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專題6-7 反比例函數與角度相關模型
模塊1：模型簡介
反比例函數與角度相關問題是近年浙江各地壓軸題中的常客，具有較好的區分度和選拔功能，此類試題不僅可以考查反比例函數與平面幾何的基礎知識，還可以考查數形結合等數學思想方法，以及運用數學知識探究問題的能力等。解題關鍵是充分挖掘題目中的隱含條件，利用平行線性質、等腰三角形的性質、全等三角形構造等角或倍角，再運用勾股定理進行計算求解。
模塊2：核心模型點與典例
1.反比例函數與角度綜合問題，常見類型：
1）特殊角問題：遇到特殊角可以構造特殊三角形，如遇到45°構造等腰直角三角形，遇到30°、60°構造等邊三角形，遇到90°構造直角三角形。
2）角的數量關系問題
（1）等角問題：基于動點構造某個角使其與特定已知角相等，主要借助特殊圖形的性質、平行線的性質、全等三角形的性質來解決；
（2）倍角問題：基于動點構造某個角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分線的性質、等腰三角形的性質、對稱等知識來解答；
（3）角的和差問題：角度和、差為90°等。
2.反比例函數與角度綜合問題處理思路：主要解題突破口在于構造相關角。
（1）構造相等角的方法：①利用平行線的性質或者等腰三角形的性質構造相等角；②利用全等三角形構造相等角。
（2）構造二倍角的方法：如圖，已知∠B=，我們可以用等腰三角形及三角形外角的性質去構造，先構造直角三角形，然后在BC邊上找一點D，使BD=AD，則∠ADC=，這樣，我們就構造出了二倍角。
模型1.反比例函數與特殊角問題
例1．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖，點P為一次函數與反比例函數的圖象的交點，點P的縱坐標為4，軸，垂足為B，一次函數的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C．(1)求m的值．(2)點M是反比例函數的圖象上的一點，且在點P的右側，連接．①連接．若，求點M的坐標．②過點M作于點D，若，求M的坐標．
【答案】(1)24(2)①；②
【分析】本題考查的是反比例函數的性質、全等三角形的判定和性質、一次函數的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征求出P點的坐標，代入反比例函數解析式計算即可；（2）①過點M作軸于點N，先求出點，可得到，從而得到，設點M的坐標為，則，再由，求出a的值，即可求解；②過點P作交延長線于點G，作于點H，證明，可得，用t表示出點M的坐標，代入反比例函數解析式計算，得到答案．
【詳解】（1）解：對于，當時，，解得：，∴點，
把點代入得：，解得：；
（2）解：①如圖，過點M作軸于點N，
對于，當時，，當時，，∴點，∴，
∵軸，點，∴，∴，
∵，∴，由（1）得：反比例函數解析式為，
設點M的坐標為，則，
∵，∴，
即，解得：或（舍去），∴點M的坐標為；
②如圖，過點P作交延長線于點G，作于點H，
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
設，∴，∴，∴，
∵點M是反比例函數的圖象上的一點，∴，解得：，
∵點M在點P的右側，∴點M的坐標為．
變式1．（2023·廣東珠海·一模）如圖，點為函數圖象上一點，連接，點B在線段上，且，C是x軸的正半軸上一點，連接，．(1)求點B的坐標；(2)若M是線段上一點，且，求的面積．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，得到，進而求解；（2）由，得到，設點，由，進而求解．
【詳解】（1）解：將點A的坐標代入反比例函數表達式得：，解得：，即點，
分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為N、H，如圖所示：
則，∴，∴，
∵，即，∴，
解得：，同理可得，，∴點B的坐標為；
（2）解：∵，解得：，
設直線的表達式為：，把，代入得：
，解得：∴直線的表達式為：，
設點，∵，，∴，
∵，則，∴，
解得：，∴點，∴的面積為：．
【點睛】本題主要考查的是反比例函數綜合運用，涉及到三角形的面積計算、一次函數的基本性質、解直角三角形等，有一定的綜合性，難度適中．
模型2.反比例函數與等角問題
例2．（2023·湖北黃岡·模擬預測）如圖，直線與函數的圖像相交于點，與x軸交于點．(1)求m的值及直線的解析式；(2)若D是線段上一點，將線段繞點O逆時針旋轉得到，點恰好落在函數的圖像上，求點D的坐標；(3)直線在直線的上方，滿足，求直線的解析式．

【答案】(1) ，；(2)或；(3)；
【分析】（1）將點代入求出坐標，結合代入直線即可得到答案；
（2）設出點D的坐標，根據旋轉得到點的坐標，代入反比例函數求解即可得到答案；
（3）在上截取，證明，設F點坐標為，根據線段關系列式求解，再利用待定系數法求解析式即可得到答案；
【詳解】（1）解：將點代入可得，，
設的解析式為：，將點、代入可得，，解得：，∴；
（2）解：過點D作軸，垂足為點N，過點作軸，垂足為點M，
∵線段繞點O逆時針旋轉得到，∴，，

