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反比例函數六大模型
【模型1 一點一垂線模型】
模型特征：如過反比例函數圖像上一點作坐標軸的垂線，該點、垂足與坐標軸上一點（含原點）構成的三角形面積等于;
模型示例：
【例1】如圖，已知動點A，B分別在x軸，y軸正半軸上，動點P在反比例函數y（x＞0）圖象上，PA⊥x軸，△PAB是以PA為底邊的等腰三角形．當點A的橫坐標逐漸增大時，△PAB的面積將會（　?。?br/>A．越來越小 B．越來越大
C．不變 D．先變大后變小
【變式1-1】如圖，點A、B在反比例函數y的圖象上，過點A、B作x軸的垂線，垂足分別是M、N，射線AB交x軸于點C，若OM＝MN＝NC，四邊形AMNB的面積是3，則k的值為（　?。?br/>A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【變式1-2】如圖，在第一象限內，點P（2，3），M（a，2）是雙曲線y（k≠0）上的兩點，PA⊥x軸于點A，MB⊥x軸于點B，PA與OM交于點C，則△OAC的面積為（　?。?br/>A． B． C．2 D．
【變式1-3】如圖，點A在雙曲線y的第一象限的那一支上，AB垂直于y軸與點B，點C在x軸正半軸上，且OC＝2AB，點E在線段AC上，且AE＝3EC，點D為OB的中點，若△ADE的面積為3，則k的值為　?。?br/>【模型2 一點兩垂線模型】
模型特征：過反比例函數圖像上一點作兩條坐標軸的垂線，垂線與坐標軸圍成的矩形面積等于.
模型示例：
【例2】雙曲線與在第一象限內的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、OB，則△AOB的面積為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【變式2-1】如圖，函數y（x＞0）和（x＞0）的圖象分別是l1和l2．設點P在l2上，PA∥y軸交l1于點A，PB∥x軸交l1于點B，△PAB的面積為 　?。?br/>【變式2-2】如圖，是反比例函數y和y（k1＜k2）在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，并分別交兩條曲線于A、B兩點，若S△AOB＝2，則k2﹣k1的值為　 ?。?br/>【變式2-3】如圖，在平面直角坐標系中，M為y軸正半軸上一點，過點M的直線l∥x軸，l分別與反比例函數y和y的圖象交于A、B兩點，若S△AOB＝3，則k的值為 　 ?。?br/>【模型3 兩曲一平行模型】
模型特征：兩條雙曲線上的兩點的連線與一條坐標軸平行，求該兩點與原點構成或坐標軸圍成的圖形面積，結合k的幾何意義求解.
模型示例：
【例3】如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點A、D在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，點F在AB上，點B、E在反比例函數y（k為常數，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為4，且BF＝2AF，則k值為　 　．
【變式3-1】若正方形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在函數 的圖象上．若正方形OABC的面積為1，則k的值為　 ?。稽cE的坐標為　 　．
【變式3-2】如圖，A、B兩點在雙曲線y上，分別經過A、B兩點向坐標軸作垂線段，已知S陰影＝1.7，則S1+S2等于（　?。?br/>A．4 B．4.2 C．4.6 D．5
【變式3-3】如圖，在反比例函數y（x＞0）的圖象上，有點P1、P2、P3、P4，它們的橫坐標依次為1，2，3，4．分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1、S2、S3，則S1+S2+S3＝（　?。?br/>A．1 B．1.5 C．2 D．無法確定
【模型4 兩點一垂線模型】
模型特征：過正比例函數與反比例函數的一個交點作坐標軸的垂線，兩交點與垂足構成的三角形的面積等于.
