資源簡介

專題1巧用性質 對稱求和【講】
【典例1】（2022年高考全國乙卷理科第12題）已知函數的定義域均為，且.若的圖象關于直線對稱，，則（ ）
A.－21 B.－22 C.－23 D.－24
【典例2】（2022·全國·模擬預測）已知定義域為R的函數滿足，且函數的圖象與的圖象的所有交點為，，…，，則（ ）
A.0 B.m C. D.
【典例3】（2024·新疆·一模）已知定義在上的函數，滿足，且，，則 .
上面三個問題的求解，需要用到以下函數圖象的對稱性質：
如果兩個函數的圖象都關于一定點（直線）對稱，且兩圖象有交點，那么交點也關于該定點（直線）對稱.
關于函數圖象的中心對稱，有如下結論：
定理1 函數的圖象關于點對稱的充要條件是（或對定義域內的任意一個都成立.
證明 充分性：若對定義域內的每一個都成立，設是的圖象上任意一點，則，點關于點對稱的點為.
因為，故在函數的圖象上.
所以函數的圖象關于點對稱.
必要性：若函數的圖象關于點對稱，是的圖象上任意一點，則點關于點對稱的點為，且點在函數的圖象上，所以.
特別地，當時，定理即為：函數的圖象關于原點對稱的充要條件是對定義域內的任意一個都成立.這是奇函數定義的等價表達.
推論1 函數的圖象關于點對稱的充要條件是對定義域內的任意一個都成立.
證明 作替換，那么，
由定理1，函數的圖象關于點對稱的充要條件是.
推論2 函數的圖象關于點對稱的充要條件是對定義域內的任意一個都成立.
證明 作替換，那么，
由定理，函數的圖象關于點對稱的充要條件是：.
關于函數圖象的軸對稱，有如下定理.
定理2 函數的圖象關于直線對稱的充要條件是（或對定義域內的任意一個都成立.
定理2的證明比較簡單，此處略.
【精細化解析 典例1】
第一步：根據已知條件得為偶函數，然后利用關系得.
因為的圖象關于直線對稱，所以，
又，得，則，即為偶函數.
因為，所以，即，
又，得，所以，
即.
第二步：由函數的對稱性求和即可.
所以，.
因為，所以，又，所以，
從而.
因為，所以，結合為偶函數，得.
所以.故選D.
[精細化解析 典例2]
第一步：先判斷倆函數的對稱性；
由于，即，所以圖象關于對稱，
函數的圖象關于點對稱，
第二步：根據兩函數的對稱性求和即可.
則函數和圖象的交點也關于對稱，
則對于每一組對稱點和，
都有，，.
故選：C
【精細化解析 典例3】
第一步：根據所給條件推出為偶函數且周期為，再求出、、，
因為，所以，所以，
又，所以，
即，即，所以為偶函數，
所以，
所以，所以的周期為，
又，，
所以，
第二步：最后根據周期性計算可得.
，則，
，
所以，又，
所以
.
故答案為：
類型1 軸對稱型
例1 已知是定義在上的函數，且與均為偶函數，當時，，則方程的所有實數根之和為（ ）
（參考數據：）
A.10 B.20 C.8 D.6
思路 ，根據與的圖象都關于直線對稱，求得兩函數圖象交點的橫坐標之和.
解析 由題意，方程有根等價于與的圖象有交點.由與均為偶函數，得直線都是圖象的對稱軸，故是周期為2的函數，且最小值為0，最大值為.令得或，令得或，即或.
作出與的圖象，如圖，可知共有10個交點，這10個交點兩兩關于直線對稱，則所有交點的橫坐標之和為10，即方程的所有實數根之和為10.故選.
升華 關于函數圖象的對稱軸、對稱中心和周期，有如下關系：
函數的圖象關于直線和對稱，則是周期為的函數.
證明 因為函數的圖象關于直線對稱，所以.
因為函數的圖象關于直線對稱，所以.
，故是周期為.
類似可證：如果函數的圖象關于點和對稱，則是周期為的函數；
如果函數的圖象關于直線對稱，且關于點對稱，則是周期為的函數
【類題1-1】
1．已知函數，若函數的所有零點依次記為，且，則=
A． B． C． D．
【類題1-2】
2．函數的所有零點之和為 ．
【類題1-3 】
3．已知定義在上的函數，滿足，當時，，則函數的圖象與函數的圖象在區間上所有交點的橫坐標之和為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
類型2 三次型中心對稱
例2 對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數根，則稱點為函數的“拐點”.某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有拐點，任何一個三次函數的圖象都有對稱中心，且拐點就是對稱中心.若，則該函數的對稱中心為______；計算______.
解析 因為函數，所以，
令，得，故函數的拐點為.
