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專題2 圖形分割 定理優先【講】
【典例1】．（福建百校聯考2024屆高三下學期正月開學考試數學試題）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）求A；
（2）過點A作的垂線與的延長線交于點D，，的面積為，求的周長．
【典例2】．（河北省邢臺市2024屆高三上學期期末調研數學試題）的內角A，，C所對的邊分別為，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若的角平分線交于點，，，求．
【典例3】（2022年高考全國甲卷文理科第16題）在中，點D在邊BC上，，，．當-取得最小值時，______.
如果將以上問題涉及的圖形進行提煉，可以發現它們都是“爪子形”：連接三角形一個頂點和其對邊上的任意一點所得圖形．
如圖，D為的邊BC上一點，連接AD，被AD一分為二．
“爪子形”在解三角形的問題中經常出現，求解“爪子形”問題的主要思考途徑如下．
1．一對鄰補角的余弦關系式
①．
2．兩個三角形面積的關系式
②．
3．三邊三角公式（張角定理）
如圖，記，，，，，則有
③．
事實上，由，
得到，
兩邊同時除以即得③式．
注③式可參見《普通高中教科書數學必修第二冊》（北京師范大學出版社2019年4月第1版）第124頁復習參考題B組第1題．
4．六邊的關系式（斯特瓦爾特（Stewart）定理）
④．
事實上，在和中，分別應用余弦定理，可得
⑤，
⑥．
，并注意到，
可得，
即．
注 斯特瓦爾特定理的若干特例如下．
若AD是的平分線，則有，即，代入④式可得
⑦．
⑦式即為三角形的內角平分線公式．
若AD是BC邊上的中線，則有代入④式可得
⑧．
⑧式即為三角形的中線長公式．該結論出現在《普通高中教科書數學必修第二冊A版》（人民教育出版社2019年7月第1版）第53頁習題6.4第15題．
5．三個直角三角形，，的邊角關系如圖，過點A作BC邊上的高AE，可以得到以下結論．
⑨，
⑩．
6．三個向量間的關系式
如果，即，那么．
與“爪子形”相關的解三角形試題，是高考中高頻出現的問題，按照以上途徑思考，可以在解法上尋找最簡捷的方式，總結解題規律，從整體上認識和把握，做到有的放矢．
【精細化解析 典例1】
第一步：利用正弦定理將條件式角化邊，再結合二倍角公式求出得解；
因為，
由正弦定理得．兩邊除以，
得，
由二倍角公式，有，
整理為，
上式因式分解為，
解得或（舍去），
又由，可得；
第二步：結合邊長之比得到面積，然后建立方程求解邊長；
（2）由．有，又由，可得，
（3）有，可得，
又由的面積為及，有，
代入，可得，，
又由，有，代入，可得，
第三步：根據余弦定理求解邊長，即可求解周長.
在中，由余弦定理，有，
有的周長為．
[精細化解析 典例2]
第一步：利用正弦定理邊化角，結合和差公式將展開，然后化簡求解；
（1）由及正弦定理，
可得．
因為，
所以．
又，所以，則，
又，所以．
第二步：利用角平分線定理和余弦定理可得，由勾股定理可知；
（2）∵為的平分線，，由內角平分線性質定理，，
又∵，在中，由余弦定理，，
，∴，
第三步：在中，利用勾股定理可解.
又∵，∴，
又∵，∴在中，，∴．
【精細化解析 典例3】
第一步：利用余弦定理建立方程；
設，，，
則在中，，
在中，，
第二步：根據余弦定理得，再對所求式子等價變形；
所以
第三步：利用基本不等式求解最值.
，
當且僅當，即時等號成立，
所以當取最小值時，．
另解： 設，以D為坐標原點，DC為x軸，建立平面直角坐標系，
則，，，所以．
設，則．
令解得．
可知在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在時取得最小值，
所以當取最小值時，．
注 通過建立平面直角坐標系表示出，結合導數求函數的最值即可得解．
類型1 角平分線型
例1（2024上·福建泉州·高三統考期末）的內角所對的邊分別為.已知.
（1）若，求；
（2）點是外一點，平分，且，求的面積的取值范圍.
【詳解】（1）由正弦定理可知，
所以，
所以，由余弦定理，
因為的內角，所以，又，所以.
（2）
由正弦定理，
，
又平分，所以，
因為四邊形的內角和為，且，易知，
所以
，①
設，則①，
令，則
，
因為在中，所以，所以，
所以時恒成立，且，時，
，時，則，所以.