模型示例：
【例4】如圖，正比例函數y＝kx與反比例函數y相交于A，C兩點，點A的橫坐標為﹣4，過點A作x軸的垂線交x軸于B點，連接BC，下列結論：①k；②不等式kx的解集為﹣4＜x＜0或x＞4；③△ABC的面積等于16．其中正確的結論個數為（　?。?br/>A．0 B．1 C．2 D．3
【變式4-1】如圖所示，一次函數y＝kx（k＜0）的圖象與反比例函數y的圖象交于A，B兩點，過點B作BC⊥y軸于點C，連接AC，則△ABC的面積為 　 　．
【變式4-2】如圖，過點O的直線與反比例函數y的圖象交于A、B兩點，過點A作AC⊥x軸于點C，連接BC，則△ABC的面積為 　 ?。?br/>【變式4-3】如圖，函數y＝x與y的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直于y軸，垂足為C，連接BC，若S△ABC＝3，則k＝　 ?。?br/>【模型5 兩點兩垂線模型】
模型特征：反比例函數與正比例函數的兩個交點的連線及由交點向不同坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形（或兩交點及由交點向同一坐標軸所作兩條垂線的垂足構成的圖形的面積等于2.
模型示例：
【例5】如圖，正比例函數y＝kx與反比例函數y的圖象交于A，C兩點，過點A作AB⊥x軸于點B，過點C作CD⊥x軸于點D，則△ABD的面積為 　 ?。?br/>【變式5-1】如圖，一次函數y＝kx與反比例函數上的圖象交于A，C兩點，AB∥y軸，BC∥x軸，若△ABC的面積為4，則k＝　 ?。?br/>【變式5-2】如圖，正比例函數y＝kx（k＞0）與反比例函數y的圖象交于A，C兩點，過點A作x軸的垂線，交x軸于點B，過點C作x軸的垂線，交x軸于點D，連接AD，BC，則四邊形ABCD的面積為　 　．
【變式5-3】如圖，直線分別與反比例函數y和y的圖象交于點A和點B，與y軸交于點P，且P為線段AB的中點，作AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸交于點D，則四邊形ABCD的面積是　 　．
【模型6 兩點和一點模型】
模型特征：反比例函數與一次函數的交點和原點（或坐標軸上一點）所構成的 三角形的面積，若兩交點分別在兩個分支上，用加法.
模型示例：
【例6】如圖，一次函數y＝ax+b的圖象與反比例函數y的圖象交于A，B兩點，則S△AOB＝（　?。?br/>A． B． C． D．6
【變式6-1】如圖，直線AB經過原點O，且交反比例函數的圖象于點B，A，點C在x軸上，且．若S△BCA＝12，則k的值為（　?。?br/>A．12 B．﹣12 C．﹣6 D．6
【變式6-2】如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y與直線y交于A，B，x軸的正半軸上有一點C使得∠ACB＝90°，若△OCD的面積為25，則k的值為 　 ?。?br/>【變式6-3】如圖，正比例函數yx與反比例函數y的圖象交于A，B兩點，點C在x軸上，連接AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面積為10，則該反比例函數的解析式是　 ?。?br/>反比例函數六大模型
【模型1 一點一垂線模型】
模型特征：如過反比例函數圖像上一點作坐標軸的垂線，該點、垂足與坐標軸上一點（含原點）構成的三角形面積等于;
模型示例：
