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專題2 球組合體 補(bǔ)體性質(zhì)【講】
【典例1】．（23-24高三上·云南德宏·期末）在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】．（23-24高三上·廣東湛江·期末）已知是邊長為8的正三角形，是的中點，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2022高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，若三棱錐外接球的體積為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．8
定義：空間中，若一個定點到一個幾何體的各頂點的距離都相等，則這個定點就是該幾何體的外接球的球心．
性質(zhì)：球心與截面圓（小圓）圓心的連線垂直于截面圓．
根據(jù)上述定義與性質(zhì)，可以得到以下確定簡單多面體外接球的球心位置的結(jié)論．
①長方體的外接球的球心是其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
②直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點，半徑可在球心、底面三角形外心、底面一個頂點構(gòu)成的直角三角形中求解．
③正棱錐的外接球的球心在其高線上，半徑可在球心、底面三角形外心、底面一個頂點構(gòu)成的直角三角形中求解．
④若棱錐的頂點可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心．
⑤過幾何體的兩個面（外心較易找到）的外心分別作這兩個面的垂線，垂線的交點即為球心．
在畫球的內(nèi)接四面體的底面時，通常將一點畫在球的邊界上，另外兩點放置于截面圓的圓弧的其他位置．當(dāng)分別為任意三角形、等邊三角形、直角三角形時的情形及幾何量的內(nèi)在基本關(guān)系如圖1、圖2、圖3（為的外心，平面，為圓的半徑，為球的半徑，）．
圖1 圖2 圖3
對任意，由正弦定理可得（圖1）；
對等邊，（圖2）；
對（圖3）．
【精細(xì)化解析 典例1】
第一步：將三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，轉(zhuǎn)化為長方體外接球；
如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體，
可知三棱錐的外接球即為長方體的外接球，
第二步：結(jié)合長方體的外接球以及長度關(guān)系運算求解.
則，可得，
則外接球的半徑，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：C.
[精細(xì)化解析 典例2]
第一步：根據(jù)條件得到三棱錐中的線面關(guān)系，利用球的性質(zhì)確定球心；
在三棱錐中，平面，
由二面角為，，得是正三角形，令其外接圓圓心為，
則，令三棱錐外接球的球心為，球半徑為，
則平面，即有，顯然球心在線段的中垂面上，
第二步：結(jié)合球的截面圓性質(zhì)確定球心位置，再求出球半徑即得.
令線段的中垂面交于，
則，顯然，于是，四邊形是平行四邊形，且是矩形，
而，因此，
所以三棱錐外接球的表面積.
故選：C
【精細(xì)化解析 典例3】
第一步：由已知可得，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，找到棱錐外接球的球心為的中點；
因為，所以，
又因為，所以，取的中點，連接，
所以為三棱錐的外接球的球心，外接球的體積為，
第二步：求得，再由基本不等式可求得的最大值.
所以，則，所以，則，
因為，兩邊同時加上，則，
因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
又因為，所以，
則的最大值為.
故選：A.
類型1 定義找心
例1 （2024·安徽合肥·一模）已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，平面平面，則該球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題中條件作出外接球球心，利用勾股定理計算得到半徑，進(jìn)一步計算即可.
【詳解】過三角形的中心作平面的垂線，
過三角形的中心作平面的垂線，兩垂線交于點，連接，
依據(jù)題中條件可知，為四面體的外接球球心，
因為，所以，
則，即外接球半徑為，則該球的表面積為，
故選：C.
升華 根據(jù)外接球的定義，確定到多面體各頂點距離相等的點．例如，兩個面是具有公共斜邊的直角三角形的四面體的球心為斜邊中點；直三棱柱的外接球的球心在上下底面三角形外心連線的中點處．常見的模型有：
1.1 共斜邊的和構(gòu)成的四面體的外接球的球心位于斜邊的中點處．
1.2 在三棱錐中，若平面，作的外接圓的直徑，則球心位于的中點處．
1.3 在三棱錐中，若平面平面，且，則球心就是的外心．
1.4 直棱柱或圓柱外接球的球心在上下底面中心連線的中點處．
【類題1-1】
1．在三棱錐中，，，，點到底面的距離為，則三棱錐的外接球的表面積為 .
