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專題2 點(diǎn)點(diǎn)距離 構(gòu)造函數(shù)【講】
【典例1】.（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【典例2】.（2022年廣東省一模第16題）已知直線與函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)，則的最小值為______.
【典例3】.（23-24高三下·四川巴中·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足，，的最小值是（ ）
A. B. C. D.
上述問(wèn)題都是求分別在兩曲線上的點(diǎn)的連線長(zhǎng)度的最小值，即已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求兩曲線和上的點(diǎn)連線長(zhǎng)度的最小值.
當(dāng)與分別是一條直線方程與一條曲線（圓錐曲線，指數(shù)、對(duì)數(shù)曲線）方程時(shí)，它們之間的距離的最小值，可以通過(guò)解析法（切線平移）、方程法（判別式）、三角法（三角換元）等高中核心知識(shí)求解.
當(dāng)與是曲線方程與曲線方程組合時(shí)，需要結(jié)合題設(shè)條件，利用曲線的定義和幾何性質(zhì)求解.
根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，挖掘出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，找到動(dòng)點(diǎn)所隱藏的直線或曲線，然后利用曲線的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，這是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.
【精細(xì)化解析 典例1】
第一步：將的最小值轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與函數(shù)上的點(diǎn)間距離最小值的平方，
由已知，
則，即為直線上的點(diǎn)，
為函數(shù)上的點(diǎn)，
則，
第二步：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線，從而得解.
設(shè)與相切，由，
則，可得，所以切點(diǎn)為，則，
則切點(diǎn)到直線的距離為，
所以最小值為2.
故選：B.
[精細(xì)化解析 典例2]
第一步：作出圖象，平移直線與曲線相切；
如圖，由和的圖象可知，平移直線與的圖象相切，過(guò)切點(diǎn)作直線與兩函數(shù)圖象分別交于點(diǎn)，此時(shí)最小，
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出弦長(zhǎng).
由得
，則，故.
【精細(xì)化解析 典例3】
第一步：先根據(jù)指對(duì)結(jié)構(gòu)調(diào)整變形已知方程，再構(gòu)造函數(shù)，得到函數(shù)零點(diǎn)為0；
化簡(jiǎn)已知得，
，即，
令，原式化簡(jiǎn)為，
令，則，所以在R上單調(diào)遞增，
又，所以有唯一零點(diǎn)，所以，此方程有唯一根為0，
即，即，
第二步：構(gòu)造函數(shù)與，則表示曲線上的點(diǎn)到直線的距離的平方.
分別設(shè)與，
則表示曲線上的點(diǎn)到直線的距離的平方，
下面求上與平行的切線，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，，解得：，所以切點(diǎn)為，
所以到直線距離為：，
此距離即為曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值，
所以的最小值為2.
故選：C.
類型1 曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值
例1 若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
思路 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線上的點(diǎn)的距離最小值，先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求的斜率為1的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)，再應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求最小距離，即可得的范圍.
解析 設(shè)，則的幾何意義是直線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的距離.
將直線平移到與曲線相切，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離最小.
而，令，則，可得，
此時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，故，所以.故選B.
升華 曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值，可以通過(guò)解析法（切線平移）、方程法（聯(lián)立方程，判別式等于零）、三角法（曲線的參數(shù)方程）求解.
【類題1-1】
1．已知a，，曲線，若兩條曲線在區(qū)間上至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值為 ．
【類題1-2】
2．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【類題1-3 】
3．若實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為 .
類型2 兩曲線上點(diǎn)之間的距離的最小值
例2 （23-24高三上·山東青島·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為 .
【答案】
【分析】先得到圓心在上，半徑為，故的最小值等于的最小值減去半徑，由反函數(shù)可知，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，求導(dǎo)得到在點(diǎn)處的切線與平行，求出到的距離最小值，得到答案.
【詳解】由題意得，即圓心在上，半徑為，
故的最小值等于的最小值減去半徑，
設(shè)，由于與關(guān)于對(duì)稱，
的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在點(diǎn)處的切線與平行，此時(shí)到的距離最小，
最小值為，
故的最小值為，
則的最小值等于.
故答案為：
升華 兩曲線上點(diǎn)的距離最值問(wèn)題，處理思路如下：
①設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)出距離，結(jié)合基本不等式或求導(dǎo)，得到函數(shù)最值；
②利用幾何關(guān)系，找到取最小距離的位置或點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)行求解.
【類題1-1】
4．若均為任意實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A． B．18
C． D．
【類題1-2】
5．已知直線分別與函數(shù)和交于、兩點(diǎn)，則、之間的最短距離是（ ）
A． B． C． D．
【類題1-3 】
6．設(shè)，其中，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
類型3 曲線上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的最值
例3 已知實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
思路 ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和的最小值，可利用橢圓的定義，依據(jù)三點(diǎn)共線得到最小值.
解析 如圖，點(diǎn)在橢圓上，且待求式表示點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，即，其中是橢圓的右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)為.
，
又因?yàn)椋?br/>于是.故選C.
升華 曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題，或曲線上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的最值問(wèn)題，可利用圓、橢圓、雙曲線或拋物線的定義進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
【類題1-1】
7．已知，為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是 .
