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專題3 焦點弦題 性質優(yōu)先【講】
【典例1】（2022年新高考全國Ⅱ卷第10題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
【典例2】（2024·廣西南寧·一模）拋物線有如下光學性質：平行于拋物線對稱軸的光線，經過拋物線上的一點反射后，反射光線經過拋物線的焦點．過點且平行于軸的一條光線射向拋物線上的A點，經過反射后的反射光線與相交于點，則（ ）
A． B．9 C．36 D．
【典例3】（2017年高考全國Ⅰ卷理科第10題）已知F為拋物線的焦點，過點作兩條互相垂直的直線，直線與交于，兩點，直線與交于D，E兩點，則的最小值為（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
上面三道題都與拋物線的焦點弦（過拋物線焦點的直線被拋物線截得的線段）相關．
拋物線的焦點弦的性質非常豐富，下面我們以拋物線為例，歸納出拋物線焦點弦的幾條重要性質．
設AB是過拋物線的焦點的一條弦，，，直線AB的傾斜角為．
定理1 拋物線中的定值：，，．
定理2 拋物線的焦點弦的長度：．
定理3 拋物線中的面積：．
定理4 ．
證明 定理1證明如下．
當時，直線AB的方程為，代入中，有，不妨令，，則．
當時，設直線AB的斜率為，則，，．
聯(lián)立得，則，．
以上兩種情況都有．
進一步有
．
定理2證明如下．
由定理1，進一步得到
，
根據拋物線的定義，有
．
定理3證明如下．
．
定理4證明如下．
，
將上面證明中得到的，代入，化簡即得．
注 如果拋物線的方程是，設AB是過拋物線的焦點F的一條弦，，，直線AB的傾斜角為，則可以類比得出關于其焦點弦的定理如下．
定理5 拋物線中的定值：，，．
定理6 拋物線焦點弦的長度：．
定理7 拋物線中的面積：．
定理8 ．
定理5～8可分別仿照定理1～4進行證明，在此略去．
【精細化解析 典例1】
第一步：由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A；
易得，由可得點A在的垂直平分線上，則A點橫坐標為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
第二步：表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；
對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯誤；
第三步：由拋物線的定義求出即可判斷C選項；
由拋物線定義知：，C正確；
第四步：由，求得，為鈍角即可判斷D選項.
，則為鈍角，
又，
則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
[精細化解析 典例2]
第一步：求出直線的方程為；
令，則，則點的坐標為的焦點為，
則，所以直線的方程為，
第二步：將其與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達定理式，則得到，即可求解弦長.
直線與拋物線方程聯(lián)立，消去得，
由韋達定理得，
所以，
所以由拋物線的定義得.
故選：D.
【精細化解析 典例3】
第一步：設直線AB的傾斜角，根據垂直關系及焦半徑公式求解弦長；
不妨設直線AB的傾斜角為，因為直線DE與直線AB垂直，所以直線DE的傾斜角為．
由定理2知，，，
第二步：根據同角三角函數(shù)基本關系及二倍角公式，利用正弦函數(shù)性質求解即可.
故，
當且僅當時取等號，故所求最小值為16．故選A．
類型1 給定焦半徑（焦點弦）的長度
例1 設為拋物線的焦點，過點作傾斜角為60°的直線交于，兩點，若，則______
解析 因為，，
由題意知，所以解得，．
又，得，所以．
升華 根據定理4或定理8的結論，可知給定焦參數(shù)，焦半徑，焦半徑中的任意兩個，可直接求出第三個．
【類題1-1】
1．已知過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，，則 ．
【類題1-2】
2．過拋物線：的焦點的直線交拋物線于，兩點．若，，則的值為 ．
【類題1-3】
3．設拋物線過點.
（1）求拋物線C的方程；
（2）F是拋物線C的焦點，過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若，求的值.
類型3 給定傾斜角（或斜率）求弦長
例3 已知F是拋物線的焦點，過點的直線與拋物線交于，兩點，直線與拋物線的準線交于點．若，則（ ）
A． B． C． D．3
解析 如圖，過點作，由拋物線的定義知．因為，所以在中，有，所以，從而直線的傾斜角為．
方法一 由定理2和定理4得，
①，
②，
由①②兩式得，，所以．故選B．
方法二 設，因為（為拋物線的離心率），，
由，得，即，所以，則．故選B．
方法三 由拋物線的定義知，
，，所以．故選B．
升華 由定理2（或定理6）知，拋物線的焦點弦長（或），可知給定焦參數(shù)，焦點弦長，直線的傾斜角中的任意兩個，可直接求出第三個．
【類題1-1】
4．已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，過F的直線與C交于P，Q兩點（P在x軸上方），M為的中點.若，點M到l的距離為4，則p的值為 .
【類題1-2】
5．斜率為且過拋物線焦點的直線交拋物線于、兩點，若，則實數(shù) 為
A．3 B．2 C．5 D．4
【類題1-3】
6．若直線過拋物線的焦點且與拋物線交于兩點，的中垂線交軸于點，則 ．
類型4 給定傾斜角（或斜率）求面積
例4 在平面直角坐標系xOy中，直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，其中點在軸上方．若直線的傾斜角為60°，則的面積為______．
解析 因為，，由定理3可得①．
另一方面，由定理4得，
由定理2得，即，
聯(lián)立即得，，故 ②.
