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專題6-6 反比例函數中的最值、定值、定點模型
模塊1：模型簡介
反比例函數與最值、定值、定點問題是近年來浙江各類考試的新增熱點。考查了學生的分類討論、數形結合、轉化化歸等數學思想、綜合分析和應用知識的能力。在考查意圖上，突出對數學思想方法和能力，特別是對思維能力、探究能力、創新能力，綜合運用知識能力的考查。本專題就反比例函數中的各類定值、最值、定點問題作專題講解，引導學生完成知識的深度學習，才能真正提升學生的解題效率。
模塊2：核心模型點與典例
模型1.反比例函數的最值問題
反比例函數中的最值主要分兩類：（1）面積類最值：常將幾何圖形的面積轉化為代數式，利用配方法求出代數式的最值即可，也可運用切線法或均值不等式求解最值（見例1的變式1和變式2）；（2）長度的和差類最值：由于受教學內容限制本學期暫時只考慮將軍飲馬（遛馬、造橋）模型解答。
將軍飲馬模型：主要利用軸對稱變換化歸到兩點之間，線段最短；或垂線段最短等。
將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長度方向平移即可，即可以跨越長度轉化為標準的將軍飲馬模型，再依據同側做對稱點變異側，異側直接連線即可。利用數學的轉化思想，將復雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造橋）再也不是問題！
例1.（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，一次函數的圖像與軸相交于點，與反比例函數圖像相交于點．(1)求反比例函數的表達式；(2)點在點的左側，過點作軸平行線，交反比例函數的圖像于點，連接．設點的橫坐標為，求當為何值時，的面積最大，這個最大值是多少？
【答案】(1)(2)當時，最大值
【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題．（1）根據待定系數法求出反比例函數解析式即可；（2）根據三角形面積公式列出關于a的代數式，利用二次函數的最值求法求出最大面積即可．
【詳解】（1）解：∵點在一次函數的圖象上，∴，解得，∴，
∵點在反比例函數圖象上，∴，∴反比例函數解析式為：；
（2）解：∵點C在一次函數的圖象上，且點C的橫坐標為a，
∴點C的縱坐標為，∴，∴，
∴，
∵，∴有最大值，當時，最大值．
變式1．（23-24九年級下·廣東汕頭·期中）如圖平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，B兩點．(1)求反比例函數的表達式及點B的坐標；(2)點P是y軸上一點，若，求點P的坐標；(3)點C是第三象限內的反比例函數圖象上一點，當的面積最小時，求的長度．
【答案】(1)，(2)或(3)
【分析】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，反比例函數與幾何的綜合應用：
（1）將點代入一次函數的解析式，求出的值，再代入反比例函數的解析式，求出反比例函數的解析式，再聯立兩個函數解析式，求出點坐標即可；（2）設，根據，列出方程進行求解即可；（3）依題意，設經過點C且平行于直線的直線的表達式為．當直線與反比例函數只有一個交點時，點C到直線的距離最短，此時的面積最小．求出，得出，進而求出的長即可．
【詳解】（1）解：∵一次函數的圖象過點，∴，∴．
將代入， 得∴反比例函數的表達式為
聯立，解得或，∴；
（2）設，∵，，∴，，
∵，∴，∴，解得：或，∴點坐標為或；
（3）解：如圖，設經過點C且平行于直線的直線的表達式為．
當直線與反比例函數只有一個交點時，點C到直線的距離最短，此時的面積最小．
聯立 整理得令解得．
∵直線經過第二、三、四象限，∴，即．
聯立， 解得 ∴，∴．
變式2．（22-23八年級下·江蘇揚州·期末）【閱讀理解】對于任意正實數a、b，（只有當時，）．
【獲得結論】在（a、b均為正實數）中，若為定值p，則，只有當時，有最小值．
【探索應用】根據上述內容，回答下列問題：(1)若，只有當_______時，有最小值_______．
(2)已知點是雙曲線上點，過作軸于點，作軸于點．點為雙曲線上任意一點，連接，，求四邊形的面積的最小值．

【答案】(1)2，4(2)40
【分析】（1）根據閱材料可得，當時，取得最大值，據此即可求解；（2）連接，設，根據四邊形的面積的面積的面積，從而利用表示出四邊形的面積，利用閱讀材料中介紹的不等式的性質即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意得當時，，此時．故答案為：2，4；
（2）解：連接，∵點是雙曲線上的點，
∴，即，設，
．
四邊形的面積最小值為40．

【點睛】本題考查了反比例函數的性質以及不等式的性質，正確讀懂已知中的不等式的性質，表示出四邊形的面積是關鍵．
例2．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數的表達式和直線所對應的一次函數的表達式；
(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，(2)在x軸上存在一點，使周長的值最小,最小值是．
【分析】（1）過點A作軸于點E，過點B作軸于點D，證明，則，由得到點A的坐標是，由A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上得到，解得，得到點A的坐標是，點B的坐標是，進一步用待定系數法即可得到答案；（2）延長至點，使得，連接交x軸于點P，連接，利用軸對稱的性質得到，，則，由知是定值，此時的周長為最小，利用待定系數法求出直線的解析式，求出點P的坐標，再求出周長最小值即可．
【詳解】（1）解：過點A作軸于點E，過點B作軸于點D，則，
∵點，，∴，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，

