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專題5-4. 特殊平行四邊形中的最值模型-將軍飲馬模型
模塊1：模型簡介
“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數學問題，通常稱為“將軍飲馬”。
將軍飲馬問題從本質上來看是由軸對稱衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問題主要依據是：兩點之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。
模塊2：核心模型點與典例
模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）
【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最??；
（1）點A、B在直線m兩側： （2）點A、B在直線同側：
【最值原理】兩點之間線段最短。 上圖中A’是A關于直線m的對稱點。
例1．（2023·山西運城·九年級統考期中）如圖，正方形的對角線交于點O，點E是直線上一動點．若，則的最小值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查軸對稱最短路徑，勾股定理的綜合，理解圖示，作出對稱點，運用勾股定理是解題的關鍵．作點A關于直線的對稱點，其與的交點即為點E，過點O作于點F，，O，E在同一條線上的時，最小，此時：，再結合正方形的性質和勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線的對稱點，其與的交點即為點E，過點O作于點F，∴，，O，E在同一條線上的時，最小，
此時：，
∵正方形，點O為對角線的交點，∴，∴，
∵A與關于對稱，∴，∴，
在中，，故選：D．
例2．（2023上·山東青島·八年級校考自主招生）如圖，正方形的邊長為6，點E，F分別為邊，上兩點，，平分，連接，分別交，于點G，M，點P是線段上的一個動點，過點P作，垂足為N，連接，則下列結論正確的個數是（ ）
①；②；③的最小值為；④三角形的面積是．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據正方形的性質以及，可得，進而可得，由等腰三角形三線合一可得，即點M關于對稱的點為點B；過點B作，結合正方形的對角線相互垂直平分即可得出答案．
【詳解】四邊形為正方形，
在和中，故①正確；
平分
由等腰三角形的三線合一可得，，故②錯誤；
點M關于的對稱點為點B 過點B作，交于點

則的最小值即為的長
正方形的對角線相互垂直且平分
的最小值為，故③正確；
，故④錯誤；故選B．
【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題以及正方形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．
例3．（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．
【答案】
【分析】過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，
菱形的邊長為2，，中，
PQ+QC的最小值為故答案為：
【點睛】本題考查菱形性質，勾股定理，軸對稱的性質，掌握軸對稱的性質求線段和的最小值是解題關鍵．
例5．（2023上·福建漳州·九年級校考期中）如圖，矩形中，點為的中點．點為對角線上的一動點．則的最小值等于（）

A． B．6 C． D．8
【答案】B
【分析】作點于直線的對稱點，連接、、，在取一點，使得點與點關于直線成抽對稱，則,，，，當點、、三點共線時，的值最小，利用勾股定理及等邊三角形的性質求出即可．
【詳解】解：作點于直線的對稱點，連接、、，在取一點，使得點與點關于直線成抽對稱，則,，，，當點、、三點共線時，的值最小，

∵四邊形是矩形，∴,,
∵,∴，，
∴,,∴是等邊三角形，
∵，∴,∴,
∴的最小值等于故選：B．
【點睛】本題主要考查軸對稱和最短路線問題，矩形的性質，等邊三角形的判定及性質，勾股定理等知識點，確定點的位置是解答本題的關鍵．
例5．（2023下·湖南湘西·八年級校聯考期中）如上圖所示，矩形，，，點是邊上的一個動點，點是對角線上一個動點，連接，，則的最小值是（ ）

A．6 B． C．12 D．
【答案】B
【分析】作點關于的對稱點，過點作于點，交于點，即可得到的最小值為，再解直角三角形即可解答．
【詳解】解：作點關于的對稱點，過點作于點，交于點，如圖：

由對稱性可得，，
當，，三點共線，且時，即點在點處，點在點處時，的值最?。?br/>，，，，，
，，．故選：B．
【點睛】本題主要考查矩形的性質和線段和最小值問題，勾股定理，含30度的直角三角形的性質，解題的關鍵在于作出適當的輔助線．
例6．（2022上·重慶大渡口·九年級?？计谀┤鐖D，在矩形中，，點E在上，點F在上，且，連結，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】證得，作點關于的對稱點，則，據此即可求解．
【詳解】解：連接，作點關于的對稱點，連接

