資源簡介

專題3 構造函數 解不等式【講】
【典例1】．（2024·寧夏·一模）設定義在R上的函數滿足對都有，且當時，，若，，，則a、b、c的大小關系是（ ）.
A． B． C． D．
【典例2】．（23-24高三上·河北·階段練習）已知函數及其導函數的定義域均為，且恒成立，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】.（2023·安徽蕪湖·模擬預測）已知函數在上可導，其導函數為，若滿足：，，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
上面三個問題，都是給定抽象函數與其導函數的一個關系式，需要構造一個包含在內的新函數，通過討論新函數的性質，挖掘出函數具有的性質，從而解決問題．其思維導圖如下：
觀察分析→逆向思維→構造新函數→研究性質→問題求解．
對于一些簡單的問題，可以直接構造新函數；對于有些較為復雜的問題，則需進行結構變形后，才能構造出新函數，構造新函數需要遵循一個原則：當導函數形式是“+”形式時，優先考慮構造型函數；當導函數形式是“-”形式時，優先考慮構造型函數．
較為常見的u與v的組合類型有三種：與組合型，與或組合型，與或組合型．
【精細化解析 典例1】
第一步：根據周期概念判斷函數周期；
由，
即為的一個周期，所以，
第二步：構造函數利用導數研究其單調性比大小.
令，
由已知可得時，單調遞增，
所以，即C正確 .
故選：C
[精細化解析 典例2]
第一步：構造函數，由導數求得函數單調性；
由，有，
令，則，所以在區間上單調遞增．
第二步：利用單調性解不等式.
又，得，所以，
所以，解得．
故選：A
【精細化解析 典例3】
第一步：根據已知條件構造函數，利用導數及題干所給條件求得的單調性；
設，則，
因為函數滿足：，
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減；
第二步：利用函數的對稱性，可得，對其進行比較即可判斷.
又由，
所以關于直線對稱，從而，
即，，故A錯誤；
由，，故B錯誤；
由，，故C正確；
由，，故D錯誤.
故選：C.
類型1 與組合型
例1 已知函數的導函數為，若對恒成立，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
思路 由得，根據結構，構造函數；由得，根據結構，可構造函數，不難聯想到，根據結構，構造函數，再利用單調性比較大小．
解析 因為對恒成立，所以．
設，，
則，．
因為對恒成立，所以，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
因此，，即；
，即，即．
故選AD．
升華 如果給定的不等式中，出現了結構，可考慮構造含與的積或商的函數，利用所構造函數的性質解決問題．
與結構關聯的函數原型是，例如，對于不等式，可構造函數．
與結構關聯的函數原型是，例如，對于不等式，可構造函數．
與結構關聯的函數原型是，例如，對于不等式，可構造函數．
【類題1-1】
1．已知是定義在上的函數的導函數，且，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
2．已知定義在上的函數滿足恒成立（其中為函數的導函數），對于任意實數，，下列不等式錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【類題1-3 】
3．已知奇函數是定義在R上的可導函數，其導函數為，當時，有，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
類型2 與或組合型
例2 已知定義在R上的函數滿足，則下列大小關系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
思路 構造函數，利用導數分析函數的單調性，利用函數的單調性可得出，，的大小關系.
解析 構造函數，其中，則，
故為R上的增函數，從而，即，
因此，．
故選A．
升華 如果給定的不等式中，出現了結構，可考慮構造含與的積或商的函數；如果給定的不等式中，出現了結構，可考慮構造含與的積或商的函數，然后，利用所構造函數的性質解決問題．
與結構關聯的函數原型是，例如，對于不等式，可構造函數．
與結構關聯的函數原型是，例如，對于不等式，可構造函數．
與結構關聯的函數原型是，與結構關聯的函數原型是．
【類題1-1】
4．已知定義在上的可導函數，其導函數為，若，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
5．定義域在R上函數的導函數為，滿足，，則下列正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【類題1-3】
6．已知函數是連續可導函數，其導函數是，若時，，令，則以下正確的是（ ）
A． B． C． D．T的符號不能確定
類型3 與或組合型
例3 已知可導函數是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
思路 構造函數，并依據該函數的單調性求不等式的解集．
解析 當時，，則，
故函數在上單調遞增，
又因為可導函數是定義在上的奇函數，
則是上的偶函數，且在上單調遞減．
由可得，則，．
當時，不等式
可化為．
又函數在上單調遞增，有，得，故選D．
升華 如果給定的不等式中出現了結構，可考慮構造含有與（或）的積或商的函數，利用所構造函數的性質解決問題.