【類題1-2】
2．已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-3 】
3．已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
類型2 垂線找心
例2 四邊形是菱形，，沿對角線翻折后，二面角的余弦值為，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
解析 過與的外心分別作兩個三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐的外接球的球心．
如圖，取的中點，設(shè)球心在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為，則二面角的平面角為，又，所以．
設(shè)，則，由此得，球的半徑，三棱錐的外接球的體積為．故選B．
升華 如圖，取球面上的任意兩個小圓（所在平面不平行），過各自圓心分別作兩個圓所在平面的垂線，這兩條垂線的交點即為球心，這兩個小圓即多面體的兩個面的外接圓．因此可在過多面體面的外心且垂直于底面的直線上尋找多面體外接球的球心．
為便于找到球心，常選擇多面體中具有特殊形狀的面（如直角三角形、等腰三角形、正方形等）進(jìn)行分析．
若多面體有一個面為直角三角形，則在過斜邊中點且垂直于直角三角形所在平面的直線上尋找球心；
若多面體有一個面為等邊三角形，則在過等邊三角形的中心且垂直于等邊三角形所在平面的直線上尋找球心；
若多面體有一個面為矩形，則在過矩形的中心且垂直于矩形所在平面的直線上尋找球心；
若多面體涉及二面角大小，設(shè)過二面角兩個半平面所在三角形外心且分別垂直于兩個半平面的直線為，則球心為的交點．
由例2，可以歸納出以下“二面角”模型結(jié)論：
如圖，二面角的大小為分別為的外心，為的中點，，則三棱錐的外接球半徑．
事實上，由分別為與的外心，為的中點，可知，為二面角的平面角，即．
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則平面，平面，故得，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，且為該圓的直徑．
在中，由余弦定理可得
于是四邊形的外接圓直徑為
在中，由勾股定理可得．
【類題1-1】
（23-24高三上·浙江紹興·期末）
4．盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計的，已成為巴黎的城市地標(biāo)，盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長為，高為，若該四棱錐的五個頂點都在同一個球面上，則該外接球的表面積是 .
【類題1-2】
（2022·全國·模擬預(yù)測）
5．已知四棱錐中，底面為邊長為3的正方形，側(cè)面底面，且為等邊三角形，則該四棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-3 】
（2024·陜西寶雞·一模）
6．三棱錐中，平面，為等邊三角形，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
類型3 補(bǔ)形找心
例3 在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是______．
思路 補(bǔ)“錐”成“柱”，則外接球球心在直三棱柱上下底面外心連線的中點處．
解析 因為，所以．
因為，所以．
如圖，以為底面，為棱，將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，其高．
在中，，則，
于是的外接圓半徑．
三棱錐外接球的球心在上下底面外心的連線上，
其半徑，
所以外接球表面積為．
升華 對某些特殊多面體，可通過構(gòu)造直三棱柱、長方體等幾何體，使多面體的頂點為直三棱柱或長方體的頂點，將多面體“鑲嵌”在直三棱柱、長方體內(nèi)，借助直三棱柱、長方體外接球的球心尋找所研究多面體的外接球球心．常見的類型有以下幾種．
側(cè)棱垂直于底面的棱錐可以補(bǔ)成直棱柱．
三條棱兩兩垂直的四面體可以補(bǔ)成長方體，長方體的體對角線的中點即為球心．
“墻角”型
三條棱兩兩垂直且共頂點：在三棱錐中，過點的三條棱兩兩互相垂直，即，可構(gòu)造分別以為長、寬、高的長方體．
“直角垂線”型
三組對棱分別垂直：在三棱錐中，平面，可構(gòu)造以的兩條直角邊和垂線分別為長、寬、高的長方體．
3“對棱”相等型
若四面體三組對棱分別相等，則可構(gòu)造以三組對棱為六個面的對角線的長方體．
特別地，當(dāng)（即四面體為正四面體）時，長方體就變成了正方體．
【類題1-1】
7．在三棱錐中，，，，且二面角為120°，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-2】
（2024·四川自貢·一模）
8．中，，將繞旋轉(zhuǎn)至處，使平面平面，則多面體的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【類題1-3 】
（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）
9．在三棱錐中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且，若三棱錐的所有頂點都在同一個球的表面上，則該球的體積是（ ）
A． B． C． D．
類型4 坐標(biāo)找心
例4 在四面體中，已知，則四面體的外接球半徑是______．
思路 將四面體置于正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，算出球心的坐標(biāo)．
解析 由題意知該四面體以為頂點的3個角都相等，容易聯(lián)想到正四面體．
又由可知，只需要將延長到點，使得，則四面體就是正四面體，此時便可將四面體放入邊長為的正方體中．
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中．
再設(shè)外接球的球心為，
則可得方程組解得
故外接球的半徑為．
升華 通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用球心到四個頂點的距離相等求出球心坐標(biāo)，用計算代替推理，減少空間想象能力．
類題
10．四面體ABCD中，有一條棱長為3，其余五條棱長皆為2，則其外接球的半徑為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】由，可知為三棱錐的外接球的一條直徑，過點作平面，可知為外接圓的一條直徑，計算出的長度，再利用勾股定理計算出的長度，即可得出該球的直徑，再利用球體表面積公式可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)的中點為點，，，
為三棱錐的外接球的一條直徑，
過點作平面，垂足為點，
、、平面，，，，
，，由勾股定理可得，同理可知，
，為等邊三角形，
設(shè)的外接圓圓心為點，連接，則，且，
由中位線的性質(zhì)可知點為的中點，為圓的一條直徑，
所以，，由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，，
，由正弦定理可得，
，因此，球的表面積為，故答案為.
