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專題4 離心率題 定義方程【講】
【典例1】（2023·全國1卷高考）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點A在上，點在軸上，，則的離心率為_____．
【典例2】（2022年高考全國乙卷理科第11題）雙曲線的兩個焦點分別為，以的實軸為直徑的圓記為，過點作圓的切線，與雙曲線交于M，N兩點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2022年高考浙江卷第16題）已知雙曲線的左焦點為，過點且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點，且．若，則雙曲線的離心率是______．
離心率是圓錐曲線的一個非常重要的特征量，求橢圓或雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），是高考及各類考試的熱點問題．
橢圓的離心率，描述的是橢圓的扁平程度，在圖象上表現為越大，橢圓的形狀越扁平．
雙曲線的離心率，其中是雙曲線的一條漸近線的斜率（為該漸近線的傾斜角），它是描述雙曲線開口大小的特征量，在圖象上表現為越大，雙曲線的開口越大．
離心率問題的求解，就是從“形”或“數”的角度入手，建立a，b，c的關系式，通常有如下三個視角．
定義視角：利用橢圓或雙曲線的定義，借助曲線上的點到兩焦點的距離之和（差）等于定值，建立a，b，c的關系式．
坐標視角：標準方程是圓錐曲線的量化體現之一，借助曲線上的點（如兩直線的交點、直線與曲線的交點）的坐標滿足曲線的方程，建立a，b，c的關系式．
平面幾何視角：在用代數方法研究曲線間的關系的同時，要善于挖掘并充分利用圖形本身所具有的平面幾何特征，從幾何性質（如三角形的相似性質、三角形中位線的性質、平行四邊形的性質、直角三角形中的勾股定理等）著手，借助幾何條件建立a，b，c的關系式．
【精細化解析 典例1】
第一步：利用雙曲線的定義與向量數積的幾何意義得到關于的表達式；
依題意，設，則，
第二步：利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
[精細化解析 典例2]
第一步：分類討論，利用幾何性質列方程，求解離心率；
情形１當兩個交點M，N都在雙曲線左支上時，設切點為，連接OP，
則，
作，交MN于點，則，
且．
由，可得，所以．
而，
又，所以，可得．
第二步：根據余弦定理，結合雙曲線定義，利用雙曲線定義求解離心率.
情形2 當兩個交點M，N分別在雙曲線的兩支上時，設切點為，連接OP，如圖，
則．
仿情形1，由，可得，
則，所以，．故選AC．
【精細化解析 典例3】
第一步：聯立直線AB和漸近線的方程，可求出點的坐標；
如圖，過點且斜率為的直線，漸近線，
聯立得．
第二步：根據可求得點的坐標，最后根據點在雙曲線上，即可解出離心率．
由，得．
而點在雙曲線上，于是，解得，所以離心率．
類型1 定義法
例1 已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為的延長線交于點，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
思路 設．利用橢圓的定義表示出，在中表示出，在中，，，表示出，得到a，b，c的齊次式，即可求得橢圓的離心率．
解析 由橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為
可得．
如圖，．
設，則．
由橢圓的定義可得，即，解得．
所以在中，，所以．
在中，，
所以．
從而，即，所以，得（舍去）．故選D．
升華 與橢圓或雙曲線的焦點三角形相關的離心率求解問題，一般可借助定義列出等量關系式．在已知焦點三角形內角的條件下，求離心率，有以下兩個常用的結論：
（1）設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的動點，若，則橢圓的離心率；
（2）設雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線上的動點，若，則雙曲線的離心率．
證明 （1）設，由正弦定理及橢圓的定義可得，
，從而，
即，所以．
（2）雙曲線的情形類似可證，此處略．
【類題1-1】
1．如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左 右焦點分別為，，從發出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
2．已知分別為雙曲線的左，右焦點，過右焦點傾斜角為的直線與雙曲線的兩支分別相交于A，B兩點，且點A在右支上，，則此雙曲線的離心率（ ）
A． B． C． D．2
【類題1-3 】
3．設、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，線段垂直平分線經過 ，若和的離心率分別為、，則的最小值（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
類型2 坐標法
例2已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則的離心率為______．
解析 方法一（坐標視角，由“數”入手）由，可知點是以為直徑的圓與直線的交點．由得．
又，所以為線段的中點，可得．
又點在直線上，所以，即，故．
方法二（坐標視角，由“數”入手）如圖，由，且，得，
則直線，聯立解得，
則，
所以，
整理得，所以，即，所以．
方法三（坐標視角，由“數”入手）設，則．
在中，，設，
則，即，
易知，得，得．故．
方法四（平幾視角，由“形”入手）由知，為的中點，．
又，所以OA為的中位線，且，故．
因此．
故．
注 在得到為正三角形之后，也可以按照以下方法求解：
易知直線AB的方程為，即，故點到直線AB的距離為，所以．
在中，，則，故．
本題的一個變式是2019年之江教育聯盟第二次聯考第16題．
已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若，則的離心率為______．
解析 方法一由知，點的軌跡是以為直徑的圓，
不妨設點在第一象限，聯立可得．
由，得到，解得．
由點在直線上，得，則，求得．
方法二 如圖，設．
在和中，由正弦定理，可得，
由，可知點的軌跡是以為直徑的圓，所以，
且，所以，
又，所以，即，解得，
因此．
升華 解析幾何的本質就是坐標法．用橢圓或雙曲線的參數a，b，c表示曲線上的動點的坐標，根據動點滿足的條件，建立關于a，b，c的關系式，求出離心率．可以從代數的角度（聯立方程）切入，通過聯立兩直線的方程解出動點的坐標；也可以從三角函數的角度切入，通過三角函數的定義、解三角形等方法求出動點的坐標．
【類題1-1】
4．已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為 .
