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專題1 參數范圍 數形結合【講】
（2022年高考全國乙卷理科第15題）
【典例1】記函數的最小正周期為．若為的零點，則的最小值為______．
（2022年高考全國甲卷理科第11題）
【典例2】設函數在區間上恰有3個極值點和2個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】已知函數，若在區間上有且僅有4個零點和1個極大值點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
上面三個問題的共同特點是，根據題設條件，確定函數或中的取值范圍或最值．第1題中的函數與零點（對稱中心）和周期性相關，第2題和第3題中的函數與零點（對稱中心）和極值點（對稱軸）相關．
根據函數的圖象特征，我們可以得到單調性、周期性、對稱軸（最值點）、對稱中心（零點）之間的關系，有以下結論．
1．單調區間與周期的關系
若是周期函數的單調遞增（減）區間，則（為函數的最小正周期，，下同），即函數單調區間的長度不超過最小正周期的二分之一．
2．對稱中心（零點）與周期的關系
函數的零點可通過求得．
（1）任意兩個零點（對稱中心）間的距離為．
（2）若函數在區間上沒有零點，則．
3．對稱軸（極值點）與周期的關系
函數圖象的對稱軸方程可通過解關于的方程求得．
（1）任意兩條對稱軸間的距離為；
（2）任意一個對稱中心到一條對稱軸的距離為．
4．單調區間與對稱軸（極值點）的關系
（1）若函數在處取得極大值，則函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
（2）若函數在處取得極小值，則函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
5．最值與最值點
函數的值域為，當時，取最大值，當時，取最小值．
【精細化解析 典例1】
第一步：首先表示出，根據求出；
因為，
所以最小正周期，
又，所以，即，
第二步：根據為函數的零點，求出的表達式；
因為為的零點，所以，解得，
第三步：根據一次函數的最值，求解的最小值.
因為，所以當時，．故答案為3．
[精細化解析 典例2]
第一步：利用換元思想，畫出簡圖；
依題意可得，因為，所以，
的圖象如圖．
第二步：根據限制條件，利用圖形確定范圍，此時特別注意端點值的取舍；
要使在區間上恰有3個極值點和2個零點，
則由圖知，
第三步：求解不等式，明確參數范圍.
解得，即．故選C．
【精細化解析 典例3】
第一步：利用換元思想，畫出簡圖；
因為，所以，
的圖象如圖．
第二步：根據限制條件，利用圖形確定范圍，此時特別注意端點值的取舍；
在區間上有且僅有4個零點和1個極大值點，
即在區間上有且僅有4個零點和1個極大值點．
由圖知，
第三步：求解不等式，明確參數范圍.
解得，故的取值范圍是．故選A．
類型1 單調性與
例1．已知函數在上單調遞增，則滿足條件的的最大值為______．
【思路】 先對函數化簡變形，求出其單調遞增區間為，從而由題意可得，解不等式組可求得結果．
【解析】 ，
由，得，
所以的單調遞增區間為．
由題意知，，
所以，所以．
因為在上單調遞增，所以，即，所以．
當時，，從而；當時，；當時，．
所以．
【升華】 給定在某個區間上的單調性，求參數的取值范圍或最值，通常有以下三種思路．
思路1 （1）根據函數的單調遞增（減）區間的條件，
即，
解出，
令，其中；
（2）已知函數的單調區間是區間的子集，即，列出不等式組（*）；
（3）根據單調區間的長度不會超過半個周期，得到（**）；
（4）結合（*）和（**）的公共部分，確定參數的取值范圍或最值．
思路2 （1）根據，求得，令區間；
（2）區間是函數的單調遞增（減）區間的子集，即，列出不等式組（*）；
（3）根據單調區間的長度不會超過半個周期，得到（**）；
（4）結合（*）和（**）的公共部分，確定參數的取值范圍或最值．
思路3 （1）求導得，
令，求出的范圍；
（2）令，根據區間是區間的子集，即，列出不等式組（*）；
（3）根據單調區間的長度不會超過半個周期，得到（**）；
（4）結合（*）和（**）的公共部分，確定參數的取值范圍或最值．
【類題1-1】
1．已知函數在區間上單調，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
2．函數，已知為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-3】
3．已知函數，當時，取得最大值，且在區間上為減函數，則的最大值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
類型2 零點（對稱中心）與
例2. 將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若函數在上有且只有3個零點，則的取值范圍是______．
【思路 】根據，求出的范圍，結合的圖象可解．
【解析】 依題意得，，
所以
由得．
的圖象如圖．
若函數在上有且只有3個零點，
則由圖知，得，
故的取值范圍是．
【升華 】正弦函數的零點可表示為，每一個與軸的交點都是正弦函數的對稱中心，相鄰兩個對稱中心間的距離為半個周期．
若函數在區間上有零點，則，若函數在區間上沒有零點，則．
【類題2-1】
4．已知函數的圖象向右平移個單位長度得y=g(x)的圖象，若函數g(x)的圖象與直線在上恰有兩個交點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【類題2-2】
5．設函數，已知在有且僅有5個零點，則（ ）
A．在有且僅有3個極大值點
B．在有且僅有2個極小值點
C．在單調遞增
D．ω的取值范圍是
【類題2-3】
6．若在內無零點，則的取值范圍為 .