【升華】升華 與角平分線相關的“爪子形”問題，一般可借助面積關系、張角定理（③式）、角平分線長公式（⑦式）和角平分線定理等知識求解．解題時，需要結合圖形特征具體分析．
【類題1-1】
1．在中，，，是上的點，平分，若，則的面積為 .
【類題1-2】
2．在中，，，，平分交于點則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-3】
3．已知雙曲線的左，右焦點分別為、，點在雙曲線上，且，的平分線交軸于點，則（ ）
A． B． C． D．
類型2 中線型
例2 （浙江省新陣地教育聯盟浙江十校2024屆高三下學期第三次聯考（開學考試）數學試題）在中，內角所對的邊分別為，且，點是線段的中點，其中，則當取得最大值時，______.
【思路】由正弦定理和題設條件，得到，即，再在和中，由余弦定理化簡得到，轉化為，令，得到，求得，進而得到的最大值.
【詳解】因為，由正弦定理可得，
即，可得，所以，所以，
在中，由余弦定理，
可得，
在中，由余弦定理，
可得，
因為，所以，
兩式相加，可得，可得，
即，所以，
令，可得，即，解得，
因為，所以，當且僅當時等號成立，
所以，即的最大值為.
故答案為：.
【升華】與中線相關的“爪子形”，一般可借助中點處的兩鄰補角關系（①式）、三角形的中線長公式（⑧式）、正（余）弦定理等知識求解．
【類題1-1】
4．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，M是的中點，若，則的最大值為 ．
【類題1-2】
5．等腰中，三角形面積等于2，則腰上中線的最小值等于 .
【類題1-3】
6．在△ABC中，，D是BC的中點．若ADBC，則的最大值為 ．
類型3 定比分點（非中點）型
例3（2021年新高考全國Ⅰ卷第19題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，點D在邊AC上，．
（1）證明：；
（2）若，求．
思路（1）利用正弦定理求解；
（2）要能找到隱含條件：和互補，從而列出等式關系求解．
解析（1）方法一由正弦定理知，R為外接圓的半徑，
所以，，
因為，所以，即，
因為，所以．
方法二 由正弦定理知，所以．
又因為，所以，從而，
所以．
（2）方法一由（1）知，因為，所以，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
因為，
所以，即，得，
因為，所以，得或．
在中，由余弦定理知，，
當時，（舍去）；當時，．
綜上，．
方法二 在中，，平方得①，
由余弦定理得②，
聯立①②兩式得．
下同方法一．
升華 與非中點的定比分點相關的“爪子形”問題，一般可借助分點處的兩鄰補角關系（①式）、向量關系、面積關系、正（余）弦定理等知識求解．
【類題1-1】
7．已知D為的邊AC上一點，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
8．在中，，．
（1）若，求的面積；
（2）若點D在BC邊上且，AD＝BD，求BC的長．
【類題1-3】
9．如圖，在中，，點D在線段BC上，且，，則的面積的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．
類型4 已知型
例3（2024上·高三數學極光杯線上測試（一））已知凸四邊形內接于圓，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【思路】設，根據結合正弦定理可得，再利用三角恒等變換可得，進而利用正弦定理可得，即可得結果.
【詳解】設，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
因為，即，
且，可知，
則，即，
又因為，則，
可得，
則，
在中，由正弦定理可得，
在中，可知，
由正弦定理可得，
則，可得，
當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為.
故選：D.
【升華】如果或已知，那么可以通過作高構造直角三角形建立關系式，也可以利用與互補，通過余弦定理建立等式關系．
【類題1-1】
10．已知在中，角，，的對邊分別為，，，，．
（1）求的值；
（2）若點線段上的一點滿足，求的值．
【類題1-2】
11．在△ABC中，AB=6，，點D在BC邊上，AD=4，∠ADB為銳角.
(1)若，求線段DC的長度；
(2)若∠BAD=2∠DAC，求sinC的值.
【類題1-3】
12．在中，，，且．
(1)求的大小；
(2)求的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】由正弦定理可得、，即有，而，可得，結合余弦定理求，再應用三角形面積公式求的面積即可.
【詳解】
∴由正弦定理，，，即，，而，
∴，
∵，即，，
∴，即，
又由余弦定理知：，
∴，即，令，
∴，即（舍去），
∴.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：應用正余弦定理，列方程求，根據三角形面積公式求面積.
