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專題3 最佳視角 米勒定理【講】
【典例1】．（江蘇省南通市2023年高三下學期階段聯合調研）如圖，摩天輪的半徑為，它的最低點距地面的高度忽略不計．地上有一長度為的景觀帶，它與摩天輪在同一豎直平面內，且．點從最低點處逆時針轉動到最高點處，記．
（1）當時，求點距地面的高度；
（2）試確定的值，使得取得最大值．
【典例2】．（2023·安徽池州·模擬預測）年米勒向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿看上去最長即可見角最大后人將其稱為“米勒問題”，是載入數學史上的第一個極值問題我們把地球表面抽象為平面，懸桿抽象為線段或直線上兩點，，則上述問題可以轉化為如下的數學模型：如圖，一條直線垂直于一個平面，直線有兩點，位于平面的同側，求平面上一點，使得最大建立如圖所示的平面直角坐標系設，兩點的坐標分別為，，設點的坐標為，當最大時，（ ）
A． B． C． D．
【典例3】德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點是的邊上的兩個定點，C是邊上的一個動點，當且僅當的外接圓與邊相切于點C時，最大．在平面直角坐標系中，已知點，，點F是y軸負半軸的一個動點，當最大時，的外接圓的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
上面三道考題，都與視角的最大值有關．用通俗的語言表述如下：
如圖，樹頂離地面，樹上另一點離地面，在離地面的處看此樹，離此樹多遠時視角最大？
這就是幾何史上著名的米勒問題．
米勒（Johannes Miller），德國數學家．1471年，他向諾德爾教授提出了以下有趣問題：
在地球表面的什么位置，一根垂直的懸桿呈現最長（即可見角最大）？
在他的誕生地法蘭克王國哥尼斯堡，這個問題被稱為雷奇奧莫塔努斯極大值問題，此問題作為載入世界數學史的100個著名極值問題之一，非常引人注目．
米勒問題的數學模型如下．
如圖1，設是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使最大．
其結論是：點為過兩點且與射線相切的圓的切點．
事實上，如圖2，在射線上除點外，取點，連接，其中交圓于點，連接，
易知．
由圓冪定理得，則．
圖1 圖2
【精細化解析 典例1】
第一步：利用題中所給條件結合直角三角形的性質求解；
（1）由題意得，從而當時，．即點距地面的高度為．
第二步：建立直角坐標系，利用米勒定理列式求解即可．
（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，由米勒定理知，過兩點作與圓外切的圓，切點即為滿足條件的點，此時設，則，即，解得，此時．
[精細化解析 典例2]
第一步：利用直角三角形的性質求得正切值；
由題意可知是銳角，且，
而，
第二步：由正切的和差角公式和基本不等式求解即可.
所以，
而 ，當且僅當 ，即時取等號，
因為是銳角，
所以當時，最大，此時最大.
故選：
【精細化解析 典例3】
第一步：由米勒定理知的外接圓與軸負半軸相切求解；
由米勒定理知當最大時，的外接圓與軸負半軸相切，此時圓心位于第四象限，
第二步：由點和的坐標得出半徑和圓心橫坐標，由圓上點到圓心的距離為半徑列出方程，得出，即可寫出圓的方程．
因為點，，所以圓心在直線上，
又圓與軸負半軸相切，所以圓的半徑為3，設圓心為，，
則，解得，又，所以
所以的外接圓的方程是，故選：A．
類型1 在非直角坐標系中求最佳（視角最大）位置
例1 “第七屆全國畫院美術作品展”在鄭州美術館展出．已知某油畫作品高、寬，畫的底部離地（如圖）．有一名身高為的游客從正面觀賞它（該游客頭頂到眼睛的距離為），設該游客與墻的距離為，視角為．為使觀賞視角最大，應為______.
思路 本題可以采用代數法和幾何法求解．
解析 方法一 設，則，
所以，
當且僅當，即時取等號．
所以當該游客與墻的距離為時，觀賞視角最大．
方法二 由題意知．
由米勒定理可知當時，最大，即，
解得或（舍去）．
升華 “視角最大”（定長線段的兩端點與定直線上的動點連線所成的角最大）問題有兩種處理方法．
代數法：借助正切函數，轉化為求分式函數的最大值；
幾何法：借助切割線定理，確定過定長線段的端點且與定直線相切的圓的切點．
【類題1-1】
1．某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位m），如示意圖，垂直放置的標桿BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

（1）該小組已經測得一組α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,請據此算出H的值
（2）該小組分析若干測得的數據后，發現適當調整標桿到電視塔的距離d（單位m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為125m，問d為多少時，α-β最大
【類題1-2】
2．如圖，一樓房高為米，某廣告公司在樓頂安裝一塊寬為米的廣告牌，為拉桿，廣告牌的傾角為，安裝過程中，一身高為米的監理人員站在樓前觀察該廣傳牌的安裝效果：為保證安全，該監理人員不得站在廣告牌的正下方：設米，該監理人員觀察廣告牌的視角.
