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專題1 鱉臑陽馬 巧用性質【講】
【典例1】．（2023·河南鄭州·模擬預測）《九章算術·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”.意思是一個長方體沿對角面斜解（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若長方體的體積為，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，，，則下列等式錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】．（2023·浙江·模擬預測）《九章算術 商功》劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑，”陽馬，是底面為長方形或正方形，有一條側棱垂直底面的四棱錐.在底面，且底面為正方形的陽馬中，若，則（ ）
A．直線與直線所成角為
B．異面直線與直線的距離為
C．四棱錐的體積為1
D．直線與底面所成角的余弦值為
【典例3】（23-24高三上·天津·期中）古代數學名著《九章算術·商功》中，將底面為矩形.且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若四棱錐為陽馬，平面，，，則此“陽馬”外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
塹堵、陽馬、鱉臑（biē nào）這些名詞出自中國古代數學名著《九章算術》“商功篇”：
斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣．
劉徽注：此術臑者，背節也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云．中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數，數同而實據半，故云六而一即得．
陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂．取一長方體，按圖1斜割一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵．
圖1
再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個（如圖2）．
以矩形為底面且有一條棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬．余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．
圖2
鱉臑出現在《普通高中教科書數學必修第二冊A版》（人民教育出版社2019年7月第1版）第158頁例8：
如圖3，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的任意一點，求證：平面平面．
圖3
例8證明之后，同一頁的練習第3題緊接著提出問題：
如圖4，平面，你能發現哪些平面互相垂直，為什么？
圖4
陽馬出現在《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊A版》（人民教育出版社2020年5月第1版）第39頁例10：
如圖5，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面是的中點，作交于點．
圖5
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求平面與平面的夾角．
本題源于2004年高考天津卷理科第19題．
很多高考題的圖形，都與陽馬和鱉臑有關．我們歸納出鱉臑的一些性質，如下．
1．鱉臑的判定
如圖，在三棱錐中，只要滿足下列條件之一：
（1）兩兩垂直；
（2）平面，且；
（3）平面，且；
（4）平面，且平面平面．
則它的四個面都是直角三角形，它即為鱉臑．
2．鱉臑的性質
（1）異面垂直（一組）：；
（2）線面垂直（兩組）：平面，平面；
（3）面面垂直（三組）：平面平面，平面平面，平面平面．
此外，若點在上的射影分別為，則三棱錐的四個面也都是直角三角形．
以上結論，請讀者自己進行證明．
鱉臑是最簡單的幾何體之一，即三棱錐，圖形中包含了立體幾何中點、線、面的各種位置關系，突出了“垂直”這條橫貫立體幾何知識的“紅線”，是討論線線垂直、線面垂直、面面垂直以及三種垂直關系相互轉化的非常好的載體，可以破解立體幾何千變萬化的空間角，可以揭示立體幾何的基本結構與本質規律．因此，歷年高考命題者對鱉臑這一幾何體情有獨鐘．
【精細化解析 典例1】
第一步：根據題設得，判斷選項A；
由題設，，，則，A對；
第二步：將陽馬一分為二，分析陽馬與鱉臑的體積數量關系，即可判斷各項正誤．
如下圖，連接，將陽馬一分為二，又，
所以，，則，故，
所以B錯，C、D對.
故選：B
[精細化解析 典例2]
第一步：把陽馬補形成正方體，求出異面直線夾角判斷A；利用線面距離求解判斷B；
由底面，底面為正方形，而，則陽馬可補形成正方體，如圖，
對于A，由底面，底面，則，因此直線與所成角為，A錯誤；
對于B，連接，平面，平面，則有平面，
從而異面直線與直線的距離等于直線與平面的距離，
取的中點，連接，則，而平面，
平面，于是，又平面，
因此平面，所以直線與平面的距離為，B正確；
第二步：求出四棱錐體積判斷C；求出線面角的余弦判斷D作答.
對于C，四棱錐的體積，C錯誤；
對于D，連接，則是直線與底面所成的角，而，
因此，D錯誤.
故選：B
【精細化解析 典例3】
根據補形的方法求得外接球的表面積.
由于平面，平面，所以，
由于四邊形是矩形，所以，
所以兩兩相互垂直，
所以四棱錐可補形為長方體，且長方體的體對角線為，
所以外接球的直徑，所以外接球的表面積為.