由函數圖象的對稱中心為，可得，
所以.
升華 關于三次函數圖象的對稱中心，有如下結論.
定理3 三次函數的圖象關于點對稱.
證明 ，
令，則是奇函數，其圖象的對稱中心是，而，所以函數圖象的對稱中心是.
又，
所以函數的對稱中心是.
注 三次函數圖象的對稱中心也是它的拐點，其中橫坐標就是三次函數的二階導數的零點.
【類題1-1】
4．設直線與曲線有三個不同的交點A，B，C，且，則直線的方程為 .
【類題1-2】
5．函數恰好有三個不同的零點，則的值為 .
【類題1-3 】
6．已知直線與曲線有三個不同的交點，，，且，則（ ）
A． B． C． D．
類型3 指數型中心對稱
例3 德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學王子.他年幼時，在的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律而生成.現有函數，則等于（ ）
A.1008 B.1009 C.2018 D.2019
思路 先找到函數圖象的對稱中心，再求和.
解析 因為，
所以，從而函數圖象的對稱中心為.
令，
又，
兩式相加得，所以.故選B.
升華 一般地，對于函數，由于，故其圖象的對稱中心為；
對于函數，由于，故其圖象的對稱中心為.
【類題1-1】
7．已知函數f（x）滿足：對任意的，若函數與圖像的交點為，則的值為（ ）
A．0 B．2n C．n D．-n
【類題1-2】
8．已知，設函數的最大值為，最小值為，那么
A．2020 B．2019 C．4040 D．4039
【類題1-3 】
9．已知函數，數列滿足，則數列的前2019項和為 .
類型4 分式混合型中心對稱
例4 函數在區間上的所有零點之和為（ ）
A.0 B.3 C.6 D.12
解析 函數的零點，即函數與圖象交點的橫坐標.兩圖象如圖.
因為函數與的圖象均關于點對稱，且兩函數的圖象在區間上共有6個公共點，兩兩關于點對稱，所以函數在區間上的所有零點之和為.故選C.
升華 分式函數圖象的對稱中心為，正弦函數圖象的對稱中心為.
【類題1-1】
10．已知定義在R上的函數滿足：且，，則方程在區間上的所有實根之和為（ ）
A．14 B．12 C．11 D．7
【類題1-2】
（廣東省廣州市廣雅、執信、二中、六中四校2019－2020學年高一下學期期末聯考第16題）
11．函數在區間上的所有零點之和為
（2022年全國高中數學聯賽貴州賽區預賽第9題）
12．函數的對稱中心為，則 ．
【類題1-3】
13．已知函數，則
A．0 B．1009 C．2018 D．2019
【類題4－3】
（陜西省西安市高中2020屆第四次模擬考試理科第16題）
14．已知函數（）為奇函數，，若函數與圖像的交點為，，…，，則= .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】求得的對稱軸方程為，即可判斷在上有31條對稱軸，即可求得函數與的交點有31個，且相鄰交點都關于對稱軸對稱，可得：，將以上各式相加，利用等差數列求和公式即可得解．
【詳解】函數，令得，即的對稱軸方程為.
∵的最小正周期為.當時，可得，
∴在上有31條對稱軸，
根據正弦函數的性質可知：函數與的交點有31個，
且交點關于對稱，關于對稱，……，
即，
將以上各式相加得：
則
故選C.
【點睛】本題主要考查了三角函數的性質及函數零點個數問題，還考查了等差數列的前項和公式，考查了中點坐標公式及計算能力，屬于難題．
2．9
【分析】根據給定條件，構造函數，，作出這兩個函數的部分圖象，確定兩個圖象的交點個數，再結合性質計算作答.
【詳解】由，令，，
顯然與的圖象都關于直線對稱，
在同一坐標系內作出函數，的圖象，如圖，

觀察圖象知，函數，的圖象有6個公共點，其橫坐標依次為，
這6個點兩兩關于直線對稱，有，則，
所以函數的所有零點之和為9.
故答案為：9
3．C
【分析】可分析得到函數，都關于對稱，因此所有交點也關于對稱，結合兩個函數在的圖像，可得到時有3個交點，且兩函數相交，由于兩個圖像都關于對稱，故交點也關于對稱，每對交點的橫坐標之和為2，即得解.
【詳解】函數，滿足，故故圖像關于對稱，且
函數滿足故圖像關于對稱，
由于兩個圖像都關于對稱，只需研究時交點個數，
由于
兩個圖像位置關系如圖所示，故當時有3個交點，且兩函數相交，
由于兩個圖像都關于對稱，故交點也關于對稱，每對交點的橫坐標之和為2
故在區間上所有7個交點的橫坐標之和為
故選：C
【點睛】本題考查了函數性質綜合，考查了函數的對稱性，圖像變換，函數的零點，考查了學生轉化劃歸，數形結合，數學運算的能力，屬于較難題.
