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模塊2專題5函數(shù)同構(gòu) 化繁為簡【講】
【典例1】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)的導(dǎo)數(shù)為，若，求證：關(guān)于的方程在區(qū)間上有實數(shù)解.
【典例2】（2024·甘肅白銀·三模）設(shè)函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性．
（2）證明：．
（3）當(dāng)時，證明：．
【典例3】（2024·甘肅定西·一模）設(shè)函數(shù)，
（1）證明：.
（2）當(dāng)時，證明：.
上面三個問題都可以通過變形，使關(guān)系式兩邊變成具有相同結(jié)構(gòu)的代數(shù)式，即把關(guān)系式變?yōu)榕c的關(guān)系式，然結(jié)合相同的結(jié)構(gòu)形式構(gòu)造適當(dāng)?shù)哪负瘮?shù)，即復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)，利用的單調(diào)性、最值等性質(zhì)解決問題，這就是同構(gòu)的思想．其思維導(dǎo)圖如下．
觀察分析→合理變形成具有相同結(jié)構(gòu)的模式→構(gòu)造新函數(shù)→研究性質(zhì)→問題求解．
一些簡單的問題可以直接構(gòu)造母函數(shù)，有些復(fù)雜的問題則需要進行適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)變形才能構(gòu)造出母函數(shù)．當(dāng)式子中含有指數(shù)、對數(shù)時，構(gòu)造新函數(shù)時注意利用公式，，，，等合理配湊，使式子中出現(xiàn)結(jié)構(gòu)相同的兩部分．有時結(jié)合熟悉的切線不等式，，往往事半功倍．
結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見同構(gòu)模型
①，構(gòu)造函數(shù)或；
②，構(gòu)造函數(shù)或；
③，構(gòu)造函數(shù)或.
同構(gòu)不僅可以用于解不等式，它在處理不等式恒成立問題、證明不等式、解方程等方面均能發(fā)揮作用．
【精細(xì)化解析 典例1】
第一步：轉(zhuǎn)化為對于任意上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)可得單調(diào)性，從而求解最值.
因為，
則可化為對于任意上恒成立，
即對于任意上恒成立，
令，可得，所以在上單調(diào)遞增，
則，即，令，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
第二步：令，利用導(dǎo)數(shù)求得在上的單調(diào)遞增，再令，求得遞減，得到，再由，令，得到在遞增，得到，結(jié)合零點存在定理知，即可得證.
因為，可得，
令，其中，
可得，所以在上的單調(diào)遞增，
因為且，
令，可得，所以在遞減，
所以，所以，所以，
又由且，
令，可得，
所以在遞增，所以，即，所以，
所以，
由零點存在定理知，方程在區(qū)間上有實數(shù)解.
[精細(xì)化解析 典例2]
第一步：求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；
因為，易知定義域為，，
由，得到，由，得到或，
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.
第二步：對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進而求出的最小值，得證；
因為，易知定義域為，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以.
第三步：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而得到；
由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
要證明，即證明，
令，則在區(qū)間上恒成立，
又，所以，所以，命題得證.
【精細(xì)化解析 典例3】
第一步：利用導(dǎo)數(shù)分析得的單調(diào)性，進而得到其最小值，從而得證；
因為，其定義域為，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，證畢.
第二步：利用分析法與同構(gòu)法，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用（1）中結(jié)論即可得證.
當(dāng)時，，
而，
要證，即證，即證，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
且，
當(dāng)時，，故只需證明，
由（1）知，在上成立，
故，即成立.