與結構關聯的函數原型是，與結構關聯的函數原型是，與結構關聯的函數原型是，與結構關聯的函數原型是．
【類題1-1】
7．已知定義在上的奇函數的導函數為，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【類題1-2】
8．定義在上的奇函數的導函數為，且.當時，，則不等式的解集為 .
【類題1-3 】
9．已知定義在R上的函數，滿足，且任意時，有成立，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】構造函數，由導數分析函數的單調性，利用單調性比較大小即可.
【詳解】令，
則在上為減函數，所以，
則.
故選：A
2．ABC
【分析】根據題意，構造函數，進而結合已知得函數為單調遞增函數，再結合函數單調性求解即可.
【詳解】由題意，定義在上的函數滿足恒成立，即，設函數，則，
所以函數為單調遞增函數，
不妨設，則，且，
即，
故C選項錯誤，D選項正確，
由，故與的大小不能確定，故與大小不能確定,故A,B選項錯誤；
故選：ABC．
3．A
【分析】構造函數，然后結合已知可判斷的單調性及奇偶性，從而可求．
【詳解】解：設，由為奇函數，可得，
故為上的奇函數，當時，，
，單調遞增，
根據奇函數的對稱性可知，在上單調遞增，
則不等式可轉化為，
即，
即，即．
故選：A
4．A
【分析】構造函數，利用導數分析函數的單調性，將所求不等式變形為，結合函數的單調性可得出原不等式的解集.
【詳解】構造函數，該函數的定義域為，
則，
所以，函數在上為增函數，且，
由可得，即，解得.
所以，不等式的解集為.
故選：A.
5．BCD
【分析】根據題意構造函數，利用導數判斷單調性，即可求解.
【詳解】由題意，構造函數，則，
由可知，
所以在R上單調遞增，且，
故，即，，A錯誤；
由可得，故B正確；
當時，，所以，，
所以，，
令，則，
所以單調遞增，，即，
所以，，
故C正確；
由可得，故D正確；
故選：BCD
6．A
【分析】時，，令，求導，分析的單調性，由可推出的正負，進而可推出的正負情況，即可求解
【詳解】時，，
所以，
令，
則，
因為時，，
所以在上單調遞增，
又當時，，
因為時，，，
所以時，，所以，
又因為時，，，
所以時，，所以，
所以，
故選：A
7．B
【分析】令，，得到是奇函數，單調遞增，再利用函數的單調性和奇偶性分析判斷得解.
【詳解】因為，所以
，
令，，則，
所以單調遞增，
所以，
所以為奇函數，，
所以，即，
所以A，C錯誤；
因為，所以，又因為為奇函數，所以，所以B正確；
因為，所以．又因為為奇函數，所以，所以D錯誤．
故選：B
8．
【分析】令，根據函數的單調性求出不等式的解集即可．
【詳解】當時，由，得，得，所以在上遞增，
∵為偶函數，∴在上遞減，且，
或，
可得或，
所以，的解集為.
【點睛】本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及解不等式問題，是一道中檔題．
9．D
【分析】由題意，得出為定義在R上的偶函數，且在上單調遞增，再把不等式轉化為，利用單調性求解.
【詳解】設，則．
由，得，所以為偶函數．
因為當時，有任意時，有成立，
所以在上單調遞增，
又為偶函數，所以在上單調遞減，
因為，即，
所以，解得．
故選：D．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