故選：D
類型1 垂直關系的論證
例1 （21-22高二上·云南昆明·期末）《九章算術》是我國古代的數學名著，書中對幾何學的研究比西方早一千多年，在該書中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；將底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”；將四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖，下列選項中，可以判定是“鱉臑”的有（ ）
A．AB，BC，BD兩兩垂
B．平面BCD，且
C．平面BCD，且平面平面ACD
D．平面平面BCD，且平面平面ABC
【分析】對于AD，舉例判斷即可，對于BC由線線垂直、線面垂直和面面垂直的判定和性質結合“鱉臑”的定義分析判斷即可
【詳解】對于A，如圖，在正方體中，AB，BC，BD兩兩垂直，而此時四面體中，為等邊三角形，所以此四面體不是“鱉臑”，所以A錯誤，
對于B，因為平面BCD，平面，所以，因為，，所以平面，因為平面，所以，所以，所以此四面體的四個面均為直角三角形，所以此四面體為“鱉臑”，所以B正確，
對于C，過作于，因為平面平面ACD，平面平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面BCD，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以，，所以，所以此四面體的四個面均為直角三角形，所以此四面體為“鱉臑”，所以C正確，
對于D，如圖，在正方體中，平面平面BCD，且平面平面ABC，而此時四面體中，為等邊三角形，所以此四面體不是“鱉臑”，所以D錯誤，
【類題1-1】
1．如圖，為圓O的直徑，點C在圓周上（異于點A，B），直線垂直于圓O所在的平面，點M是線段的中點，下列命題正確的是（ ）
A．平面； B．平面；
C．平面 D．平面平面
【類題1-2】
2．《九章算術》中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．如圖在塹堵中，，且．下列說法正確的是（ ）
A．四棱錐為“陽馬”
B．四面體為“鱉臑”
C．四棱錐體積最大為
D．過點分別作于點，于點，則
【類題1-3 】（21-22高一·全國·單元測試）
3．《九章算術》中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．如圖在塹堵中，，且．下列說法正確的是（ ）
A．四棱錐為“陽馬”
B．四面體為“鱉臑”
C．四棱錐體積最大為
D．過點分別作于點，于點，則
類型2 空間角的求解
例2 如圖，在三棱錐中，平面，平面經過棱的中點，與棱分別交于點，且平面，平面．
（1）證明：平面；
（2）若是直線上的動點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的最大值．
思路 由題意知三棱錐是一個鱉臑．
（1）由已知條件，結合直線與平面平行的性質得，進一步可得，再由直線與平面垂直的判定定理得平面．
（2）建立空間直角坐標系，設，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量，由兩個法向量所成角的余弦值，可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值的最大值．
解析（1）因為平面，平面，平面平面，所以．
因為為的中點，所以為的中點．
因為，所以．
由平面，同理可得．
因為平面，平面，所以，則．
又因為平面，所以平面．
（2）如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸、軸，過點且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標系，
則，
所以．
設，則，
設平面的一個法向量為，
則令，得．
設平面的一個法向量為，
則令，得．
設平面與平面所成的銳二面角為，
則．
當時，；
當時，，
當且僅當，即時，取得最小值取得最大值，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值的最大值為．
【類題1-1】
4．在中國古代數學著作《九章算術》中，鱉臑是指四個面都是直角三角形的四面體．如圖，在直角中，為斜邊上的高，，，現將沿翻折到的位置，使得四面體為鱉臑，若為的重心，則直線與平面所成角的正弦值為 ．
【類題1-2】
5．《九章算術》中記載了陽馬和鱉臑兩個空間幾何體，陽馬即有一條側棱垂直于底面（底面為矩形）的四棱錐，鱉臑即每個面均為直角三角形的三棱錐．已知四邊形為矩形（圖①），，，B，分別為AC和的中點，將四邊形沿向上折起得到一個三棱柱（圖②），平面將此三棱柱分割成兩部分．
(1)當四棱錐為陽馬時，證明：三棱錐為鱉臑；
(2)在三棱柱中，當時，求銳二面角的余弦值．
【類題1-3 】
6．在九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬如圖，已知四棱錐為陽馬，且，底面若E是線段AB上的點含端點，設SE與AD所成的角為，SE與底面ABCD所成的角為，二面角的平面角為，則　　
A． B． C． D．
類型3 外接球的體積或表面積
例3 （2022·全國·模擬預測）《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，四邊形ABCD為矩形，，則四棱錐和三棱錐的內切球半徑比為 .