類型1 雙元同構(gòu)
例1 （T8聯(lián)考2022屆高三第一次聯(lián)考第8題）設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．若，則（ ）
A． B． C． D．
思路 通過移項使a，b分居不等式兩邊，觀察特征，利用指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)配湊相同的結(jié)構(gòu)．
解析 ．
因為a，b都為正數(shù)，顯然，，．
方法一 ，令，，則．
因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故選B．
方法二 ，令，則．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以．故選B．
方法三 因為，所以．令，則．易知在上單調(diào)遞增，所以，即．故選B．
注 構(gòu)造，，都可以解決問題，自變量在一定范圍內(nèi)，三者可相互轉(zhuǎn)化．
升華 含雙變量的不等式（或方程），按照“左右形式相當(dāng)，一邊一個變量”的目的變形，將相同的形式構(gòu)造為函數(shù)，從而可以得到（或），研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性簡化不等式（或方程）．若題目中出現(xiàn)，，，等對稱的數(shù)據(jù)，則把與放在一起，把與放在一起，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解決求參數(shù)范圍、證明不等式等問題．
常見同構(gòu)形式有以下三種．
（1）乘積模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
注 在利用積乘模型進行同構(gòu)時，若兩邊同為正數(shù)，取對數(shù)最快捷的，而且同構(gòu)得出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知．
【類題1-1】
1．若x，，，則（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
2．已知，，若，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．0
【類題1-3】
3．若，則（ ）
A． B． C． D．
類型2 指對同構(gòu)型不等式
例2 （T8聯(lián)考2022屆高三第一次聯(lián)考第16題）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．
思路 注意到，對移項，兩邊加x，得．
解析
．令，則．
又易知是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以．
令，則．
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減．
故，從而，得．故a的取值范圍是．
注 本題還可以將不等式化為，構(gòu)造函數(shù)解決問題．
升華 對于參變難分離的不等式或方程，考慮用同構(gòu)思想處理．利用公式，，，合理配湊，使式子出現(xiàn)結(jié)構(gòu)相同的兩部分．有時命題者也會結(jié)合切線不等式，進行命題，如，，靈活使用切線不等式往往可以簡化計算．
【類題1-1】
4．，若，求a的取值范圍.
【類題1-2】
5．設(shè)實數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-3】
6．已知，若對任意，不等式恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍．
類型3 同構(gòu)型方程
例3 已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．若函數(shù)有且僅有兩零點，求實數(shù)m的取值范圍．
思路 由，得，利用的單調(diào)性簡化問題．
解析 令，得，
即，即．
記，則．易知在上單調(diào)遞增，
所以有兩個根，即函數(shù)有兩個零點．
由，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，
數(shù)形結(jié)合可知，解得．故m的取值范圍是．
注 ，也可構(gòu)造解決問題．
升華 若函數(shù)比較復(fù)雜，但是可以通過配湊轉(zhuǎn)化為，則令，將參數(shù)用同構(gòu)的方式構(gòu)造新的函數(shù)或方程．有時也可以借助切線不等式，或函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì)，將復(fù)雜函數(shù)的零點（或方程的根）問題等價轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的問題．
【類題1-1】
7．已知實數(shù)，滿足，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則
【類題1-2】
8．若，函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【類題1-3】
9．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，求實數(shù)的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】利用可得，再利用同構(gòu)可判斷的大小關(guān)系，從而可得正確的選項.
【詳解】設(shè)，則（不恒為零），
故在上為增函數(shù)，故，
所以，故在上恒成立，
所以，
但為上為增函數(shù)，故即，
所以C成立，D錯誤.
取，考慮的解，
若，則，矛盾，
故即，此時，故B錯誤.
取，考慮，
若，則，矛盾，
故，此時，此時，故A錯誤，
故選：C.
【點睛】思路點睛：多元方程隱含的不等式關(guān)系，往往需要把方程放縮為不等式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷，注意利用同構(gòu)來構(gòu)建新函數(shù).
2．C
【分析】將式子等價變形為，進而構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性得，進而根據(jù)不等式即可求解.
【詳解】因為，
所以.
設(shè)，，則，易知在上單調(diào)遞增，從而，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值為.
故選:C.
3．B
【分析】設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因為
所以，
所以，所以.
，
當(dāng)時，，此時，有
當(dāng)時，，此時，有，所以C、D錯誤.
故選：B.
【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.
