資源簡介

專題1 千年古圖 巧用定理【講】
【典例1】．圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.過拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A、B兩點，分別過A、B兩點作拋物線的切線l1，l2相交于P點，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；②△PAB為直角三角形，且為直角；③PF⊥AB.已知P為拋物線的準(zhǔn)線上一點，則阿基米德三角形PAB的面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】．（2021年高考全國乙卷理科）已知拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最小值為4．
（1）求p；
（2）若點P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求面積的最大值．
【典例3】（江西省上高二中2023年高三全真模擬考試）已知拋物線與雙曲線有一個公共焦點F，過上一點向作兩條切線，切點分別為A，B，則（ ）
A．49 B．68 C．32 D．52
題組中的三道題，涉及拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形，這個三角形常被稱為阿基米德三角形．《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊A版》第139頁習(xí)題3.3拓廣探索第12題（1）對應(yīng)的結(jié)論即為阿基米德三角形．
阿基米德三角形的得名，是因為阿基米德本人最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：
拋物線的弦與拋物線所圍的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形面積的三分之二．
阿基米德（Archimedes，前287—前212），是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和機(jī)械發(fā)明家，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號，他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理．
自公元前三世紀(jì)至今，歷經(jīng)了兩千多年的風(fēng)霜雨雪，阿基米德三角形猶如一顆閃耀的明珠，以其深刻的背景、豐富的內(nèi)涵，散發(fā)出無窮的魅力，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中不斷閃爍著真理的光輝．阿基米德三角形一直是高考命題者青睞的圖形，其性質(zhì)自然是命題的熱點素材．
阿基米德三角形的性質(zhì)
下面的討論，我們均以拋物線為例．
如圖，拋物線上兩個不同的點A，B的坐標(biāo)分別為，，以A，B為切點的切線PA，PB相交于點P，我們稱弦AB為阿基米德的底邊．
定理1 1．點P的坐標(biāo)為；
2．底邊AB所在的直線方程為；
3．的面積．
證明 1．由于過點A的切線方程為，過點B的切線方程為，聯(lián)立這兩個方程，消去y，可得，再將代入點A處的切線方程，可得．
這表明，點P的坐標(biāo)為．
2．直線AB的斜率為，故直線AB的方程為，化簡即得．
3．由1和2可得點P到直線AB的距離為，
又，
故的面積為．
推論1 1．阿基米德三角形底邊上的中線平行（重合）于拋物線的對稱軸；
2．設(shè)點P的坐標(biāo)為，則底邊AB所在直線方程為．
證明 1．如圖，設(shè)Q為底邊AB的中點，由定理1.1可知，點P與點Q的橫坐標(biāo)相同，故PQ與y軸平行或重合．
2．將定理1.2中直線AB的方程，化為，
再由定理1.1知，，，代入即得．
定理2 若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點，則另一頂點P的軌跡為一條直線，其方程為．
證明 設(shè)，由定理1得到，，
于是有，．
由A，B，C三點共線得，即．
將，代入得，
此即點P的軌跡方程，顯然，它表示一條直線．
特別地，當(dāng)定點C在y軸上時，由定理2可得以下推論．
推論2 若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點，則：
1．另一頂點P的軌跡方程為；
2．（定值）．
證明 1．根據(jù)定理2的結(jié)論，將代入點P的軌跡方程，得．
2．將代入定理1.2中直線AB的方程，得，即．
從而．
特別地，當(dāng)時，進(jìn)一步有以下推論．
推論3 若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線的焦點，則：