【例1】如圖，已知動點A，B分別在x軸，y軸正半軸上，動點P在反比例函數y（x＞0）圖象上，PA⊥x軸，△PAB是以PA為底邊的等腰三角形．當點A的橫坐標逐漸增大時，△PAB的面積將會（　　）
A．越來越小 B．越來越大
C．不變 D．先變大后變小
【分析】設點P（x，），作BC⊥PA可得BC＝OA＝x，根據S△PABPA BC x＝3可得答案．
【解答】解：如圖，過點B作BC⊥PA于點C，
則BC＝OA，
設點P（x，），
則S△PABPA BC x＝3，
當點A的橫坐標逐漸增大時，△PAB的面積將會不變，始終等于3，
故選：C．
【變式1-1】如圖，點A、B在反比例函數y的圖象上，過點A、B作x軸的垂線，垂足分別是M、N，射線AB交x軸于點C，若OM＝MN＝NC，四邊形AMNB的面積是3，則k的值為（　?。?br/>A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【分析】根據三角形面積公式得到S△AOMS△AOC，S△ACM＝4S△BCN，再根據反比例函數的比例系數k的幾何意義得到S△AOM|k|，然后利用k＜0去絕對值求解．
【解答】解：∵點A、B在反比例函數y的圖象上，
∴S△AOM|k|，
∵OM＝MN＝NC，
∴AM＝2BN，
∴S△AOMS△AOC，S△ACM＝4S△BCN，S△ACM＝2S△AOM，
∵四邊形AMNB的面積是3，
∴S△BCN＝1，
∴S△AOM＝2，
∴|k|＝4，
∵反比例函數y的圖象在第二四象限，
∴k＝﹣4，
故選：D．
【變式1-2】如圖，在第一象限內，點P（2，3），M（a，2）是雙曲線y（k≠0）上的兩點，PA⊥x軸于點A，MB⊥x軸于點B，PA與OM交于點C，則△OAC的面積為（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】先根據反比例函數圖象上點的坐標特征求出k＝6，a＝3，再利用待定系數法求出直線OM的解析式為yx，然后確定C點坐標，再根據三角形面積公式求解．
【解答】解：把P（2，3），M（a，2）代入y得k＝2×3＝2a，解得k＝6，a＝3，
設直線OM的解析式為y＝mx，
把M（3，2）代入得3m＝2，解得m，
所以直線OM的解析式為yx，當x＝2時，y2，
所以C點坐標為（2，），
所以△OAC的面積2．
故選：B．
【變式1-3】如圖，點A在雙曲線y的第一象限的那一支上，AB垂直于y軸與點B，點C在x軸正半軸上，且OC＝2AB，點E在線段AC上，且AE＝3EC，點D為OB的中點，若△ADE的面積為3，則k的值為　　．
【分析】由AE＝3EC，△ADE的面積為3，得到△CDE的面積為1，則△ADC的面積為4，設A點坐標為（a，b），則k＝ab，AB＝a，OC＝2AB＝2a，BD＝ODb，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC得（a+2a）×bab+42ab，整理可得ab，即可得到k的值．
【解答】解：連DC，如圖，
∵AE＝3EC，△ADE的面積為3，
∴△CDE的面積為1，
∴△ADC的面積為4，
設A點坐標為（a，b），則AB＝a，OC＝2AB＝2a，
而點D為OB的中點，
∴BD＝ODb，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×bab+42ab，
∴ab，
把A（a，b）代入雙曲線y，
∴k＝ab．
故答案為：．
【模型2 一點兩垂線模型】
模型特征：過反比例函數圖像上一點作兩條坐標軸的垂線，垂線與坐標軸圍成的矩形面積等于.