4．
【分析】方法一：構(gòu)造，，對不等式進行變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的取值范圍；方法二：構(gòu)造，對不等式變形為，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解出不等式，求出參數(shù)取值范圍.
【詳解】方法一：定義域為，
同構(gòu)構(gòu)造，
，當(dāng)時，恒成立，
則在上單調(diào)遞增，
即，
結(jié)合函數(shù)單調(diào)遞增，可知：，即，
故恒成立，
令，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，
所以，
則，解得：
方法二：構(gòu)造．
則恒成立，故單調(diào)遞增，
因為
即，
所以，
故
令，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，
所以，
則，解得：
【點睛】同構(gòu)適用于方程或不等式中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，常見的同構(gòu)變形有，，，等.
5．B
【分析】把不等式進行同構(gòu)變形：，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，不等式化為，分離參數(shù)為，再引誘函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求出其最大值后可得結(jié)論．
【詳解】由題意，，，設(shè)，則不等式為，∵，∴在上是增函數(shù)，∴，即，令，則，當(dāng)時，遞增，時，遞減，∴，∴，
故選：B．
【點睛】方法點睛：有些函數(shù)不等式是混合不等式，如不等式中既有自然對數(shù)，又有以為底的指數(shù)時，我們可以把不等式變形為形式，利用的單調(diào)性化簡不等式為（或），這類方法稱為同構(gòu)，函數(shù)可稱為母函數(shù)，如，，等等，注意掌握常見的指對同構(gòu)關(guān)系：
，，．
6．
【分析】由題意，恒成立，即恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得恒成立，即，從而即可求解.
【詳解】解：由題意，恒成立，即恒成立，
所以恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，易知在R上單增，
所以恒成立，即，
令，，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，解得，
所以正實數(shù)a的取值范圍.
7．e4
【解析】對等式兩邊取為底的對數(shù)，變形可得，，從而可知所以和是方程的根，結(jié)合方程有唯一根可得，再結(jié)合，即可得，即可求出.
【詳解】實數(shù)，滿足，，，
所以，，
即，，
所以和是方程的根，
由于方程的根唯一，
所以，所以，整理得，
所以．
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是等式兩邊取為底的對數(shù)，得到和是方程的根及方程的根唯一得到.
8．D
【分析】由可得，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求出最小值并得，再利用導(dǎo)數(shù)求解有兩個正數(shù)解的a的范圍即可.
【詳解】由，得，
令，求導(dǎo)得，顯然時，，當(dāng)時，，
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
由，得，則，即，
于是函數(shù)有兩個零點，等價于方程有兩個正數(shù)解，
令，求導(dǎo)得，顯然在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，當(dāng)時，，而函數(shù)在上的值域為，
因此函數(shù)在上無最大值，函數(shù)值集合為；
當(dāng)時，令函數(shù)，求導(dǎo)得，
令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是，，
而函數(shù)在上的值域為，則函數(shù)在上無最大值，函數(shù)值集合為，
從而方程有兩個正數(shù)解，當(dāng)且僅當(dāng)，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故選：D
9．.
【分析】方法一：直接求導(dǎo)，分情況討論函數(shù)單調(diào)性及最值情況，進而可得零點情況，進而可得參數(shù)取值范圍；
方法二：構(gòu)造函數(shù)法并分離參數(shù)求得參數(shù)范圍.
【詳解】解：方法一：由可得，
設(shè)，，，則，令，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故.
①當(dāng)時，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，
，此時在區(qū)間內(nèi)無零點；
②當(dāng)時，，此時在區(qū)間內(nèi)有零點；
③當(dāng)時，令，解得或或，且，
此時在單減，單增，單減，單增，
當(dāng)或時，，此時在區(qū)間內(nèi)有兩個零點；
綜合①②③知在區(qū)間內(nèi)有零點.
方法二：由題意可得
，即，
因為當(dāng)時等號成立，
所以，即，
，令，，
易知在單減，在上單增，所以，
又趨近于和正無窮時，趨近于正無窮，
所以.
【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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