資源簡介

專題1 透視四心 向量處理【講】
【典例1】（2024·廣東廣州·鐵一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示，O點(diǎn)在內(nèi)部，分別是邊的中點(diǎn)，且有，則的面積與的面積的比為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023下·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）設(shè)銳角內(nèi)部的一點(diǎn)O滿足，且，則角A的大小可能為（　　）
A． B． C． D．
【典例3】（2024上·安徽安慶·高三安徽省懷寧縣新安中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)O點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則的面積與的面積的比值為（ ）
A．2 B． C． D．3
為了深入研究上述問題，我們先介紹與三角形“四心”密切相關(guān)的“奔馳”定理．
引理（“奔馳”定理）如圖1，O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．
圖1與奔馳汽車的標(biāo)志（圖2）類似，故該引理又稱“奔馳”定理．
證明 如圖3，延長AO，與BC邊相交于點(diǎn)D，
則．
記，則，即，
所以，
又，所以，
從而．
若O是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則．
下面我們歸納三角形“四心”的定義、幾何性質(zhì)和向量特征．
1．重心
①定義：三角形三條中線的交點(diǎn)．
②幾何性質(zhì)：三角形的重心是中線的三等分點(diǎn)，它到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍．
③向量特征
定理1 G是的重心．
證明由引理得G是的重心．
推論1 P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，
是的重心．
證明 G是的重心
．
注 在推論1中，若P為坐標(biāo)原點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則的重心為．
2．外心
①定義：三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心．
②幾何性質(zhì)：三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．
③向量特征
定理2 O是銳角的外心．
證明 由O是銳角的外心，得，
則，，，
于是，
根據(jù)引理，得到．
反之亦然（證明略）．
推論2 P是銳角所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，
是銳角的外心．
推論2可仿照推論1進(jìn)行證明．
3．內(nèi)心
①定義：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心．
②幾何性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等．
③向量特征
定理3 O是的內(nèi)心（其中a，b，c是的三邊長）．
證明 設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，O是的內(nèi)心，
則．
根據(jù)引理得，O是的內(nèi)心．
推論3 P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，
O是的內(nèi)心．
推論3 可仿照推論1進(jìn)行證明．
4．垂心
①定義：三角形三條高所在直線的交點(diǎn)．
②幾何性質(zhì)：三角形的垂心分每條高線所得的兩條線段長的乘積相等．
③向量特征
定理4 O是（非直角三角形）的垂心．
證明O是（非直角三角形）的垂心
，
由引理得，O是（非直角三角形）的垂心．
推論4 P是（非直角三角形）所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，
O是（非直角三角形）的垂心．
推論4可仿照推論1進(jìn)行證明．
【精細(xì)化解析 典例1】
第一步：利用向量運(yùn)算得三點(diǎn)共線；
由可得，
又因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，，
所以，即，所以三點(diǎn)共線，且，
第二步：由三角形面積公式即可求解.
所以到的距離與到的距離之比也為，
又的面積與的面積都以為底，
所以的面積與的面積的比為．故選：A
[精細(xì)化解析 典例2]
第一步：根據(jù)三角恒等變換和外心的向量性質(zhì)，將原式化簡；
由于銳角△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)O滿足|OA|＝|OB|＝|OC|，
所以點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，外接圓的半徑為R；
所以 ，
整理得 ，
第二步：利用數(shù)量積的定義二倍角化簡求值即可.
所以 ，
故 ，
則 ，
所以 ，
故，由于，所以，解得．故選：D．
【精細(xì)化解析 典例3】
第一步：設(shè)，于是得到點(diǎn)O是的重心；
不妨設(shè)，如圖所示，
根據(jù)題意則，即點(diǎn)O是的重心，
第二步：根據(jù)重心性質(zhì)及高的關(guān)系，得到；
取的中點(diǎn)，連接，則三點(diǎn)共線，且，
所以邊上的高是邊上的高的倍，
，即，同理可得：，，
所以有，
第三步：利用面積關(guān)系得結(jié)論.