模型示例：
【例2】雙曲線與在第一象限內的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、OB，則△AOB的面積為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】如果設直線AB與x軸交于點C，那么△AOB的面積＝△AOC的面積﹣△COB的面積．根據反比例函數的比例系數k的幾何意義，知△AOC的面積，△COB的面積，從而求出結果．
【解答】解：設直線AB與x軸交于點C．
∵AB∥y軸，
∴AC⊥x軸，BC⊥x軸．
∵點A在雙曲線y的圖象上，∴△AOC的面積5．
點B在雙曲線y的圖象上，∴△COB的面積3．
∴△AOB的面積＝△AOC的面積﹣△COB的面積1．
故選：A．
【變式2-1】如圖，函數y（x＞0）和（x＞0）的圖象分別是l1和l2．設點P在l2上，PA∥y軸交l1于點A，PB∥x軸交l1于點B，△PAB的面積為 　　．
【分析】設點P（x，），則點B（，），A（x，），得到BP，AP的長，最后求得△ABP的面積．
【解答】解：設點P（x，），則點B（，），A（x，），
∴BP＝x，AP，
∴S△ABP，
故答案為：．
【變式2-2】如圖，是反比例函數y和y（k1＜k2）在第一象限的圖象，直線AB∥x軸，并分別交兩條曲線于A、B兩點，若S△AOB＝2，則k2﹣k1的值為　 ?。?br/>【分析】設A（a，b），B（c，d），代入雙曲線得到k1＝ab，k2＝cd，根據三角形的面積公式求出cd﹣ab＝4，即可得出答案．
【解答】解：設A（a，b），B（c，d），
代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，
∴cdab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k2﹣k1＝4，
故答案為：4．
【變式2-3】如圖，在平面直角坐標系中，M為y軸正半軸上一點，過點M的直線l∥x軸，l分別與反比例函數y和y的圖象交于A、B兩點，若S△AOB＝3，則k的值為 　 ?。?br/>【分析】由直線l∥x軸，得到AM⊥y軸，BM⊥y軸，于是得到S△AOM|k|，S△BOM4＝2，求得S△AOM＝1，即可得到結論．
【解答】解：∵直線l∥x軸，
∴AM⊥y軸，BM⊥y軸，
∴S△AOM|k|，S△BOM4＝2，
∵S△AOB＝3，
∴S△AOM＝1，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【模型3 兩曲一平行模型】
模型特征：兩條雙曲線上的兩點的連線與一條坐標軸平行，求該兩點與原點構成或坐標軸圍成的圖形面積，結合k的幾何意義求解.
模型示例：
【例3】如圖，四邊形OABC是矩形，四邊形ADEF是正方形，點A、D在x軸的負半軸上，點C在y軸的正半軸上，點F在AB上，點B、E在反比例函數y（k為常數，k≠0）的圖象上，正方形ADEF的面積為4，且BF＝2AF，則k值為　 ?。?br/>【分析】先由正方形ADEF的面積為4，得出邊長為2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再設B點坐標為（t，6），則E點坐標（t﹣2，2），根據點B、E在反比例函數y的圖象上，利用根據反比例函數圖象上點的坐標特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6．
【解答】解：∵正方形ADEF的面積為4，
∴正方形ADEF的邊長為2，
∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．
設B點坐標為（t，6），則E點坐標（t﹣2，2），
∵點B、E在反比例函數y的圖象上，
∴k＝6t＝2（t﹣2），
解得t＝﹣1，k＝﹣6．
故答案為﹣6．
【變式3-1】若正方形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在函數 的圖象上．若正方形OABC的面積為1，則k的值為　 ?。稽cE的坐標為　 ?。?br/>【分析】（1）根據正方形OABC和正方形AEDF各有一個頂點在一反比例函數圖象上，且正方形OABC的邊長為1，得出B點坐標，即可得出反比例函數的解析式；
（2）由于D點在反比例函數圖象上，用a和正方形OABC的邊長表示出來E點坐標，代入y（x＞0）求得a的值，即可得出D點坐標．
【解答】解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一個頂點在一反比例函數圖象上，且正方形OABC的邊長為1．
∴B點坐標為：（1，1），
設反比例函數的解析式為y；
∴xy＝k＝1，
設正方形ADEF的邊長為a，則E（1+a，a），
代入反比例函數y（x＞0）得：1＝（1+a）a，又a＞0，
解得：a．
∴點E的坐標為：（，）．
【變式3-2】如圖，A、B兩點在雙曲線y上，分別經過A、B兩點向坐標軸作垂線段，已知S陰影＝1.7，則S1+S2等于（　?。?br/>A．4 B．4.2 C．4.6 D．5
【分析】根據反比例函數系數k的幾何意義可得S四邊形AEOF＝4，S四邊形BDOC＝4，根據S1+S2＝S四邊形AEOF+S四邊形BDOC﹣2×S陰影，可求S1+S2的值．
【解答】解：如圖，
∵A、B兩點在雙曲線y上，
∴S四邊形AEOF＝4，S四邊形BDOC＝4，
∴S1+S2＝S四邊形AEOF+S四邊形BDOC﹣2×S陰影，
∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6
故選：C．
【變式3-3】如圖，在反比例函數y（x＞0）的圖象上，有點P1、P2、P3、P4，它們的橫坐標依次為1，2，3，4．分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1、S2、S3，則S1+S2+S3＝（　?。?br/>A．1 B．1.5 C．2 D．無法確定
【分析】根據反比例函數的幾何意義可知圖中所構成的陰影部分的面積和正好是從點P1向x軸，y軸引垂線構成的長方形面積減去最下方的長方形的面積．
【解答】解：由題意可知點P1、P2、P3、P4坐標分別為：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．
∴由反比例函數的幾何意義可知：S1+S2+S3＝2﹣11.5．
故選：B．
【模型4 兩點一垂線模型】
模型特征：過正比例函數與反比例函數的一個交點作坐標軸的垂線，兩交點與垂足構成的三角形的面積等于.