∵軸， 軸，∴，，，
∴， ∴，∴，，
設點D坐標為，∴，∵點恰好落在函數的圖像上，
∴，解得：，，∴點D的坐標為：或；
（3）解：在上截取，在中，∵，，，
∴，∴，，
∵，∴，設，∴，，
∴，，解得：，（不符合題意舍去），∴，
設的解析式為：，將點、代入得，
，解得：，∴；
【點睛】本題考查反比例函數的綜合性質，熟練反比例函數性質，數形結合，構造全等三角形將點的坐標進行轉換是解題的關鍵．
變式1．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習）綜合運用：如圖，直線與x軸交于C點，與y軸交于B點，在直線上取點，過點A作反比例函數的圖象．(1)求a的值及反比例函數的表達式；(2)點P為反比例函數圖象上的一點，若，求點P的坐標．(3)在x軸是否存在點Q，使得，若存在請求出點Q的坐標，若不存在請說明理由．
【答案】(1)，(2)點P坐標為(3)存在，點Q的坐標為或
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數綜合，待定系數法求函數解析式，平行線的性質等；
（1）把代入可求的坐標，即可求解；
（2）可求，再由即可求解；
（3）①當點Q在x軸正半軸上時，過點A作軸交x軸于，②當點Q在x軸負半軸上時，設與y軸交于點，可求， 再求直線的表達式為，即可求解；
掌握待定系數法，找出使得的條件是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：把代入得，，，
把代入，得，反比例函數的函數表達式為；
（2）解：當時，，，，
，，
又 ，解得：，，點P坐標為；
（3）解：存在；理由如下：①當點Q在x軸正半軸上時，
如圖，過點A作軸交x軸于，則，點；
②當點Q在x軸負半軸上時，如上圖，設與y軸交于點，
∵，∴，則，解得：，∴，
設直線表達式為，則有
，解得，直線的表達式為，
當時，，即點的坐標為，綜上所述，點Q的坐標為或．
模型3.反比例函數與倍角問題
例3．（23-24九年級上·四川成都·期末）利用尺規作圖將一個角三等分已經被數學家證明不可能完成，但是數學家帕普斯利用反比例函數圖象完成了將一個角三等分，具體方法如下：
第一步：建立平面直角坐標系，將已知銳角的頂點與原點重合，角的一邊與軸正方向重合．在平面直角坐標系里，繪制函數的圖象，圖象與已知角的另一邊交于點；
第二步：以為圓心、以為半徑作弧，交函數的圖象于點；
第三步：分別過點和作軸和軸的平行線，兩線相交于點，連接，得到（如圖1），這時．為什么呢？小靜想要證明這個結論卻沒有思路，老師便組織同學們進行了研究討論．討論后有以下思路：分別過點和作軸和軸的平行線，兩線交于點（如圖2），此時，四邊形便構成了一個矩形；如果我們能再證明三點共線，就可以利用矩形性質證明這個結論了．研究討論后，小靜采用代數設點，設，．請你和小靜一起完成下列問題．
(1)請你寫出的坐標（用含的式子表示）；
(2)請你在第（）問的基礎上證明三點共線；(3)請證明．
【答案】(1)，；(2)證明見解析；(3)證明見解析．
【分析】（）由矩形的性質可直接求解；（）設直線的解析式為，將代入求出直線的解析式，然后將代入可判斷三點共線；（）設和交于點，由四邊形是矩形，得到，進而證明出，然后結合等邊對等角證明即可．
【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，∴，；
（2）證明：設直線的解析式為，則，解得，
∴直線的解析式為，當時，，
∴點在直線上，即三點共線；
（3）證明：設和交于點，∵ 軸，∴，
∵四邊形是矩形，∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，矩形的性質，等邊對等角性質，一次函數的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
變式1．（23-24九年級上·廣東·期末）如圖1，的圖像與y軸交于點B，與反比例函數的圖像交于點．(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)點C是線段上一點（不與A，B重合），過點C作y軸的平行線與該反比例函數的圖像交于點D，連接，當四邊形的面積等于24時，求點C的坐標；(3)在（2）的前提下，將沿射線方向平移一定的距離后，得到，若點O的對應點恰好落在該反比例函數圖像上，是否在此反比例函數圖像上存在點M，使得，若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，(2)(3)或
【分析】（1）直接利用待定系數法即可解答；（2）設，則，根據四邊形的面積構建方程求解即可；（3）分兩種情況：當點M位于內部時，延長交反比例函數于M；當點M位于外部時，分別根據軸對稱的性質、函數圖像的交點等知識分析解得即可．
【詳解】（1）解：把點分別代入和中可得：
，，解得：∴，．
（2）解：設，則，∴，
∵四邊形的面積等于24，∴,即，
整理得：，解得： 檢驗：是原方程的解，
∵，∴，則．∴．
（3）解：由平移可得：,∴直線的解析式為:，
聯立得：，解得：或（不合題意，舍去）經檢驗是方程組的解，∴點
∴點O向右平移4個單位長度，向上平移2個單位長度得到，由 (2)可得：，∴，
∵ ，∴，
如圖1，當點M位于內部時，作于N，延長交反比例函數于M，
∵，∴,∴ N為的中點，
∴，即，設直線的解析式為，將代入得：
，解得：，∴直線的解析式為:，
聯立得：，解得：（舍棄負值）經檢驗是方程組的解，∴；
如圖，當點M位于外部時，作于，連接，
∵，∴,
∵，∴關于對稱，，
設直線的解析式為:,將代入得：
，解得：，∴直線的解析式為：，
設，則的中點在直線上，∴在直線上，
∴，∴，∴，∵,
∴，整理得：，解得:，
∴或，經檢驗，當)時，直線不垂直，故不符合題意，∴，
∵，，∴直線的解析式為:，
聯立得：，解得：（舍棄負值）經檢驗是方程組的解，
∴．綜上所述，M的坐標為或 ．
【點睛】本題主要考查反比例函數的應用、一次函數的應用、求函數解析式、點的平移、函數圖像交點與方程組等知識點，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，學會構建方程解決問題是解題的關鍵．
和分類討論思想求解是解答的關鍵．
模型4.反比例函數與角的和差問題
例1．（2023·四川成都·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點，與y軸相交于點B．
(1)求點A的坐標及反比例函數的表達式；(2)點P是反比例函數的圖象上一點，連接PA，PB，若的面積為4，求點P的坐標；(3)在（2）的條件下，取位于A點下方的點P，將線段PA繞點P逆時針旋轉90°得到線段PC，連接BC，點M是反比例函數的圖象上一點，連接MB，若，求滿足條件的點M的坐標．
【答案】(1)（-1，6），(2)或（-3，2）(3)（-2，3）或（-6，1）
【分析】（1）將點代入，即可求出點A的坐標，再將點A的坐標代入即可求出反比例函數的表達式；（2）設點P的坐標為，分情況討論：點P在點A的上方時，如圖，過點A作PM//y軸交直線AB于點M，根據，列方程求解即可；點P在點A的下方時，如圖，作的外接矩形PEFG，因為，的面積為4，即可求出點P的坐標；（3）如圖，過點P作RS//x軸，過點C，點A作于R，于S，證明，求出點C的坐標，取BC的中點H，過點H作交PC于點N，求出點N的坐標，作直線BN交雙曲線于點M，點M即為所求．
【詳解】（1）解：將點代入，
得，解得，，點的坐標為，
點A代入得，；反比例函數；
（2）解：設點P的坐標為，分情況討論：
當點P在點A的上方時，如圖，過點A作PM//y軸交直線AB于點M，則，
，
，解得，，（不合題意，舍去）故點P的坐標為；
當點P在點A的上方時，如圖，作的外接矩形PEFG，
，點E的坐標為，點F的坐標為，點G的坐標為；
，BE＝，FB＝2，AF＝1，，PG＝，
，，
，
，的面積為4，，
解得，（不合題意，舍去），點P的坐標為；
綜上，點P的坐標為或（-3，2）
（3）解：如圖，過點P作RS//x軸，過點C，點A作于R，于S，
線段是由繞點逆時針旋轉90°得到，，，
，， ，
，，，
點C到x軸的距離為4，點C到y軸的距離為7， 點C的坐標為（-7，4），
取BC的中點H，過點H作交PC于點N，作直線BN交雙曲線于點M，則點M即為所求．
點的坐標為（-3．5，2），NC＝NB，
，設直線PC的解析式為：
，，解得，直線PC的解析式為：，
把代入直線PC得，，點N的坐標為
設直線BN的解析式為：，
，解得 ， 直線BN的解析式為：，
解方程組，得， M點的坐標為（-2，3），（-6，1）
【點睛】本題考查了一次反比例函數與反比例函數的綜合，全等三角形的判定和性質，用待定系數法求一次函數及反比例函數解析式，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質及方程組的解與交點坐標的關系，利用方程組求點的坐標是解題的關鍵．
