理得：，解得：（舍去），，則，此時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，整理得：，
解得：（舍去），，則，此時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
綜上所述：為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
14．（23-24九年級(jí)上·山東菏澤·期末）如圖，的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，已知點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求證：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；(3)點(diǎn)分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】(1)(2)詳見解析(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合問題，涉及了反比例函數(shù)解析式的求解、菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握待定系數(shù)法求解解析式是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)軸，可求出點(diǎn)，即可求解；
（2）由點(diǎn)為的中點(diǎn)可推出點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求解；
（3）根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分可得直線為第一、三象限的角平分線，即可求解；
【詳解】（1）解：在中，軸，，點(diǎn)，點(diǎn)．
點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，．反比例函數(shù)的解析式為；
（2）證明：四邊形是平行四邊形，且是的中點(diǎn)，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由（1）得
當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；
（3）解：四邊形是菱形，與互相平分．
∵點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，∴直線為第二、四象限的角平分線，
直線為第一、三象限的角平分線，直線的解析式為．
聯(lián)立解得或點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
15．（23-24九年級(jí)上·山東泰安·期中）綜合與探究：如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，B兩點(diǎn)，分別連接．(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及的面積；(3)在坐標(biāo)軸y軸上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)B，A，P為頂點(diǎn)的三角形是以為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)(2)，(3)存在，或
【分析】（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）解方程組求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用割補(bǔ)法求三角形的面積；
（3）設(shè)，表示出，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入，得：，
∴，∴，∴，∴；
（2）聯(lián)立，解得：或，∴，
∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；
（3）存在，設(shè)點(diǎn)，∵，，
∴，
∵點(diǎn)B，A，P為頂點(diǎn)的三角形是以為直角邊的直角三角形，
①當(dāng)為斜邊時(shí)：，解得：；
②當(dāng)為斜邊時(shí)：，解得：；∴或．
【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形的面積，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考常考題型．
16．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，并與反比例函數(shù)交于點(diǎn)．(1)求直線和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M為反比例函數(shù)圖象第二象限上一點(diǎn)，記點(diǎn)M到直線的距離為d，當(dāng)d最小時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，Q為線段AC（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作軸交反比例函數(shù)于點(diǎn)P，點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)D，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】(1)，(2)(3)或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)可得答案；（2）將直線向上平移，當(dāng)平移后的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)M時(shí)，此時(shí)d最小，設(shè)直線l的解析式為，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，通過，從而解決問題；
（3）將正方形問題轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形，再分為斜邊和直角邊兩種情形，分別畫圖，利用全等三角形來解決問題．
【詳解】（1）解：將代入，∴，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，設(shè)直線的解析式為，
將與代入可得：，∴，∴直線的解析式為；
（2）將直線向上平移，當(dāng)平移后的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)M時(shí)，
設(shè)直線l的解析式為，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
整理得，∴，解得或，
∵直線l與y軸交于正半軸，∴舍去，解方程，得，∴，∴；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，如圖，過作于，

∵軸，∴，
∵四邊形為正方形，∴，，
∴，∴，∴，
∵C與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，，
∴，而，同理可得：直線的解析式為，
∵，點(diǎn)Q在直線上，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)時(shí)，，∴；
②當(dāng)時(shí)，如圖，過作交于點(diǎn)H，交軸于，交反比例函數(shù)圖象于，過作軸于，則四邊形是矩形，∴，∴，
∵四邊形為正方形，∴，，
同理可得：，∴，
由①知直線的解析式為，與x軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，∴，
∴為等腰直角三角形，∴，，∴為等腰直角三角形，
∵，∴，∴，
∵D是的中點(diǎn)，∴，設(shè)，，
∴，∴（舍去）或，∴，∴，
當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)E在左側(cè)時(shí)，記與軸的交點(diǎn)為，