模型示例：
【例4】如圖，正比例函數y＝kx與反比例函數y相交于A，C兩點，點A的橫坐標為﹣4，過點A作x軸的垂線交x軸于B點，連接BC，下列結論：①k；②不等式kx的解集為﹣4＜x＜0或x＞4；③△ABC的面積等于16．其中正確的結論個數為（　?。?br/>A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由點A為函數圖象交點及點A橫坐標可得k的值，由反比例函數的對稱性可得點C的坐標，由S△AOC＝S△AOB+S△BOC可得△ABC的面積．
【解答】解：將x＝﹣4代入y得y2，
∴點A坐標為（﹣4，2），
將（﹣4，2）代入y＝kx得2＝﹣4k，
解得k，
∴①正確．
由反比例函數及正比例函數的對稱性可得點C坐標為（4，﹣2），
∴當﹣4＜x＜0或x＞4時，kx，
∴②正確．
∵S△AOC＝S△AOB+S△BOCOB yAOB （﹣yC）BO（yA﹣yC）（2+2）＝8，
∴③錯誤．
故選：C．
【變式4-1】如圖所示，一次函數y＝kx（k＜0）的圖象與反比例函數y的圖象交于A，B兩點，過點B作BC⊥y軸于點C，連接AC，則△ABC的面積為 　 ?。?br/>【分析】根據反比例函數系數k的幾何意義求得△BOC的面積，由于y＝kx（k＜0）的圖象與反比例函數y的圖象均關于原點對稱，可得出OA＝OB，即可得出△AOC與△BOC的面積相等，進而即可求得△ABC的面積．
【解答】解：∵BC⊥y軸于點C，
∴S△COB|﹣4|＝2，
∵正比例函數y＝kx（k＞0）與反比例函數y的圖象均關于原點對稱，
∴OA＝OB，
∴S△AOC＝S△COB＝2，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC＝2+2＝4，
故答案為：4．
【變式4-2】如圖，過點O的直線與反比例函數y的圖象交于A、B兩點，過點A作AC⊥x軸于點C，連接BC，則△ABC的面積為 　 　．
【分析】根據反比例函數系數k的幾何意義得出S△AOC|k|，由于對稱性可知：△AOC與△BOC的面積相等，從而可求出答案．
【解答】解：∵點A反比例函數y的圖象上，過點A作AC⊥x軸于點C，
∴S△AOC|k|，
∵過點O的直線與反比例函數y的圖象交于A、B兩點，
∴OA＝OB，
∴S△BOC＝S△AOC
∴S△ABC＝2S△ACO，
故答案為：．
【變式4-3】如圖，函數y＝x與y的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直于y軸，垂足為C，連接BC，若S△ABC＝3，則k＝　 ?。?br/>【分析】設A（a，a）（a＞0），利用A點和B點關于原點對稱得到B（﹣a，﹣a），再利用三角形面積公式得到S△ABC a 2a＝a2＝3，解得a，然后把A（，）代入y中可求出k的值．
【解答】解：設A（a，a）（a＞0），
∵函數y＝x與y的圖象的中心對稱性，
∴B（﹣a，﹣a），
∴S△ABC a 2a＝a2＝3，
∴a，
∴A（，），
把A（，）代入y得k3．
故答案為：3．
【模型5 兩點兩垂線模型】
模型特征：反比例函數與正比例函數的兩個交點的連線及由交點向不同坐標軸所作兩條垂線圍成的圖形（或兩交點及由交點向同一坐標軸所作兩條垂線的垂足構成的圖形的面積等于2.