∴，∴，
∴，∴點A的坐標是，
∵A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．∴，解得，
∴點A的坐標是，點B的坐標是，∴，∴反比例函數的解析式是，
設直線所對應的一次函數的表達式為，把點A和點B的坐標代入得，
，解得,∴直線所對應的一次函數的表達式為，
（2）延長至點，使得，連接交x軸于點P，連接，
∴點A與點關于x軸對稱，∴，，
∵，∴的最小值是的長度，
∵，即是定值，∴此時的周長為最小，設直線的解析式是，則，解得，∴直線的解析式是，
當時，，解得，即點P的坐標是，
此時，
綜上可知，在x軸上存在一點，使周長的值最小，最小值是．
【點睛】此題考查了反比例函數和一次函數的圖象和性質、用到了待定系數法求函數解析式、勾股定理求兩點間距離、軸對稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質等知識，數形結合和準確計算是解題的關鍵．
變式1．（22-23九年級上·遼寧沈陽·期末）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點B的坐標為，點A在y軸正半軸上，將沿y軸向下平移得到，點B的對應點E恰好在反比例函數的圖象上．(1)求m的值；(2)求平移的距離；(3)點P是x軸上的一個動點，當的周長最小時，請直接寫出此時點P的坐標及的周長．
【答案】(1)；(2)5個單位長度；(3)，
【分析】（1）過點作軸，易得為等腰直角三角形，即可得解；（2）根據平移規則，點橫坐標為，設，根據點E在反比例函數的圖象上，求出的值，即可得解；（3）的周長，為定長，則當的值最小時，的周長最小，作點關于軸的對稱點，，當且僅當三點共線時，的值最小，連接，與軸的交點即為點，求出的解析式，進而求出點坐標，即可得解．
【詳解】（1）解：過點作軸于點，
∵是等腰直角三角形，∴，∴，
∴為等腰直角三角形，∴，∵點B的坐標為，∴，即：；
（2）解：將沿y軸向下平移得到，點B的對應點為E，∴點橫坐標為，設，
∵點E在反比例函數的圖象上，∴，
∴，∴；∴平移的距離為：；
（3）解：∵的周長，為定長，∴當的值最小時，的周長最小，作點關于軸的對稱點，，當且僅當三點共線時，的值最小，連接，與軸的交點即為點，如圖，
則：，根據平移規則，可得：，設直線的解析式為：，
則：，解得：，∴，
當時，，∴，∵，，，∴，
∴的周長．
【點睛】本題考查坐標與圖形，以及坐標系下的平移，軸對稱，同時考查了反比例函數圖象上的點的特征，以及一次函數與坐標軸的交點．本題的綜合性較強，熟練掌握相關知識點，利用數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．
例3．（2023·河南濮陽·三模）如圖，一次函數與反比例函數交于A、B兩點，交x軸于點C，已知點A的坐標為．(1)求反比例函數解析式；(2)直接寫出不等式的解集______．(3)在x軸是否存在點P，使得有最大值，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)反比例函數解析式為：y＝．(2)．
(3)在x軸上存在點P，使有最大值為此時P點坐標是．
【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合、三角形的三邊關系的應用等知識點，熟練掌握待定系數法和數形結合法是解題關鍵．（1）先求解A的坐標，再利用待定系數法求解反比例函數的解析式即可；（2）先求解函數的交點坐標，再結合圖象可得答案；
（3）先求解一次函數與x軸的交點坐標，再結合三角形的三邊關系確定P的位置即可．
【詳解】（1）解：∵點A的坐標為在一次函數上，∴，∴，
∵在反比例函數上，∴，∴反比例函數解析式為：．
（2）聯立一次函數和反比例函數得析式為：，解得或，∴，，
由圖示可知：不等式的解集是．
（3）∵直線的解析式是，令，則，則，
∴，∴當P點坐標是，有最大值理由如下：
在中，根據三邊關系，，
當P在點C處時，．即最大值為．
故在x軸上存在點P，使有最大值為此時P點坐標是．
變式1．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點，軸于點，為中點，點關于直線的對稱點為點．(1)點是否在這個反比例函數的圖象上？請說明理由；
(2)連接，若四邊形為正方形．①求的值；
②若點在軸上，當最大時，點的坐標為______．
【答案】(1)點在這個反比例函數的圖象上，理由見解析(2)①；②．
【分析】（1）設點的坐標為，根據軸對稱的性質得到，平分，如圖，連接交于，得到，求得，于是得到點在這個反比例函數的圖象上；
（2）①根據正方形的性質得到，垂直平分，求得，設點的坐標為，得到（負值舍去），求得，，把，代入得，解方程組即可得到結論；
②延長交軸于，根據已知條件得到點與點關于軸對稱，求得，則點即為符合條件的點，求得直線的解析式為，于是得到結論．
【詳解】（1）解：點在這個反比例函數的圖象上，
理由：一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，
設點的坐標為，點關于直線的對稱點為點，，平分，
如圖．連接交于，，∵為中點，軸于點，∴，
，，，軸于，∴軸，，
，點在這個反比例函數的圖象上；
（2）解：①四邊形為正方形，，垂直平分，，
設點的坐標為，，，，（負值舍去），，，
把，代入得，；
②延長交軸于，，，點與點關于軸對稱，
，則點即為符合條件的點，
由①知，，，，，設直線的解析式為，
，，直線的解析式為，
當時，，．故當最大時，點的坐標為．故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數的綜合題，正方形的性質，軸對稱的性質，待定系數法求一次函數的解析式，正確地作出輔助線是解題的關鍵．
模型2.反比例函數的定值問題
例1．（2024·山東濟南·二模）如圖①，已知點，，的邊與軸交于點，且為的中點，雙曲線經過、兩點．(1)求的值；(2)點在雙曲線上，點在軸上，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點的坐標；(3)以線段為對角線作正方形（如圖③，點是邊上一動點，是的中點，，交于，當點在上運動時，的值是否發生改變？若改變，求出其變化范圍：若不改變，請求出其值，并給出你的證明．
【答案】(1)(2)，，(3)結論：的值不發生改變，證明見解析
【分析】（1）設，由，可知，再根據反比例函數的性質求出的值即可；
（2）由（1）知可知反比例函數的解析式為，再由點在雙曲線上，點在軸上，設，，再分以為邊和以為對角線兩種情況求出的值，故可得出、的坐標；
（3）連、、，易證，故，，由此即可得出結論．
【詳解】（1）解：，，為中點，，
設，又，，，，；
（2）解：由（1）知，反比例函數的解析式為，
點在雙曲線上，點在軸上，設，，
①當為邊時：如圖1，若為平行四邊形，
則，解得，此時，；
如圖2，若為平行四邊形，則，解得，此時，；
②如圖3，當為對角線時，
，且；，解得，，；
故，；，；，；
（3）解：結論：的值不發生改變，理由：如圖4，連、、，
是線段的垂直平分線，，四邊形是正方形，，
在與中，，，
，，
四邊形中，，而，
所以，，所以，四邊形內角和為，
所以．，．
【點睛】此題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法求反比例函數的解析式、正方形的性質、等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等相關知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題.
變式1．（23-24九年級上·四川成都·期中）在平面直角坐標系中，已知反比例函數，點，都在該反比例函數圖象上．(1)求a的值及反比例函數的表達式；
(2)如圖1，一次函數的圖象與的圖象交于E，F兩點，點M的橫坐標與點E橫坐標相同且縱坐標是點E的2倍；點N的橫坐標與點F橫坐標相同且縱坐標是點F的2倍．連接，，判斷和的數量關系，并說明理由；(3)如圖2，點A是反比例函數的圖象上一動點，與的圖象交于點B，作軸交的圖象于點C，作交的圖象于點D，連接，，在點A運動過程中，的值是否發生變化 若不變，求出其值；若變化，說明理由．
【答案】(1)，(2)，理由見解析(3)的值不變化，且
【分析】（1）由點，都在該反比例函數圖象上得，可求得的值，再代入即可求得的值，即可求解；（2）令點、點的橫坐標分別為，，則縱坐標分別為，，由題意可知，，且，，為方程的兩個根，可得，可知，，可得，進而可得；（3）由題意設，進而可求得，的解析式為：，聯立與，可求得，則，由，可求得的解析式為：，聯立與，可求得，則，由，可知，進而可知，即可求解．
【詳解】（1）解：∵點，都在該反比例函數圖象上，
∴，，則，解得：（舍去），
則，∴，則反比例函數的表達式為：；
（2），理由如下：∵一次函數的圖象與的圖象交于E，F兩點，
令點、點的橫坐標分別為，，則縱坐標分別為，，由題意可知，
∵點、點為兩函數的交點，∴，，為方程的兩個根，
變形為：，∴，，
∵，，
則，
又∵，∴，
∴，即：；
（3）的值不變化，且由題意設，
對于，當時，，即：，
設的解析式為：，代入，可得，則，∴的解析式為：，
聯立與，可得：，可得：（負值舍去），
當時，，則，則，
∵，∴設的解析式為：，
將，代入可得，解得：，∴的解析式為：，
聯立與，可得：，可得：，解得：（負值舍去），
當時，，即：，
∴
，∵，∴，
則，
∴的值不變化，且．
【點睛】本題考查反比例函數的綜合，利用待定系數法求函數解析式，反比例函數圖象上點的特征，設出點的坐標，表示線段的長度，由，得是解決問題的關鍵．
例2．（2024·山東濟南·一模）【閱讀材料】：
解方程：時，先兩邊同乘以x，得，解之得，，經檢驗無增根，所以原方程的解為，．
【模仿練習】（1）解方程；
【拓展應用】（2）如圖1，等腰直角的直角頂點的坐標為，B，C兩點在反比例函數的圖象上，點的坐標是，且，求的值；
（3）如圖2在雙曲線有，兩點，如果，，那么是否為定值，若存在請求出，不存在請說明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）是定值，
【分析】本題考查閱讀理解，反比例函數圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定和性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．（1）根據閱讀材料，進行計算，即可；（2）過點作軸于點，過點作軸于點，則，根據是等腰直角三角形，則，；根據，，等量代換，全等三角形的判定和性質，則，，，最后根據反比例函數的圖象和性質，即可；（3）過點作軸的平行線交軸于點，作軸交直線于點，同理證明，得，；求得，根據點在函數圖象上，則∵，在反比例函數圖象上，，推出，解得，即可．
【詳解】（1）解：先兩邊同乘以，得，
解得：，，經檢驗無增根，∴原方程的解為，；
（2）過點作軸于點，過點作軸于點，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，；
∵，，∴，∴，
∵點坐標是，∴，，
∵，∴，，∴，
∵點在反比例函數圖像上，∴，由（1）可知，，∵，∴．
（3）是定值，理由如下：過點作軸的平行線交軸于點，作軸交直線于點，
∴∵∴
∵∴∵∴
∵，，∴，，∴，，∴，
∵，在反比例函數圖象上，∴，
∴，解得，∴．
變式1．（23-24九年級上·遼寧阜新·期末）定義：如圖1，在平面直角坐標系中，點P是平面內任意一點（坐標軸上的點除外），過點P分別作x軸、y軸的垂線，若由點P、原點O、兩個垂足A、B為頂點的矩形的周長與面積的數值相等時，則稱點P是平面直角坐標系中的“美好點”．
(1)[嘗試初探]點______“美好點”（填“是”或“不是”）；
(2)[深入探究]①若“美好點”在雙曲線上，則______；
②在①的條件下，在雙曲線，畫出，求的值；
(3)[拓展延伸]我們可以從函數的角度研究“美好點”，已知點是第一象限內的“美好點”．
①求y關于x的函數表達式；②對于圖象上任意一點，代數式是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
【答案】(1)不是(2)①18；②畫圖見解析，
(3)①；②對于圖象上任意一點，代數式是為定值，定值為
【分析】本題考查反比例函數與幾何綜合，三角形的面積公式，待定系數法求反比例函數與一次函數的解析式，審清題意并理解“美好點”的含義是解題的關鍵．
（1）驗證矩形的周長與面積的數值是否相等，即驗證橫縱坐標的絕對值之和是否等于橫縱坐標的絕對值的乘積；（2）①根點E是“美好點”，求出m，再將點E代入雙曲線方程就可求出k；②根據“在雙曲線上”求出n，再用待定系數法求出直線的方程，從而求出它與x軸的交點，最后利用求即可；（3）①根據點是第一象限內的“美好點”，利用“美好點”的定義即可求出y關于x的函數表達式；②將①中的關系式代入得出定值，從而得解．
【詳解】（1）解：∵，∴點不是“美好點”，故答案為：不是；
（2）解：①∵是“美好點”，∴，解得：，∴，
將代入雙曲線中，得，故答案為：18；
②∵，∴雙曲線的解析式是：．∵在雙曲線上，∴，∴，
設直線的解析式為：，
∴，解得，∴直線的解析式為：，
令直線與軸交于點，當時，，解得：，∴，
畫出圖如圖所示：