（1）試將表示為的函數；
（2）求點的位置，使取得最大值.
【類題1-3 】
3．1471年德國數學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角），這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（ ）
A． B．
C． D．
類型2 在直角坐標系中或通過建立直角坐標系求最佳（視角最大）位置
例2 在中，內角所對的邊分別為，且滿足，則的最大值為______.
解析 建立平面直角坐標系，設．
由得，解得，
所以點在直線上．
由米勒定理可知，當且僅當過點的圓與直線相切時，角最大，此時最大．如圖，設直線與軸的交點為，
則由切割線定理知，
，
故，
，即所求最大值為．
升華 在平面直角坐標系中，通過坐標法求解米勒問題，充分體現了數形結合思想．
【類題1-1】
4．在平面直角坐標系中，給定兩點，，點在軸的正半軸上移動，當取最大值時，點的橫坐標為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
5．如圖，是兩個新建小區，到公路的垂直距離分別為，且，中國移動決定在線段兩點之間找一個點P建立一個信號塔（P不與重合），當P對兩地的張角越大時，信號的輻射范圍越大．
①當為直角時， ；
②當 ，信號的輻射范圍最大．
【類題1-3 】
6．在平面直角坐標系中，點在軸正半軸上，點在軸上，其橫坐標為，且是首項為1、公比為2的等比數列，記，.
（1）若，求點的坐標；
（2）若點的坐標為，求的最大值及相應的值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．（1）124m.（2）55m.
【詳解】(1)由及AB＋BD＝AD，得，解得H＝＝124.
因此，算出的電視塔的高度H是124m.
(2)由題設知d＝AB，得tanα＝.
由AB＝AD－BD＝，得tanβ＝，
所以tan(α－β)＝，
當且僅當d＝，即d＝＝55時，上式取等號．所以當d＝55時，tan(α－β)最大．因為0<β<α<，則0<α－β<，所以當d＝55時，α－β最大．故所求的d是55m.
2．（1）；（2）當米時，取得最大值.
【分析】（1）作，垂足為；作，垂足為，交于；作，垂足為；在和分別用表示出和，根據，利用兩角和差正切公式可求得結果；（2）根據（1）的結論，設，可得，利用基本不等式可求得時，取最大值，又在上單調遞增，可知時，最大，從而可得到結果.
【詳解】（1）作，垂足為；作，垂足為，交于；作，垂足為，如下圖所示：
在中，
在中，
監理人員必須在的右側
綜上所述：
（2）由（1）可得：
令，則
（當且僅當，即時取等號）
當，即時，取最大值
又且在上單調遞增 最大時，最大
當米時，取得最大值
【點睛】本題考查函數模型的實際應用問題，涉及到兩角和差正切公式的應用、利用基本不等式求解函數的最值問題；關鍵是能夠建立起準確的函數模型，在求解最值時，將函數化為符合基本不等式的形式；易錯點是忽略了函數模型中定義域的要求.
3．B
【分析】設此時視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，根據題意，，然后利用兩角差的正切值公式求得，進而利用同角三角函數關系求得“最大視角”的正弦值.
【詳解】由米勒問題的解答可知，此人應站在離塔水平距離為處觀察，
設此時視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，
則，則，
故.
故選：B
4．C
【分析】由平面幾何知識可知，當過、兩點的圓與軸相切時，切點即為所求點，再由切割線定理可求得點的橫坐標.
【詳解】當過、兩點的圓與軸相切時，切點即為所求點.
易得過、兩點的直線方程為，其與軸交點為，易得，，由切割線定理得，所以，進而可得，點的橫坐標為3.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是確定點的位置.
5． 1或2##2或1 ##
【分析】（1）設，，當時，，代入式子求解即可；（2）當時，，通過換元，將式子變形，對正切函數求最值即可得到答案.
【詳解】設，
，
①當時，
，
解得或2，所以此時或；
②當時，，
由題意，張角要達到最大，，
令取負數時，
對應的是鈍角，時，，
當且僅當時取等，由正切函數單調性可知，
此時張角為達到最大．
即.
故答案為：1或2；
6．（1）點的坐標為或（2）當時，最大，其最大值為
【分析】（1）設,根據題意可知,根據可知.進而由正切的差角公式表示出.即可解關于的方程,求得點的坐標.
（2）表示出點的坐標及,即可表示出.結合基本不等式,即可求得的最大值.進而由正切函數的單調性求得的最大值及相應的值.
【詳解】（1）設,根據題意,
由,知
而
所以,解得或
故點的坐標為或
（2）由題意,點的坐標為,
.
因為,所以
當且僅當,即時等號成立
易知,在上為增函數
因此,當時,最大,其最大值為
【點睛】本題考查了等比數列通項公式的應用,正切函數差角公式的用法及基本不等式的綜合應用,屬于中檔題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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