模型示例：
【例5】如圖，正比例函數y＝kx與反比例函數y的圖象交于A，C兩點，過點A作AB⊥x軸于點B，過點C作CD⊥x軸于點D，則△ABD的面積為 　 　．
【分析】根據反比例函數的k的幾何意義，可得S△ABO，根據反比例函數與正比例函數的中心對稱性，可知O是BD的中點，即可求出△ABD的面積．
【解答】解：∵點A在反比例函數y上，且AB⊥x軸，
∴2，
∵A，C是反比例函數與正比例函數的交點，且CD⊥x軸，
∴O是BD的中點，
∴S△ABD＝2S△ABO＝4．
故答案為：4．
【變式5-1】如圖，一次函數y＝kx與反比例函數上的圖象交于A，C兩點，AB∥y軸，BC∥x軸，若△ABC的面積為4，則k＝　 ?。?br/>【分析】設AB交x軸于點D，由正比例函數與反比例函數的對稱性可得DO為△ABC中位線，從而可得S△ABC＝4S△ADO，進而求解．
【解答】解：設AB交x軸于點D，
由反比例函數系數的幾何意義可得S△ADO的面積為，
由函數的對稱性可得點O為AC中點，即DO為△ABC中位線，
∴，
∴S△ABC＝4S△ADO＝2|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故答案為：﹣2．
【變式5-2】如圖，正比例函數y＝kx（k＞0）與反比例函數y的圖象交于A，C兩點，過點A作x軸的垂線，交x軸于點B，過點C作x軸的垂線，交x軸于點D，連接AD，BC，則四邊形ABCD的面積為　 ?。?br/>【分析】由反比例函數的對稱性可知OA＝OC，OB＝OD，則S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，再根據反比例函數k的幾何意義可求得這四個三角形的面積，可求得答案．
【解答】解：∵A、C是兩函數圖象的交點，
∴A、C關于原點對稱，
∵CD⊥x軸，AB⊥x軸，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，
又∵A點在反比例函數y的圖象上，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD1，
∴S四邊形ABCD＝4S△AOB＝42，
故答案為：2．
【變式5-3】如圖，直線分別與反比例函數y和y的圖象交于點A和點B，與y軸交于點P，且P為線段AB的中點，作AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸交于點D，則四邊形ABCD的面積是　 　．
【分析】過點A作AF⊥y軸，垂足于點F；過點B作BE⊥y軸，垂足為點E．依據△APF≌△BPE，即可得出S△APF＝S△BPE．進而得到S四邊形ABCD＝S四邊形ACOF+S四邊形EODB＝5．
【解答】解：過點A作AF⊥y軸，垂足于點F；過點B作BE⊥y軸，垂足為點E．
∵點P是AB中點．
∴PA＝PB．
又∵∠APF＝∠BPE，∠AFP＝∠BEP＝90°，
∴△APF≌△BPE．
∴S△APF＝S△BPE．
∴S四邊形ABCD＝S四邊形ACOF+S四邊形EODB＝|﹣2|+|3|＝5．
故答案為：5．
【模型6 兩點和一點模型】
模型特征：反比例函數與一次函數的交點和原點（或坐標軸上一點）所構成的 三角形的面積，若兩交點分別在兩個分支上，用加法.