∴；
（3）解：①∵點是第一象限內的“美好點”，∴，化簡得：，
∵第一象限內的點的橫坐標為正，∴，解得：，
∴y關于x的函數表達式為：；
②∵，∴，
∴對于圖象上任意一點，代數式是為定值，定值為．
15．（2023·四川巴中·模擬預測）如圖，點和點是反比例函數圖象上的兩點，點在反比例函數的圖象上，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為點，，連接交軸于點，．(1)求的值；(2)若點的橫坐標為，連接，，求四邊形的面積；(3)設點的橫坐標為，點的縱坐標為，求證：．
【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析．
【分析】（）將點的坐標代入反比例函數解析式中即可得出答案；（）過作軸于點，過作軸于點，連接，則有，， ，，最后由四邊形的面積為，即可求解；（）首先表示出，的坐標，再利用證明，得，通過面積的求法即可求證；本題主要考查反比例函數的性質，全等三角形的判定和性質，三角形面積等知識，熟練掌握反比例函數圖象上點的特征是解題的關鍵．
【詳解】（1）∵點是反比例函數圖象上的點，∴，解得；
（2）如圖，過作軸于點，過作軸于點，連接，
由（）得：，∴反比例函數解析式為，
∵點的橫坐標為，且在反比例函數圖象上，∴，
∴，，同理，，∴，
∴四邊形的面積為，，；
（3）在和中，，∴，∴，
∵點坐標為，則可得，∴，，
即，整理得．
模型3.反比例函數的定點問題
例1．（2023年浙江省杭州市中考數學真題）在直角坐標系中，已知，設函數與函數的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是2，點的縱坐標是．
(1)求的值．(2)過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第二象限交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第四象限交于點．求證：直線經過原點．

【答案】(1)，(2)見解析
【分析】（1）首先將點的橫坐標代入求出點A的坐標，然后代入求出，然后將點的縱坐標代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根據題意畫出圖形，然后求出點C和點D的坐標，然后利用待定系數法求出所在直線的表達式，進而求解即可．
【詳解】（1）∵點的橫坐標是2，∴將代入
∴，∴將代入得，，∴，
∵點的縱坐標是，∴將代入得，，∴，
∴將代入得，，∴解得，∴；
（2）如圖所示，

由題意可得，，，∴設所在直線的表達式為，
∴，解得，∴，∴當時，，∴直線經過原點．
【點睛】此題考查了反比例函數和一次函數綜合，待定系數法求函數表達式等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
變式1．（22-23八年級·江蘇泰州·期中）[定義]平面直角坐標系內的矩形若滿足以下兩個條件：①各邊平行于坐標軸；②有兩個頂點在同一反比例函數圖象上，我們把這個矩形稱為該反比例函數的“伴隨矩形”．
例如，圖1中，矩形的邊軸，軸，且頂點在反比例函數的圖象上，則矩形是反比例函數的“伴隨矩形”．

(1)已知，矩形中，點的坐標分別為：①②；③，其中可能是某反比例函數的“伴隨矩形”的是 ；（填序號）
(2)如圖1，已知點）是反比例函數的“伴隨矩形”的頂點，求直線的函數解析式；
(3)若反比例函數的“伴隨矩形”如圖2所示，試說明有一條對角線所在的直線一定經過原點．
【答案】(1)①③(2)(3)見解析
【分析】（1）根據反比例函數圖像上點的坐標的特征可得答案；（2）根據矩形的性質和反比例函數圖像上點的坐標的特征可得，，從而得出點D的坐標，再利用待定系數法可得直線BD的解析式；
（3）設，，則，，利用待定系數法求出直線的解析式可得答案．
【詳解】（1）解：①∵，∴，∴滿足同一個反比例函數，
②∵，∴，∴不滿足同一個反比例函數，
③∵，∴，∴滿足同一個反比例函數，
∴可能是某反比例函數的“伴隨矩形”的是①③，故答案為：①③；
（2）∵的反比例函數的“伴隨矩形”的頂點，
∴，∴，設直線的解析式為，
則，∴，∴；
（3）證明：∵在反比例函數上，設，，則，，
設直線的解析式為，
則，∴，即，∴直線過原點．
【點睛】本題是反比例函數綜合題，主要考查了反比例函數圖像上點的坐標的特征，矩形的性質，待定系數法求函數解析式等知識，理解“伴隨矩形”滿足的兩個條件是解題的關鍵．
模塊3：同步培優題庫
全卷共15題 測試時間：90分鐘 試卷滿分：120分
一、解答題（本大題共15小題，共120分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
1．（22-23八年級下·江蘇徐州·期末）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于點A，與x軸交于點B，與y軸交于點C，軸于點D，點C關于直線的對稱點為點E，且點E在反比例函數的圖像上．(1)求b的值；(2)連接、、，求證四邊形為正方形；
(3)若點P在y軸上，當最小時，求點P的坐標．