由題意得：
∵∴∴
∵∴
∴的最小值為 故答案為：
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理、矩形的性質等．通過證全等和作對稱得出是解題關鍵．
例7．（2023上·福建龍巖·九年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，，，點E是邊上且．F是邊上的一個動點，將線段繞點E逆時針旋轉，得到，連接、，則的最小值 ．
【答案】
【分析】取得中點N，連接，，，作交的延長線于點H，先求出，，，再說明是等邊三角形，根據“”證明≌，可求，即可得出點G的運動軌跡是射線，然后證明≌，可確定的最小值，根據勾股定理求出答案即可．
【詳解】解：如圖，取得中點N，連接，，，作交的延長線于點H．
由題意，得，，．
∵點N是的中點，∴，∴．∵，∴是等邊三角形，
∴，，，∴．
∵，，∴，∴，
∴，∴點G的運動軌跡是射線．
∵，，，∴，
∴，∴．
在中，，，，
∴，，∴．
根據勾股定理，得，
∴，∴的最小值是．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形與旋轉的綜合問題，全等三角形的性質和判定，三角形三邊關系，勾股定理等，確定點G的運動軌跡是解題的關鍵．
模型2. 求多條線段和（周長）最小值
【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）兩個點都在直線外側： （2）一個點在內側，一個點在外側：
（3）兩個點都在內側：
（4）臺球兩次碰壁模型
1）已知點A、B位于直線m,n 的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.
2）已知點A位于直線m,n 的內側, 在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.
【最值原理】兩點之間線段最短。
例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作E關于BC的對稱點，點A關于的對稱點，連接，四邊形的周長最小，根據，即可解．
【詳解】解：如圖1所示，作E關于BC的對稱點，點A關于的對稱點，連接，四邊形的周長最小，
∵，，∴，．
∵，D是的中點，∴是的中位線，
∴，，∵，∴，
∴，即，，，
，故選：B．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，軸對稱的性質，三角形相似的判定和性質，中位線的性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是作出輔助線，找出四邊形的周長最小時，P、Q的位置．
例2．（2023.無錫市初三數學期中試卷）方法感悟：如圖①，在矩形中，，是否在邊上分別存在點G、H，使得四邊形的周長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．
問題解決：
【答案】（1）存在得四邊形的周長最小，最小值為；（2）當所裁得的四邊形部件為四邊形時，裁得了符合條件的最大部件，這個部件的面積為，
【分析】作E關于的對稱點，作F關于BC的對稱點，連接，交于G，交于H，連接，得到此時四邊形的周長最小，根據軸對稱的性質得到，于是得到，求出即可得到結論；
【詳解】解：（1）存在，理由：作E關于的對稱點，作F關于的對稱點，連接，交于G，交于H，連接，∴，則此時四邊形的周長最小，
由題意得：，∴，
∴，
∴四邊形的周長的最小值2，
∴在邊上分別存在點G、H，使得四邊形的周長最小，最小值為；
例3．（2023春·湖北黃石·八年級統考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個動點，為的中點，則
（1）的最小值是________；
（2）若，則的最小值為________．
【答案】 /
【分析】（1）延長作點D的關于點A的對稱點，延長作點M的關于點C對稱點，作，且，即為最小值；
（2）過點E作于P，可得，則，故求的最小值即先求的最小值．過點E作，且，可知當D，E，三點共線時，最小．利用，可求得，進一步計算即可得出答案．
【詳解】解：（1）如下圖所示，延長作點D的關于點A的對稱點，延長作點M的關于點C對稱點，作，且，
可得，∴，∴的最小值為，
∵，且，四邊形為矩形，∴四邊形為矩形，
∵為的中點∴，，
∴；
（2）過點E作于P，∵，∴，∴，
則，∴求的最小值即先求的最小值．
過點E作，且，
∴，∴當D，E，三點共線時，最?。?br/>此時，∴，∴，∴，
設，則．∴，解得，∴，，
，，∴，
∴的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題、矩形的性質，根據題意找到使所求線段的和最小時點的位置是解題的關鍵．
例4．（2023上·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如圖，，在的同側，，，，為的中點．若，則長的最大值是（ ）

A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【分析】如圖，作點關于的對稱點，點關于的對稱點，證明為等邊三角形，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，點關于的對稱點．
，，，，
，為等邊三角形
，的最大值為，故選：D．