由①②兩式，解得．
升華 由定理3（或定理7）可知，（或），由拋物線的方程（焦參數(shù)）和焦點弦所在直線的傾斜角，即可求得拋物線的頂點與弦的端點構成的三角形的面積．
【類題1-1】
7．已知點為拋物線：的焦點，過且傾斜角為的直線與交于點，，則（為坐標原點）的面積為 .
【類題1-2】
8．過拋物線的焦點作兩條互相垂直的弦，，則四邊形面積的最小值為 ．
【類題1-3】
9．已知拋物線)的焦點為F，過F且傾斜角為的直線l與拋物線相交于A，B兩點，，過A，B兩點分別作拋物線的切線，交于點Q．則下列四個命題中正確的是( )
①；
②若M(1，1)，P是拋物線上一動點，則的最小值為；
③；
④(O為坐標原點)的面積為.
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【解析】根據拋物線方程可求得焦點坐標和準線方程，設過的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設點，根據韋達定理可求得的值，又根據拋物線定義可知，代入可得其值為，再由，即可得到.
【詳解】由題意知焦點，準線方程為，
當直線斜率存在時，設過點的直線為，
代入拋物線方程，得，
化簡后為：，
設，則有，
根據拋物線性質可知，
，
又由，則.
當斜率不存在時，直線方程為，此時，不成立.
故答案為：.
【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；
(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
2．4
【詳解】設過拋物線：的準線 與 軸交于點 ，與直線 交于 ，過 作 的垂線，垂足為 ，作 于 ，根據相似三角形性質可得是中點，可得，，，故答案為.
3．（1）（2）
【分析】(1)代入計算即可.
(2) 設直線AB的方程為,再聯(lián)立直線與拋物線的方程,消去可得的一元二次方程,再根據韋達定理與求解,進而利用弦長公式求解即可.
【詳解】解：
（1）因為拋物線過點,所以,所以,拋物線的方程為
（2）由題意知直線AB的斜率存在,可設直線AB的方程為,,.因為,所以,聯(lián)立,化簡得,所以,,所以,,解得,所以.
【點睛】本題考查拋物線的方程以及聯(lián)立直線與拋物線求弦長的簡單應用.屬于基礎題.
4．3
【分析】方法一，當斜率為0時，不合要求，設出PQ：，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由得到，進而求出，，由點M到l的距離為4得到方程，求出；
方法二：設PQ的傾斜角為，使用焦點弦的二級結論得到方程，求出答案.
【詳解】方法一：當斜率為0時，過F的直線與拋物線只有1個交點，不合要求，舍去，
設PQ：，，，
由與聯(lián)立，得，所以．
由，得，代入，得，
故，．
因為M為的中點，所以點的橫坐標為，
因為點M到l的距離為4，所以，
即，故，解得；
方法二：設PQ的傾斜角為，則，
由得，即，
解得，則，
由點M到l的距離為4，得，即，所以．
故答案為：3
5．D
【解析】求得拋物線的焦點坐標，得直線方程為，聯(lián)立方程組，求得，在根據向量的坐標運算，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為，設，
直線方程為，聯(lián)立，化為，
解得，
因為，所以，解得，故選D.
【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，同時考查了向量的坐標運算，其中把直線的方程和拋物線的方程聯(lián)立方程組，求得的值是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
6．
【分析】設，其中點為C，將A，B兩點代入拋物線方程，結合斜率公式與，
可得，即可得，后由拋物線定義可得，即可得答案.
【詳解】設，其中點為C，坐標為.
將A，B兩點代入拋物線方程，有，
兩式相減可得：，設，
則，因，
則.
又，則.
又準線方程為，過A，B兩點分別做準線垂線，垂足為，
則由拋物線定義，可得.故.
故答案為：.
7．
【分析】先寫出直線方程，聯(lián)立橢圓求得，，再由計算面積即可.
【詳解】
由題意知，的方程為，代入的方程得，所以，設，
則，，所以.
故答案為：.
8．2
【分析】易知直線和的斜率都存在且不為0，設直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，結合韋達定理，可求出的表達式，同理可得出的表達式，由四邊形的面積，并結合基本不等式可求得面積的最小值.
【詳解】由題意可知，直線和的斜率都存在且不為0，
設直線的斜率為，則直線的斜率為，
焦點的坐標為，則直線的方程為，
聯(lián)立，得，
則，
所以，
同理可得，
所以，當且僅當，即時，等號成立.
所以四邊形面積的最小值為2.
故答案為：2.
【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系應用，弦長的求法，基本不等式的應用，意在考查學生的數(shù)學運算能力.
9．C
【分析】根據求出p﹒①驗算在A和B處切線斜率是否為－1；②根據拋物線定義，數(shù)形結合即可求解；③根據拋物線焦點弦性質即可求解；④根據三角形面積公式即可計算.
【詳解】∵過點且傾斜角為，∴直線的方程為，
與拋物線方程聯(lián)立得：，設，，，，
則，
.
易得.
不妨設，則，
當時，，∴過點的切線斜率為，
同理過點的切線斜率為，
∴，∴①正確；
設P到準線距離為，點到準線的距離為，
若，則，當與y軸垂直時等號成立，則②正確．
，故③錯誤；
，故④錯誤；
故選：C．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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