【點睛】本題考查多面體的外接球表面積的計算，解題時要充分分析多邊形的形狀，找出球心的位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.
2．A
【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．
【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．

3．C
【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.
【詳解】
設(shè)球的半徑為，則，解得：.
設(shè)外接圓半徑為，邊長為，
是面積為的等邊三角形，
，解得：，，
球心到平面的距離.
故選：C.
【點睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.
4．
【分析】由幾何關(guān)系和勾股定理確定關(guān)于的方程，解出半徑，再計算面積即可.
【詳解】
如圖，因為，所以球心在的延長線上，
因為正四棱錐的底面邊長為，高為，所以，
設(shè)，，
則，解得，所以半徑，
所以外接球的表面積為.
故答案為：
5．B
【分析】取側(cè)面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過作兩個平面的垂線交于點，點即為該球的球心，求出長度，由勾股定理可求出四棱錐外接球的半徑，再由球的表面積公式可得出答案.
【詳解】如圖，在四棱錐中，
取側(cè)面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，
分別過作兩個平面的垂線交于點，則由外接球的性質(zhì)知，
點即為該球的球心，連接并延長，交教AB于E,則E線段的中點，
連接，則四邊形為矩形.
在等邊中，可得，則，即，
在正方形中，因為，可得，
在中，，即，
所以四棱錐外接球的表面積為.
故選：B.
6．B
【分析】首先作圖構(gòu)造外接球的球心，再根據(jù)幾何關(guān)系求外接球的半徑，最后代入三棱錐外接球的表面積公式.
【詳解】如圖，點為外接圓的圓心，過點作平面的垂線，
點為的中點，過點作線段的垂線，所作兩條垂線交于點，
則點為三棱錐外接球的球心，
因為平面，且為等邊三角形，，
所以四邊形為矩形，，，
所以，即三棱錐外接球的半徑，
則該三棱錐外接球的表面積為.
故選：B
7．D
【分析】將三棱錐置于一個直三棱柱，計算外接球的半徑，得到答案.
【詳解】由題意可得，將三棱錐置于一個直三棱柱，如圖所示，由二面角為120°可知，
直三棱柱的外接球即三棱錐的外接球，
外接球的球心O在上下底面三角形外心連線段的中點.
在中，，，得.
設(shè)外接球的半徑為R，外接圓的半徑為r，正弦定理得，
解得，又球心到底面的距離，
所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為.
故選：D.
【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.
8．A
【分析】
通過補(bǔ)形的方法求得外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.
【詳解】由于，所以，
折疊后，由于平面平面，且交線為，
平面，所以平面，
由于平面，所以，
所以兩兩相互垂直，
所以可將多面體補(bǔ)形為長方體，
設(shè)多面體外接球的直徑為，
則，
所以外接球的表面積為.
故選：A
9．A
【分析】
根據(jù)三條側(cè)棱三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，可得三棱錐的外接球即為以PA，PB，PC為相鄰的三條棱的正方體的外接球，由此可得答案.
【詳解】由三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，補(bǔ)全三棱錐，
則三棱錐的外接球的半徑，
所以該球的體積是，
故選：A

10．
【詳解】解:設(shè)BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分別是BC,AD的中點，D在面ABC上的射影H應(yīng)是△ABC的外心，由于DH上的任一點到A,B,C等距，則外接球心O在DH上，因，所以AE=DE,于是ED為AD的中垂線是，顒球心O是DH，EF的交點，且是等腰△EAD的垂心，記球半徑為r，由△DOF～△EAF，得.
而,,,所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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