變式1．（23-24九年級·長沙·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，函數（為常數，，）的圖象經過點和，直線與軸，軸分別交于，兩點.
（1）求的度數；（2）如圖2，連接、，當時，求此時的值：（3）如圖3，點，點分別在軸和軸正半軸上的動點.再以、為鄰邊作矩形.若點恰好在函數（為常數，，）的圖象上，且四邊形為平行四邊形，求此時、的長度.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根據點P、Q的坐標求出直線PQ的解析式，得到點C、D的坐標，根據線段長度得到
的度數；（2）根據已知條件求出∠QOP=45，再由即可求出m的值；
（3）根據平行四邊形及矩形的性質得到，，設設，得到點M的坐標，又由兩者共同求出n，得到結果.
【詳解】（1）由，，得，∴，
∴，∴為等腰直角三角形，∴；
（2）∵，∴，
∴易得，
∴，∴（舍負）；
（3）∵四邊形為平行四邊形，∴，
又，∴，∴.設.
則為代入，∴，∴，又，∴，
由，得（舍負），∴當時，符合題意.
【點睛】此題是反比例函數與一次函數的綜合題，考查反比例函數的性質，一次函數的性質，勾股定理，矩形的性質，平行四邊形的性質.
模塊3：同步培優題庫
全卷共16題 測試時間：90分鐘 試卷滿分：120分
一、解答題（本大題共16小題，共120分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
1．（22-23八年級下·四川資陽·期末）如圖，直線與雙曲線相交于點，軸于點，以為邊在右側作正方形，與雙曲線相交于點，連結、．
(1)當時，求點的坐標；(2)當時，求的值；
(3)是否存在實數，滿足，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據正方形的性質，得到A點的縱坐標為4，點在直線上，求出點坐標，進而求出反比例函數的解析式，求出的長，根據點在反比例函數上，進行求解即可；
（2）設，同法（1）求出點坐標，利用，列式計算即可；
（3）假設存在，推出，得到，推出，與矛盾，即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵四邊形為正方形，，∴A點的縱坐標為4，
∵A在直線上，∴，∴，∴，∴，
∴，∴，∴反比例函數解析式為，
∵，∴，∴，∴點的坐標為；
（2）設，∴，，，∴，，
∴，∴，∴
∵，，∴，
∴，解得，∴；
（3）不存在．理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，
要使，則，
∵，∴，∴，∴，
由（2）可知，，則點，∴，，
∴，得， ∴，∵，∴不符合題意，不存在．
【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的綜合應用，反比例函數與幾何的綜合應用．熟練掌握值的幾何意義，利用數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．
2．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于點和點B．(1)求反比例函數的表達式；(2)如圖1，若點C為線段上一點，過點C作軸交雙曲線于點D，連接，若的面積為，求點C的坐標；(3)如圖2，連接，并延長至點E，使，作的平分線交x軸于點F，過點E作于點H，求點H的坐標．
【答案】(1)(2)C的坐標為或(3)
【分析】（1）運用待定系數法求解即可；（2）由的面積 ，即可求解；（3）證明是的中位線，得到，進而求解即可．
【詳解】（1）將代入直線，得， ∴，
將代入反比例函數，得， ∴反比例函數的表達式為；
（2）由軸，設，， ∴，
∴， ∴，∴或4，∴C的坐標為或
（3）延長交于點，連接，如圖，
是的角平分線，且是等腰三角形，則點是的中點，
即點是的中點，∴是的中位線，∴∴
又是的平分線，∴∴
∴直線的表達式為設點
即，解得，（負值舍去）∴點的坐標為
【點睛】本題主要考查了反比例函數與幾何的綜合，三角形的中位線的性質，等腰三角形的判定與性質，正確作出輔助線構造三角形中位線是解答本題的關鍵
3．（2023九年級·浙江·專題練習）如圖，點和點是反比例函數圖象上的兩點，點在反比例函數的圖象上，分別過點、作軸的垂線，垂足分別為點、，，連接交軸于點．(1)求；(2)設點的橫坐標為，點的縱坐標為，求證：
(3)連接、，當時，求的坐標．
【答案】(1)(2)見解析(3)，
【分析】（1）將點的坐標代入反比例函數，即可得出答案；（2）首先表示出，的坐標，再利用證明，得，從而得出的縱坐標；（3）根據，得，則，由知，，代入解關于的方程即可．
【詳解】（1）解：點，是反比例函數圖象上的點，；
（2）證明：點的橫坐標為，點的縱坐標為，，，
，，，
，，，∴，整理得，即；
（3）解：，，，，
由（2）知，，，解得或，
當時，舍去，當時，，，．
【點睛】本題是反比例函數綜合題，主要考查了反比例函數圖象上點的坐標的特征，全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質等知識，運用方程思想是解題的關鍵．
4．（23-24九年級上·河南許昌·期末）如圖，直線與x軸交于點A，與反比例函數的圖象交于點．(1)求m、k的值．(2)C是反比例函數圖象上一點，連接，當時，求直線的解析式及的面積．
【答案】(1)，(2)，
【分析】本題主要考查了反比例函數和一次函數的圖象和性質，解題的關鍵是熟練掌握用待定系數法求解函數解析式的方法和步驟．（1）把代入，即可求出m的值，得出點B的坐標，再把點B的坐標代入，即可求出k的值；（2）先求出，則，過點C作軸于點D，得出，設，則，求出，則，用待定系數法求出直線的解析式為，進而得出，最后根據即可解答．
【詳解】（1）解：把代入得：，∴，
把代入得：，解得：，綜上：，；
（2）解：把代入得：，解得：，∴，則，
過點C作軸于點D，∵，軸，∴，∴，
設，則，∴，由（1）可得：
把代入得：，解得：（舍去），∴，
設直線的解析式為，把，代入得：
，解得：，∴直線的解析式為，
令直線與x軸相交于點E，把代入得：，解得：，∴，∴，
∴．
5．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習）綜合運用:如圖，直線與x軸交于C點，與y軸交于B點，在直線上取點，過點A作反比例函數的圖象．(1)求a的值及反比例函數的表達式；(2)點P為反比例函數圖象上的一點，若，求點P的坐標．(3)在x軸是否存在點Q，使得，若存在請求出點Q的坐標，若不存在請說明理由．
【答案】(1)，(2)點P坐標為(3)存在，點Q的坐標為或
【分析】本題考查了反比例函數與一次函數綜合，待定系數法求函數解析式，平行線的性質等；
（1）把代入可求的坐標，即可求解；（2）可求，再由即可求解；（3）①當點Q在x軸正半軸上時，過點A作軸交x軸于，②當點Q在x軸負半軸上時，設與y軸交于點，可求， 再求直線的表達式為，即可求解；
掌握待定系數法，找出使得的條件是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：把代入得，，，
把代入，得，反比例函數的函數表達式為；
（2）解：當時，，，，
，，
又 ，解得：，，點P坐標為；
（3）解：存在；理由如下：①當點Q在x軸正半軸上時，如圖，過點A作軸交x軸于，
則，點；
②當點Q在x軸負半軸上時，如上圖，設與y軸交于點，
∵，∴，則，解得：，∴，
設直線表達式為，則有，解得，直線的表達式為，
當時，，即點的坐標為，綜上所述，點Q的坐標為或．
6．（2023·廣東深圳·模擬預測）閱讀材料：“三等分角”是數學史上一個著名問題．今天人們已經知道，僅用圓規和直尺是不可能作出的．在研究這個問題的過程中，數學家帕普斯借助函數給出了一種“三等分銳角”的方法，如圖1，步驟如下：
①建立直角坐標系，將已知銳角的頂點與原點O重合，角的一邊與x軸正方向重合；
②在直角坐標系中，繪制函數的圖象，圖象與已知角的另一邊交于點P；
③以P為圓心、以為半徑作弧，交函數的圖象于點R；
④分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，分別交于點M，點Q；
⑤連接，得到．則．
思考問題：(1)設，，求直線的函數解析式（用含a，b的代數式表示），并說明Q點在直線上；(2)證明：．(3)如圖2，若直線與反比例函數交于點C，D為反比例函數第一象限上的一個動點，使得．求用材料中的方法求出滿足條件D點坐標．
【答案】(1)，證明見解析(2)見解析(3)或
【分析】（1）由軸，軸，，，即可得出M點的坐標，即可，再將點Q的坐標代入解析式即可判斷點Q是否在直線上；（2）連接，交于點S，由矩形的性質和平行線的性質即可得到結論；（3）先求出點，可得，然后分兩種情況討論：當D點在下方時，當D點在上方時，即可求解．
【詳解】（1）解：設直線的函數表達式為，
由題意得：，∴四邊形為矩形，
∵，，∴，，
把點代入得：，∴直線的函數表達式為，
∵的坐標滿足，∴點Q在直線上；
（2）解：連接，交于點S，