【類題1-2】
5．已知雙曲線C：的右焦點為F，左頂點為A，M為C的一條漸近線上一點，延長FM交y軸于點N，直線AM經過ON（其中O為坐標原點）的中點B，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．2 B． C． D．
【類題1-3 】
6．從某個角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
類型3 幾何法
例3 為雙曲線的兩焦點（焦點在軸上），直線AB經過點且與雙曲線左、右兩支分別交于點，求雙曲線的離心率．
思路 （平幾視角）由“形”入手，根據雙曲線的定義，利用余弦定理，分別在和中建立a，b，c的關系式．
解析 如圖，設．由，可得．
由，得．
在中，，，解得．
在中，，，解得．，故雙曲線的離心率為．
升華 挖掘并利用圖形本身所具有的平面幾何性質，可以簡化運算，優化過程．本題的解法，是由“形”入手，通過三角形建立關于a，b，c的關系式，求出離心率．
【類題1-1】
7．經過雙曲線右焦點的直線與的兩條漸近線，分別交于，兩點，若，且，則該雙曲線的離心率等于（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
8．兩個長軸在x軸上、中心在坐標原點且離心率相同的橢圓.若A，B分別為外層橢圓的左頂點和上頂點，分別向內層橢圓作切線AC，BD，切點分別為C，D，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-3 】
9．如圖，，是離心率都為的橢圓，點A，B是分別是的右頂點和上頂點，過A，B兩點分別作的切線，．若直線，的斜率分別為，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】結合題意作出圖形，然后結合雙曲線的定義表示出，進而利用勾股定理即可得到，從而可求出結果.
【詳解】由題意知延長則必過點,如圖：
由雙曲線的定義知，
又因為，，所以，設，則，因此，從而，所以，又因為，所以，即，即，
故選：B.
2．A
【分析】設雙曲線的半焦距為c，則，然后在直角三角形中，，可求出，然后利用定義建立方程可得答案.
【詳解】設雙曲線的半焦距為c，則，
由過右焦點傾斜角為的直線，可得，
在直角三角形中，可得，
由雙曲線的定義可得，
即，
所以．
故選：A
3．D
【解析】設橢圓和雙曲線的方程，由題意可得，再利用橢圓和雙曲線的定義分別求出，即可得，計算，展開后利用基本不等式即可求最值.
【詳解】設橢圓的方程為，則，
設雙曲線的方程為，則，
因為橢圓和雙曲線的焦點相同，
所以，設即，
因為是橢圓和雙曲線的一個公共點，
所以，，
因為線段垂直平分線經過，所以，
所以，且，
所以，可得，
所以，，所以，
所以
，
當且僅當，即時等號成立，
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是利用已知條件得出，進而可得，
再利用基本不等式可求最值.
4．2
【分析】根據雙曲線的幾何性質可知，，，即可根據斜率列出等式求解即可．
【詳解】聯立，解得，所以.
依題可得，，，即，變形得，,
因此，雙曲線的離心率為.
故答案為：．
【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質的應用，屬于基礎題．
5．A
【分析】由中點B，且得，由點到直線距離公式得，從而得，通過三角形全等證得△MNB為等邊三角形，然后得，從而計算出離心率．
【詳解】記M為雙曲線C：的漸近線上的點，因為，且，所以，．
所以．因為右焦點到漸近線的距離，
所以．所以，所以，
所以，所以，
又因為，．
所以△MNB為等邊三角形，所以，所以，
即，所以．
故選：A．
6．D
【分析】設出雙曲線方程，通過做標準品和雙曲線與圓O的交點將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點在雙曲線上，然后求出離心率即可.
【詳解】設雙曲線的方程為，
則，因為AB＝BC＝CD，
所以，所以，
因為坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，
所以在雙曲線上，
代入可得，解得，
所以雙曲線的離心率為.
故選：D
7．A
【分析】求雙曲線的漸近線，并求直線與漸近線交點坐標，再由向量方程可得解.
【詳解】雙曲線漸近線為：，焦點，
設直線方程：，
則由列方程組可得；
同理可得；
因為，所以，
得，，而；
因為，所以，
所以.
故選：A.
8．B
【分析】法一，用判別式等于零求兩條切線得斜率，因為它們相乘等于，可得，所以橢圓的離心率為；法二，用極點極線得方法得到兩條切線得斜率，再根據條件即得.
【詳解】法一：設內橢圓方程為，外橢圓為，
切線的方程為，
聯立消去可得：，
因為直線為橢圓的切線，所以，
化簡可得：，設直線的方程為：，同理可得，
因為兩切線斜率之積等于，所以，所以橢圓的離心率為.
故選：B.
法二；設內層橢圓：，外層橢圓：.
設切點，，，，
切線：，切線：，
∴①，②，
又∵，即，即，即，
∴，同理，∴，∴，
將，代入橢圓中得：，經分析得：，
由①②可知，∴，∴，∴.
故選：B.
9．C
【詳解】不妨設，，
∴，代入的方程得：
，
，
化簡得．
代入得．
．
化簡得．∴，∴，
故選C．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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