【答案】(1)(2)證明見解析(3)
【分析】（1）設，，根據點C、點E關于對稱，得出，將點A和但E的坐標代入得出，即可求解；（2）根據兩點之間的距離公式，得出，再根據勾股定理逆定理，得出，即可求證；（3）先求出點，則點B、點D關于y軸對稱．連接，交y軸于點P，設直線的表達式為，將點、求出k和c的值，得出的表達式，即可求出點P的坐標．
【詳解】（1）解：∵點A、點C在一次函數的圖像上，∴設，．
∵點C、點E關于對稱，∴．∵點A、點E在反比例函數的圖像上，
∴，即，把②代入①得：，∵，∴，∴．
（2）解：由（1）得：∴、、、．
∴，，，，，∴，即四邊形為菱形；
∵，∴為直角三角形，則，∴四邊形為正方形．
（3）解：把代入得：，解得：，∴點，
∵，∴點B、點D關于y軸對稱．連接，交y軸于點P，

設直線的表達式為，將點、代入得，
，解得：，∴直線的表達式為．點P為直線與y軸交點，∴．
【點睛】本題考查了反比例函數和一次函數的綜合問題，涉及到正方形的性質、勾股定理逆定理，軸對稱的性質等，熟練掌握用待定系數法求解函數表達式，靈活運用所學知識是解題關鍵．
2．（2023·河南周口·三模）如圖，已知矩形的兩邊，分別在軸、y軸上，點的坐標為，反比例函數的圖象與矩形的邊，分別交于點，，，直線經過，兩點．(1)分別求出直線l和反比例函數的表達式；(2)在第一象限內，請直接寫出關于x的不等式 的解集；(3)連接AC，求證：．

【答案】(1)直線l的表達式為；反比例函數的表達式為；
(2)或(3)見解析
【分析】（1）根據矩形的性質，可得，，的橫坐標為,設，則，則，根據已知條件得出，則求得的坐標，待定系數法求解析式即可求解；（2）根據的橫坐標，結合圖象即可求解；（3）求得直線的解析式，根據一次函數比例系數值相等，即可得證．
【詳解】（1）解：∵已知矩形的兩邊，分別在軸、軸上，點的坐標為，
∴，，的橫坐標為,設，則，則
∵，∴，解得：∴
∵在上，∴，即反比例函數的表達式為；∴
直線的解析式為
∴解得：∴直線的解析式為，
（2）解：令，則，解得，∴直線與x軸交點的坐標為，
∴根據函數圖象可知在第一象限內，關于的不等式的解集為或；
（3）解：∵設直線的解析式為
∴解得：∴直線的解析式為，
∵直線的解析式為∴．
【點睛】本題考查了反比例函數與幾何圖形結合，矩形的性質，待定系數法求一次函數性質，反比例函數與一次函數交點問題，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
3．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，雙曲線與直線相交于點，兩點． (1)求雙曲線的函數表達式；(2)在雙曲線上是否存在一點，使得的面積為6？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由；(3)點是軸正半軸上的一點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，直線與軸交于點，求證：．
【答案】(1)(2)存在，點的坐標為或或或(3)證明見解析
【分析】本題考查了反比例函數的綜合題，待定系數法求函數解析式，三角形的面積公式，解方程組，正確的求出函數的解析式是解題的關鍵．（1）根據直線經過點，兩點，求出，，根據曲線經過點，求得雙曲線的函數表達式為．（2）過點作軸，交于點，設點的坐標為，則，根據得出，求出的值即可；（3）設，求得直線的函數表達式為，待定系數法得到直線的函數表達式為：，解方程得到，，設直線的函數表達式為：，得到直線的函數表達式為：，求得，，即可解答．
【詳解】（1）解：直線相交于點，兩點，，，，，
雙曲線經過點，，雙曲線的函數表達式為；
（2）解：存在，理由：如圖，過點作軸，交于點，
，
設點的坐標為，則，，，
的面積為6，，解得：或或或，
當時，，此時，當時，，此時，
當時，，此時，當時，，此時，
綜上所述：點的坐標為或或或；
（3）證明：如圖，設，，∴直線的函數表達式為，
∵，直線的函數表達式為：，
聯立和，得和，
，，設直線的函數表達式為：，
，，直線的函數表達式為：，
令，則，，，，，．
4．（2024·廣東珠海·一模）如圖1，已知點，且a、b滿足， 的邊與y軸交于點E， 且E為的中點，雙曲線經過C、D兩點．
(1) ， ；(2)求反比例函數解析式；(3)以線段為對角線作正方形（如圖2），點T是邊上一動點，M是的中點，，交于N，當點T在上運動時，的值是否發生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．
【答案】(1)(2)(3)，不發生改變，理由見解析
【分析】（1）根據非負數的性質求出a、b的值即可；（2）設，由，可知，再根據反比例函數的性質求出t的值即可；（3）連接、、，易證，故，推出，根據斜邊上的中線得到，由此即可得出結論．
【詳解】（1）解：，，解得：，故答案為：；
（2）由（1）可知：，，E為中點，，設，∵∴，
∵點先向右移動1個單位，再向下移動2個單位，得到點，
∴點先向右移動1個單位，再向下移動2個單位，得到點，，
∵雙曲線經過C、D兩點，，，∴，∴；
（3）的值不發生改變，理由：如圖，連接、、，
∵M是的中點，，∴是線段的垂直平分線，，
四邊形是正方形，，
在與中，，（），
，，，
四邊形中，，而，所以，，
因為，四邊形內角和為，所以，
， ∴，即的值不發生改變．
【點睛】本題考查了非負數的性質，待定系數法求反比例函數解析式，平行四邊形的性質，正方形的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的性質和判定，四邊形的內角和，直角三角形的性質等知識點，有一定的難度，解決本題的關鍵是熟練掌握相關知識點并能靈活運用．
5．（2023·貴州銅仁·模擬預測）如圖，矩形的兩邊、分別在坐標軸上，且，，連接．反比例函數的圖象經過線段的中點，并與、分別交于點、．
(1)求反比例函數的表達式和、兩點的坐標；(2)點是軸上一動點，當的值最小時，求點的坐標為________．
【答案】(1)反比例函數表達式為，點和點的坐標為，(2)
【分析】（1）由矩形的性質及中點坐標公式可得，從而可得反比例函數表達式；再求出點、坐標；（2）作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時最小．求出直線的解析式后令，即可得到點坐標．
【詳解】（1）解：四邊形為矩形，∴，，，
．∴由中點坐標公式可得點坐標為，
反比例函數的圖象經過線段的中點，，
∴反比例函數表達式為．在中，令，則；令，則．
∴點和點的坐標為，．
（2）解：作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時最小．如圖．
由坐標可得對稱點，
設直線的解析式為，代入點、坐標，
得：，解得：．∴直線的解析式為，
在中，令，則．點坐標為．
【點睛】本題考查了反比例函數的圖象性質，反比例函數圖象與一次函數圖象的交點，中點坐標公式，矩形的性質，待定系數法求函數解析式，最短路徑問題（將軍飲馬）．解題關鍵在于牢固掌握待定系數法求函數解析式、將軍飲馬解題模型．
6．（2022·四川成都·統考二模）已知平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于點和點，與軸交于點，與軸交于點．(1)求反比例函數的表達式和直線的表達式；
(2)若在軸上有一異于原點的點，使為等腰三角形，求點的坐標；(3)若將線段沿直線進行對折得到線段，且點始終在直線上，當線段與軸有交點時，求的取值的最大值．
【答案】(1)反比例函數的表達式為，直線的解析式為(2)為等腰三角形時，點的坐標為或(3)當線段與軸有交點時，的取值的最大值為
【分析】（1）運用待定系數法即可求得答案；（2）設，表示出，，，根據為等腰三角形，則或或，分別建立方程求解即可得出答案；（3）由于點A關于直線的對稱點點始終在直線上，因此直線必與直線垂直，當點落到x軸上時，n的取值的最大，根據，求出點的坐標，再將的中點坐標代入，即可求得n的最大值．
【詳解】（1）反比例函數的圖象經過點和點，
，，，反比例函數的表達式為，設直線的解析式為，
，，，解得：，直線的解析式為；
（2）設，則，
，，
為等腰三角形，或或，
當時，，，解得：，；
當時，，，，此方程無解；
當時，，，解得：，，或（舍去）；
綜上所述，為等腰三角形時，點的坐標為或；
（3）當點落到軸上時，的取值的最大，如圖，
設直線的解析式為，點的坐標為，，即．直線的解析式為
點始終在直線上，直線與直線垂直．．．，
由于，因此直線可設為．
點的坐標為，，即．直線解析式為．
當時，則有．點的坐標為．
的中點坐標為即，點在直線上，
．解得：．故當線段與軸有交點時，的取值的最大值為．
【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、用待定系數法求一次函數的解析式、等腰三角形的性質、軸對稱的性質、中點坐標公式等知識，分類討論思想是本題解題的關鍵．
7．（23-24九年級上·四川成都·期中）如圖，平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于，B兩點，與y軸相交于點C．
(1)求n，k的值；(2)連接，在位于直線下方的雙曲線上找一點D，使得的面積為的面積的3倍，求點D的坐標；(3)點E是y軸上使得的值最大的點，點P在線段上運動，過點P的直線與雙曲線相交于M，N兩點，其中M為線段的中點，求a的取值范圍．
【答案】(1)2，2(2)D的坐標為)或(3)
【分析】（1）利用待定系數法即可求得答案；（2）過點D作軸，交直線于E，設，則，根據，建立方程求解即可得出答案；（3）作點A關于y軸的對稱點，連接，延長交y軸于點E，此時的值最大，可得直線的解析式為，，設，則，可得，求得，，再利用不等式性質即可求得答案．
【詳解】（1）解：把代入，得，
∵雙曲線經過點，∴；
（2）如圖1，過點D作軸，交直線于E，