【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，兩點之間線段最短，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用兩點之間線段最短解決最值問題
模型3.求兩條線段差最大值
【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；
（1）點A、B在直線m同側：
延長AB交直線m于點P，根據三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時最大，
因此點P為所求的點。
（2）點A、B在直線m異側：
過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’
【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。
例1．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC與BD交于點O，點N在AC上且AN＝2，點M在BC上且BM＝BC，P為對角線BD上一點，則PM﹣PN的最大值為 ．
【答案】2
【分析】作點關于的對稱點，連接，從而可得，再根據菱形的性質、等邊三角形的判定證出是等邊三角形，然后根據等邊三角形的性質可得，由此即可得．
【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，
，是等邊三角形，，，
，，如圖，作點關于的對稱點，連接，則，
，當且僅當共線時，等號成立，
，，，是等邊三角形，
，即的最大值為2，故答案為：2．
【點睛】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、軸對稱的性質等知識點，熟練掌握菱形的性質是解題關鍵．
例2．（2023春·湖南永州·八年級統考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點，點P在邊上，且，點Q在邊上，連接與，則的最大值為________，的最小值為__________．
【答案】
【分析】①連接并延長交于點Q，則這個點Q滿足使的值最大，最大值為的長度，證明四邊形是矩形可得，，，再利用勾股定理進行計算即可；
②過點O作關于的對稱點，連接交于點Q，的值最小，
的最小值為的長度，延長交于點G，根據對稱的性質可得，再根據，點O是的中點，可得，從而求得，再利用勾股定理進行計算即可．
【詳解】解：①連接并延長交于點Q，則這個點Q滿足使的值最大，最大值為的長度，
∵四邊形是矩形，∴，，∴，
∵點O是的中點，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，∴，過點P作于點P，
∵，∴四邊形是矩形，
∴，，∴，
∴，∴；
②過點O作關于的對稱點，連接交于點Q，的值最小，
的最小值為的長度，延長交于點G，
∵，點O是的中點，∴，
∴，，∴，，
∴，∴的最小值為：，故答案為：；．
【點睛】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理及軸對稱 最短路徑，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
例3．（2023·浙江·八年級專題練習）如圖，四邊形中，，，，點為直線左側平面上一點，的面積為，則的最大值為 ．
【答案】10
【分析】如圖，過點作 于．過點作直線，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，此時的值最大，即的值最大，最大值為線段的長，過點作于． 利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵，∴，
∴是直角三角形，且，∴
如圖，過點作 于．
∵的面積為，即，∴，
過點作直線，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，此時的值最大，即的值最大，最大值為線段的長，過點作于．
∵，∴四邊形是矩形，∴，
∵，∴，∴，
∴的最大值為10．故答案為10．
【點睛】本題考查軸對稱 最短問題，三角形的面積，矩形的判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
模塊3：同步培優題庫
全卷共21題 測試時間：90分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·湖北鄂州·二模）如圖，矩形中，，點在上，且，點分別為邊上的動點，將沿直線翻折得到，連接，則的最小值為（ ）

A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】作關于的對稱點，連接，根據條件求出的長度，當、、、四點共線時，最小，即可求出答案．
【詳解】解：作關于的對稱點，連接，，，

沿直線翻折得到，， ，
，， ， 四邊形為矩形，，
在中， ，當、、、四點共線時，最小，
最小為，的最小值為．故選：D．
【點睛】本題主要考查矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，解答的關鍵是作出輔助線．
2．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，菱形，，邊長為4，點E在上，且，F為對角線上一動點，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由于點B與D關于對稱，所以連接．此時最小，再作垂足為M，根據菱形的性質、勾股定理計算．
【詳解】解：連接，過點作于點M．

∵四邊形是菱形，∴B點關于的對稱點即為點，
連接即為的最小值．
∵四邊形是菱形，∴，．∴，
又∵，∴．∴是等邊三角形．
又∵，∴．∴．
在中，．∴．
在中，．故選：B．
【點睛】本題主要考查的是軸對稱-最短路徑問題，菱形的性質，掌握軸對稱-最短路徑的確定方法、靈活運用勾股定理是解題的關鍵．
3．（2023下·浙江杭州·八年級校聯考期中）如圖，矩形中，，，點E、F分別是、上的動點，，則的最小值是（　?。?br/>
A． B．12 C． D．16
【答案】A
【分析】連接，作點A關于的對稱點G，連接，，根據軸對稱的性質可得，，根據矩形的性質可得，，進一步可知四邊形是矩形，根據矩形的性質可得，的最小值等于的最小值，即的長度，進一步求的長，即可確定的最小值．
【詳解】連接，作點A關于的對稱點G，連接，，如圖所示：

則，，在矩形中，，，
∵，∴四邊形是平行四邊形，
∵，∴四邊形是矩形，∴，
∴的最小值等于的最小值，等于的最小值，即的長度，
∵，，∴，根據勾股定理，得，
∴的最小值為，故選：A．
【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，涉及軸對稱-最短路線問題，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．
4．（2023下·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習）如圖正方形的面積為，是等邊三角形，點在正方形內，在對角線上有一動點，要使最小，則這個最小值為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接．由正方形的對稱性可知，則，依據兩點之間線段最短可知當點、、在一條直線上時，有最小值，最小值為的長，然后依據正方形和等邊三角形的性質求解即可
【詳解】解：連接．