4．
【分析】依題意，求出曲線的對稱中心，再將與聯立，寫出韋達定理，利用弦長公式求出值，即得直線方程.
【詳解】因是奇函數，圖象關于原點對稱，故曲線 關于點對稱.
由于直線與曲線的三個交點為A，B，C，且，故由對稱性知.
又因直線不符合題意，故可設，B，C兩點的橫坐標分別為，
將直線與聯立，可得，即
則為方程的兩根，于是，
由，可得，
即，從而整理得
因為，所以，于是直線的方程為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查三次函數的對稱性和弦長問題，屬于較難題.
解題關鍵在于，結合函數解析式特點，迅速判斷函數圖象為中心對稱圖形，求得點坐標，設出直線方程，與曲線方程聯立消元后，借助于弦長公式即可求得值.
5．6
【分析】利用對稱性證明出關于點中心對稱，故.
【詳解】，不妨設，
令，則
所以關于點中心對稱，又，，即關于點中心對稱，故關于點中心對稱，
所以，
故答案為：6
6．D
【分析】根據函數解析式可判斷出曲線關于點對稱，由可知且關于點對稱，從而可求得，代入求得結果.
【詳解】設，則
關于對稱，即曲線關于點對稱
，根據對稱性可知：

本題正確選項：
【點睛】本題考查函數對稱性的應用問題，解題關鍵是能夠根據解析式得到曲線的對稱點，從而使問題得以求解.
7．C
【分析】根圖象的對稱性可得的值.
【詳解】因為任意的，故的圖象關于對稱.
又，
設，則的定義域為且，
故為奇函數，故其圖象關于原點對稱，而，
故圖像關于對稱.
故函數與圖像的諸交點關于對稱，
不妨設，則，
且，其中，
故，所以，
故，
故選：C.
8．D
【分析】通過分離分子可得，計算可得，利用函數的單調性計算可得結果．
【詳解】解：，
又是上的增函數，，故選D．
【點睛】本題考查函數的單調性的判斷和運用，注意解題方法的積累，考查運算能力，屬于中檔題．
9．
【分析】由函數的解析式，求出數列的通項公式，將代入即可得到的值，再利用倒序相加法即可求出此數列前2019項的和．
【詳解】依題意，函數，，所以，
數列滿足，
所以，.
，
設此數列前2019項的和，則有：
，
，
所以，即.
故答案為：.
【點睛】本題考查了數列的通項公式，倒序相加法求數列的前項和，考查分析解決問題的能力和計算能力，屬于中檔題．
10．C
【分析】化簡的表達式，得到的圖象關于點對稱，由的周期性，畫出，的圖象，通過圖象觀察上的交點的橫坐標的特點，求出它們的和即可；
【詳解】由題意知，函數的圖象關于對稱，函數的周期為2，
則函數，在區間上的圖象如右圖所示,可得函數圖象關于對稱，
由圖形可知函數，在區間上的交點為，，，，，，
其中取不到，則，，，
所以方程在區間上的所有實根之和為
故選：C．

【點睛】本題考查分段函數的圖象和運用，考查函數的周期性、對稱性和應用，同時考查數形結合的能力，屬于中檔題．
11．16
【分析】由題意得函數在區間上的零點，即方程的根，作出函數和的圖像，再結合函數圖像的對稱性，可得答案
【詳解】解：由題意得函數在區間上的零點，即方程的根，作出函數和的圖像，如下圖所示
由圖可知，兩個函數的圖像有8個不同的交點，且兩兩關于點對稱，
故8個點橫坐標之和為16，
所以函數在區間上的所有零點之和為16，
故答案為：16
【點睛】此題考查正弦函數、反比例函數的圖像特征，考查函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題
12．1
【詳解】∵，
設
，
，
∴是奇函數，所以f(x)關于點對稱，
∴．
故答案為：1.
13．B
【分析】f（，所以利用+f（1-x）=1,計算出的結果.
【詳解】+f（1-x）= +
= + =1
所以f（=1 =1009
故選：B
【點睛】本題考查的是利用，發現函數的自變量和等于1時，其函數和也等于1的規律，這是解題的關鍵，屬于中檔題.
14．3m
【分析】分別判斷函數與的對稱性，結合函數的對稱性進行求解即可．
【詳解】解：因為函數為奇函數，
所以函數的圖象關于點對稱，
關于點對稱，
所以兩個函數圖象的交點也關于點對稱，
故答案為：
【點睛】本題主要考查函數對稱性的應用，結合函數奇偶性以及分式函數的性質求出函數的對稱性是解決本題的關鍵．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