【分析】設，根據等體積法求得兩個棱錐內切球半徑，即可求得結果.
【詳解】因為面，又四邊形為正方形，故，
又四棱錐的四個側面均為直角三角形，設，
，，
故四棱錐的表面積；
又三棱錐為鱉臑，其所有面均為直角三角形，
又，，
故三棱錐的表面積
設四棱錐的內切球半徑為，
故，則，同理可得，
故.
故答案為：.
升華 鱉臑塹堵長方體，是補形法的基本思想，可以簡化線面位置關系的證明，便于找到外接球球心位置．
【類題1-1】
7．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，，已知動點從點出發，沿外表面經過棱上一點到點的最短距離為，則該棱錐的外接球的體積為 .
【類題1-2】
8．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biēnào）.如圖，三棱錐為一個鱉臑，其中平面，，，，為垂足，則（ ）
A．平面
B．為三棱錐的外接球的直徑
C．三棱錐的外接球體積為
D．三棱錐的外接球體積與三棱錐的外接球體積相等
【類題1-3 】
9．《九章算術》是西漢張蒼等輯撰的一部數學巨著，被譽為人類數學史上的“算經之首”.書中“商功”一節記錄了一種特殊的錐體，稱為鱉臑（biēnào）.如圖所示，三棱錐中，平面，，則該三棱錐即為鱉臑.若且三棱錐外接球的體積為，則長度的最大值是 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．AD
【分析】根據題中條件，由線面平行的判定定理，可判斷A正確，B錯；根據題中條件，判斷不與垂直，故C錯；根據面面垂直的判定定理，可判斷D正確.
【詳解】因為為圓O的直徑，M是線段的中點，
所以；又平面，平面，所以平面；即A正確；
又平面，即平面，故B錯；
因為點C在圓O的圓周上，所以，故不與垂直，所以不可能與平面垂直，即C錯；
由直線垂直于圓O所在的平面，所以；
又，，平面、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，即D正確.
故選：AD.
2．ABD
【分析】根據“陽馬”和“鱉臑”的定義，可判斷A，B的正誤；當且僅當時，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據題意可證平面，進而判斷D的正誤.
【詳解】底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，
∴在塹堵中，，側棱平面，
A選項，∴，又，且，則平面，
∴四棱錐為“陽馬”，對；
B選項，由，即，又且，
∴平面，
∴，則為直角三角形，
又由平面，得為直角三角形，
由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形．
∴四面體為“鱉臑”，對；
C選項，在底面有，即，
當且僅當時取等號，
，錯；
D選項，因為平面，則，
且，則平面，
∴，又且，
則平面，所以則，對；
故選：ABD．
3．ABD
【分析】根據“陽馬”和“鱉臑”的定義，可判斷A，B的正誤；當且僅當時，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據題意可證平面，進而判斷D的正誤.
【詳解】底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，
∴在塹堵中，，側棱平面，
A選項，∴，又，且，則平面，
∴四棱錐為“陽馬”，對；
B選項，由，即，又且，
∴平面，
∴，則為直角三角形，
又由平面，得為直角三角形，
由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形．
∴四面體為“鱉臑”，對；
C選項，在底面有，即，
當且僅當時取等號，
，錯；
D選項，因為平面，則，
且，則平面，
∴，又且，
則平面，所以則，對；
故選：ABD．
4．
【分析】根據題意可∠ADB′，∠ADC，∠DB′C，∠AB′C為直角，求出四面體的棱長，然后在長方體中作出四面體ADB′C，如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，
求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案.
【詳解】在直角中，為斜邊上的高，，，
則，，，，即在四面體中，
，，，，，則．
要使四面體為鱉臑，根據三角形中大邊對大角，可知需要平面，
此時，，，為直角，滿足四面體為鱉臑，
則．
如圖，在長、寬、高分別為，1，的長方體中作出四面體，
以為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，，．
設為平面的一個法向量，則，
令，則，，所以．
又，所以直線與平面所成角的正弦值為．
故答案為：
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由已知得平面，再根據線面垂直的性質和判定可得為直角三角形，為直角三角形．為直角三角形，根據鱉臑的定義可得證．
（2）取BC的中點O，連接AO．根據線面垂直的性質證得平面．以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，過點O且平行于的直線為y軸，OA所在直線為z軸建立空間直角坐標系，運用面面角的空間向量求解方法可求得答案.