點與關于對稱，，．
由兩點之間線段最短可知當點為點處時，有最小值，最小值為的長．
正方形的面積為，，
又是等邊三角形，，的最小值為故選：C．
【點睛】本題考查的是正方形的性質和軸對稱-最短路線問題，熟知“兩點之間，線段最短”是解答此題關鍵．
5．（2023下·廣西欽州·八年級校考階段練習）已知點、，點在軸上，則最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取B點關于x軸的對稱點，連接并延長交x軸于點M，即，在x軸上另取一點N，即根據對稱的性質有，即，當A、N、三點共線時取等號，即M點滿足取最大值，再根據勾股定理即可求解．
【詳解】取B點關于x軸的對稱點，連接并延長交x軸于點M，如圖，
即根據對稱的性質有，∴，
在x軸上另取一點N，如圖，即根據對稱的性質有，
∴，當A、N、三點共線時取等號，
即M點滿足取最大值，∵，∴，
∵，∴，∴的最大值為，故選：A．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質，勾股定理等知識，構造合理的輔助線，找到M點是解答本題的關鍵．
6．（2023·廣東深圳·校聯考模擬預測）如圖，點是正方形內部一個動點，且，，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取，則,證明得出，進而證明，即可證明，得出，則當三點共線時，取得最小值，最小值為的長，勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，取，則,連接，

∵，，
∴點在以為圓心為半徑的圓上運動，點在以為圓心為半徑的圓上運動，
在中，，∴，
∴，∴，
∵，∴，即，∴，
又，，∴，∴，
當時，則當三點共線時，取得最小值，最小值為的長，
在中，，故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
7．（2023·重慶北碚·九年級?？奸_學考試）如圖，矩形中，，點是矩形內一動點，且，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作PM⊥AD于M，作點D關于直線PM的對稱點E，連接PE，EC．設AM=x．由PM垂直平分線段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【詳解】解：如圖，作PM⊥AD于M，作點D關于直線PM的對稱點E，連接PE，EC．設AM=x．
∵四邊形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，
∵PM垂直平分線段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值為4．故選：B．
【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．
8．（2023上·安徽滁州·九年級校聯考期中）如圖，菱形的邊長為4，且于點為上一點，且的周長最小，則的周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先確定出的周長的最小值就是的最小值，然后利用將軍飲馬問題的模型構造出的周長的最小值，再利用勾股定理求出，進而解決問題．
【詳解】解：連接交于點，連接，，
四邊形是菱形，對角線所在直線是其一條對稱軸，點，點關于直線對稱，與是等邊三角形，，，是的中點，，
的周長，
要求的周長的最小值可先求出的最小值即可，
而的最小值就是的長，過點作，交的延長線于點，
四邊形是菱形，，，在中，
，，在中，，，
，的周長的最小值為，故選：B．
【點睛】本題考查軸對稱最短路線問題，菱形的性質，勾股定理，特殊值的三角函數，掌握相關圖形的性質和構造出最短路線是解題的關鍵．
9．（2023上·遼寧朝陽·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點N，M；②分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在矩形內交于點G；③作射線，若，F為邊的中點，E為射線上一動點，則的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【分析】在上截取，連接，可證（），可得，當、、三點共線時，最小，即最小，由即可求解．
【詳解】解：如圖，在上截取，連接，
由作法可得平分，，
在和中，（），
，，
當、、三點共線時，最小，即最小，
四邊形是矩形，，是的中點，，
，的最小值；故選：B．
【點睛】本題考查了線段和最小值的典型問題，矩形的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理，找出取得最小值的條件是解題的關鍵．
10．（2022·山東泰安·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E、F分別是邊BC、CD上的動點，且EF＝4，點M是EF的中點，點Q是AB的中點，連接PQ、PM，則PQ+PM的最小值為（ ）
A．10 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】延長QA得到點N，使QA=NA，連接MN，可得，進而求得，當M、P、N再同一直線上時，最小，即最小，根據題意，點M的軌跡是以點B為圓心，以為半徑的圓弧上，圓外一點N到圓上一點M距離的最小值，再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和勾股定理進行求解即可．
【詳解】延長QA得到點N，使QA=NA，連接MN，
，，
當M、P、N再同一直線上時，最小，即最小，
根據題意，點M的軌跡是以點C為圓心，以為半徑的圓弧上，圓外一點N到圓上一點M距離的最小值，點M是EF的中點，EF＝4，，
在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點Q是AB的中點，
，，，
，即PQ+PM的最小值為8，故選：C．
【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，矩形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023下·四川資陽·八年級?？茧A段練習）如圖，四邊形是菱形，對角線相交于點O，，點P是上一動點，點E是的中點，則的最小值為 ．

【答案】/
【分析】如圖：連接，過D作,垂足為H，先根據菱形的性質即可計算出、的長，再運用勾股定理求得，進而求得,然后運用勾股定理求得的長，最后根據線段的性質得到的最小值為的長即可解答．
【詳解】解：如圖：連接，過D作,垂足為H