模型示例：
【例6】如圖，一次函數y＝ax+b的圖象與反比例函數y的圖象交于A，B兩點，則S△AOB＝（　?。?br/>A． B． C． D．6
【分析】把A的坐標代入反比例函數的解析式，即可求出反比例函數的解析式，把B的坐標代入求出B的坐標，把A、B的坐標代入一次函數y＝ax+b即可求出函數的解析式，由一次函數解析式求出D的坐標，求出△AOD和△BOD的面積，即可求出答案．
【解答】解：把A（﹣4，1）代入y的得：k＝﹣4，
∴反比例函數的解析式是y，
∵B（1，m）代入反比例函數y得：m＝﹣4，
∴B的坐標是（1，﹣4），
把A、B的坐標代入一次函數y＝ax+b得：，
解得：a＝﹣1，b＝﹣3，
∴一次函數的解析式是y＝﹣x﹣3；
把x＝0代入一次函數的解析式是y＝﹣x﹣3得：y＝﹣3，
∴D（0，﹣3），
∴S△AOB＝SAOD+S△BOD3×（1+4）．
故選：A．
【變式6-1】如圖，直線AB經過原點O，且交反比例函數的圖象于點B，A，點C在x軸上，且．若S△BCA＝12，則k的值為（　?。?br/>A．12 B．﹣12 C．﹣6 D．6
【分析】作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，根據題意得到OA＝OB，OE＝CE，即可得到S△OBES△BCOS△ABC＝3，利用反比例函數系數k的幾何意義，即可求得k的值．
【解答】解：作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，
∵點A、B在反比例函數的圖象上，直線AB經過原點，
∴OA＝OBAB，
∵，S△BCA＝12，
∴OB＝BC，S△BCOS△BCA＝6，
∵BE⊥OC，
∴OE＝CE，
∴S△OBES△BCO＝3，
∵BE⊥x軸于E，
∴S△OBE|k|，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故選：C．
【變式6-2】如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y與直線y交于A，B，x軸的正半軸上有一點C使得∠ACB＝90°，若△OCD的面積為25，則k的值為 　 ?。?br/>【分析】設點A坐標為（3a，4a），由反比例函數與正比例函數的對稱性可得點B坐標，由直角三角形的性質可得點C坐標，求出BC所在直線解析式，從而求出點D坐標，由S△OCDOC OD求解．
【解答】解：設點A坐標為（3a，4a），
由反比例函數圖象與正比例函數圖象的對稱性可得點B坐標為（﹣3a，﹣4a），
∴OA＝OB5a，
∵∠ACB＝90°，O為AB中點，
∴OC＝OA＝OB＝5a，
設直線BC解析式為y＝kx+b，
將（﹣3a，﹣4a），（5a，0）代入y＝kx+b得，
解得，
∴yxa，
∴點D坐標為（0，a），
∴S△OCDOC OD5aa＝25，
解得a＝2或a＝﹣2（舍），
∴點A坐標為（6，8），
∴k＝6×8＝48．
故答案為：48．
【變式6-3】如圖，正比例函數yx與反比例函數y的圖象交于A，B兩點，點C在x軸上，連接AC，BC．若∠ACB＝90°，△ABC的面積為10，則該反比例函數的解析式是　 ?。?br/>【分析】設點A為（a，a），利用S△ACBOC×（yA+|yB|）＝10，構建方程即可解決問題．
【解答】解：設點A為（a，a），
則OAa，
∵點C為x軸上一點，∠ACB＝90°，且△ACB的面積為20，
∴OA＝OB＝OCa，
∴S△ACBOC×（yA+|yB|）（a）×（a）＝10，
解得，a＝±（舍棄正值），
∴點A為（，2），
∴k26，
∴反比例函數的解析式是y，
故答案為：y．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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