又因?yàn)椋?br/>那么，
故的面積與的面積的比值為.故選：A.
類型1 由“奔馳”定理演繹三角形面積之比
例1 設(shè)點(diǎn)O在內(nèi)部，且有，D是BC的中點(diǎn)，設(shè)與的面積分別為，，則______．
【詳解】 取AC的中點(diǎn)為E，由得，
所以O(shè)，D，E三點(diǎn)共線且，所以，故．
【升華】設(shè)O是內(nèi)一點(diǎn)，由“奔馳”定理推論知，當(dāng)時(shí)，有，
故，，．
可見，根據(jù)三個(gè)向量，，的系數(shù)之比，可以求得相關(guān)三角形的面積之比．
反之，如果對(duì)內(nèi)一點(diǎn)O，有，則有．
可見，根據(jù)三個(gè)三角形的面積之比，可以求得三個(gè)向量，，的系數(shù)之比．
【類題1-1】
1．已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則.這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
2．已知在內(nèi)，且，，則 ．
【類題1-3】
3．已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，現(xiàn)將一粒紅豆隨機(jī)撒在內(nèi)，記紅豆落在內(nèi)的概率為，落在內(nèi)的概率為，，則
A． B． C． D．
類型2 與外心相關(guān)的問題
例2 設(shè)的外接圓的圓心為O，且，則的值為______．
【詳解】因?yàn)镺是的外接圓圓心，，
所以．
令，，，
由于，
即，
故，即，
兩邊平方得，
即，
得，
所以，即．
【升華】求解與外心相關(guān)的問題，需要根據(jù)外心的定義、性質(zhì)和向量特征（定理2或推論2），結(jié)合具體問題的條件進(jìn)行推理和運(yùn)算．
【類題1-1】
4．已知的外心為，則的取值范圍是 .
【類題1-2】
5．已知為的外心，且，，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【類題1-3】
6．設(shè)銳角內(nèi)部的一點(diǎn)O滿足，且，則角A的大小可能為（ ）
A． B． C． D．
類型3 與內(nèi)心相關(guān)的問題
例3 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為I．若，則該橢圓的離心率是（）
A． B． C． D．
解析 因?yàn)?，所以?br/>如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接IM，則，從而點(diǎn)I為AM上靠近M的三等分點(diǎn)，
所以，
所以．
設(shè)，則，，
由橢圓的定義可知，即，所以，
所以，，，，
故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合．
在中，由余弦定理得，
在中，，
解得，所以橢圓的離心率為．故選A．
【升華】求解與內(nèi)心相關(guān)的問題，需要根據(jù)內(nèi)心的定義、性質(zhì)和向量特征（定理3或推論3），結(jié)合具體問題的條件進(jìn)行推理和運(yùn)算．
【類題1-1】
7．在中，，，，O是的內(nèi)心，且，則=（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
8．已知為△ABC的內(nèi)心，且.記R r分別為△ABC的外接圓 內(nèi)切圓半徑，若，則R= .
【類題1-3 】
9．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且,為內(nèi)部的一點(diǎn)，且，若，則的最大值為 .
類型4 與重心相關(guān)的問題
例4 設(shè)為所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).則使得取得最小值的點(diǎn)是的（ ）.
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
解析 注意到
①
當(dāng)，即為的重心時(shí)，式①取得最小值
故答案為C
【升華】求解與重心相關(guān)的問題，需要根據(jù)重心的定義、性質(zhì)和向量特征（定理1或推論1），結(jié)合問題的具體條件進(jìn)行推理和運(yùn)算．
【類題1-1】
10．M，N分別為的邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足，，若，且，則MN恒過的 （填“五心”中的一個(gè)）
【類題1-2】
11．已知△ABC和點(diǎn)M滿足.若存在實(shí)數(shù)m使得成立，則m＝ .