∵四邊形是菱形，對角線AC，BD相交于點O，，
∴，，，∴，
又∵E是的中點，∴，∵，
∴，∴，∴，∴,∴
∵，∴的最小值為DE的長，即的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了菱形的性質、勾股定理、兩點直接線段最短等知識點，掌握菱形的性質以及兩點之間線段最短是解答本題的關鍵．
12．（2023·湖南·統考一模）如圖，正方形的邊長為，點在上且，為對角線上一動點，則周長的最小值為 ．
【答案】
【分析】連接，，當，，在一條直線上時，可以取得最小值，最小值為，可證得，得到，進而可求得答案．
【詳解】如圖所示，連接，．

根據題意可知，當，，在一條直線上時，可以取得最小值，最小值為．
．
在和中，，∴．∴．
∴的最小值為．∴周長的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查全等三角形判定、正方形的性質、勾股定理，能根據題意構建輔助線是解題的關鍵．
13．（2023下·四川成都·八年級校考期中）在中，點為邊上一點，將沿著翻折得到，點為中點，連接、，若，，，則的最小值為 ．

【答案】
【分析】取的中點，連接，，利用翻折的性質證明全等，得到，判斷出的最小值就是的長，再過點作于點，求出，，最后在中，利用勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：取的中點，連接，，過點作于點，則，

由翻折得到，，又點為中點，，，
在和中， ，，，
要求的最小值，只要求的最小值即可，
當，，三點在一條直線上時，取最小值，
此時，即的最小值為．
在中，，，則
∴,，
在中，，故答案為：．
【點睛】本題是以翻折為背景兩線段和最小值問題，考查了軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質，三角函數定義，勾股定理．利用翻折將不共端點的兩線段的和轉化為共端點的兩線段的和是解題關鍵．
14．（2023下·內蒙古呼和浩特·八年級統考期末）如圖，四邊形是矩形紙片，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過點折疊矩形紙片，使點落在上的點處，折痕為；再次展平，連接，．則 ，若為線段上一動點，是的中點，則的最小值是 ．

【答案】 /60度
【分析】首先根據垂直平分，可得；然后根據折疊的性質，可得，據此判斷出為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到；點是的中點，根據折疊可知點和點關于對稱可得，因此與重合時，，據此求出的最小值即可．
【詳解】解：如圖，連接，設與的交點為點，

對折矩形紙片，使與重合，折痕為，垂直平分，，
折疊矩形紙片，使點落在上的點，，
，為等邊三角形，，
點是的中點，點是的中點，由折疊可知：點和點關于對稱，，
與重合時，有最小值，此時，
，，故答案為：，．
【點睛】本題考查了幾何變換綜合問題，折疊的性質、等邊三角形的判定和性質、直角三角形的性質、矩形的性質、軸對稱最短問題，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
15．（2023·廣西·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，，動點，分別從點，以相同的速度同時出發，沿，向終點，運動，連接，，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】根據動點，分別從點，以相同的速度同時出發，沿，向終點，運動，得出，設，由，由勾股定理可得 根據二次函數最值可得當時，值最小，此時，此時值最小，則最小值，把代入即可求解．
【詳解】解：∵矩形∴，，，
∵動點，分別從點，以相同的速度同時出發，沿，向終點，運動，∴
設，由，∴，
，∴
∵，∴當時，值最小，此時，
此時也是最小，即當時，值最小，
∴最小值．故答案為：．
【點睛】本題考查矩形的性質，勾股定理，二次函數撮值，根據題意得出當時，值最小，此時，則此時值最小是解題的關鍵．
16．（2023上·江蘇宿遷·八年級統考期中）如圖，，在的同側，點A在線段上，，，則的最大值是 ．

【答案】
【分析】如圖：將沿折疊形成，將沿折疊形成，連接，，根據折疊的性質和等腰三角形的性質可得、，再結合可得，運用勾股定理可得，最后根據兩點之間、線段最短可得當且僅當四點共線時，有最大值，最后據此求解即可．
【詳解】解：將沿折疊形成，將沿折疊形成，連接，，
∵，，
∴，，∴，∴，同理：，
∵∴，
∴,∴,∴,
當且僅當四點共線時，有最大值，即的最大值為：．
故答案為．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、最短距離等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．
17．（2023·湖北·統考二模）如圖，已知，正中，，將沿翻折，得到，連接，交于點，點在上，且，是的中點，是上的一個動點，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】根據題意可知，當點運動到點時，最大，利用勾股定理求出此時和的長即可解決問題．
【詳解】解：如圖，作點關于對稱點，，在中，，
，當點運動到點時，最大為，
為等邊三角形，，，
將沿翻折，得到，，
四邊形為菱形，，，，
，，，
為中點，，，，
的最大值為，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了軸對稱﹣線段問題，等邊三角形的性質，勾股定理等知識，明確同側差最大是解題的關鍵．
18．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在邊長為1的正方形中，E為邊上一動點（點E，B不重合），以為直角邊在直線上方作等腰直角三角形，，連接，則在點E的運動過程中，周長的最小值是______．