由題意得四邊形是矩形，∴，，，
∴，∴，∴∵，∴．∴，
∵軸，∴，∴，即．
（3）解：∵直線與反比例函數交于點C，
∴，解得：或（舍去），∴，∴，
當D點在下方時，如圖，以C為圓心，為半徑畫弧，交反比例函數于點E，作軸，作軸，連接并延長交反比例與點F，作，連接，與交于點H，，，，作于I，則，，，
，則，，
即，同理，當D點在上方時，有．

【點睛】此題在考查三等分角的作法時，綜合考查了待定系數法求函數解析式的方法、矩形的性質以及三角形外角的性質等，綜合性較強．
7．（2023·河南周口·模擬預測）如圖，平面直角坐標系中點，，反比例函數的圖象與線段交于點，．

(1)求反比例函數表達式．(2)請用無刻度的直尺和圓規作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(3)（）中所作的垂直平分線分別與、線段交于點．連接，求證：是的平分線．
【答案】(1)；(2)作圖見解析；(3)證明見解析．
【分析】（）先求出點坐標，代入解析式，可求解；（）以點、點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點、點，連接，則為所求圖形；（）先求出點坐標，點坐標，由面積法可求的長，由角平分線的判定即可求證；
本題考查了待定系數法，作線段的垂直平分線，角平分線的判定，勾股定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵，，∴點，
∵反比例函數 的圖象過點，∴，∴反比例函數表達式為；
（2）解：如圖，以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點、點，連接，則為所求；