同理可得：，，設(shè)，則，
∵直線為，∴，，
∴，解得，∴，
當(dāng)點(diǎn)E在右側(cè)時(shí)，同理可得，
設(shè)，則，∴，∴，
∵D為中點(diǎn)，∴，∴，而在直線上，
∴，解得，∵，∴，∴，
綜上，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，或．
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)與方程的關(guān)系，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意分類討論．
17．如圖，已知一次函數(shù)圖象y=x+b與y軸交于點(diǎn)C（0，1），與反比例函數(shù)圖象y=交于點(diǎn)A（a，2）和點(diǎn)B兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和△AOB的面積；
(3)若點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y=x+1，反比例函數(shù)為y=；(2)B（-2，-1），(3)△AOB的面積為；滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，再求出A點(diǎn)坐標(biāo)即可確定反比例函數(shù)的解析式；
（2）聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)D，則D（-1，0），根據(jù)S△AOB=OD yA+OD yB計(jì)算面積即可；
（3）分∠BAM=90°、∠ABM=90°、∠AMB=90°三種情況討論求值即可．
【解析】 (1)解：∵一次函數(shù)圖象y=x+b與y軸交于點(diǎn)C（0，1），∴b=1，∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1，
∵點(diǎn)A（a，2）在直線y=x+1上∴a=1，即A（1，2），
又∵反比例函數(shù)y=過A點(diǎn)，∴k=2，∴反比例函數(shù)為y=；
(2)解：∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
聯(lián)立兩解析式得，解得或，∴B（-2，-1），
設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)D，則D（-1，0），
∴OD=1，∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=OD yA+OD yB=×1×1+×1×2=，即△AOB的面積為；
(3)解：分三種情況討論：①當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，設(shè)M1（0，y），則AM2+AB2=BM2，
∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2，解得y=3，∴M（0，3）；
②當(dāng)∠ABM=90°時(shí)， 同理可得：M（0，-3），
③當(dāng)∠AMB=90°時(shí)，設(shè)M（0，m），設(shè)AB的中點(diǎn)為J，
則J（-，），∵AB=，∴AJ=BJ=JM=，
∴（-）2+（-m）2=（）2，解得m=，∴M3（0，），M4（0，），
綜上，滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合題型，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
18．（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)的圖象交于B，D兩點(diǎn)，且．(1)求的值；(2)請(qǐng)直接寫出不等式的解集；(3)若P是x軸上一點(diǎn)，軸交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，當(dāng)以O(shè)、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)(2)或(3)或或或
【分析】（1）令，得到A的橫坐標(biāo)，令，得到C的縱坐標(biāo)，由可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，得，，解得：，得的坐標(biāo)為，代入中即可求得的值；（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，整理得到一元二次方程，求解即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，運(yùn)用交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)圖像可得，時(shí)，的圖象在的上方，即可求解；
（3）設(shè)，則，點(diǎn)，根據(jù)題意，得，解絕對(duì)值方程即可．
【詳解】（1）令，得到，解得，∴；令，得，∴；
∵，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，∴，，
解得：，∴的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在上，∴；
（2）由（1）知，，則，整理，得，解得，，
當(dāng)時(shí)，，∴；根據(jù)圖像可得，時(shí)，的圖象在的上方，
∴x的取值范圍是或；
（3）設(shè)，則，點(diǎn)，，∵軸，∴，
要使得O，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則，∴，
當(dāng)時(shí)，整理，得，解得，
當(dāng)時(shí)，整理，得，解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，不等式的解集，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活運(yùn)用平行四邊形的判定，準(zhǔn)確求解一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵．
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專題6-5 反比例函數(shù)與特殊三角形、四邊形及新定義圖形綜合模型
模塊1：模型簡(jiǎn)介
反比例函數(shù)與特殊三角形的、特殊四邊形、新定義圖形的綜合問題，浙江各類考試的熱點(diǎn)，常見于壓軸題中，其融合了特殊平行四邊形、特殊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等數(shù)學(xué)核心知識(shí)，考查學(xué)生的分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想、綜合分析和應(yīng)用知識(shí)的能力。
模塊2：核心模型點(diǎn)與典例
反比例函數(shù)與特殊三角形的、特殊四邊形的綜合、新定義圖形解題步驟為：先設(shè)出幾何圖形中的未知數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的圖像用含未知數(shù)的式子表示出幾何圖形與圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)解析式及幾何圖形的性質(zhì)寫出含未知數(shù)及待求字母系數(shù)的當(dāng)成（組），解方程（組）即可得所求幾何圖形的未知量或函數(shù)解析式中待定字母的值。
特殊幾何圖形的存在性問題解題思想：（1）找點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四邊形等問題；（2）找點(diǎn)構(gòu)成三角形全等問題；（3）求點(diǎn)的坐標(biāo)。
雖然部分特殊幾何的存在性問題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無單一模式，對(duì)學(xué)生提出了相當(dāng)大的挑戰(zhàn)。然而萬變不離其宗，從特殊三角形、四邊形本身的性質(zhì)入手，結(jié)合邊、角的相互轉(zhuǎn)化，就能撥開迷霧、追尋真跡。
模型1.反比例函數(shù)與特殊三角形的綜合問題
例1．（2023年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第四象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式：(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出x的取值范圍；(3)在雙曲線上是否存在點(diǎn)P，使是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

變式1．（2023·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．(2)求反比例函數(shù)的解析式．(3)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，若是直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

例2．（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一次函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)在軸上，是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