【答案】
【分析】首先說明點在射線上運動，作點關于的對稱點，則點、、在一條直線上，此時的最小值即為的長，即可得出答案．
【詳解】解：證明：四邊形是正方形，，
，，，，
在上取點，使，連接，，，，
，，，，
，，

作點關于的對稱點，則點、、在一條直線上，此時的最小值即為的長，
在中，由勾股定理得，
以、、為頂點的三角形周長的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，軸對稱-最短路線問題等知識，確定點的運動路徑是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共3小題，共30分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2022·河北邯鄲·九年級校考期中）已知正方形，，點E是射線BC上一動點（不與點B重合），連接，線段繞點E順時針旋轉，得到線段，垂直于線段的延長線于點H，連接．(1)求證：．(2)求的度數．(3)連接，直接寫出的最小值．

【答案】(1)見解析(2)(3)
【分析】（1）先由旋轉可知，進一步證明，再根據可證明；（2）先根據得到，再證明，最后求出的度數即可；（3）作點D關于的對稱點M，連接交于點P，連接、，先證明點M在線段的延長線上，求出，再由勾股定理求出的長，最后根據求出答案．
【詳解】（1）證明： 線段繞點E順時針旋轉，得到線段，，，
四邊形是正方形，， ，，
又，，在與中，，；
（2）解：，，
，，，即，，
，；
（3）解：如圖，作點D關于的對稱點M，連接交于點P，連接、，

由（2）可知，
，，，
點D關于的對稱點M，，，
點M在線段的延長線上，即，
，，
（當且僅當點F與點P重合時等號成立），
，的最小值為．
【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，勾股定理，軸對稱的性質，熟練掌握相關知識是解題關鍵．
20．（2023下·海南·九年級校聯考期中）如圖1，已知四邊形為正方形，連接．

(1)求證：；(2)如圖2，若正方形的邊長為4，是邊上的一個動點．
①請判斷線段與有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；
②連接，若，求線段長；③求的最小值．
【答案】(1)見解析(2)①結論：，理由見解析；②；③
【分析】（1）由“”可證，可得結論．
（2）①延長，交于點H，由“”可證，可得，由四邊形內角和定理可求，可得結論．②過點G作，交延長線于點H，由“”可證，可得，，由勾股定理可求解．③說明點G的運動軌跡是直線，直線與直線之間的距離為4，作點D關于直線的對稱點T，連接，．在中，可得．根據求解即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，
，．
在和中，；
（2）解：①結論：．
理由：如圖，延長交于點，