設，則，∴，∵，∴，
解得：，∴點D的坐標為)或；
（3）聯立方程組得，解得：，，∴，
如圖2中，作點A關于y軸的對稱點，連接，延長交y軸于點E，此時的值最大．
∵，，∴直線的解析式為，∴，
∵點P在線段上運動，過點P的直線與雙曲線相交于M，N兩點，且M為線段的中點，
∴，且，設，則，
∴，解得：，，∵，∴，∴
【點睛】本題是反比例函數綜合題，主要考查待定系數法求函數解析式，反比例函數的圖象和性質，三角形面積，解方程組，不等式性質等．注意點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式．
8．（22-23八年級下·江蘇宿遷·期末）《見微知著》談到：從一個簡單的經典問題出發，從特殊到一搬，由簡單到復雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發展的重要途徑，是思想閥門發現新問題，新結論的重要方法．在數學學習和研究中，我們經常會用到類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關思想，解答下列問題：

如圖1，在平面直角坐標系中，正方形的頂點在軸負半軸，頂點在軸正半軸，，分別在的中點，反比例函數的圖象經過，兩點，連接，，四邊形的面積為．
(1)__________________．直線的表達式為__________________
(2)如圖2，為該反比例函數圖象上任意一點，過點作軸交直線于點，請猜想與的數量關系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，延長交反比例函數的圖象于點，過點作直線于，過點作直線于，試判斷的值是否為定值，若是，請直接寫出定值；若不是．請說明理由．
【答案】(1) (2)，理由見解析．(3)
【分析】（1）設正方形的邊長為，根據可求得的數值，采用待定系數法，即可求得答案．（2）過點作，交（或的延長線）于點，可先用含，的代數式表示出，然后根據勾股定理計算出，即可求得與的數量關系．（3）過點作軸交直線于點，則，可證得為等腰直角三角形，求得，同理可求得．
【詳解】（1）設正方形的邊長為．根據題意，得：．
解得：，(舍去)．所以，點的坐標為．
因為反比例函數的圖象經過點，所以．解得：．
根據題意可知，點的坐標為，點的坐標為．設直線的表達式為．
因為的圖象過點，，所以解得
所以直線的表達式為．故答案為： ，；
（2），理由如下：如圖所示，過點作，交（或的延長線）于點．

因為反比例函數的圖象經過點，所以．∴．
根據題意可知，點的縱坐標為．將代入直線的表達式，得
．解得．所以，點的坐標為．所以，．
所以，．
根據題意可知，．所以，．
所以，．所以，．
（3），理由如下：如圖所示，過點作軸交直線于點．
根據（2）的證明過程可知．
∵軸，∴．∴為等腰直角三角形．
∴．∴．∴．
同理可得．∴．
【點睛】本題主要考查正方形的性質、反比例函數、一次函數、勾股定理、平面直角坐標系等，能根據題意構建輔助線是解題的關鍵．
9．（22-23八年級下·江蘇連云港·期末）【提出定義】已知y是x的函數，當時，函數值；當時，函數值，若（i為正整數），則稱為該函數的i倍區間．如，函數中，當時，，當時，，，所以是函數的3倍區間．
【理解內化】（1）若是函數的i倍區間，則　 　；
（2）已知是函數（k≠0）的i倍區間（i為正整數），點、是函數（k≠0）圖象上的兩點．①試說明：；②當，時，求的面積；
【拓展應用】（3）已知是函數的3倍區間，在此區間內，該函數的最大值與最小值的差為 ，求a、k的值．
【答案】（1）2（2）①見解析②（3），
【分析】（1）根據題目中的定義，進行計算，便可求出i；
（2）①根據題意，表示出，對等式進行變形分析，可得出結論；
②將，代入，確定函數表達式后，結合圖象可求出面積；
（3）先根據定義可求出a的值，再對k的正負分類結合反比例函數的性質，列出方程可求出k．
【詳解】解：由題意知，當時，；當時，，
又，∴，故答案為：2；
（2）①根據題意得，，，則，
∵，∴，即，又∵i為正整數，∴，
假設，則，這與題中，矛盾，∴；
②當，時，，反比例函數表達式為：，則，，
又，則A，B兩點都在第三象限這一支上，如圖所示：

