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模塊2專題4泰勒公式 巧解壓軸【講】
【典例1】.（2022年新高考全國Ⅰ卷第7題）設，，，則（ ）
A. B. C. D.
【典例2】.（2021年高考全國乙卷理科第20題）設函數，已知是函數的極值點.
（1）求實數的值；
（2）設函數，證明：.
【典例3】.（2020年新高考山東卷第21（2）題）已知函數.若，求實數的取值范圍.
以上三道考題都與下面的不等式有關（《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊A版》）（人民教育出版社2020年3月第1版）第99頁習題5.3第12（1）題）：
，.
這個不等式的證明很容易，只需構造函數，由知，當時，，當時，，故當時，，
即當時，，即，，當且僅當時取等號.
，①.
從①式出發，還可以得到一些重要結論.
作替換，由①式可得
，②.
根據指數式和對數式互化，可知
③.
④.
④式再作替換，又可得
⑤.
綜合③式和⑤式，得
⑥.
⑥式再作替換，又可得
⑦.
⑦式同乘x可得⑧.
注 從①式到⑥式，當且僅當時取等號；⑦式和⑧式，當且僅當時取等號.
①式和②式的幾何解釋如圖1，①式和⑦式的幾何解釋如圖2，⑥式的幾何解釋如圖3，⑦式和⑧式的幾何解釋如圖4.
圖1 圖2
圖3 圖4
上述不等式演繹的思維導圖如下.
【精細化解析 典例1】
第一步：構造函數，導數判斷其單調性；
設，因為，
當時，，當時，
所以函數在單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
第二步：構造函數利用導數研究其單調性，由此確定的大小.
設，則，
令，，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，
又，所以當時，，
所以當時，，函數單調遞增，
所以，即，所以
故選：C.
[精細化解析 典例2]
第一步：求導函數，由極值點處導數為0即可求解出參數；
由，，
又是函數的極值點，所以，解得；
第二步：構造函數，利用導數分析單調性，證得常見常用結論.然后換元得到，分類討論，即可證明.
令，因為，所以在區間內是增函數，在區間內是減函數，所以，即（當且僅當時取等號）.故當且時，且，，即，所以.
（ⅰ）當時，，所以，即，所以.
（ⅱ）當時，，同理可證得.
綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當且時，，即.
【精細化解析 典例3】
第一步：利用導數的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標軸交點坐標，最后根據三角形面積公式得結果；
，，.
，∴切點坐標為（1，1+e），
∴函數在點（1，f（1）處的切線方程為，即，
切線與坐標軸交點坐標分別為，
∴所求三角形面積為.
第二步：把不等式等價于，可得，利用求解即可.
由得，即，而，所以.
令，則，所以在R上單調遞增.
由，可知，所以，所以.
令，則.
所以當時，單調遞增；
當時，單調遞減.
所以，則，即.
所以a的取值范圍為.
類型1 型
例1 已知函數（e是自然對數的底數，…），求函數的最小值.
思路 借助，，快速得到的最小值.
解析 由①式有，當且僅當時取等號，
由⑥式有，即，當且僅當時取等號，
所以，當且僅當時取等號，
所以函數的最小值是1.
升華 是一個非常經典的不等式，其深刻內涵和重要作用，可以從下面的演繹變換中窺見一斑.
【類題1-1】
1．已知函數，若關于x的不等式在上恒成立，求實數a的取值范圍.
【類題1-2】
2．對任意，存在，使得，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．e
【類題1-3 】
3．已知函數，當時，，求的取值范圍.
類型2 型
例2 若關于x的方程有實數根，求實數k的取值范圍.
思路 分離參數k，借助，，快速得到的最大值，進而求出k的取值范圍.
解析 依題意，.
令.
由⑦式有，即，所以，當且僅當時取等號，
由①式有，所以，即，從而，當且僅當時取等號，所以.
又當時，，因此的值域是.
方程有實數根，即，所以實數k的取值范圍是.
可以直接利用⑦式解答的問題很多，如2017年高考全國Ⅱ卷理科第21（1）題：
已知函數，若，求a的值.
解析 如圖，數形結合，一目了然.
由⑦式知，
當時，恒成立，即，由此可知.
升華 由上圖看出，曲線始終在切線下方，始終有，這正是本題的答案，如果直線的斜率，那么曲線與該直線在點處相交而不相切，曲線在這點穿越該直線，不可能始終在其下方，不能保持.不難知道，例2中，曲線始終在切線下方，曲線始終在切線上方.
【類題1-1】
4．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
5．設函數，其中.
（1）證明：恰有兩個零點；
（2）設為的極值點，為的零點，且，證明.
【類題1-3 】
6．已知函數，若，求實數c的取值范圍.
類型3 （或）型
例3 設，，（其中e=2.71828…是自然對數的底數），則（ ）
A. B. C. D.
解析
由⑦式知，令，得，所以.
由⑦式知，令，得，所以.
綜上可知.故選D.
升華 不等式的結構簡單，對它進行變形、賦值、替換、放縮、累加、累乘等變換，可以衍生出一大批題目.
【類題1-1】
7．已知函數.
(1)若，求不等式的解集；
(2)當時，求證函數在上存在極值點，且.
【類題1-2】
8．已知函數.
（1）求函數的單調區間；
（2）若，證明.
