資源簡介

1．1.1　空間向量及其線性運算
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．理解空間向量及相關(guān)概念．(重點)
2．掌握空間向量的線性運算．(重點)
3．掌握向量共線的充要條件、三個向量共面的充要條件及應(yīng)用．(重點、難點)
核心素養(yǎng)
1．通過空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助向量的線性運算、共線向量及共面向量的學(xué)習(xí)，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).
空間向量的概念
1.定義：在空間，具有_大小__和_方向__的量叫做空間向量．
2．長度或模：向量的_大小__.
3．表示方法
(1)幾何表示法：空間向量用_有向線段__表示；
(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作，其模記為|a|或||.
4．幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 _長度為0__的向量叫做零向量．記為0
單位向量 _模為1__的向量叫做單位向量
相反向量 與向量a長度_相等__而方向_相反__的向量，叫做a的相反向量，記為－a
共線向量(平行向量) 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向_相同__且模_相等__的向量叫做相等向量
提醒：單位向量有無數(shù)個，它們的方向并不確定，它們不一定相等；零向量也有無數(shù)個，它們的方向是任意的，但規(guī)定所有的零向量都相等．
做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)向量與向量的長度相等．( √ )
(2)零向量沒有方向．( × )
[解析]　(1)對于任意向量和，都有||＝||成立．
(2)零向量有方向，它的方向是任意的.
空間向量的線性運算及運算律
空間向量的線性運算 加法 a＋b＝＋＝
減法 a－b＝－＝
數(shù)乘 當(dāng)λ>0時，λa＝λ＝；當(dāng)λ<0時，λa＝λ＝；當(dāng)λ＝0時，λa＝0
運算律 交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
做一做：已知空間四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，則等于( B )
A．a(chǎn)＋b－c　　 B．c－a－b
C．c＋a－b　 D．c＋a＋b
[解析]　＝＋＋＝－b－a＋c＝c－a－b，故選B.
共線向量與共面向量
(1)相關(guān)概念
共線(平行)向量 共面向量
定義 位置關(guān)系 表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關(guān)系：互相平行或重合 平行于同一個_平面__的向量
特征 方向_相同__或_相反__
特例 零向量與任意向量_共線__
充要條件 共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使 a＝λb　 共面向量定理：向量p與兩個不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使 p＝xa＋yb
(2)直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，與向量a_平行__的非零向量稱為直線l的方向向量．
思考1：已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，滿足關(guān)系＝＋x＋y，則點P與點A，B，C是否共面？
提示： 共面．由＝＋x＋y，可得＝x＋y，所以向量與向量，共面，故點P與點A，B，C共面．
思考2：對于不共線的三點A，B，C和平面ABC外的一點O，空間一點P滿足關(guān)系式＝x＋y＋z，則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是什么？
提示：x＋y＋z＝1.證明如下：
①充分性 ∵＝x＋y＋z可變形為＝(1－y－z)＋y＋z，
∴－＝y(tǒng)(－)＋z(－)，
∴＝y(tǒng)＋z，
∴點P與A，B，C共面．
②必要性 ∵點P在平面ABC內(nèi)，不共線的三點A，B，C，
∴存在有序?qū)崝?shù)對(m，n)使＝m＋n，
－＝m(－)＋n(－)，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵＝x＋y＋z，點O在平面ABC外，
∴，，不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1.
做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若向量a，b，c共面，則表示這三個向量的有向線段所在的直線共面．( × )
(2)若點P，M，A，B四點共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使＝x＋y.( × )
(3)對于空間的任意三個向量a，b,2a－b，它們一定是共面向量．( √ )
提示：(1)三條直線不一定在同一平面內(nèi)．
(2)當(dāng)與共線，與不共線時，x，y不存在．
(3)由2a－b＝2·a＋(－1)·b得2a－b與a，b共面．1.1.2　空間向量的數(shù)量積運算
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．掌握空間向量夾角的概念及表示方法．(易混點)
2．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及計算方法．(重點)
3．了解投影向量的概念以及投影向量的意義．(難點)
4．能用向量的數(shù)量積解決立體幾何問題．(難點)
核心素養(yǎng)
1．通過學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)量積運算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
2．借助投影向量概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．
3．借助利用空間向量的數(shù)量積證明垂直關(guān)系、求夾角和距離運算，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
空間向量的夾角
1．定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則_∠AOB__叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
2．夾角的范圍
空間任意兩個向量的夾角θ的取值范圍是[0，π]．特別地，當(dāng)θ＝0時，兩向量 同向共線　；當(dāng)θ＝ π　時，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當(dāng)〈a，b〉＝時，兩向量 垂直　，記作 a⊥b　.