分別過A，B兩點作x軸垂線，垂足分別為E，F，則，
∵，∴，∵，
且，則，∴；
（3）因為是函數的3倍區間，由（2）知 ，解得 ，
當時，反比例函數位于一、三象限，且在每個象限內y隨x的增大而減小，
∴，解得，
當時，反比例函數位于二、四象限，且在每個象限內y隨x的增大而增大；
∴，解得，綜上所述 ，．
【點睛】本題是一道代數綜合題，考查了反比例函數的性質以及分類討論的數學思想．
10．（2023·河南濮陽·模擬預測）如圖，反比例函數和的圖象如圖所示，點是軸正半軸上一動點，過點作軸的垂線，分別與和的圖象交于點，．
(1)當時，線段，求，兩點的坐標及值．(2)小明同學提出了一個猜想：“當值一定時，的面積隨值的增大而減小．”你認為他的猜想對嗎？請說明理由．

【答案】(1)點為，點 為，的值為．(2)小明猜想不正確，理由見解析
【分析】本題考查了反比例函數的幾何意義，三角形面積，一次函數的性質等知識點，其中理解反比例函數的幾何意義是解題的關鍵．（1）由過點作軸的垂線叫解析式為、兩點可知：當點為，則點坐標為，點坐標為，再將，代入計算即可求解．
（2）根據題意列出的關系式，再根據公式代入化簡即可得出結論．
【詳解】（1）由題意可知：點為，則點坐標為，點坐標為．
當時，則點為，點 為，．
．．．．點為，點 為，的值為．
（2）由題意可知：，．．
值一定，的面積一定，小明猜想不正確．
11．（23-24九年級下·山東臨沂·階段練習）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于點和點B．(1)寫出反比例函數的解析式： ；(2)過點B作軸于C，求；(3)若在y軸上存在一點D，使得的值最小，求出點D的坐標．

【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題主要考查了反比函數與一次函數的綜合題，熟練掌握反比函數與一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．（1）把點代入，即可求解；（2）由，可得點，從而得到，再由三角形的面積公式，即可求解；（3）作關于軸的對稱點，連接交軸于點，連接，則，此時最小，求出直線的關系式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵反比例函數過點，∴，
∴反比例函數的關系式為；故答案為：
（2）解∶由，解得，，又∵，∴點，
又∵軸，∴點，，∴；
（3）解∶作關于軸的對稱點，連接交軸于點，連接，則，此時最小，

∵，∴，設直線的關系式為，將，代入得，
，解得， ∴一次函數的關系式為，當，，∴點．
12．（2024·山東棗莊·一模）探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、倍、k倍？
(1)若該矩形是邊長為2的正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．(2)繼續探究，若該矩形長為3，寬為2，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為該矩形的2倍？小明同學有以下思路：設新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯立得再探究根的情況：小慧同學認為：也可用反比例函數與一次函數圖象證明，如圖：則是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？請你結合小明和小慧的思路做出判斷并說明理由．(3)根據此方法，請你探究是否存在一個新矩形，使其周長和面積都為這個長為3，寬為2的矩形的倍？若存在，用圖象表達；(4)是否存在一個新矩形，使其周長和面積為長為3，寬為2的矩形的k倍？請寫出當結論成立時k的取值范圍．
【答案】(1)不存在(2)存在，見詳解(3)不存在(4)存在，
【分析】本題以求矩形的周長和面積為背景，考查了學生對二元方程組的解法掌握情況和一次函數與反比例函數圖象的關系．在解方程組的時候選用消元法，借助根的判別式的值可以快速得到結果．
（1）由已知正方形得到周長和面積分別擴大2倍后的正方形邊長，兩邊長不相等，故不存在；
（2）小明同學思路：設新矩形的長和寬，然后列出方程組，通過解方程組判斷結果；小慧同學思路：根據圖象得出結論；（3）結合（1）中結果，畫出圖象表達；（4）利用求的取值范圍．
【詳解】（1）由題意得，給定正方形的周長為8，面積為4，
若存在新正方形滿足條件，則新正方形的周長為16，面積為8，
對應的邊長為：4和，不符合題意，
∴不存在新正方形的周長和面積是邊長為2的正方形的2倍．故答案為：不存在．
（2）小明同學思路：設新矩形長和寬為、，則依題意，
聯立，得：，∴
∴此方程有兩個不相等的解，∴存在新矩形使得其周長和面積為原矩形的2倍．
小慧同學思路：從圖象看來，函數和函數圖象在第一象限有兩個交點，
∴存在新矩形，使得周長和面積是原矩形的2倍．故答案為：存在．
（3）設新矩形長和寬為、，則依題意，
從圖象看來，函數和函數圖象在第一象限沒有交點，
∴不存在新矩形，使得周長和面積是原矩形的倍．
（4）設新矩形長和寬為、，則依題意，
聯立，得：
設方程的兩根為，當時，，解得：或(舍)，
∴時，存在新矩形的周長和面積均為原矩形的倍．
13．（2024九年級·廣東·培優）如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點，且點為反比例圖象上的一點，連接，點M為坐標平面上一動點，軸于點N．
(1)寫出正比例函數和反比例函數的解析式；(2)當點M在直線上運動時，是否存在點M，使得與的面積相等？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，當點M在反比例函數圖象位于第一象限的一支上運動時，求以為鄰邊的平行四邊形周長的最小值，并求此時點M的坐標．
【答案】(1)，(2)存在，或．(3)
【分析】本題考查反比例函數與一次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．（1）待定系數法求函數解析式即可；（2）分割法求出的面積，設點M為，利用面積公式列式計算即可；（3）根據最小時，平行四邊形的周長最小，進行求解即可．
【詳解】（1）解：設正比例函數的解析式為，反比例函數的解析式為，
∵正比例函數和反比例函數的圖象都經過點，∴，∴，
∴正比例函數的解析式為，反比例函數的解析式為．
（2）∵，∴，
設點M為，則：，∴，所以點M的坐標為或．
（3）∵，∴，∴當最短時，平行四邊形的周長最小，
設點M為，則：∵
∴平行四邊形的周長最小是，此時，點M的坐標為．
14．（2024九年級·山東·期中）如圖1，點是反比例函數圖像上的一個動點，軸于點，軸于點，直線分別交軸、軸、于點．
(1)求的值；(2)如圖2，當直線經過點時，直線交軸于點，交于點，點是的中點，連接，在點運動的過程中，的值是否發生變化？證明你的結論．
【答案】(1)(2)為定值，證明見解析
【分析】（1）過點作軸于點，過點作軸于點，設，首先證明四邊形為矩形、 、和均為等腰直角三角形，進而可得，，然后計算的值即可；（2）連接，證明、為等腰直角三角形，結合等腰直角三角形的性質可得，，，進而證明，由全等三角形的性質可得，即可求得．
【詳解】（1）解：如下圖，過點作軸于點，過點作軸于點，
設，∵軸，軸，∴，，，
∴四邊形為矩形，∴，對于直線，
令，則有，即，令，則有，即，∴，
又∵，即，∴為等腰直角三角形，∴，
∴，∴，同理，
即和均為等腰直角三角形，∴，，
∵軸，軸，∴，∴四邊形為矩形，
∴，同理，∴，，∴；
（2）為定值，證明如下：連接，如下圖，
∵點為的中點，軸，∴，
又∵，軸，∴，
∴，∴，即為等腰直角三角形，
∴，同理可得也為等腰直角三角形，
又∵點為的中點，∴，
∴，∴，∵四邊形為矩形，∴，
在和中，，∴，∴，即．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的應用、一次函數的應用、矩形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質等知識，綜合性強，熟練掌握相關知識是解題關鍵．
15．（23-24八年級下·江蘇泰州·期中）如圖，動點P在反比例函數的圖象上，且點P的橫坐標為，過點P分別作x軸和y軸的垂線，交函數的圖象于點A、B，連接．