類型3 極值點（對稱軸）與
例3．將函數圖象上每點的橫坐標變為原來的2倍，得到函數，函數的部分圖象如圖所示，且在上恰有一個最大值和一個最小值（其中最大值為1，最小值為），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【思路】易知，根據題意得到，計算得到答案．
【解析】 由已知得函數，由的圖象過點以及該點在圖象上的位置知，則．因為，所以．
因為在上恰有一個最大值和一個最小值，所以，
所以．故選C．
【升華 】正弦函數的極值點就是其圖象與對稱軸的交點的橫坐標，可以通過導函數等于零求得．極值點也是單調遞增區間與單調遞減區間的分界點．
【類題3-1】
7．已知函數，若在上恰有個極值點，則的取值范圍是 .
【類題3-2】
8．已知函數在上僅有一個最值，且為最大值，則實數的值不可能為（ ）
A． B． C． D．
【類題3-3】
9．已知函數，為的一個零點，為圖象的一條對稱軸，且在內不單調，則的最小值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】化簡，利用單調區間，得到關于不等式，即可求解.
【詳解】化簡得
因為在區間上單調，所以即
令
所以或或
所以的取值范圍是.
故選:C
【點睛】本題考查三角函數的化簡，三角函數的性質，屬于中檔題.
2．A
【分析】由一條對稱軸和一個對稱中心可以得到或，由在上單調遞減可以得到，算出的大致范圍，驗證即可.
【詳解】由題意知：或
∴或
∴或
∵在上單調遞減，∴
∴

①當時，取知
此時，當時，
滿足在上單調遞減，∴符合
取時，，此時，當時，滿足在上單調遞減，∴符合
當時，，舍去，當時，也舍去
②當時，取知
此時，當時，
，此時在上單調遞增，舍去
當時，，舍去，當時，也舍去
綜上：或2，.
故選：A.
【點睛】本題考查三角函數的圖象與性質，難度較大，易錯點在于已知一條對稱軸和一個對稱中心要分兩種情況分析.
3．B
【分析】由當時，取得最大值，求出函數的單調減區間，結合題目所給減區間可解.
【詳解】由題意得，當時，取最大值，
則當時，取最小值，
則的單調減區間為
又在上為減函數，則，使得
解得，則，故．
當時，，則，故的最大值為6．
故選：B．
4．B
【分析】由函數的平移可得，結合三角函數的圖象與性質可得滿足的不等式，即可得解.
【詳解】由題意，，
當時，，
因為函數g(x)的圖象與直線在上恰有兩個交點，
則
或，，
又，所以.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：
解決本題的關鍵是對正弦函數圖象與性質的準確把握，結合正弦函數的圖象與性質求得滿足的不等式.
5．ACD
【分析】由在有且僅有5個零點，可得可求出的范圍，然后逐個分析判斷即可.
【詳解】因為在有且僅有5個零點，如圖所示，

所以，所以，所以D正確，
對于AB，由函數在上的圖象可知，在有且僅有3個極大值點，有3個或2個極小值點，所以A正確，B錯誤，
對于C，當時，，
因為，所以，所以 ，
所以在單調遞增，所以C正確，
故選：ACD
6．
【分析】求出函數的零點，根據函數在內無零點，列出滿足條件的不等式，從而求的取值范圍.
【詳解】因為函數在內無零點，
所以，所以；
由，得，
所以或，
由，得；由，得；由，得，
因為函數在內無零點，
所以或或，
又因為，所以的取值范圍為.
故答案為：.
7．
【分析】根據三角函數的圖象與性質，求得函數的極值點為，再由在上恰有個極值點，得到，即可求解.
【詳解】由題意，令，即，
解得，
所以函數的極值點為，
又在上恰有個極值點，
所以這三個極值點只能是在，
所以有，解得.
所以實數的取值范圍是.
故答案為.
【點睛】本題主要考查了三角還函數的圖象與性質的應用，以及函數極值點的定義的應用，其中解答熟練應用三角函數的圖象與性質，得到關于實數的不等式是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.
8．C
【分析】根據正弦函數的圖象，可得關于參數的不等式，求得的范圍，從而得出結論.
【詳解】因為函數，
在上僅有一個最值，且為最大值，
，
令，求得，
對比選項可知，即實數的值不可能為，
故選：C.
9．
【分析】由零點和對稱軸可構造方程組求得和，根據得，為取最小值依次代入和，利用代入檢驗法確定在內是否單調，由此確定的最小值.
【詳解】是的一個零點，；
是的一條對稱軸，；
由得：，
，，；
，；
當時，，當時，，
在內單調，不合題意；
當時，，當時，，
，在內不單調，符合題意；
的最小值為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查根據三角函數的性質求解函數解析式，解題關鍵是能夠根據整體對應的方式，對應五點作圖法可構造方程組求得和的取值，進而采用賦值法驗證的取值，根據函數單調性確定結果.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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