思考1：對空間任意兩個非零向量a，b，〈a，b〉，〈b，a〉，〈－a，－b〉有怎樣的關(guān)系？
提示：〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉．
做一做：如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，
(1)〈，〉＝ 　；
(2)〈，〉＝ 　；
(3)〈，〉＝ π　.
[解析]　(1)〈，〉＝〈，〉＝.
(2)〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉＝.
(3)〈，〉＝〈，〉＝π.
空間向量的數(shù)量積
定義 已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉　規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0
性質(zhì) ①a⊥b a·b＝0　②a·a＝a2＝|a|2
運算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R②a·b＝b·a(交換律)③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)
思考2：若a，b，c為實數(shù)，則(a·b)·c＝a·(b·c)．是否可以由此類比得出，對于向量a，b，c，滿足(a·b)·c＝a·(b·c)
提示：數(shù)量積的運算只滿足交換律，分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．
做一做：正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長等于2，則·＝ 4　.
[解析]　||＝||＝2，〈，〉＝60°，
所以·＝||||cos 60°＝2×2×＝4.
向量a的投影
1.向量a向向量b的投影
如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝ |a|cos〈a，b〉　，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．
2．向量a向平面β投影
如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到，向量稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．
做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量與向量b的方向相同．( × )
(2)向量a在直線l上的投影向量c與向量a－c垂直．( √ )
(3)向量a在平面β上的投影向量為c，則向量a所在直線與平面β所成的角為〈a，c〉．( √ )
提示：(1)當(dāng)〈a，b〉>時，反向．
(2)根據(jù)向量向直線的投影定義可知，c與a－c垂直．
(3)根據(jù)向量向平面的投影定義及直線與平面所成的角的定義可知正確．1.2　空間向量基本定理
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．了解空間向量基本定理及其意義．(重點)
2．掌握空間向量的正交分解．會用基底表示空間向量(難點)
3．初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的方法．(難點)
核心素養(yǎng)
1．通過基底概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．通過用空間向量基本定理解決簡單的立體幾何問題，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng).
空間向量基本定理
如果三個向量a，b，c_不共面__，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝ xa＋yb＋zc　.
我們把{a，b，c}叫做空間的一個_基底__，a，b，c都叫做基向量．
思考1：零向量能否作為一個基向量？為什么？
提示：不能．零向量與任意兩個向量a，b都共面．
做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)空間向量的基底是唯一的．( × )
(2)若a，b，c是空間向量的一個基底，則a，b，c均為非零向量．( √ )
(3)已知A，B，M，N是空間四點，若，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則A，B，M，N共面．( √ )
(4)若{a，b，c}是空間的一個基底，且存在實數(shù)x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則有x＝y(tǒng)＝z＝0.( √ )
提示：(1)任意三個不共面向量都可以作為空間的一個基底．
(2)若a，b，c中有一個零向量，則a，b，c三向量共面不能構(gòu)成基底．
(3)，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則三向量共面，且有公共起點B，因此A，B，M，N四點共面．
(4)a，b，c不共面，則必有x＝y(tǒng)＝z＝0.