1．另一頂點P的軌跡為準(zhǔn)線；
2．；
3．；
4．面積的最小值為．
《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊A版》第146頁復(fù)習(xí)參考題3第16題拋物線的情形即對應(yīng)以上推論．
事實上，將分別代入推論2.1和2.2，即得推論3.1和3.2．
下面證明推論3.3和3.4．
若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線的焦點，則點的坐標(biāo)滿足定理1.2中直線AB的方程，代入可得，即，
由定理1.1得，因為，所以．
又，則，
所以，即推論3.3成立．
設(shè)Q為AB的中點，于是根據(jù)推論1.1知，PQ與x軸垂直，于是，
從而，即推論3.4成立．
定理3 如圖，若E為拋物線弧AB上的動點，點E處的切線與PA，PB分別交于點C，D，則有．
證明 由定理1.1知點P，C，D的橫坐標(biāo)分別為，，，
所以，
，
從而．同理得．故．
推論4 1．若E為拋物線弧AB上的動點，拋物線在點E處的切線與阿基米德的邊PA，PB分別交于點C，D，則有；
2．拋物線和它的一條弦所圍圖形的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的．
證明 1．設(shè)，記，則，即．
同理，，．
因為，
于是，
所以，
又，所以．
2．設(shè)C是阿基米德的邊PA的中點，過點C作拋物線的切線，切點為E，CE交PB于點D．
由定理3可得，．
設(shè)Q為AB的中點，則可得P，E，Q三點共線，且．
這表明，在阿基米德三角形中，與底邊平行的中位線是拋物線的一條切線，且切點就是這條切線與底邊上中線的交點（如圖）．
根據(jù)此結(jié)論，可知：
，
．
同理，．
對和，分別作與底邊平行的中位線，有與上面相同的結(jié)果，類似地這樣無限操作下去，拋物線和弦AB所圍圖形的面積S就等于無限多條邊的凸多邊形的面積，且可無限分割求和．
．
【精細(xì)化解析 典例1】
第一步：設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線求得；
易知，焦點，準(zhǔn)線方程，直線斜率必然存在，設(shè)，，，聯(lián)立化簡得，顯然；
第二步：通過PF⊥AB求得，進(jìn)而得到為中點，由表示出三角形PAB的面積.
又PF⊥AB可得，即，化簡得，過作軸交于點，可得為中點，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等. 故三角形PAB的面積的最小值為4.
故選：C.
[精細(xì)化解析 典例2]
第一步：根據(jù)拋物線的定義，利用點到直線的距離求解最值；
（1）拋物線C的焦點為，，
則點F與圓上點的距離的最小值為，解得．
第二步：結(jié)合韋達(dá)定理及三角形性質(zhì)，再根據(jù)阿基米德定理求解最值即可.
（2）設(shè)點，，，
根據(jù)推論1.2可得直線AB的方程為，
由可得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以根據(jù)定理1.3得，，
因為點P在圓M上，
所以，
由已知可得，所以當(dāng)時，面積的最大值為．
【精細(xì)化解析 典例3】
第一步：根據(jù)條件求得雙曲線方程，進(jìn)而求得拋物線方程；
因為點P在雙曲線上，所以，
所以雙曲線的方程為，由此不難求出公共焦點，所以，，
所以拋物線的方程為．
第二步：根據(jù)阿基米德三角形性質(zhì)結(jié)合焦半徑公式求解弦長即可.
根據(jù)推論1.2可知直線AB的方程為，
聯(lián)立化簡可得．
設(shè)，，則，，
所以
．故選A．
類型1 線段長度問題
例1 已知斜率為k的直線l過拋物線的焦點，且與拋物線C交于A，B兩點，拋物線C的準(zhǔn)線上一點滿足，則（ ）
A． B． C．5 D．6
解析 已知是阿基米德三角形，根據(jù)阿基米德三角形的有關(guān)性質(zhì)可知，，易知，所以，所以．由得，由此可得，所以，故選C．
【類題1-1】
1．已知拋物線的焦點為F，直線l與拋物線在第一象限相切于點P，并且與直線和x軸分別相交于A，B兩點，直線PF與拋物線的另一個交點為Q．過點B作交PF于點C，若，則等于（ ）
附加結(jié)論：拋物線上兩個不同的點A，B的坐標(biāo)分別為，，以A，B為切點的切線PA，PB相交于點P，我們稱弦AB為阿基米德的底邊．

定理：點P的坐標(biāo)為；
推論：若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點，則另一頂點P的軌跡方程為.
A． B． C． D．
【類題1-2】
2．已知拋物線的焦點為，過作直線交拋物線于、兩點，且（為非零常數(shù)）.以為切點作拋物線的切線交直線于點，則的長度為 .（結(jié)果用含式子表示）.
【類題1-3 】
3．已知過點作拋物線的兩條切線，切點為，，直線經(jīng)過拋物線的焦點，則 .