（3）解：如圖，過點作于，
∵ ，，∴點， ∴點的縱坐標為，∴點，∴，
∵，∴，∵點，∴，
∵ ，∴， ∴，∴，
又∵，，∴是的平分線．
8．（22-23九年級上·河南鄭州·期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（3，2）在反比例函數的圖象上，點B在OA延長線上，軸，垂足為點C，直線BC與反比例函數的圖象相交于點D，連接AC，AD．(1)求該反比例函數解析式；(2)若，求線段BD的長度；(3)在第（2）問的條件下，x軸上是否存在一點使，若存在請求出點M的坐標，若不存在請說明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，，理由見解析
【分析】(1)把點A(3，2)代入反比例函數，即可求出函數解析數．
(2)過點A作，垂足為E，設直線OA關系式為，將A(3，2)代入得到直線OA的關系式為，設點C(0，a)，根據三角形面積公式得到a=4，于是得到結論．
(3)延長交軸于點P，過B作交軸于M，則，根據平行四邊形即可得到結論．
【詳解】（1）∵點A(3，2)在反比例函數上，
∴，∴反比例函數解析式為．
（2）如圖1，過點A作，垂足為E，
設直線OA關系式為，將A(3，2)代入得，∴OA的關系式為，
設點C(0，a)，把代入，得，
把代入，得，∴B(，)，即，∴D(，)，即，
∵，∴，即，解得，
∴，故線段的長度為．
（3）存在
延長交軸于點P，∵軸，∴，∴，
過B作交軸于M，則，由(1)知C，
∵A(3，2)，∴直線的解析式為，當時，，∴，
∵軸，∴四邊形是平行四邊形，
∴，∴，∴．
【點睛】本題考查了反比例函數的綜合題，待定系數法求函數的解析式，平行四邊形的判定和性質，平行線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
9．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖，矩形的頂點、分別落在軸、軸的正半軸上，點，反比例函數的圖象與、分別交于、兩點，，點是線段上一動點．
(1)求反比例函數關系式和點的坐標；(2)如圖，連接、，求的最小值；
(3)如圖，當時，求線段的長．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）根據題意求出點的坐標，進而求出反比例函數關系式，根據反比例函數圖象上點的坐標特征求出點的坐標；（2）根據軸對稱最短路徑確定點的位置，根據勾股定理計算，得到答案；（3）過點作于，根據勾股定理求出，設，根據等腰直角三角形的性質、勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【詳解】（1）點的坐標為，，點的坐標為，
反比例函數的圖象經過點，
反比例函數的解析式為：，由題意得：當的縱坐標為，
點的橫坐標為， 點的坐標為；
（2）如圖，作點關于軸的對稱點，連接，交于點，連接，
則的值最小， 由（1）可知，
由勾股定理得：，的最小值為；
（3）如圖，過點作于，
則為等腰直角三角形，
，，，設，
則，
，在中，，
即整理得：
解得（舍去）
【點睛】本題考查的是矩形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、軸對稱最短路徑以及勾股定理的應用，作出的最小時，點的位置是解題的關鍵．
10．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）（1）平面直角坐標系中，直線交雙曲線于點，點的縱坐標是．①求的值；②如圖 1，正方形的頂點、在雙曲線上，頂點、分別在軸、軸的正半軸上，求點的坐標；（2）平面直角坐標系中，如圖 2，點在軸正半軸上，四邊形為直角梯形，，，，為邊的中點，，反比例函數的圖像經過點，且，求的值．
【答案】（1）①；② （2）
【分析】（1）①由直線交雙曲線于點，點的縱坐標是，可求得點的坐標，繼而求得的值；②首先作軸于點，作軸于點，易證得，易得，，繼而求得的值，則可求得點的坐標；（2）首先延長交軸于，過作于，易證得，，又可證得四邊形為正方形，再根據，從而建立方程，即可求得答案.
【詳解】解：（1）①∵直線交雙曲線于點，點的縱坐標是，
∴當時，，解得：，∴，
又∵在上，∴.∴的值是.
②作軸于點，作軸于點，設，，∴，，
∵四邊形是正方形，∴，，
∴，
∵，∴，
在和和中，∴，
∴，，∴，，
∵點、在雙曲線上，∴，∴，∴，即，
∵頂點、分別在軸、軸的正半軸上，∴，
∴，∴.∴點的坐標為.
（2）延長交軸于，過作于，設，，∴，
∵，，∴，，
∵，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴四邊形是矩形，又∵，∴四邊形是正方形，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∵為邊的中點，∴，
在和中，∴，
∴，∴，在中，，∴，
即，∴，∵，，∴，
∵點在反比例函數的圖像上，∴，
∵，∴，即，∴，
∴，∴.∴的值為.
【點睛】本題屬于反比例函數的綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，正方形的性質與判定、全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識.解題的關鍵通過作輔助線構造全等三角形，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用.
11．（2024·寧夏吳忠·一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和點．(1)求一次函數與反比例函數的表達式；(2)直線AB與x軸交于點D，與y軸交于點C．①過點C作軸交反比例函數的圖象于點E，連接AE，試判斷△ACE的形狀，并說明理由；②設M是x軸上一點，當∠DCO＝2∠CMO時，直接寫出點M的坐標．
【答案】(1)一次函數，反比例函數；
(2)①△ACE是等腰直角三角形，理由見解析；②或
【分析】（1）根據反比例函數的性質，通過列一元一次方程即可得反比例函數；結合一次函數性質，通過列二元一次方程組并求解，即可得到答案；（2）①根據一次函數、反比例函數的性質，首先計算得、，再根據勾股定理及勾股定理逆定理的性質分析，即可得到答案；②設，根據勾股定理、三角形外角、等腰三角形性質計算，得，結合題意，根據軸對稱的性質分析，即可完成求解．
【詳解】（1）∵反比例函數的圖象過點，∴， ∴，∴反比例函數，
∵反比例函數的圖象過，∴，∴， 經檢驗，是原方程的解，
∵一次函數的圖象過點和點，
∴， ∴， ∴一次函數，∴一次函數，反比例函數；
（2）①當時，，即， ∵過點C作軸交反比例函數的圖象于點E，
∴點E縱坐標為2，∴，∴， 經檢驗，是原方程的解，∴，
∴，，，
∴，， ∴△ACE是等腰直角三角形；
②當時，，∴，即，∴， ∴，
∵M是x軸上一點，設， 當點M在點O左側時，如下圖：
∴，，
∵∠DCO＝2∠CMO，∴，
∵， ∴，
∴， ∴，∴，∴，
根據題意，當點M在點O右側時，，∴或．
【點睛】本題考查了反比例函數、一次函數、勾股定理、等腰直角三角形、三角形外角的知識；解題的關鍵是熟練掌握反比例函數、一次函數、等腰直角三角形的性質，從而完成求解．
12．（23-24九年級·四川成都·期末）如圖，點A是反比例函數圖象上的點，AB平行于y軸，且交x軸于點，點C的坐標為，AC交y軸于點D，連接BD，．
(1)求反比例函數的表達式；(2)設點P是反比例函數圖象上一點，點Q是直線AC上一點，若以點O，P，D，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標；(3)若點是該反比例函數圖象上的點，且滿足∠MDB>∠BDC，請直接寫a的取值范圍．
【答案】(1)(2)，，(3)或
【分析】（1）由AB∥y軸，AD=可得AC，BC=2，再利用勾股定理即可求得AB，得出點A(1，4)，運用待定系數法即可求得答案；（2）利用待定系數法求得直線AC的解析式為y=2x+2，設Q(m，2m+2)，分類討論：當OD為平行四邊形的邊時，運用平行四邊形對邊平行且相等建立方程求解即可；當OD為平行四邊形的對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分建立方程求解即可；（3）分兩種情況：當點M(a，b)在第三象限時，設直線AC與雙曲線在第三象限的交點為E，求得點E的橫坐標即可得出答案；當點M(a，b)在第一象限時，如圖4，將△DBC沿著DB翻折得到△DBE，過點B當點M(a，b)在第一象限時，如圖|4，將△DBC沿著DB翻折得到△DBE，過點B作BK⊥CD于點K，過點E作EF⊥x軸于點F，延長DE與雙曲線在第一象限的交點為G，運用翻折的性質和相似三角形性質求出點E的坐標，再運用待定系數法求得直線DE的解析式，求出直線DE與雙曲線的交點橫坐標即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，C∴OB=OC=1
∵AB∥y軸，AD=∴AC，BC=2∵∠ABC=90°∴AB=∴A（1，4）
∵點A是反比例函數圖象上的點∴解得k=4∴反比例函數的解析式是
（2）解：設直線AC的解析式為y=ax+b，
∵A(1，4)，C(-1，0)∴解得∴直線AC的解析式為y=2x+2
設Q（m，2m+2）當OD為平行四邊形的邊時，如圖1，
則PQ∥OD，PQ=OD，∴∴PQ=|2m+2-|
在Rt△CDO中，OD=∴|2m+2-|=2解得或
∵點P在第一象限∴m>0∴或∴，，
當OD為平行四邊形的對角線時，如圖2則
∵所在直線AC的解析式為y=2x+2∴所在的直線的解析式為y=2x
聯立可得2x=∴∵點P在第一象限∴
∵四邊形是平行四邊形∴PK=DK，∴解得∴
綜上，點Q的坐標為，，．
（3）當點M（a，b）在第三象限，如圖，設直線AC AC與雙曲線在第三象限的交點為E，
由，解得x=1或x=-2∴E（-2，-2）∵a<-2
當點M（a，b）在第一象限時，如圖4 將△DBC沿著DB翻折得到△DBE，過點B做BK⊥CD于K，過點E作EF⊥x軸于F，延長DE與雙曲線在第一象限的交點為G，
∵∴∴DK=
由翻折知：∠DBE=∠DBC，∠DEB=∠DCB，∠BDE=∠BDC，BE=BC=2
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD=CD∴BD=CD△∴∠DBC=∠DCB∴∠DBE=∠DBC=∠DEB=∠DCB
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，∠DBC+∠DBE+∠EBF=180°∴∠EBF=∠BDC
∵∠BFE=∠BKD=90°∴△BEF∽△DBK∴
即∴BF=，EF=∴OF=OB+BF=1+∴
設直線DE的解析式為y=cx+d∵D（0，2），∴解得
∴直線DE的解析式是由，解得∴
綜上，a的取值范圍是或．
【點睛】本題是反比例函數綜合題，考查了反比例函數和一次函數的圖象和性質，直角三角形性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，平行四邊形的性質等，解題關鍵是運用數形結合思想和分類討論思想解決問題．
13．（2023·廣東·二模）如圖1，點P是反比例函數y＝（k＞0）在第一象限的點，PA⊥y軸于點A，PB⊥x軸于點B，反比例函數y＝的圖象分別交線段AP、BP于C、D，連接CD，點G是線段CD上一點．(1)若點P（6，3），求△PCD的面積；(2)在（1）的條件下，當PG平分∠CPD時，求點G的坐標；(3)如圖2，若點G是OP與CD的交點，點M是線段OP上的點，連接MC、MD．當∠CMD＝90°時，求證：MG＝CD．
【答案】(1)4(2)G（，）(3)見解析
【分析】（1）先求出點C，點D坐標，可得PC＝4，PD＝2，即可求解；（2）過點G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，由角平分線的性質可證GM＝GN，由面積法可求GM＝GN＝，即可求解；（3）先求出直線OP，直線CD的解析式，可得點G坐標，可證點G是CD的中點，由直角三角形的性質即可證明．
【詳解】（1）解：∵點P（6，3），PA⊥y軸于點A，PB⊥x軸于點B，∠AOB＝90°，
∴點A（0，3），點B（6，0），四邊形AOBP是矩形，
∴點C縱坐標為3，點D的橫坐標為6，∠APB＝90°，
∵點C，點D在反比例函數y＝的圖象上，∴點C（2，3），點D（6，1），∴CP＝4，PD＝2，
∴△PCD的面積＝×PC×PD＝×4×2＝4．
（2）解：如圖1，過點G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，
∵PG平分∠CPD，GM⊥PB，GN⊥AP，∴GM＝GN，
∵S△PCD＝×CP×GN+PD×GM，∴8＝4GN+2GN，∴GN＝＝GM，∴點G（，）．
（3）證明：設點P（a，），則點C（，），點D（a，），
∵點O（0，0），點P（a，），∴直線OP解析式為y＝x，
∵點C（，），點D（a，），∴直線CD解析式為y＝﹣x+，
∵點G是直線OP與直線CD的交點，∴x＝﹣x+，∴x＝，∴點G（，），
∵點C（，），點D（a，），∴線段CD的中點為（，），∴點G是CD的中點，
又∵∠CMD＝90°，∴MG＝CD．
【點睛】本題屬于反比例函數與幾何的綜合題，主要涉及反比例函數的性質、矩形的性質以及運用待定系數法求一次函數解析式等知識點，正確作出輔助線成為解答本題的關鍵．
14．（22-23八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，反比例函數圖像與一次函數圖像相交于A，B兩點，A點坐標為，點C是反比例函數圖像上一點（不與點B重合，且點C在點B的左側），點C的橫坐標為m．(1)______，______，點B的坐標為（______，______）；
(2)若，連接AC，BC，求的面積；
(3)連接，與x軸相交于點E，連接．求證：．
(4)在（3）的條件下，點D是反比例函數圖像上另外一點（不與點B重合，且點D在點B的右側），連接，若，求的度數．（直接寫出答案）