空間向量的正交分解
1．單位正交基底
如果空間的一個基底中的三個基向量_兩兩垂直__，且長度都是_1__，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．
做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)空間的單位正交基底是唯一的．( × )
(2)單位正交基底中每一個基向量是單位向量．( √ )
(3)對于單位正交基底{i，j，k},2j＝0i＋2j＋0k.( √ )
提示：(1)不唯一．
(2)由單位正交基底的定義可知正確．
(3)由向量正交分解知正確．1．3.1　空間直角坐標(biāo)系
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．了解空間直角坐標(biāo)系．(易混點)
2．掌握空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)的概念．(重點)
3．能在空間直角坐標(biāo)系中表示空間中點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)．(重點、難點)
核心素養(yǎng)
1．通過建立空間直角坐標(biāo)系，確定點的坐標(biāo)，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
2．通過空間向量的坐標(biāo)表示，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
空間直角坐標(biāo)系
1．空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念
(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：_x軸、y軸、z軸__.它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
(2)相關(guān)概念：_O__叫做原點，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為_Oxy__平面、_Oyz__平面、_Ozx__平面，它們把空間分成八個部分．
2．右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向_x軸__的正方向，食指指向_y軸__的正方向，如果中指指向_z軸__的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．
做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)空間直角坐標(biāo)系中x軸與y軸的夾角為45°.( × )
(2)空間直角坐標(biāo)系中有三個坐標(biāo)平面，它們把空間分成四個部分．( × )
(3)在空間中可建立無數(shù)個空間直角坐標(biāo)系．( √ )
提示：(1)空間直角坐標(biāo)系中，三條坐標(biāo)軸相互垂直．
(2)空間直角坐標(biāo)系中，三個坐標(biāo)平面把空間分成8個部分．
(3)原點位置不同，就得到不同的空間直角坐標(biāo)系.
空間一點的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)單位向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量對應(yīng)的_有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)__叫做點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作_A(x，y，z)__，其中_x__叫做點A的橫坐標(biāo)，_y__叫做點A的縱坐標(biāo)，_z__叫做點A的豎坐標(biāo)．
思考1：空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)有何特征？
提示：x軸上的點的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即(x,0,0)．
y軸上的點的橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即(0，y,0)．
z軸上的點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為0，即(0,0，z)．
做一做：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，過點P(1，，)作Oxy平面的垂線，垂足為Q，則點Q的坐標(biāo)為( D )
A．(0,0，)　　　　 B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
[解析]　垂足Q為點P在Oxy平面上的射影，其橫、縱坐標(biāo)與點P的相同，豎坐標(biāo)為0.
空間向量的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．
思考2：空間向量的坐標(biāo)和空間向量終點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？
提示：當(dāng)空間向量的起點在原點時，空間向量的坐標(biāo)恰好是空間向量終點的坐標(biāo)．
做一做：設(shè){i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，則向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐標(biāo)分別是_(3,2，－1)，(－2,4,2)__.1．3.2　空間向量運算的坐標(biāo)表示
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示，并據(jù)此會判斷兩個向量是否共線或垂直．(重點)
2．掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間距離公式，并能運用這些公式解決簡單幾何體中的問題．(重點、難點)
核心素養(yǎng)
1．通過空間向量的坐標(biāo)運算及空間向量夾角及長度的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
2．借助利用空間向量的坐標(biāo)運算解決平行、垂直問題，提升數(shù)學(xué)運算及邏輯推理素養(yǎng)．
空間向量的坐標(biāo)運算
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量運算 向量表示 坐標(biāo)表示
加法 a＋b a＋b＝_(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__
減法 a－b a－b＝_(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__
數(shù)乘 λa λa＝_(λa1，λa2，λa3)__，λ∈R
數(shù)量積 a·b a·b＝_a1b1＋a2b2＋a3b3__
做一做：已知空間向量m＝(1，－3,5)，n＝(－2,2，－4)，則m＋n＝_(－1，－1,1)__,3m－n＝_(5，－11,19)__，(2m)·(－3n)＝_168__.
[解析]　m＋n＝(1，－3,5)＋(－2,2，－4)＝(－1，－1,1)；3m－n＝3(1，－3,5)－(－2,2，－4)＝(3，－9,15)－(－2，2，－4)＝(5，－11,19)；(2m)·(－3n)＝(2，－6,10)·(6，－6,12)＝2×6＋(－6)×(－6)＋10×12＝168.
空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)　
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　(a，b均為非零向量)
模 |a|＝＝ 　
夾角公式 cos〈a，b〉＝＝
做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若a＝(0,0,1)，b＝(1,0,0)，則a⊥b.( √ )
(2) 已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y(tǒng)1＝z1＝1，則a為單位向量．( × )
(3) 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，則 ＝ ＝ .( × )
提示：(1)由a·b＝0，得a⊥b.
(2)若x1＝y(tǒng)1＝z1＝1，則|a|＝＝，所以a不是單位向量．
(3)只有當(dāng)b1，b2，b3均不為0時，＝＝成立.