類型2 軌跡問題
例2 如圖，拋物線，，點在拋物線上，過點M作的切線，切點為A，B（當(dāng)點M為原點O時，點A，B重合于點O）．當(dāng)時，切線MA的斜率為．
（1）求p的值；
（2）當(dāng)點M在上運(yùn)動時，求線段AB的中點N的軌跡方程（當(dāng)點A，B重合于點O時，中點為O）．
思路 對于第（2）小題，以A，B兩點的橫坐標(biāo)，為參數(shù)，表示線段AB的中點N的坐標(biāo)，通過點M在拋物線上得到軌跡方程．
解析 （1）因為過拋物線上任意一點的切線的斜率為，
又已知切線MA的斜率為，
可得點A的坐標(biāo)為，故切線MA的方程為．
因為點既在切線MA上，又在拋物線上，于是
，，得．
（2）設(shè)，，，．
由點N為線段AB的中點，知
①，
②，
由定理1.1可得點，由于點M在拋物線上，故得
③．
由①②③式得，．
當(dāng)時，點A，B重合于原點O，AB的中點N即為O，點N的坐標(biāo)滿足．
因此線段AB的中點N的軌跡方程為．
升華 本題的一般情形如下：
設(shè)拋物線的阿基米德底邊AB的中點為Q，
設(shè)，，，，則，，
，
根據(jù)定理1.1，點P的坐標(biāo)為，即．
當(dāng)點P在曲線上運(yùn)動時，可求得阿基米德底邊AB的中點Q的軌跡方程為．
比如，令，則，可得例2中點N的軌跡方程為．
【類題1-1】
4．已知是直線上的一個動點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，，則的重心的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【類題1-2】
5．已知直線過拋物線：的焦點，與交于，兩點，過點，分別作的切線，交于點，則點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-3 】
6．已知曲線的焦點是F，A，B是曲線C上不同的兩點，且存在實數(shù)使得，曲線C在點A，B處的切線交于點D．
(1)求點D的軌跡方程；
(2)點E在y軸上，以EF為直徑的圓與AB的另一個交點恰好是AB的中點，當(dāng)時，求四邊形ADBE的面積．
類型3 面積問題
例3 （2023·青海西寧·二模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的斜率之積為定值．設(shè)拋物線，弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，設(shè)直線為，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理得，設(shè)過的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式得，則過點A的切線為，同理得過的切線斜率為，過點B的切線為，可得，可證得，則的面積，結(jié)合圖形特征，可得面積的最小值．
【詳解】設(shè)且，直線，聯(lián)立，
整理得，則．
設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立，
整理得，由，可得，
則過A的切線為：，即，即，即，
同理可得過點的切線斜率為，過點B的切線方程為：，
聯(lián)立兩切線，則，
所以兩條切線的交點在準(zhǔn)線上，則，
兩式相減得，
，可得，，
又因為直線的斜率為，（也成立），
如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，
的面積，
當(dāng)軸時，最短（最短為），也最短（最短為），
此時的面積取最小值．
故選：B
升華 本題的一般情形如下：
如果拋物線的阿基米德的底邊AB經(jīng)過拋物線的焦點F，且，則．
由基本不等式知，故，與推論3.4的結(jié)論一致．
【類題1-1】
7．圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.過拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A B兩點，分別過A B兩點作拋物線的切線，相交于P點，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；②為直角三角形，且為直角；③.已知P為拋物線的準(zhǔn)線上一點，則阿基米德三角形PAB的面積的最小值為 .
【類題1-2】
8．已知拋物線C：的焦點坐標(biāo)為，點，過點P作直線l交拋物線C于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線，兩切線交于點Q，且兩切線分別交x軸于M，N兩點，則面積的最小值為
A． B． C． D．
【類題1-3 】
9．過點P(2，－1)作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，PA，PB分別交x軸于E，F(xiàn)兩點，O為坐標(biāo)原點，則△PEF與△OAB的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
類題3-3 （2019年7月中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試第20題）
10．已知拋物線與直線l：y＝kx﹣1無交點，設(shè)點P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點．
（1）證明：直線AB恒過定點Q；
（2）試求△PAB面積的最小值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】
根據(jù)題意可知：為拋物線的阿基米德三角形，AQ也與拋物線相切，結(jié)合平行關(guān)系可得，可得，，聯(lián)立求解即可.