【類題1-3 】
12．已知是的重心，若，，則
A．-1 B．1 C． D．
類型5 與垂心相關(guān)的問題
例5 已知H是的垂心，且滿足，則內(nèi)角B的大小為______．
解析 由于H是的垂心，則，
所以
又在中，有，
所以，即．
【升華】求解與垂心相關(guān)的問題，需要根據(jù)垂心的定義、性質(zhì)和向量特征（定理4或推論4），結(jié)合問題的具體條件進(jìn)行推理和運(yùn)算．
【類題1-1】
13．已知是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【類題1-2】
14．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在研究幾何時(shí)曾定義歐拉三角形，的三個(gè)歐拉點(diǎn)（頂點(diǎn)與垂心連線的中點(diǎn)）構(gòu)成的三角形稱為的歐拉三角形.如圖，是的歐拉三角形（H為的垂心）.已知，，，若在內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為 .
【類題1-3】
15．在中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，利用同底的兩個(gè)三角形面積比推得即可求解作答.
【詳解】是的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，
則，，
因此，，同理，
于是得，
又，即，由“奔馳定理”有，
則，而與不共線，有，，即，
所以.
故選：A
2．
【分析】首先根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用題中所給的條件，列出相應(yīng)的等量關(guān)系式，根據(jù)平面向量基本定理，得到對(duì)應(yīng)的結(jié)果.
【詳解】如圖，
設(shè)BO與AC相交于D，則由，可得，
設(shè)CO與AB相交于E，則由，可得，
因B,O,D三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)m，
使，
因C,O,E三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)n，使得
，
所以，解得，
，所以，，
故答案是：.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有平面向量基本定理，向量共線的條件，屬于較難題目.
3．D
【分析】根據(jù)23，計(jì)算出△PAB，△PAC，△PBC面積的關(guān)系，求出概率，作積得答案．
【詳解】如圖，令，，．

則P為△A1B1C1 的重心，
∴，
而，，．
∴2S△PAB＝3S△PAC＝6S△PBC，
∴，，．
則P△PBCP△PBAP△PAC．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出滿足條件和所有基本事件對(duì)應(yīng)的幾何量，是解答的關(guān)鍵，難度中檔．
4．
【解析】作出圖示，取BC的中點(diǎn)D，則有，再由向量的線性表示和向量數(shù)量積的運(yùn)算得出，，，代入已知得，由余弦定理表示，再由基本不等式可求得范圍.
【詳解】作出圖示如下圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AD，因?yàn)榈耐庑臑镺,則，
因?yàn)椋?br/>又，所以，
同理可得，，
所以化為，
即.
由余弦定理得，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，又，所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及三角形的外心的定義和性質(zhì)，關(guān)鍵在于三角形的外心的定義和向量的線性表示，轉(zhuǎn)化表示向量的數(shù)量積，將已知條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊的關(guān)系，屬于較難題.
5．
【分析】取邊的中點(diǎn)，利用向量加法的平行四邊形法則可得，，，三點(diǎn)共線，由，，再由即可求解.
【詳解】如圖所示，取邊的中點(diǎn)，則，
又，所以，
所以，，三點(diǎn)共線，，
因?yàn)闉榈耐庑?，所以，?br/>所以，．
因?yàn)?，所以?br/>即，所以．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的共線定理、向量加法的平行四邊形法則，屬于中檔題.
6．AD
【分析】
利用平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)關(guān)系式的變換，三角函數(shù)值的應(yīng)用求出結(jié)果.
【詳解】銳角內(nèi)部的一點(diǎn)O滿足，則O為的外接圓的圓心，
圓心O在內(nèi)，設(shè)外接圓的半徑為R，
因?yàn)椋?br/>所以，
從而，
即，
進(jìn)而得，
即，
所以，
即，所以，
因?yàn)?，所以或，所以或?br/>故選：AD．
7．D
【分析】根據(jù)引理證明定理3，即可定理3的結(jié)論求解.