(1)當，時．①直接寫出點P、A、B的坐標（用m的代數式表示）；②當時，求m的值．(2)與x軸和y軸相交與點E、F，與有怎么樣的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)①，；②(2)，理由見解析
【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合，反比例函數與幾何綜合，全等三角形的性質與判定：
（1）①求出點P的坐標，進而求出點A的橫坐標和點B的縱坐標，再代入對應的解析式求解即可；②根據①所求表示出，再由建立方程求解即可；（2）設分別與x軸，y軸交于M、N，則，求出，，進而得到直線解析式為，可得，則，證明，即可得到．
【詳解】（1）解：在中，當時，，在中，當時，，∴，
在中，當時，∴；
②∵，，∴，，
∵，∴，解得或（舍去）；
（2）解：，理由如下：設分別與x軸，y軸交于M、N，
∴由題意得，∴，，
∴直線解析式為，
在中，當時，，
∴，∴，
∵軸，軸，∴，
∴，∴，∴．

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專題6-6 反比例函數中的最值、定值、定點模型
模塊1：模型簡介
反比例函數與最值、定值、定點問題是近年來浙江各類考試的新增熱點。考查了學生的分類討論、數形結合、轉化化歸等數學思想、綜合分析和應用知識的能力。在考查意圖上，突出對數學思想方法和能力，特別是對思維能力、探究能力、創新能力，綜合運用知識能力的考查。本專題就反比例函數中的各類定值、最值、定點問題作專題講解，引導學生完成知識的深度學習，才能真正提升學生的解題效率。
模塊2：核心模型點與典例
模型1.反比例函數的最值問題
反比例函數中的最值主要分兩類：（1）面積類最值：常將幾何圖形的面積轉化為代數式，利用配方法求出代數式的最值即可，也可運用切線法或均值不等式求解最值（見例1的變式1和變式2）；（2）長度的和差類最值：由于受教學內容限制本學期暫時只考慮將軍飲馬（遛馬、造橋）模型解答。
將軍飲馬模型：主要利用軸對稱變換化歸到兩點之間，線段最短；或垂線段最短等。
將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長度方向平移即可，即可以跨越長度轉化為標準的將軍飲馬模型，再依據同側做對稱點變異側，異側直接連線即可。利用數學的轉化思想，將復雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造橋）再也不是問題！
例1.（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，一次函數的圖像與軸相交于點，與反比例函數圖像相交于點．(1)求反比例函數的表達式；(2)點在點的左側，過點作軸平行線，交反比例函數的圖像于點，連接．設點的橫坐標為，求當為何值時，的面積最大，這個最大值是多少？
變式1．（23-24九年級下·廣東汕頭·期中）如圖平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，B兩點．(1)求反比例函數的表達式及點B的坐標；(2)點P是y軸上一點，若，求點P的坐標；(3)點C是第三象限內的反比例函數圖象上一點，當的面積最小時，求的長度．
變式2．（22-23八年級下·江蘇揚州·期末）【閱讀理解】對于任意正實數a、b，（只有當時，）．
【獲得結論】在（a、b均為正實數）中，若為定值p，則，只有當時，有最小值．
【探索應用】根據上述內容，回答下列問題：(1)若，只有當_______時，有最小值_______．
(2)已知點是雙曲線上點，過作軸于點，作軸于點．點為雙曲線上任意一點，連接，，求四邊形的面積的最小值．

例2．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數第一象限的圖象上．
(1)分別求反比例函數的表達式和直線所對應的一次函數的表達式；
(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

變式1．（22-23九年級上·遼寧沈陽·期末）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角頂點B的坐標為，點A在y軸正半軸上，將沿y軸向下平移得到，點B的對應點E恰好在反比例函數的圖象上．(1)求m的值；(2)求平移的距離；(3)點P是x軸上的一個動點，當的周長最小時，請直接寫出此時點P的坐標及的周長．
例3．（2023·河南濮陽·三模）如圖，一次函數與反比例函數交于A、B兩點，交x軸于點C，已知點A的坐標為．(1)求反比例函數解析式；(2)直接寫出不等式的解集______．(3)在x軸是否存在點P，使得有最大值，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
變式1．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點，軸于點，為中點，點關于直線的對稱點為點．(1)點是否在這個反比例函數的圖象上？請說明理由；
(2)連接，若四邊形為正方形．①求的值；
②若點在軸上，當最大時，點的坐標為______．
模型2.反比例函數的定值問題
例1．（2024·山東濟南·二模）如圖①，已知點，，的邊與軸交于點，且為的中點，雙曲線經過、兩點．(1)求的值；(2)點在雙曲線上，點在軸上，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點的坐標；(3)以線段為對角線作正方形（如圖③，點是邊上一動點，是的中點，，交于，當點在上運動時，的值是否發生改變？若改變，求出其變化范圍：若不改變，請求出其值，并給出你的證明．
變式1．（23-24九年級上·四川成都·期中）在平面直角坐標系中，已知反比例函數，點，都在該反比例函數圖象上．(1)求a的值及反比例函數的表達式；
(2)如圖1，一次函數的圖象與的圖象交于E，F兩點，點M的橫坐標與點E橫坐標相同且縱坐標是點E的2倍；點N的橫坐標與點F橫坐標相同且縱坐標是點F的2倍．連接，，判斷和的數量關系，并說明理由；(3)如圖2，點A是反比例函數的圖象上一動點，與的圖象交于點B，作軸交的圖象于點C，作交的圖象于點D，連接，，在點A運動過程中，的值是否發生變化 若不變，求出其值；若變化，說明理由．
例2．（2024·山東濟南·一模）【閱讀材料】：
解方程：時，先兩邊同乘以x，得，解之得，，經檢驗無增根，所以原方程的解為，．
【模仿練習】（1）解方程；
【拓展應用】（2）如圖1，等腰直角的直角頂點的坐標為，B，C兩點在反比例函數的圖象上，點的坐標是，且，求的值；
（3）如圖2在雙曲線有，兩點，如果，，那么是否為定值，若存在請求出，不存在請說明理由．
變式1．（23-24九年級上·遼寧阜新·期末）定義：如圖1，在平面直角坐標系中，點P是平面內任意一點（坐標軸上的點除外），過點P分別作x軸、y軸的垂線，若由點P、原點O、兩個垂足A、B為頂點的矩形的周長與面積的數值相等時，則稱點P是平面直角坐標系中的“美好點”．
(1)[嘗試初探]點______“美好點”（填“是”或“不是”）；
(2)[深入探究]①若“美好點”在雙曲線上，則______；
②在①的條件下，在雙曲線，畫出，求的值；
(3)[拓展延伸]我們可以從函數的角度研究“美好點”，已知點是第一象限內的“美好點”．
①求y關于x的函數表達式；②對于圖象上任意一點，代數式是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
變式2．（2023·四川巴中·模擬預測）如圖，點和點是反比例函數圖象上的兩點，點在反比例函數的圖象上，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為點，，連接交軸于點，．(1)求的值；(2)若點的橫坐標為，連接，，求四邊形的面積；(3)設點的橫坐標為，點的縱坐標為，求證：．
模型3.反比例函數的定點問題
例1．（2023年浙江省杭州市中考數學真題）在直角坐標系中，已知，設函數與函數的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是2，點的縱坐標是．
(1)求的值．(2)過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第二象限交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第四象限交于點．求證：直線經過原點．