∵四邊形為正方形，，，
．即．
在和中，，，；
，．
，，；
②如圖，過點作，交延長線于點，
，．，．
又，，，，
，；
③如圖，作點關于直線的對稱點，連接．
由②可知，，∴點的運動軌跡是直線，直線與直線之間的距離為4，
∵在中，，，，．
，．
，，的最小值為．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考壓軸題．
21．（2023·山東青島·九年級校聯考期中）幾何模型：條件：如圖1，A、B是直線l同旁的兩個頂點．
問題：在直線l上確定一點P，使的值最小．
方法：作點關于直線的對稱點，連接交于點，則的值最?。ú槐刈C明）
模型應用：(1)如圖2，已知平面直角坐標系中兩定點和，P為x軸上一動點，則當的值最小時，點P的橫坐標是___________，此時___________．
(2)如圖3，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點，連接，由正方形對稱性可知，與關于直線對稱，則的最小值是___________．
(3)如圖4，正方形的面積為，是等邊三角形，點在正方形內，在對角線上有一動點，則的最小值為___________．
(4)如圖5，在菱形中，，，點是邊邊的中點，點，分別是，上的兩個動點，則的最小值是___________．
【答案】(1)；(2)(3)(4)
【分析】（1）取點關于軸對稱的點，連接，交軸于點，作軸于，則此時的值最小，根據點的坐標，得出，，，進而得出，，再根據“角角邊”，得出，再根據全等三角形的性質，得出，進而得出點的橫坐標，再根據平行線間的距離相等，得出，再根據勾股定理，計算即可得出答案；
（2）根據對稱性和線段最短，得出的最小值是的長，再根據中點的定義，得出，再根據勾股定理，計算出，進而即可得出的最小值；
（3）設與交于點，連接，，根據對稱性，得出，再根據線段最短，得出當點運動至點時，的最小值，此時最小值為的長，再根據正方形的面積，結合算術平方根的定義，得出，再根據等邊三角形的性質，得出，進而得出的最小值；
（4）作垂足為與交于點，根據菱形的性質，得出，，再根據等邊三角形的判定定理，得出是等邊三角形，再根據三線合一的性質，得出，再根據線段最短，得出點關于的對稱點在上，此時的最小，最小值為的長，再根據三線合一的性質，得出，再根據含角的直角三角形的性質，得出，再根據勾股定理，計算得出，進而即可得出答案．
【詳解】（1）如圖，取點關于軸對稱的點，連接，交軸于點，作軸于，
則此時的值最小，∵和，
∴，，，∴，，
∵，，∴，
∴，∴點的橫坐標為，
∵軸，∴，∴，∴，
∴當的值最小時，點的橫坐標是，此時；故答案為：；；
（2）解：∵點與關于直線對稱，∴的最小值是的長，
∵正方形的邊長為，為的中點，∴，
在中，，∴的最小值是；故答案為：；
（3）解：如圖，設與交于點，連接，，
∵點與關于直線對稱，∴，
∴當點運動至點時，的最小值，此時最小值為的長，
∵正方形的面積為，∴，又∵是等邊三角形，∴，
∴的最小值為；故答案為：；
（4）解：如圖，作垂足為與交于點，
∵四邊形是菱形，∴，
∵，∴，∴是等邊三角形，∵是中線，∴，
∴點關于的對稱點在上，此時的最小，最小值為的長，
在中，∵，，，
∴，∴，∴的最小值是．故答案為：．
【點睛】本題考查了坐標與圖形、軸對稱—最短路徑問題、全等三角形的判定與性質、正方形的性質、菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、含角的直角三角形的性質，熟練掌握軸對稱—最短路徑的確定方法、并靈活運用勾股定理是解本題的關鍵．
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專題5-4. 特殊平行四邊形中的最值模型-將軍飲馬模型
模塊1：模型簡介
“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數學問題，通常稱為“將軍飲馬”。
將軍飲馬問題從本質上來看是由軸對稱衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問題主要依據是：兩點之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。
模塊2：核心模型點與典例
模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）
【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最??；
（1）點A、B在直線m兩側： （2）點A、B在直線同側：
【最值原理】兩點之間線段最短。 上圖中A’是A關于直線m的對稱點。
例1．（2023·山西運城·九年級統考期中）如圖，正方形的對角線交于點O，點E是直線上一動點．若，則的最小值為（　　）
A． B． C． D．
例2．（2023上·山東青島·八年級?？甲灾髡猩┤鐖D，正方形的邊長為6，點E，F分別為邊，上兩點，，平分，連接，分別交，于點G，M，點P是線段上的一個動點，過點P作，垂足為N，連接，則下列結論正確的個數是（ ）
①；②；③的最小值為；④三角形的面積是．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
例3．（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．
例5．（2023上·福建漳州·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，點為的中點．點為對角線上的一動點．則的最小值等于（）

A． B．6 C． D．8
例5．（2023下·湖南湘西·八年級校聯考期中）如上圖所示，矩形，，，點是邊上的一個動點，點是對角線上一個動點，連接，，則的最小值是（ ）

A．6 B． C．12 D．
例6．（2022上·重慶大渡口·九年級?？计谀┤鐖D，在矩形中，，點E在上，點F在上，且，連結，則的最小值為 ．

例7．（2023上·福建龍巖·九年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，，，點E是邊上且．F是邊上的一個動點，將線段繞點E逆時針旋轉，得到，連接、，則的最小值 ．
模型2. 求多條線段和（周長）最小值
【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）兩個點都在直線外側： （2）一個點在內側，一個點在外側：
（3）兩個點都在內側：
（4）臺球兩次碰壁模型
1）已知點A、B位于直線m,n 的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.
2）已知點A位于直線m,n 的內側, 在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.
【最值原理】兩點之間線段最短。
例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023.無錫市初三數學期中試卷）方法感悟：如圖①，在矩形中，，是否在邊上分別存在點G、H，使得四邊形的周長最??？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．
問題解決：
例3．（2023春·湖北黃石·八年級統考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個動點，為的中點，則
（1）的最小值是________；（2）若，則的最小值為________．
例4．（2023上·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如圖，，在的同側，，，，為的中點．若，則長的最大值是（ ）

A．8 B．10 C．12 D．14
模型3.求兩條線段差最大值
【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；
（1）點A、B在直線m同側：
延長AB交直線m于點P，根據三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時最大，
因此點P為所求的點。
（2）點A、B在直線m異側：
過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’
【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。
例1．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC與BD交于點O，點N在AC上且AN＝2，點M在BC上且BM＝BC，P為對角線BD上一點，則PM﹣PN的最大值為 ．
例2．（2023春·湖南永州·八年級統考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點，點P在邊上，且，點Q在邊上，連接與，則的最大值為________，的最小值為__________．
例3．（2023·浙江·八年級專題練習）如圖，四邊形中，，，，點為直線左側平面上一點，的面積為，則的最大值為 ．
模塊3：同步培優題庫
全卷共21題 測試時間：90分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·湖北鄂州·二模）如圖，矩形中，，點在上，且，點分別為邊上的動點，將沿直線翻折得到，連接，則的最小值為（ ）