【答案】(1)3， 9，(2)(3)見解析(4)
【分析】（1）把A坐標代入即可求出a，然后把A坐標代入反比例函數解析式即可求出k，聯立兩個函數求出交點坐標，即可得出點B坐標；（2）先求解析式，再求出與x軸交點坐標，利用，即可求出面積；（3）分別求出和的解析式，再求出兩個解析式與x軸的交點，得出為垂直平分線，進而求出，再根據三角形外角知識即可得出結論；
（4）畫出圖形，求的度數，再根據三角形內角和定理求出．
【詳解】（1）解：∵一次函數圖像經過，∴，則，
∵經過，∴，
∵反比例函數圖象與一次函數圖象相交于A，B兩點，
∴，解得：，∴，故答案為∶ ， 9，；
（2）如圖，∵點C的橫坐標為m，且點C是反比例函數圖象上一點，

當時，則，∵，設直線的解析式為∶ ，
∴，解得：， ∴直線的解析式為∶ ，
令，則，設交y軸于E點，∴，∴，
∵ ，，∴軸，且，∵，，
∴，∴
（3）如圖，連接，與x軸相交于點E，
∵，，∴直線的解析式為，∴設，
∵，，∴直線解析式為∶ ，
設交x軸于F，∴，作垂直于x軸交x軸于點H，則，
∴，∴垂直平分∴，∴，
∵∴，∴；
（4），理由如下：如圖，連接，交x軸于M，交y軸于N，
由(3)可得∶ 設點D坐標為根據 （3）中的理由可得：，
∵，，∴，
∵，∴，設交x軸于M，交y軸于N，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的知識、一次函數的知識、垂直平分線的知識、三角形內角和的知識，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
15．（23-24八年級下·山西臨汾·期中）如圖1，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點，，且一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點．
(1)求一次函數的表達式以及點的坐標．(2)利用圖象，直接寫出關于的不等式的解集．
(3)如圖2，將直線繞點逆時針方向旋轉，求旋轉后所得直線的函數表達式．

【答案】(1)，(2)或(3)
【分析】（1）根據題意把代入，求得反比例函數解析式，把代入反比例函數解析式求得，再利用待定系數法求得一次函數的表達式，利用一次函數解析式求出其與軸交點，即可解題；
（2）根據函數圖像確定一次函數圖像在反比例函數圖像上方的自變量的取值范圍即可；
（3）利用一次函數解析式得到點坐標，過點作，交旋轉后的直線于點，過點作軸于點，結合旋轉的性質和等腰三角形性質證明，利用全等三角形性質得到坐標，設旋轉后直線的解析式為，利用待定系數法求得旋轉后所得直線的函數表達式即可．
【詳解】（1）解：把代入，得：，解得：，
把代入得：，把，代入得：
，解得：，所以一次函數的表達式為，
把代入，得，，；
（2）解：由圖知，不等式的解集為：或；
（3）解：把代入，得，，
過點作，交旋轉后的直線于點，過點作軸于點，