變式1．（22-23八年級·江蘇泰州·期中）[定義]平面直角坐標系內的矩形若滿足以下兩個條件：①各邊平行于坐標軸；②有兩個頂點在同一反比例函數圖象上，我們把這個矩形稱為該反比例函數的“伴隨矩形”．
例如，圖1中，矩形的邊軸，軸，且頂點在反比例函數的圖象上，則矩形是反比例函數的“伴隨矩形”．

(1)已知，矩形中，點的坐標分別為：①②；③，其中可能是某反比例函數的“伴隨矩形”的是 ；（填序號）
(2)如圖1，已知點）是反比例函數的“伴隨矩形”的頂點，求直線的函數解析式；
(3)若反比例函數的“伴隨矩形”如圖2所示，試說明有一條對角線所在的直線一定經過原點．
模塊3：同步培優題庫
全卷共15題 測試時間：90分鐘 試卷滿分：120分
一、解答題（本大題共15小題，共120分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
1．（22-23八年級下·江蘇徐州·期末）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于點A，與x軸交于點B，與y軸交于點C，軸于點D，點C關于直線的對稱點為點E，且點E在反比例函數的圖像上．(1)求b的值；(2)連接、、，求證四邊形為正方形；
(3)若點P在y軸上，當最小時，求點P的坐標．

2．（2023·河南周口·三模）如圖，已知矩形的兩邊，分別在軸、y軸上，點的坐標為，反比例函數的圖象與矩形的邊，分別交于點，，，直線經過，兩點．(1)分別求出直線l和反比例函數的表達式；(2)在第一象限內，請直接寫出關于x的不等式 的解集；(3)連接AC，求證：．

3．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，雙曲線與直線相交于點，兩點． (1)求雙曲線的函數表達式；(2)在雙曲線上是否存在一點，使得的面積為6？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由；(3)點是軸正半軸上的一點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，直線與軸交于點，求證：．
4．（2024·廣東珠海·一模）如圖1，已知點，且a、b滿足， 的邊與y軸交于點E， 且E為的中點，雙曲線經過C、D兩點．
(1) ， ；(2)求反比例函數解析式；(3)以線段為對角線作正方形（如圖2），點T是邊上一動點，M是的中點，，交于N，當點T在上運動時，的值是否發生改變？若改變，求出其變化范圍；若不改變，請求出其值，并給出你的證明．
5．（2023·貴州銅仁·模擬預測）如圖，矩形的兩邊、分別在坐標軸上，且，，連接．反比例函數的圖象經過線段的中點，并與、分別交于點、．
(1)求反比例函數的表達式和、兩點的坐標；(2)點是軸上一動點，當的值最小時，求點的坐標為________．
6．（2022·四川成都·統考二模）已知平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于點和點，與軸交于點，與軸交于點．(1)求反比例函數的表達式和直線的表達式；
(2)若在軸上有一異于原點的點，使為等腰三角形，求點的坐標；(3)若將線段沿直線進行對折得到線段，且點始終在直線上，當線段與軸有交點時，求的取值的最大值．
7．（23-24九年級上·四川成都·期中）如圖，平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于，B兩點，與y軸相交于點C．
(1)求n，k的值；(2)連接，在位于直線下方的雙曲線上找一點D，使得的面積為的面積的3倍，求點D的坐標；(3)點E是y軸上使得的值最大的點，點P在線段上運動，過點P的直線與雙曲線相交于M，N兩點，其中M為線段的中點，求a的取值范圍．
8．（22-23八年級下·江蘇宿遷·期末）《見微知著》談到：從一個簡單的經典問題出發，從特殊到一搬，由簡單到復雜，從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發展的重要途徑，是思想閥門發現新問題，新結論的重要方法．在數學學習和研究中，我們經常會用到類比、轉化、從特殊到一般等思想方法，請利用上述有關思想，解答下列問題：

如圖1，在平面直角坐標系中，正方形的頂點在軸負半軸，頂點在軸正半軸，，分別在的中點，反比例函數的圖象經過，兩點，連接，，四邊形的面積為．
(1)__________________．直線的表達式為__________________
(2)如圖2，為該反比例函數圖象上任意一點，過點作軸交直線于點，請猜想與的數量關系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，延長交反比例函數的圖象于點，過點作直線于，過點作直線于，試判斷的值是否為定值，若是，請直接寫出定值；若不是．請說明理由．
9．（22-23八年級下·江蘇連云港·期末）【提出定義】已知y是x的函數，當時，函數值；當時，函數值，若（i為正整數），則稱為該函數的i倍區間．如，函數中，當時，，當時，，，所以是函數的3倍區間．
【理解內化】（1）若是函數的i倍區間，則　 　；
（2）已知是函數（k≠0）的i倍區間（i為正整數），點、是函數（k≠0）圖象上的兩點．①試說明：；②當，時，求的面積；
【拓展應用】（3）已知是函數的3倍區間，在此區間內，該函數的最大值與最小值的差為 ，求a、k的值．
10．（2023·河南濮陽·模擬預測）如圖，反比例函數和的圖象如圖所示，點是軸正半軸上一動點，過點作軸的垂線，分別與和的圖象交于點，．
(1)當時，線段，求，兩點的坐標及值．(2)小明同學提出了一個猜想：“當值一定時，的面積隨值的增大而減小．”你認為他的猜想對嗎？請說明理由．

11．（23-24九年級下·山東臨沂·階段練習）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于點和點B．(1)寫出反比例函數的解析式： ；(2)過點B作軸于C，求；(3)若在y軸上存在一點D，使得的值最小，求出點D的坐標．

12．（2024·山東棗莊·一模）探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、倍、k倍？
(1)若該矩形是邊長為2的正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．(2)繼續探究，若該矩形長為3，寬為2，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為該矩形的2倍？小明同學有以下思路：設新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯立得再探究根的情況：小慧同學認為：也可用反比例函數與一次函數圖象證明，如圖：則是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？請你結合小明和小慧的思路做出判斷并說明理由．(3)根據此方法，請你探究是否存在一個新矩形，使其周長和面積都為這個長為3，寬為2的矩形的倍？若存在，用圖象表達；(4)是否存在一個新矩形，使其周長和面積為長為3，寬為2的矩形的k倍？請寫出當結論成立時k的取值范圍．
13．（2024九年級·廣東·培優）如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點，且點為反比例圖象上的一點，連接，點M為坐標平面上一動點，軸于點N．
(1)寫出正比例函數和反比例函數的解析式；(2)當點M在直線上運動時，是否存在點M，使得與的面積相等？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，當點M在反比例函數圖象位于第一象限的一支上運動時，求以為鄰邊的平行四邊形周長的最小值，并求此時點M的坐標．
14．（2024九年級·山東·期中）如圖1，點是反比例函數圖像上的一個動點，軸于點，軸于點，直線分別交軸、軸、于點．
(1)求的值；(2)如圖2，當直線經過點時，直線交軸于點，交于點，點是的中點，連接，在點運動的過程中，的值是否發生變化？證明你的結論．
15．（23-24八年級下·江蘇泰州·期中）如圖，動點P在反比例函數的圖象上，且點P的橫坐標為，過點P分別作x軸和y軸的垂線，交函數的圖象于點A、B，連接．

(1)當，時．①直接寫出點P、A、B的坐標（用m的代數式表示）；②當時，求m的值．(2)與x軸和y軸相交與點E、F，與有怎么樣的數量關系，并說明理由．
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