空間兩點間的距離公式
設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，則|P1P2|＝||＝ 　.
思考：已知點A(x，y，z)，則點A到原點的距離是多少？
提示：|OA|＝||＝.
做一做：若點A(0,1,2)，B(1,0,1)，則＝ (1，－1，－1)　，||＝ 　.
[解析]　＝(1，－1，－1)，||＝＝.第1課時　空間中點、直線和平面的向量表示及空間中直線、平面的平行
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．理解直線的方向向量與平面的法向量，會求一個平面的法向量．(重點)
2．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系．
3．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系．(重點、難點)
核心素養(yǎng)
1．通過空間中點、直線和平面的向量表示的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．
2．通過直線的方向向量和平面的法向量的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．
3．借助利用空間向量解決平行問題的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運算及邏輯推理素養(yǎng)．
空間中點的位置向量
如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢cO作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示．我們把向量稱為點P的位置向量．
做一做：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點A(1,2,3)的位置向量是 　＝(1,2,3)　.
[解析]　位置向量＝(1,2,3).
空間中直線的向量表示式
直線l的方向向量為a，且過點A.如圖，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使
＝＋t a　，①
把＝a代入①式得
＝＋t 　，②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．
思考1：根據(jù)空間直線的向量表達(dá)式＝＋t，線段AB的中點M的向量表達(dá)式是什么？
提示：＝＋＝(＋)．
做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)零向量不能作為直線的方向向量．( √ )
(2)若向量v是直線l的方向向量，則λv(λ≠0)也是直線l的方向向量．( √ )
(3)直線l的方向向量都平行，且方向相同．( × )
空間中平面的向量表示式
1.平面ABC的向量表示式
空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使＝＋ x＋y　.③
我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式．
2．平面的法向量
如圖，若直線l⊥α，取直線l的 方向向量a　，我們稱a為平面α的法向量；過點A且以a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·＝0}．
思考2：如果n為平面α的一個法向量，A，B為平面α內(nèi)的兩點，則n與有什么關(guān)系？
提示：n⊥，即n·＝0.
做一做：判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面α的所有法向量都平行，且同向．( × )
(2)若n是平面α的一個法向量，則λn(λ∈R)也是平面α的一個法向量．( × )
(3)向量i＝(1,0,0)是坐標(biāo)平面Oyz的一個法向量．( √ )
提示：(1)法向量也可能方向相反．
(2)當(dāng)λ＝0時，λn＝0，不能作為平面的法向量．
(3)x軸垂直于坐標(biāo)平面Oyz.
空間中直線、平面平行的向量表達(dá)式
位置關(guān)系 向量表達(dá)式
線線平行 設(shè)μ1，μ2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2
線面平行 設(shè)μ是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，則l∥α μ⊥n μ·n＝0
面面平行 設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2
思考3：怎么利用向量證明或判定直線和平面的位置關(guān)系？
提示：證明或判定直線和平面的位置關(guān)系有兩類思路
(1)轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，然后利用兩個向量的關(guān)系進(jìn)行判定；(2)利用直線的方向向量和平面的法向量進(jìn)行判定．
做一做：1.若平面β外的一條直線l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量為n＝(4，－1，－2)，則l與β的位置關(guān)系是_l∥β__.
[解析]　由u·n＝(－1)×4＋2×(－1)＋(－3)×(－2)＝0知，l∥β.
2．若兩個不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，則平面α，β的位置是_α∥β__.
[解析]　由v＝－4u知u∥v，所以α∥β.第2課時　空間中直線、平面的垂直
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．
2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．(重點、難點)
核心素養(yǎng)
借助用空間向量證明線面和面面垂直的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).
空間中垂直關(guān)系的向量表示
設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則
線線垂直 l1⊥l2 u1⊥u2　 u1·u2＝0　
線面垂直 l1⊥α u1∥n1　 λ∈R，u1＝λn1　
面面垂直 α⊥β n1⊥n2　 n1·n2＝0　
思考：怎樣用語言敘述利用直線的方向向量與平面的法向量判斷垂直關(guān)系？
提示：(1)若證線線垂直，則證直線的方向向量垂直；
(2)若證線面垂直，則證直線的方向向量與平面的法向量平行；
(3)若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直．
做一做：1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，則這兩條直線一定垂直相交．( × )
(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.( √ )
(3)兩個平面垂直，則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直．( × )
(4)若兩平面α，β的法向量分別為μ1＝(1,0,1), μ2＝(0,2,0)，則平面α，β互相垂直．( √ )
提示：(1)兩條直線可能異面垂直．
(2)根據(jù)線面垂直的定義可知．
(3)也可能平行．
(4)由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，從而α⊥β.