變式1．（2023·廣東潮州·一模）已知反比例函數(shù)（為常數(shù)，）．
(1)其圖象與正比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，的值；
(2)若在其圖象的每一支上，隨的增大而減小，求的取值范圍；
(3)若其圖象的一支位于第二象限，在這一支上任取兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，試比較與的大小．(4)在第（1）小題的條件下，在軸上求點(diǎn)，使是等腰三角形．
例3．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，函數(shù)的圖象過點(diǎn)和兩點(diǎn)．
(1)求和的值；(2)點(diǎn)是雙曲線上介于點(diǎn)和點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，第二象限內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得是以為腰的等腰直角三角形 若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

變式1．（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的斜邊在x軸上，直線經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點(diǎn)A，連接．
【基礎(chǔ)應(yīng)用】（1）求k的值；（2）求直線的函數(shù)表達(dá)式；
【拓展應(yīng)用】（3）若點(diǎn)P為x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A的右側(cè)的的圖象上是否存在一點(diǎn)M，使得是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

例4．（23-24八年級(jí)·上海青浦·期中）已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖形上的動(dòng)點(diǎn)，軸，軸，分別交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是直線上的一點(diǎn)．
(1)請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示P、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)．(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，連接，的面積是否變化，若不變，請(qǐng)求出的面積，若改變，請(qǐng)說明理由．(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以為直角邊的和全等，如果存在，請(qǐng)求出m的值．

模型2.反比例函數(shù)與特殊四邊形的綜合問題
例1．（2023年四川省瀘州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與，軸分別相交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C，已知，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．(1)求，的值；(2)平行于軸的動(dòng)直線與和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)D，E，若以B，D，E，O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
變式1．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)Q．(1)求a、k的值；(2)直線過點(diǎn)P，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，，連接．①求的面積；②點(diǎn)M在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)N在x軸上，若以點(diǎn)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M坐標(biāo)．
例2．（23-24九年級(jí)·山西晉中·期末）綜合與探究:如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)線段與之和最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)作直線軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面直角系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
變式1．（2024·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別交于A、C兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為．其中．
(1)四邊形是____．(填寫四邊形的形狀)；(2)當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形是矩形，求的值．(3)試探究：隨著k與m的變化，四邊形能不能成為菱形？若能，請(qǐng)直接寫出k的值；若不能，請(qǐng)說明理由．
例3．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：某數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃設(shè)計(jì)一款美麗的“魚形”圖案．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上．以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為邊構(gòu)造菱形；軸于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，連接；以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧．
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求出圖案中陰影部分的面積；(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，在反比例函數(shù)的圖象上找一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
變式1．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)的圖像與正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)、點(diǎn)，與正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)、點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為，()．
(1)如圖1，若點(diǎn)坐標(biāo)為．①求，的值；②若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接，求的面積．(2)如圖2，依次連接，，，，若四邊形為矩形，求的值．

例4．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)①直接寫出當(dāng)時(shí)，的取值范圍；②連接和，求的面積；(3)點(diǎn)為線段（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交反比例函數(shù)于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)，，，四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為正方形時(shí)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

變式1．（2023·湖南婁底·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形為正方形．點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)A．
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)寫出的解集；(3)點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若的面積恰好等于正方形的面積，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

模型3.反比例函數(shù)與新定義幾何圖形綜合問題
例1．（2023·四川成都·一模）已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)C的直線交x軸于點(diǎn)E，且與反比例函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，求CE的長(zhǎng)；(3)我們把一組鄰邊垂直且相等，一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形叫做“維納斯四邊形”．設(shè)點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是第一象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是“維納斯四邊形”時(shí)，求Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．
變式1．（22-23八年級(jí)下·江蘇淮安·期末）定義：有一組對(duì)邊平行，有一個(gè)內(nèi)角是它對(duì)角的兩倍的凸四邊形叫做倍角梯形． 如圖1，直線，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)、在直線上，若， 則四邊形是倍角梯形．(1)如圖2，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，，，．若四邊形是倍角梯形，則的長(zhǎng)是___________；(2)如圖3，以的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊所在直線為軸，對(duì)角線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，滿足．求證：四邊形是倍角梯形；(3)在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，將四邊形向左平移個(gè)單位后，恰有兩個(gè)頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖像上，直接寫出的值．

例2．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，點(diǎn)P是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A．把直線l上方的反比例函數(shù)圖象沿著直線l翻折，其它部分保持不變，所形成的新圖象稱為“的l鏡像”．(1)當(dāng)時(shí)；①點(diǎn)________“的l鏡像”；（填“在”或“不在”）②“的l鏡像”與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是_________；(2)過y軸上的點(diǎn)作y軸垂線，與“的l鏡像”交于點(diǎn)B、C，若，求的長(zhǎng)．