【詳解】（1）證明：因為，所以為直角三角形．
當四棱錐為陽馬時，平面，
因為平面，所以．
因為，且，所以平面，
因為平面，所以，即為直角三角形，同理，可得也為直角三角形．
因為平面，且平面，所以．
因為，且，所以平面．
因為平面，所以，
即為直角三角形，所以三棱錐為鱉臑．
（2）解：取BC的中點O，連接AO．
因為，，且，
平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．
又平面ABC，所以．
又因為在等邊三角形ABC中，，且，平面，平面，所以平面．
以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，過點O且平行于的直線為y軸，OA所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，則，．
設平面的一個法向量為，
則，所以，令，則，
取AC的中點D，連接BD，則，則平面．
因為，所以選取平面的法向量為，
所以，故銳二面角的余弦值為．
6．A
【分析】由陽馬定義、異面直線所成角、線面角、二面角的概念，分別求得三個角的正切函數，根據正切函數的性質，即可得到答案.
【詳解】由題意，四棱錐為陽馬，且，底面是線段AB上的點，
設SE與AD所成的角為，SE與底面ABCD所成的角為，二面角的平面角為，
當點E與A點不重合時，
在上取點，分別連接，使得，
則,,，
因為，所以，所以，
又由，所以，所以，
所以．
當點E與點A重合時，此時,則，
所以
綜上可知．
故選A．
【點睛】本題主要考查了異面直線所成角、線面角、二面角的大小的判斷，以及空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識綜合應用，著重考查了運算求解能力，考查數形結合思想，屬于中檔試題.
7．
【分析】將沿翻折到與共面得到平面四邊形如圖1所示，設，利用余弦定理求出，將三棱錐補成長方體如圖2所示，該棱錐的外接球即為長方體的外接球，求出外接球的半徑，即可求出其體積.
【詳解】解：將沿翻折到與共面得到平面四邊形如圖1所示，
設，即，由題意得，
在中，由余弦定理得
即
即，解得或（舍去），
將三棱錐補成長方體如圖2所示，
該棱錐的外接球即為長方體的外接球，
則外接球的半徑，
所以外接球的體積.
故答案為：
8．BC
【分析】利用線面垂直的判定可判斷A選項的正誤；利用直角三角形的性質可判斷B選項的正誤；確定球心的位置，求出三棱錐的外接球的半徑，利用球體的體積公式可判斷C選項的正誤；求出三棱錐的外接球半徑，可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A選項，如下圖，過點向引垂線，垂足為，
平面，平面，則，
，，則平面，
又、平面，所以，，，
，，則平面，
這與平面矛盾，A錯；
對于B選項，平面，平面，則，
在三棱錐中，，則的中點到、、、的距離相等，
所以為三棱錐的外接球的直徑，故B正確；
對于C選項，分別取、的中點、，連接，
因為、分別為、的中點，則，
平面，則平面，
平面，平面，則，
故的外心為線段的中點，
因為平面，則平面平面，
故三棱錐的外接球球心在直線上，即該球球心在平面內，
所以的外接圓直徑為三棱錐的外接球直徑，
，，
，,
在中，，，
在中，由余弦定理得，，
故，則，
所以三棱錐的外接球體積為，故C正確；
因為，故為三棱錐的外接球的直徑，且，
而三棱錐的外接球直徑為，故D錯誤.
故選：BC.
9．
【解析】由三棱錐外接球體積求半徑為，根據已知條件知與構成平面一定是外接球過球心的截面，即可得而，結合基本不等式求最大值即可.
【詳解】設三棱錐外接球的半徑為，由體積為，知：，即，
又∵平面，，知：面的外接圓半徑為，即有：，有，
而在中，，
∴，而，當且僅當時等號成立，
∴，
故答案為：
【點睛】本題考查了三棱錐外接球問題、以及應用基本不等式求最值，注意理解當三棱錐中有一條棱垂直于底面時底面外接圓半徑、球半徑與這條棱之間的關系.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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