【類題1-2】
8．已知，則的最小值為（ ）
A． B．3
C． D．6
【類題1-3 】
9．的最小值為（ ）
A．5 B． C．6 D．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．
【分析】由題意兩條曲線在區(qū)間上至少有一個(gè)公共點(diǎn)，得到有解，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的直線方程，得到表示原點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，轉(zhuǎn)化為，巧換元，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，求出最值．
【詳解】曲線，
，
，
，
于是可以看作關(guān)于a，b的直線方程，
則是該直線上的點(diǎn)，
表示原點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，
設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為d，
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，
，
令，則，則，
，
設(shè)，
可知函數(shù)在上為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，最小值為．
故答案為:．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
求解本題的關(guān)鍵在于，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合題意，得到，利用換元法，進(jìn)行求解即可.
2．D
【分析】設(shè)是曲線的點(diǎn)，是直線的點(diǎn)，可看成曲線C上的點(diǎn)到直線l上的點(diǎn)的距離的平方，通過(guò)求函數(shù)到直線的最小距離，即可得到本題答案.
【詳解】由題，得，
設(shè)是曲線的點(diǎn)，是直線的點(diǎn)，
可看成曲線C上的點(diǎn)到直線l上的點(diǎn)的距離的平方，
對(duì)求導(dǎo)得，令，得，
所以曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離最小，
該點(diǎn)到直線l的距離為，
因此的最小值為.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，其中涉及轉(zhuǎn)化和化歸思想的運(yùn)用.
3．2
【分析】由，，故可理解為曲線上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)間的距離的平方，采用數(shù)形結(jié)合和對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可知，函數(shù)在處的切線方程與直線之間的距離的平方為我們要求的的最小值.
【詳解】由，，故可理解為曲線上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)間的距離的平方，對(duì)于函數(shù)，令，故可得，即函數(shù)在處的切線方程為，切線方程與直線平行，則函數(shù)在處的切線方程與直線之間的距離，故的最小值為.
故答案為：2.
4．A
【分析】把轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，設(shè)切點(diǎn)，得到，即，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到切點(diǎn)的坐標(biāo)為，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解.
【詳解】由，可得在以為圓心，以1為半徑的圓上，
又由表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，
設(shè)過(guò)切點(diǎn)的切線與過(guò)的法線垂直，可得，
整理得，
設(shè)，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以切點(diǎn)為，則圓心與切點(diǎn)的距離為，
可得的最小值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了兩點(diǎn)間距離公式幾何意義的理解和應(yīng)用，利用導(dǎo)函數(shù)求曲線上一點(diǎn)到圓上距離最值，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定解的唯一性.
5．B
【解析】直線與兩曲線分別聯(lián)解求出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得到函數(shù)表達(dá)式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究單調(diào)性，求出最小值
【詳解】聯(lián)立求解得，得到
，設(shè)，則
令，
所以在在上單增，在上單減，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值.
求函數(shù)最值的五種常用方法：
單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值
圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值
基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值
導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值
換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值
6．B
【分析】由表示兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，畫出圖象，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值.
【詳解】詳解：由題意，，
由表示兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離，
而點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，
則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，
由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，
由圖象可知三點(diǎn)共線時(shí)，且為曲線的垂線，此時(shí)取得最小值，
即為切點(diǎn)，設(shè)，
由，可得，
設(shè)，則遞增，且，可得切點(diǎn)，
即有，則的最小值為，
故選：B.
7．
【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式的幾何意義，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解，即可得到答案；
【詳解】如圖所示，

構(gòu)造點(diǎn)，，，，
，
分別作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，分別為與軸 軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：.
8．C
【解析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)到點(diǎn)的距離加上點(diǎn)到點(diǎn)的距離加上點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值”，采用分類討論的方法并畫出輔助圖示求解出最小值.
【詳解】因?yàn)楸硎军c(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，設(shè)，
則表示的長(zhǎng)度和，
顯然當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，對(duì)應(yīng)原式的結(jié)果更小，
當(dāng)均不在坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖所示：
考慮到求解最小值，所以，設(shè)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
所以；
當(dāng)其中一個(gè)在坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖所示：
此時(shí)分別有，，
所以；
當(dāng)都在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，
綜上可知：的最小值為，
故選：C.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解形如的式子的最小值思路：
（1）先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和問(wèn)題；
（2）畫出圖示，必要時(shí)借助點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行分析；
（3）根據(jù)距離之和的最小值得到原式的最小值.
9．C
【分析】設(shè)，對(duì)要求的式子進(jìn)行變形，看作拋物線的右半部分上一點(diǎn)P與的距離加上P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和的最小值，根據(jù)拋物線性質(zhì)進(jìn)行求解.
【詳解】設(shè)，則，則曲線為拋物線的右半部分．拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線l：的距離為d，點(diǎn)P為拋物線的右半部分上一點(diǎn)，設(shè)P到準(zhǔn)線l：的距離為，
則
．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于要對(duì)題干中的代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化為拋物線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行求解距離的最值問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想和拋物線的性質(zhì)進(jìn)行求解.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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