模塊3：同步培優(yōu)題庫(kù)
全卷共18題 測(cè)試時(shí)間：90分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)分別在函數(shù)和的圖象上，若軸，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，則的值為（ ）

A．26 B．28 C．30 D．32
2．（23-24九年級(jí)·廣東·期末）如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是OA邊的中點(diǎn)，連接CD，將△OCD沿著CD折疊得到△ECD，CE與OB交于點(diǎn)F．若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)F，則m的值為（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在第二象限，其余頂點(diǎn)都在第一象限，AB∥X軸，AO⊥AD，AO=AD．過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，DE=4CE．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，與邊AB交于點(diǎn)F，連接OE，OF，EF．若，則k的值為（ ）
A． B． C．7 D．
4．（2023年黑龍江龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是等腰三角形，過原點(diǎn)，底邊軸，雙曲線過兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交雙曲線于點(diǎn)，若，則的值是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·重慶中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D是平行四邊形OABC內(nèi)一點(diǎn)，AD與軸平行，BD與軸平行，，，．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，則的值是（ ）
A． B． C．-12 D．-24
6．（2023年湖南省張家界市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)D在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D及矩形的對(duì)稱中心M，連接．若的面積為3，則k的值為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
7．（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖，矩形的邊，，動(dòng)點(diǎn)在邊上（不與、重合），過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)，直線分別與軸和軸相交于點(diǎn)和．給出下列命題：若，則的面積為；若，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上；滿足題設(shè)的的取值范圍是；若，則；其中正確的命題個(gè)數(shù)是（　　）
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
二、填空題（本大題共3小題，每小題4分，共12分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）
8．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（為大于0的常數(shù)，）圖象上的兩點(diǎn)，滿足．的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是 ．
9．（2023.江蘇中考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，將一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)稱為它的“互換點(diǎn)”，點(diǎn)M和A為函數(shù)的圖象第一象限上的一組互換點(diǎn)（M點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)）．直線AM分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，連接AO交雙曲線另一支于點(diǎn)B，連接BM分別交x軸、y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)．則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
①；②；③若，則；④若，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則
10．（2023.山東中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)、為反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、為反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，若四邊形為菱形，則該菱形邊長(zhǎng)的最小值為___________．
三、解答題（本大題共8小題，共80分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
11．（22-23八年級(jí)下·江蘇·期末）定義：平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，恰好落在函數(shù)圖象W上，則稱點(diǎn)M是點(diǎn)N關(guān)于函數(shù)圖象W的“直旋點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是原點(diǎn)O關(guān)于函數(shù)圖象的一個(gè)“直旋點(diǎn)”．(1)在①，②，③三點(diǎn)中，是原點(diǎn)O關(guān)于一次函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”的有 _ （填序號(hào)）；(2)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于反比例函數(shù)圖象的“直旋點(diǎn)”，求k的值；
(3)如圖1，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)B是在反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)A右側(cè)的一點(diǎn)，若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)的“直旋點(diǎn)”，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

12．（2023·山東泰安·二模）如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于、兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)為第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，連接，如果的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)在軸上，反比例函數(shù)圖像上是否存在一點(diǎn)，使是以為直角邊的等腰直角三角形，如果存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

13．（2023·山東濟(jì)南·三模）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)和軸之間移動(dòng)，是軸上一點(diǎn)，連接．

(1)求直線的表達(dá)式；(2)過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)．①求出面積的最大值；
②是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
14．（23-24九年級(jí)上·山東菏澤·期末）如圖，的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，已知點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求證：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；(3)點(diǎn)分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

15．（23-24九年級(jí)上·山東泰安·期中）綜合與探究：如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，B兩點(diǎn)，分別連接．(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及的面積；(3)在坐標(biāo)軸y軸上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)B，A，P為頂點(diǎn)的三角形是以為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
16．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，并與反比例函數(shù)交于點(diǎn)．(1)求直線和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M為反比例函數(shù)圖象第二象限上一點(diǎn)，記點(diǎn)M到直線的距離為d，當(dāng)d最小時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，Q為線段AC（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作軸交反比例函數(shù)于點(diǎn)P，點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)D，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

17．如圖，已知一次函數(shù)圖象y=x+b與y軸交于點(diǎn)C（0，1），與反比例函數(shù)圖象y=交于點(diǎn)A（a，2）和點(diǎn)B兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和△AOB的面積；
(3)若點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)．
18．（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)的圖象交于B，D兩點(diǎn)，且．(1)求的值；(2)請(qǐng)直接寫出不等式的解集；(3)若P是x軸上一點(diǎn)，軸交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)N，當(dāng)以O(shè)、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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