，，，
，由旋轉的性質可得：，，，
，，，，
，，設旋轉后直線的解析式為，
把，代入得：，解得：，
所以旋轉后直線的解析式為．
【點睛】本題考查了一次函數與反比函數圖像性質，等腰三角形性質，旋轉的性質，全等三角形的性質和判定，掌握待定系數法求函數解析式及利用圖像解決不等式是解題的關鍵．
16．（23-24九年級上·四川成都·期中）如圖1，一次函數的圖象與軸交于點，與反比例函數的圖象交于點．
(1)_________； _________；(2)點是線段上一點（不與重合），過點作軸的平行線與該反比例函數的圖象交于點，連接，當四邊形的面積等于24時，求點的坐標；
(3)在（2）的前提下，將沿射線方向平移一定的距離后，得到，若點的對應點恰好落在該反比例函數圖象上，是否在此反比例函數圖像上存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，(2)(3)的坐標為或
【分析】（1）將點分別代入和得：，，求出、的值即可；（2）設，則，則，利用可得，解方程即可得出答案；（3）分兩種情況：當點位于內部時，作于，延長交反比例函數于；當點位于外部時，作于，連接，分別求解即可．
【詳解】（1）解：把點分別代入和得：，，
解得：，，故答案為：，；
（2）解：設，則，，
，，
整理得：，解得：，，經檢驗：，是原方程的解，
，，此時，；
（3）解：由平移可得：，直線的解析式為：，
聯立，解得：或（不符合題意，舍去），，
點向右平移個單位長度，向上平移個單位長度得到，由（2）可得：，，
，，，
如圖，當點位于內部時，作于，延長交反比例函數于，
，，
，，，，
為的中點，，即，設直線的解析式為：，
將，代入可得：，解得：，直線的解析式為：，
聯立，解得：或（不符合題意，舍去），；
如圖，當點位于外部時，作于，連接，
，，，，
，、關于對稱，，設直線的解析式為：，
將，代入得：，解得：，直線的解析式為：，
設，則、的中點在直線上，在直線上，
，，，
，，
整理得：，解得：，，或，
經檢驗，當時，直線不垂直，故不符合題意，，
設直線的解析式為：，將，代入得：，解得：，
直線的解析式為：，聯立，解得：或（不符合題意，舍去），；
綜上所述，的坐標為或．
【點睛】本題考查反比例函數的應用、一次函數的應用、平移的性質，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，學會構建方程解決問題，學會構建一次函數，利用方程組確定交點坐標，屬于中考常考題型．
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專題6-7 反比例函數與角度相關模型
模塊1：模型簡介
反比例函數與角度相關問題是近年浙江各地壓軸題中的常客，具有較好的區分度和選拔功能，此類試題不僅可以考查反比例函數與平面幾何的基礎知識，還可以考查數形結合等數學思想方法，以及運用數學知識探究問題的能力等。解題關鍵是充分挖掘題目中的隱含條件，利用平行線性質、等腰三角形的性質、全等三角形構造等角或倍角，再運用勾股定理進行計算求解。
模塊2：核心模型點與典例
1.反比例函數與角度綜合問題，常見類型：
1）特殊角問題：遇到特殊角可以構造特殊三角形，如遇到45°構造等腰直角三角形，遇到30°、60°構造等邊三角形，遇到90°構造直角三角形。
2）角的數量關系問題
（1）等角問題：基于動點構造某個角使其與特定已知角相等，主要借助特殊圖形的性質、平行線的性質、全等三角形的性質來解決；
（2）倍角問題：基于動點構造某個角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分線的性質、等腰三角形的性質、對稱等知識來解答；
（3）角的和差問題：角度和、差為90°等。
2.反比例函數與角度綜合問題處理思路：主要解題突破口在于構造相關角。
（1）構造相等角的方法：①利用平行線的性質或者等腰三角形的性質構造相等角；②利用全等三角形構造相等角。
（2）構造二倍角的方法：如圖，已知∠B=，我們可以用等腰三角形及三角形外角的性質去構造，先構造直角三角形，然后在BC邊上找一點D，使BD=AD，則∠ADC=，這樣，我們就構造出了二倍角。
模型1.反比例函數與特殊角問題
例1．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖，點P為一次函數與反比例函數的圖象的交點，點P的縱坐標為4，軸，垂足為B，一次函數的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C．(1)求m的值．(2)點M是反比例函數的圖象上的一點，且在點P的右側，連接．①連接．若，求點M的坐標．②過點M作于點D，若，求M的坐標．
變式1．（2023·廣東珠海·一模）如圖，點為函數圖象上一點，連接，點B在線段上，且，C是x軸的正半軸上一點，連接，．(1)求點B的坐標；(2)若M是線段上一點，且，求的面積．
模型2.反比例函數與等角問題
例2．（2023·湖北黃岡·模擬預測）如圖，直線與函數的圖像相交于點，與x軸交于點．(1)求m的值及直線的解析式；(2)若D是線段上一點，將線段繞點O逆時針旋轉得到，點恰好落在函數的圖像上，求點D的坐標；(3)直線在直線的上方，滿足，求直線的解析式．

變式1．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習）綜合運用：如圖，直線與x軸交于C點，與y軸交于B點，在直線上取點，過點A作反比例函數的圖象．(1)求a的值及反比例函數的表達式；(2)點P為反比例函數圖象上的一點，若，求點P的坐標．(3)在x軸是否存在點Q，使得，若存在請求出點Q的坐標，若不存在請說明理由．
模型3.反比例函數與倍角問題
例3．（23-24九年級上·四川成都·期末）利用尺規作圖將一個角三等分已經被數學家證明不可能完成，但是數學家帕普斯利用反比例函數圖象完成了將一個角三等分，具體方法如下：
第一步：建立平面直角坐標系，將已知銳角的頂點與原點重合，角的一邊與軸正方向重合．在平面直角坐標系里，繪制函數的圖象，圖象與已知角的另一邊交于點；
第二步：以為圓心、以為半徑作弧，交函數的圖象于點；
第三步：分別過點和作軸和軸的平行線，兩線相交于點，連接，得到（如圖1），這時．為什么呢？小靜想要證明這個結論卻沒有思路，老師便組織同學們進行了研究討論．討論后有以下思路：分別過點和作軸和軸的平行線，兩線交于點（如圖2），此時，四邊形便構成了一個矩形；如果我們能再證明三點共線，就可以利用矩形性質證明這個結論了．研究討論后，小靜采用代數設點，設，．請你和小靜一起完成下列問題．
(1)請你寫出的坐標（用含的式子表示）；
(2)請你在第（）問的基礎上證明三點共線；(3)請證明．
變式1．（23-24九年級上·廣東·期末）如圖1，的圖像與y軸交于點B，與反比例函數的圖像交于點．(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)點C是線段上一點（不與A，B重合），過點C作y軸的平行線與該反比例函數的圖像交于點D，連接，當四邊形的面積等于24時，求點C的坐標；(3)在（2）的前提下，將沿射線方向平移一定的距離后，得到，若點O的對應點恰好落在該反比例函數圖像上，是否在此反比例函數圖像上存在點M，使得，若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．
模型4.反比例函數與角的和差問題
例1．（2023·四川成都·二模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點，與y軸相交于點B．(1)求點A的坐標及反比例函數的表達式；(2)點P是反比例函數的圖象上一點，連接PA，PB，若的面積為4，求點P的坐標；(3)在（2）的條件下，取位于A點下方的點P，將線段PA繞點P逆時針旋轉90°得到線段PC，連接BC，點M是反比例函數的圖象上一點，連接MB，若，求滿足條件的點M的坐標．
變式1．（23-24九年級·長沙·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，函數（為常數，，）的圖象經過點和，直線與軸，軸分別交于，兩點.
（1）求的度數；（2）如圖2，連接、，當時，求此時的值：（3）如圖3，點，點分別在軸和軸正半軸上的動點.再以、為鄰邊作矩形.若點恰好在函數（為常數，，）的圖象上，且四邊形為平行四邊形，求此時、的長度.
模塊3：同步培優題庫
全卷共16題 測試時間：90分鐘 試卷滿分：120分
三、解答題（本大題共16小題，共120分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
1．（22-23八年級下·四川資陽·期末）如圖，直線與雙曲線相交于點，軸于點，以為邊在右側作正方形，與雙曲線相交于點，連結、．
(1)當時，求點的坐標；(2)當時，求的值；
(3)是否存在實數，滿足，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