【詳解】因為直線PQ過拋物線的焦點，
由推論可知以PQ為底邊的阿基米德三角形的另一個頂點P的軌跡方程為，
又因為切線PA與直線相交于點A，
故為拋物線的阿基米德三角形，AQ也與拋物線相切．
如圖，設(shè)點P，Q在直線（拋物線的準(zhǔn)線）上的射影分別為，，
連接，，與x軸相交于點D．

由可得．
因為，則．
又因為，所以．
設(shè)，，則有①．
由定理可得，得，
即，故②．
聯(lián)立①②兩式，解得，，
故．
故選：C．
2．
【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，列出韋達(dá)定理，結(jié)合得出點的橫坐標(biāo)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在點處的切線方程，并求出點的坐標(biāo)，最后利用兩點間的距離公式求出的長度.
【詳解】設(shè)點、，拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，消去得，
由韋達(dá)定理得，.
，，，，，
，得.
拋物線的函數(shù)解析式為，求導(dǎo)得，
則拋物線在點處的切線方程為，即，
聯(lián)立，解得，所點，
因此，，
故答案為.
【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題，涉及到切線方程以及兩點間的距離公式的應(yīng)用，對于直線與拋物線的綜合問題，一般將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法進(jìn)行求解，考查計算能力，屬于中等題.
3．
【分析】設(shè)設(shè)，在拋物線，過切點與拋物線相切的直線斜率為，進(jìn)而聯(lián)立方程并結(jié)合判別式得，進(jìn)一步得以為切點的切線方程為，同理以為切點與拋物線相切的直線方程為，再結(jié)合在兩條切線上得弦的方程，再根據(jù)弦過拋物線的焦點得，進(jìn)而拋物線方程為，直線的方程，再聯(lián)立方程計算即可得答案.
【詳解】解：設(shè)，在拋物線，過切點與拋物線相切的直線斜率為，
則以為切點的切線方程為，
與拋物線聯(lián)立方程得，
所以，整理得，
所以，解得，
所以以為切點的切線方程為，整理得，
同理，設(shè)，在拋物線，過切點與拋物線相切的直線方程為，
又因為在切線和，
所以，，
所以直線的方程，
又因為直線經(jīng)過拋物線的焦點，
所以令得，即
所以拋物線方程為，直線的方程
聯(lián)立方程得或，
所以，
所以
故答案為：
4．B
【分析】設(shè)，，的重心為，由定理1.1知，再由重心公式得到，，代入直線方程整理即可．
【詳解】設(shè)，，的重心為．
由定理1.1知，則由三角形的重心坐標(biāo)公式，
可得，
．
于是，，，
由點在直線上得，即．
其中定理1.1及證明：如圖，拋物線上兩個不同的點，的坐標(biāo)分別為，，
以，為切點的切線，相交于點，我們稱弦為阿基米德的底邊．
定理1.1．點的坐標(biāo)為；
證明：由，則，
所以過點的切線方程為，
過點的切線方程為，聯(lián)立這兩個方程，
消去，可得，再將代入點處的切線方程，
可得．
這表明，點的坐標(biāo)為．
故選：B．
5．A
【分析】將交換，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫出拋物線在點、處的切線方程，聯(lián)立求出交點坐標(biāo)，即可求出點的軌跡方程．
【詳解】解：將拋物線翻轉(zhuǎn)為，設(shè)翻轉(zhuǎn)后的直線的方程為，
翻轉(zhuǎn)后兩點的坐標(biāo)分別為，，
則，可得，①
因為，所以，
所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，易得拋物線在點處的切線方程為，
同理可得拋物線在點處的切線方程為，
聯(lián)立，解得，
又由①可得，
所以，
所以點的軌跡方程為，
故選：A.
6．(1)；
(2).
【分析】
（1）由題意知、、三點共線，可設(shè)直線的方程為，并設(shè)點，，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點、處的切線方程，將兩切線方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，即可得出點的軌跡方程；
（2）由，利用坐標(biāo)運(yùn)算得出，代入韋達(dá)定理解出，根據(jù)對稱性取，求出線段的中點的坐標(biāo)為，由轉(zhuǎn)化為可求出點的坐標(biāo)，并得出點的坐標(biāo)，利用弦長公式計算出，利用點到直線的距離公式分別計算出和的高，并計算出這兩個三角形的面積，相加即可得出四邊形的面積.