【詳解】先證明：引理（“奔馳”定理）如圖1，O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．
證明 如圖3，延長AO，與BC邊相交于點(diǎn)D，
則．
記，則，即，
所以，
又，所以，
從而．
接下來證明定理3 O是的內(nèi)心（其中是的三邊長）．
證明 設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，O是的內(nèi)心，
則．
根據(jù)引理得，O是的內(nèi)心．
由，可得，
即，
因?yàn)镺為的內(nèi)心，，，，
根據(jù)定理3，可知，解得，，故．
故選:D．
8．32
【詳解】解法一：如圖，取BC的中點(diǎn)D，
依題意，有.
所以A I D三點(diǎn)共線，AB=AC.由r=ID=15，知IA=24.
作IE⊥AB于E，則IE=ID=15，
.
所以.
又.
所以.
解法二：依題意，有.
由三角形內(nèi)心的向量表示：若a b c分別為△ABC的內(nèi)角A B C的對(duì)邊，I為△ABC的內(nèi)心，則.
可得，a：b：c=5：4：4，設(shè)a=10k，則b=c=8k.
作AD⊥BC于D，則，.
又r=15，，
因此，.
又，所以.
故答案為：32．
9．
【解析】將利用向量的線性運(yùn)算全部轉(zhuǎn)化為以為起點(diǎn)的向量，根據(jù)平面向量基本定理可將用表示，再利用余弦定理及基本不等式，即可求出結(jié)果．
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>所以，所以
又，所以，所以，
在中，由余弦定理得，又，
所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
所以，故的最大值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，余弦定理及基本不等式求最值，關(guān)鍵是利用整體思想將化為，屬于難題．
10．重心
【分析】設(shè)G為的重心，根據(jù)題意可得，再結(jié)合三點(diǎn)共線的結(jié)論分析判斷.
【詳解】因?yàn)?，?br/>則，，
設(shè)G為的重心，則，
又因?yàn)椋?，即，可得?br/>所以G，M，N三點(diǎn)共線，故MN恒過的重心．
故答案為：重心.
11．3
【詳解】由條件知是的重心，設(shè)是邊的中點(diǎn)，
則，而，
所以.
12．C
【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得到，再由向量的基底表示得到，根據(jù)平面向量基本定理得到結(jié)果.
【詳解】已知是的重心，則取AB的中點(diǎn)E，則
若,則，又因?yàn)?故
=根據(jù)平面向量基本定理得到=．
故答案為C.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是向量基本定理的應(yīng)用；解決向量的小題常用方法有：數(shù)形結(jié)合，向量的三角形法則，平行四邊形法則等；建系將向量坐標(biāo)化；向量基底化，選基底時(shí)一般選擇已知大小和方向的向量為基底．
13．D
【分析】計(jì)算的值，可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br/>，
，因此，點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的垂心，
故選：D.
14．
【分析】由三角函數(shù)的余弦定理得：AB＝3，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法得到陰影三角形的面積，從而利用幾何概型公式得到結(jié)果.
【詳解】解：因?yàn)閠an∠ACB＝2，所以cos∠ACB，
又因?yàn)锳C＝3，BC＝2，
由余弦定理可得：AB＝3，
取BC的中點(diǎn)O，則OA⊥BC，
以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則B（﹣1，0），C（1，0），A（0，2），設(shè)H（0，y），
因?yàn)锽H⊥AC，
所以1，
所以y，從而S，
故所求概率為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的余弦定理及幾何概型中的面積型，考查計(jì)算能力，屬中檔題．
15．
【分析】根據(jù)余弦定理可求解余弦，即可根據(jù)同角關(guān)系求解正切，進(jìn)而運(yùn)用定理4的結(jié)論，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，，所以?br/>由余弦定理可得，
由以及為銳角，可得，故．
同理，．于是．
接下來證明定理4：O是（非直角三角形）的垂心．
證明：O是（非直角三角形）的垂心
，
由定理4得，
故，
化簡得．所以．
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