【類題1-3 】
9．已知，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】利用以及得到，再根據和兩種情況下的取值求解實數a的取值范圍.
【詳解】不等式在上恒成立，
即對任意的恒成立，
即（*）對任意的恒成立.
由類型1，，可得（**），
易知是上連續的增函數，且，.
由零點存在性定理知存在，使得，
所以當且僅當時（**）式取等號.
當時，，，此時（*）式顯然不成立；
當時，對任意的，，
所以對任意的恒成立.
綜上，實數的取值范圍是.
2．C
【分析】令，把用表示，然后引入新函數，利用導數求得函數的最小值即得．
【詳解】由題，令，則所以，令
，則，令，
則，則即在時單調遞增，
又，則時時，
所以時取得極小值也即為最小值，最小值，即的最小值為1．
故選：C．
3．
【分析】分離參數，分兩種情況分析，當時，利用導數求出函數的最大值，即可得解.
【詳解】由，得，其中.
①當時，不等式為，顯然成立，符合題意．
②當時，得.
記，則，
令，
則，令，則，
故單調遞增，，
故函數單調遞增，.
由得恒成立，
故當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減．
因此，.
綜上可得，實數的取值范圍為.
4．D
【分析】由，可得，構造函數，利用函數的導數與單調性的關系，可得在上單調遞增，進而可得，，從而即可得答案.
【詳解】解：因為，
所以；
令，，
所以在上單調遞增，
因為，所以，即，
所以，
所以；
同理，所以，即，也即，
所以，
所以.
綜上，，
故選：D.
5．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）首先求出函數的導函數，令，由，可知：可得存在唯一解．可得是函數的唯一極值點．令，可得時，．．．可得函數在，上存在唯一零點．又函數在上有唯一零點1．即可證明結論．
（2）由題意可得：，，即，，可得，由，可得．又，可得，取對數即可證明．
【詳解】證明：（1）因為，定義域為
所以；
令，由，可知在內單調遞減，
又，且，
故在內有唯一解，
從而在內有唯一解，不妨設為，.
則，當時，，
所以在內單調遞增；
當時，，
所以函數在內單調遞減，因此是的唯一極值點.
令，則當時，，故在內單調遞減，
從而當時，，所以，
從而，
又因為，所以在內有唯一零點，
又在內有唯一零點1，從而，在內恰有兩個零點
（2）由題意，，即，
從而，即，
因為當時，，又，故.
兩邊取對數，得
于是，整理得.
【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、方程與不等式的解法、分類討論方法、等價轉化方法、構造法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
6．
【分析】利用分離參數法構造函數，結合導數求解參數范圍即可.
【詳解】若，，則，
令，故，定義域為，
而，令，，令，，
故在上單調遞增，在上單調遞減，
可得，即.
7．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）當時，利用導數分析函數的單調性，由可得出關于的不等式，解之即可；
（2）當時，利用導數分析函數的單調性，結合零點存在定理可證得函數在上存在極值點，由極值點可得出，將所證不等式等價變形為，構造函數，利用導數證得，即可證得結論成立.
【詳解】（1）解：由題意，當時，，則，
令，則，令可得，列表如下：
增 極大值 減
所以，，且不恒為零，
所以，函數在上單調遞減，且，
由可得，解得.
因此，當時，不等式的解集為.
（2）證明：當時，，則，
令，其中，則，可得，
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
所以，，
令，其中，則，
所以，函數在上單調遞增，當時，，
所以，且，
由（1）知，則當時，，，
當時，，由，得，，
所以存在極大值點，
，故，
.
所以，要證，只要證，即證.
令，則，由，得，
當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增，所以，，
綜上，成立.
【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；
（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；
（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.
8．（1）函數的單調遞減區間為，，無單調遞增區間；（2）證明見解析.
【分析】（1）求導，根據導數的正負判斷單調性，
（2）整理，化簡為，令，求的單調性并證明，即證題中不等式．.
【詳解】（1）函數定義域為，
則，令，()，則，
當，，單調遞減；當，，單調遞增；
故，，
∴，，
故函數的單調遞減區間為，，無單調遞增區間.
（2）證明，即為，
因為，
即證，
令，則，
令，則，
當時，，所以在上單調遞減，
則，，
則在上恒成立，
所以在上單調遞減，
所以要證原不等式成立，只需證當時，，
令，，，可知對于恒成立，
即，即，
故，即證，
故原不等式得證.
【點睛】本題考查導數的應用，用導數求函數的單調區間，用導數證明不等式，解題關鍵是在于等價轉化，題中不等式轉化為，令，再用導數研究的單調性，同時用導數判斷與的大小，仍然通過構造函數，用導數求出函數最小值，證明不等式成立．本題考查了學生的邏輯推理能力，分析解決問題的能力，轉化與化歸能力，屬于難題．
9．C
【分析】構造函數，，利用導數與函數單調性間的關系，得出，，再通過取的值，即可求出結果.
【詳解】構造函數，則，當時，，當時，，
即在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，
即，當且僅當時取等號，
則，又當時，由，得到，所以，得到，
令，則恒成立，
即在區間上單調遞增，所以，得到，
取，有，所以，綜上，，
故選：C.
【點睛】方法點晴：比較函數值大小常用方法：（1）直接利用函數單調性進行比較；（2）通過函數值的結構特征，構造新的函數，再利用函數的單調性來處理.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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