【詳解】（1）曲線就是拋物線，它的焦點坐標(biāo)為，
存在實數(shù)使得，則、、三點共線，
顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由消去，整理得，，設(shè)，，
則，，由，求導(dǎo)得，切線斜率，
曲線在點處的切線方程是，即，
同理得曲線在點處的切線方程是，
由，得，因此點的坐標(biāo)為，
所以點的軌跡方程為.
（2）當(dāng)時，由，得，則，
于是，解得，，，由對稱性不妨取，
，
設(shè)的中點為，則，，
由點在以點為直徑的圓上，得，
設(shè)，則，即，解得，則，
將直線的方程，即，
則點到的距離，
因此，
由（1）點，即，點到的距離
因此，
顯然、在兩側(cè)，所以四邊形ADBE的面積．
7．4
【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線求得，通過PF⊥AB求得，進(jìn)而得到為中點，由表示出三角形PAB的面積，結(jié)合基本不等式求出最小值即可.
【詳解】易知，焦點，準(zhǔn)線方程，直線斜率必然存在，設(shè)，，，
聯(lián)立得， 顯然；
又PF⊥AB可得，即，化簡得，
過作軸交于點，如圖所示：
則，
所以為中點，故，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
故三角形PAB的面積的最小值為4，
故答案為：4
8．C
【分析】先求出拋物線的方程，再分別表示出兩個切線方程，聯(lián)立可求得的坐標(biāo)表示出點到直線的距離，設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理和求出，利用三角形面積公式表示出三角形面積，即可求出面積的最大值
【詳解】物線C：的焦點坐標(biāo)為，
∴，∴，
拋物線C：，
設(shè)，，
∵，∴，
過點A的切線方程為，令，得，
過點B的切線方程為，令，得
則兩切線的交點為，
由AB過點，設(shè)直線方程為，
由，消y可得，
∴，，
∴，
∴，
當(dāng)時，此時面積最小，最小值為，故選C．
【點睛】本題主要考查了拋物線與直線的位置關(guān)系，點到直線距離公式的應(yīng)用考查了學(xué)生分析推理和運(yùn)算的能力，屬于中檔題
9．C
【分析】由已知拋物線方程求導(dǎo)得，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，得出點A，B處的切線方程，求得點E ，F(xiàn)，又由這兩條切線都過點P(2，－1)，得，得lAB過定點(0，1)，得出面積的表示式，可得答案．
【詳解】由得，求導(dǎo)得，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則點A，B處的切線方程為，
即x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F(xiàn)，即E，F(xiàn)，
因為這兩條切線都過點P(2，－1)，則，
所以lAB：x＝－1＋y，即lAB過定點(0，1)，
則．
故選：C．
【點睛】本題考查拋物線的切線方程，運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求切線，屬于中檔題．
10．（1）見解析； （2）.
【解析】（1）借助導(dǎo)數(shù)，可求得在A，B兩點的切線方程PA，PB，由于P點在兩條切線上，結(jié)合方程，可得直線AB：kx0﹣1+y＝xx0，可得定點.
（2）將直線AB與拋物線聯(lián)立，利用弦長公式，點到直線距離公式表示三角形的底和高，繼而表示面積，配方，求解最小值，即可.
【詳解】（1）由求導(dǎo)得y′＝x，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
其中
則kPA＝x1，
PA：y﹣y1＝x1（x﹣x1），
設(shè)P（x0，kx0﹣1），
代入PA直線方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，
PB直線方程同理，
代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，
所以直線AB：kx0﹣1+y＝xx0，
即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以過定點（k，1）；
（2）直線l方程與拋物線方程聯(lián)立，
得到x2﹣2kx+2＝0，
由于△<0,k2＜2．
將AB：y＝xx0﹣kx0+1代入，
得，
所以，
，
設(shè)點P到直線AB的距離是d，
則，
所以，
所以面積最小值為．
【點睛】本題考查了直線和拋物線綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.
答案第1頁，共2頁
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