A．5 B． C． D．
2．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，菱形，，邊長為4，點E在上，且，F為對角線上一動點，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．4
3．（2023下·浙江杭州·八年級校聯考期中）如圖，矩形中，，，點E、F分別是、上的動點，，則的最小值是（　?。?br/>
A． B．12 C． D．16
4．（2023下·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習）如圖正方形的面積為，是等邊三角形，點在正方形內，在對角線上有一動點，要使最小，則這個最小值為( )
A． B． C． D．
5．（2023下·廣西欽州·八年級校考階段練習）已知點、，點在軸上，則最大值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·廣東深圳·校聯考模擬預測）如圖，點是正方形內部一個動點，且，，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·重慶北碚·九年級校考開學考試）如圖，矩形中，，點是矩形內一動點，且，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·安徽滁州·九年級校聯考期中）如圖，菱形的邊長為4，且于點為上一點，且的周長最小，則的周長的最小值為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·遼寧朝陽·九年級校考階段練習）如圖，在矩形中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點N，M；②分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在矩形內交于點G；③作射線，若，F為邊的中點，E為射線上一動點，則的最小值為（ ）
A．3 B． C． D．5
10．（2022·山東泰安·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E、F分別是邊BC、CD上的動點，且EF＝4，點M是EF的中點，點Q是AB的中點，連接PQ、PM，則PQ+PM的最小值為（ ）
A．10 B． C．8 D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023下·四川資陽·八年級?？茧A段練習）如圖，四邊形是菱形，對角線相交于點O，，點P是上一動點，點E是的中點，則的最小值為 ．

12．（2023·湖南·統考一模）如圖，正方形的邊長為，點在上且，為對角線上一動點，則周長的最小值為 ．
13．（2023下·四川成都·八年級?？计谥校┰谥校c為邊上一點，將沿著翻折得到，點為中點，連接、，若，，，則的最小值為 ．

14．（2023下·內蒙古呼和浩特·八年級統考期末）如圖，四邊形是矩形紙片，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過點折疊矩形紙片，使點落在上的點處，折痕為；再次展平，連接，．則 ，若為線段上一動點，是的中點，則的最小值是 ．

15．（2023·廣西·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形中，，，動點，分別從點，以相同的速度同時出發，沿，向終點，運動，連接，，則的最小值是 ．

16．（2023上·江蘇宿遷·八年級統考期中）如圖，，在的同側，點A在線段上，，，則的最大值是 ．

17．（2023·湖北·統考二模）如圖，已知，正中，，將沿翻折，得到，連接，交于點，點在上，且，是的中點，是上的一個動點，則的最大值為 ．
18．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在邊長為1的正方形中，E為邊上一動點（點E，B不重合），以為直角邊在直線上方作等腰直角三角形，，連接，則在點E的運動過程中，周長的最小值是______．

三、解答題（本大題共3小題，共30分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2022·河北邯鄲·九年級?？计谥校┮阎叫?，，點E是射線BC上一動點（不與點B重合），連接，線段繞點E順時針旋轉，得到線段，垂直于線段的延長線于點H，連接．(1)求證：．(2)求的度數．(3)連接，直接寫出的最小值．

20．（2023下·海南·九年級校聯考期中）如圖1，已知四邊形為正方形，連接．

(1)求證：；(2)如圖2，若正方形的邊長為4，是邊上的一個動點．
①請判斷線段與有怎樣的數量關系和位置關系，并說明理由；
②連接，若，求線段長；③求的最小值．
21．（2023·山東青島·九年級校聯考期中）幾何模型：條件：如圖1，A、B是直線l同旁的兩個頂點．
問題：在直線l上確定一點P，使的值最小．
方法：作點關于直線的對稱點，連接交于點，則的值最小（不必證明）
模型應用：(1)如圖2，已知平面直角坐標系中兩定點和，P為x軸上一動點，則當的值最小時，點P的橫坐標是___________，此時___________．
(2)如圖3，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點，連接，由正方形對稱性可知，與關于直線對稱，則的最小值是___________．
(3)如圖4，正方形的面積為，是等邊三角形，點在正方形內，在對角線上有一動點，則的最小值為___________．
(4)如圖5，在菱形中，，，點是邊邊的中點，點，分別是，上的兩個動點，則的最小值是___________．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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