2．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐標系中，直線與反比例函數的圖象交于點和點B．(1)求反比例函數的表達式；(2)如圖1，若點C為線段上一點，過點C作軸交雙曲線于點D，連接，若的面積為，求點C的坐標；(3)如圖2，連接，并延長至點E，使，作的平分線交x軸于點F，過點E作于點H，求點H的坐標．
3．（2023九年級·浙江·專題練習）如圖，點和點是反比例函數圖象上的兩點，點在反比例函數的圖象上，分別過點、作軸的垂線，垂足分別為點、，，連接交軸于點．(1)求；(2)設點的橫坐標為，點的縱坐標為，求證：
(3)連接、，當時，求的坐標．
4．（23-24九年級上·河南許昌·期末）如圖，直線與x軸交于點A，與反比例函數的圖象交于點．(1)求m、k的值．(2)C是反比例函數圖象上一點，連接，當時，求直線的解析式及的面積．
5．（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習）綜合運用:如圖，直線與x軸交于C點，與y軸交于B點，在直線上取點，過點A作反比例函數的圖象．(1)求a的值及反比例函數的表達式；(2)點P為反比例函數圖象上的一點，若，求點P的坐標．(3)在x軸是否存在點Q，使得，若存在請求出點Q的坐標，若不存在請說明理由．
6．（2023·廣東深圳·模擬預測）閱讀材料：“三等分角”是數學史上一個著名問題．今天人們已經知道，僅用圓規和直尺是不可能作出的．在研究這個問題的過程中，數學家帕普斯借助函數給出了一種“三等分銳角”的方法，如圖1，步驟如下：
①建立直角坐標系，將已知銳角的頂點與原點O重合，角的一邊與x軸正方向重合；
②在直角坐標系中，繪制函數的圖象，圖象與已知角的另一邊交于點P；
③以P為圓心、以為半徑作弧，交函數的圖象于點R；
④分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，分別交于點M，點Q；
⑤連接，得到．則．
思考問題：(1)設，，求直線的函數解析式（用含a，b的代數式表示），并說明Q點在直線上；(2)證明：．(3)如圖2，若直線與反比例函數交于點C，D為反比例函數第一象限上的一個動點，使得．求用材料中的方法求出滿足條件D點坐標．
7．（2023·河南周口·模擬預測）如圖，平面直角坐標系中點，，反比例函數的圖象與線段交于點，．

(1)求反比例函數表達式．(2)請用無刻度的直尺和圓規作出線段的垂直平分線．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(3)（）中所作的垂直平分線分別與、線段交于點．連接，求證：是的平分線．
8．（22-23九年級上·河南鄭州·期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（3，2）在反比例函數的圖象上，點B在OA延長線上，軸，垂足為點C，直線BC與反比例函數的圖象相交于點D，連接AC，AD．(1)求該反比例函數解析式；(2)若，求線段BD的長度；(3)在第（2）問的條件下，x軸上是否存在一點使，若存在請求出點M的坐標，若不存在請說明理由．
9．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖，矩形的頂點、分別落在軸、軸的正半軸上，點，反比例函數的圖象與、分別交于、兩點，，點是線段上一動點．
(1)求反比例函數關系式和點的坐標；(2)如圖，連接、，求的最小值；
(3)如圖，當時，求線段的長．
10．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期中）（1）平面直角坐標系中，直線交雙曲線于點，點的縱坐標是．①求的值；②如圖 1，正方形的頂點、在雙曲線上，頂點、分別在軸、軸的正半軸上，求點的坐標；（2）平面直角坐標系中，如圖 2，點在軸正半軸上，四邊形為直角梯形，，，，為邊的中點，，反比例函數的圖像經過點，且，求的值．
11．（2024·寧夏吳忠·一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和點．(1)求一次函數與反比例函數的表達式；(2)直線AB與x軸交于點D，與y軸交于點C．①過點C作軸交反比例函數的圖象于點E，連接AE，試判斷△ACE的形狀，并說明理由；②設M是x軸上一點，當∠DCO＝2∠CMO時，直接寫出點M的坐標．
12．（23-24九年級·四川成都·期末）如圖，點A是反比例函數圖象上的點，AB平行于y軸，且交x軸于點，點C的坐標為，AC交y軸于點D，連接BD，．
(1)求反比例函數的表達式；(2)設點P是反比例函數圖象上一點，點Q是直線AC上一點，若以點O，P，D，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標；(3)若點是該反比例函數圖象上的點，且滿足∠MDB>∠BDC，請直接寫a的取值范圍．
13．（2023·廣東·二模）如圖1，點P是反比例函數y＝（k＞0）在第一象限的點，PA⊥y軸于點A，PB⊥x軸于點B，反比例函數y＝的圖象分別交線段AP、BP于C、D，連接CD，點G是線段CD上一點．(1)若點P（6，3），求△PCD的面積；(2)在（1）的條件下，當PG平分∠CPD時，求點G的坐標；(3)如圖2，若點G是OP與CD的交點，點M是線段OP上的點，連接MC、MD．當∠CMD＝90°時，求證：MG＝CD．
14．（22-23八年級下·江蘇泰州·期末）如圖，反比例函數圖像與一次函數圖像相交于A，B兩點，A點坐標為，點C是反比例函數圖像上一點（不與點B重合，且點C在點B的左側），點C的橫坐標為m．(1)______，______，點B的坐標為（______，______）；
(2)若，連接AC，BC，求的面積；
(3)連接，與x軸相交于點E，連接．求證：．
(4)在（3）的條件下，點D是反比例函數圖像上另外一點（不與點B重合，且點D在點B的右側），連接，若，求的度數．（直接寫出答案）

15．（23-24八年級下·山西臨汾·期中）如圖1，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點，，且一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點．
(1)求一次函數的表達式以及點的坐標．(2)利用圖象，直接寫出關于的不等式的解集．
(3)如圖2，將直線繞點逆時針方向旋轉，求旋轉后所得直線的函數表達式．

16．（23-24九年級上·四川成都·期中）如圖1，一次函數的圖象與軸交于點，與反比例函數的圖象交于點．
(1)_________； _________；(2)點是線段上一點（不與重合），過點作軸的平行線與該反比例函數的圖象交于點，連接，當四邊形的面積等于24時，求點的坐標；
(3)在（2）的前提下，將沿射線方向平移一定的距離后，得到，若點的對應點恰好落在該反比例函數圖象上，是否在此反比例函數圖像上存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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