2．A
【分析】設，，則，在和中運用正弦定理得到和的關系式；在中運用正弦定理及二倍角公式可解得，代入和的關系式即可得到的長.
【詳解】設，，則，
在中，由正弦定理，得，
在 中，由正弦定理，得，
兩式相除，得，即，所以，
在中，由正弦定理，得，即，
又因為
，
所以，化簡得，
解得或，
代入得，即.
故選：A.
3．B
【分析】利用雙曲線的定義，及余弦定理，可求得，，借助，可得，即得解.
【詳解】
不妨設在雙曲線的右支，且
由余弦定理：
由雙曲線方程：
代入可得：
代入可得：
故選：B
【點睛】本題考查了雙曲線的焦點三角形的面積問題，考查了學生轉化劃歸，綜合分析，數學運算的能力，屬于中檔題.
4．
【分析】先由得到，再結合得到，最后借助基本不等式即可求解.
【詳解】
由可得，化簡得，即，，又，，由余弦定理知，即，又，化簡得，，又，當且僅當時取等.故，即.
故答案為：.
5．
【分析】由三角形面積公式可得到，進而得到；利用余弦定理可表示出，結合輔助角公式整理可得，根據正弦型函數值域可知，解不等式求得結果.
【詳解】由三角形面積公式知：
，解得：
故答案為：
【點睛】本題考查三角形中最值問題的求解，涉及到三角形面積公式、余弦定理和輔助角公式的應用；關鍵是能夠利用三角形面積公式和余弦定理構造等量關系，從而結合正弦型函數的值域構造出不等關系.
6．
【分析】由可得，由D是BC的中點，可得，然后可得，然后結合ADBC可得，即
【詳解】因為，所以由余弦定理得①
因為D是BC的中點，
所以由余弦定理可得
化簡可得：②
由①②可得
因為AD，所以
所以，所以
故答案為：
【點睛】本題考查了余弦定理和利用正弦定理進行邊角互化，考查了學生對問題的處理與轉化能力.
7．A
【分析】
由題目條件得到，設，則，，由余弦定理得，再根據正弦定理求出答案.
【詳解】
因為，所以，
所以由，得，于是．
設，則，，
在中，由余弦定理得，
即，解得．
所以，．
在中，由正弦定理得，
故．
故選：A．
8．（1）；（2）
【分析】（1）通過正弦定理求出BC，然后求解三角形的面積；
（2）設出DC，然后通過余弦定理轉化求解即可．
【詳解】（1）由正弦定理得：，所以sinC=1，，
所以，所以．
（2）設DC=x，則BD=2x，由余弦定理可得
解得：所以．
【點睛】本題考查解三角形的相關知識．正弦定理以及余弦定理的應用，考查轉化能力與計算能力．
9．C
【解析】設，則，根據三角形的面積公式求出AC，AB，然后由，根據三角函數的性質求出面積的最大值．
【詳解】解：設，則．
，，，，
，同理，
其中，
，當時，，．
故選：C．
【點睛】本題考查了余弦定理和三角恒等變換，以及三角形的面積公式，考查了運算能力和轉化能力，屬于中檔題．
10．（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理可得，故設，，由余弦定理可求出，再由余弦定理即可求的值；
（2）由題意可得，，計算即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理可得，故設，，
由余弦定理得：，
所以，
因為，所以，
由余弦定理得：；
（2）因為，所以，所以，
所以.
11．(1)7
(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理得求得，在中，由余弦定理得求得，可得 ；
（2）記，在中，由余弦定理得，再由求得、，在中，由余弦定理得及，再由可得答案.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得，
∴或，當時，，則，符合題意；
當時，，則，不合題意，舍去；∴，
在中，由余弦定理得，
∴或（舍去），∴.
（2）由（1），
記，則.在中，由余弦定理得，∴為銳角，
∴，∴，，
在中，由余弦定理得，
∴，
∴.
12．(1)
(2)
【分析】（1）在和中，利用正弦定理及，結合題意，化簡得到，得到，即可求解.
（2）在中，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到，結合三角函數的性質，即可求解.
【詳解】（1）解：在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，，
因為，可得，
又因為，，所以，
所以，可得，所以，
又因為，所以．
（2）解：在中，由正弦定理，得
，
因為，可得，
所以，可得，
所以，即的取值范圍為．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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