2．已知向量e＝(1,2,1)，n＝分別為直線l的方向向量和平面α的法向量，若l⊥α，則實數(shù)x的值為( C )
A．－ 　 B．
C．1 D．2
[解析]　由題意得e∥n，所以＝＝，解得x＝1.第1課時　距離問題
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面間的距離問題．(重點)
2．能描述解決距離問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．(難點、易混點)
核心素養(yǎng)
空間中點、線、面距離的相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
點P到直線l的距離
已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設(shè)向量＝a在直線l上的投影向量為＝(a·u)·u，則點P到直線l的距離為 　(如圖)．
思考1：點到直線的距離與兩條平行直線之間的距離有什么關(guān)系？
提示：在兩條平行直線中的一條上取一定點，該點到另一條直線的距離即為兩條平行直線的距離．
做一做：如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別為AB，CC1的中點，則點D到直線GF的距離為 　.
[解析]　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，G(0,2,1)，
所以＝(1，－1，－1)，＝(1,1,0)．
取a＝＝(1,1,0)，u＝＝，
所以點D到直線GF的距離為＝.
點P到平面α的距離
設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為 　(如圖)．
思考2：怎樣利用向量方法求直線到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離？
提示：兩條直線平行，其中一條直線到另一條直線間的距離是其中一條直線上任一點到另一條直線的距離；一條直線和一個平面平行，直線到平面的距離就是這條直線上任一點到這個平面的距離；兩個平面平行，平面到平面的距離就是一個平面上任一點到這個平面的距離．
做一做：已知四面體ABCD的頂點分別為A(2,3,1)，B(1,0,2)，C(4,3，－1)，D(0,3，－3)，則點D到平面ABC的距離為 3　.
[解析]　根據(jù)已知可得：＝(－1，－3,1)，＝(2,0，－2)，設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則
即取n＝(1,0,1)，又＝(4,0,2)，則點D到平面ABC的距離為＝＝3.第2課時　夾角問題
學(xué)習(xí)任務(wù)
1．能用向量語言表述線線、線面、平面與平面的夾角．(重點、易混點)
2．能用向量方法解決線線、線面、平面與平面的夾角問題．(重點、難點)
3．能描述用向量方法解決夾角問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．
核心素養(yǎng)
1．通過學(xué)習(xí)線線、線面、平面與平面的向量表示，提升直觀想象素養(yǎng)．
2．通過利用向量方法解決線線、線面、平面與平面的夾角問題，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
兩個平面的夾角
平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中_不大于90°__的二面角稱為平面α與平面β的夾角．
思考：(1)二面角與平面角的夾角范圍一樣嗎？
(2)設(shè)n1，n2分別是平面α1，α2的一個法向量，平面α1與平面α2的夾角為θ，則θ與〈n1，n2〉的關(guān)系是什么？
提示：(1)不一樣．二面角的范圍為[0，π]，而兩個平面的夾角是不大于直角的角，范圍是.
(2)θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．
做一做：平面α的一個法向量為n1＝，平面β的一個法向量為n2＝，那么平面α與平面β的夾角等于( B )
A．120°　　 B．30°
C．60°　　 D．30°或150°
[解析]　cos〈n1，n2〉＝＝－，
設(shè)α與β的夾角為θ，
則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，所以θ＝30°.
空間角的向量法解法
角的分類 向量求法 范圍
兩條異面直線所成的角 設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 　
直線與平面所成的角 設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝ |cos〈u，n〉|　＝ 　
兩個平面的夾角 設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ 　
做一做：1.已知向量m，n分別是直線l與平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為( B )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
[解析]　設(shè)l與α的夾角為θ，則sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，應(yīng)選B.
2．設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a＝(－1,1,0)，b＝(0，－1,1)，則a與b所成的角為 　.
[解析]　設(shè)直線a與b所成的角為θ，則cos θ＝＝＝，
又θ∈，故θ＝.

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