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專題1 三斜求積 巧求面積【講】
【典例1】（2024·廣東廣州·鐵一中學校考一模）《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，在該書的第五卷“三斜求積”中，提出了由三角形的三邊直接求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”把以上這段文字寫成公式，就是（其中為三角形面積，為小斜，為中斜，為大斜）.在中，若，，，則的面積等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24高三上·內蒙古呼和浩特·期末）若向量，，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積可以用、的外積表示出來，即.已知在平面直角坐標系中，、，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】已知點，求：
（1）的模；
（2）的面積.
上面三個問題雖然呈現的形式不一樣，但都源于一個共同的背景：三角形面積的海倫—秦九韶公式．
我國著名的數學家秦九韶（約1202—1261）在他所著的《數書九章》卷五“田域類”里給出了一道題目：
問沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知為田幾何？
問題的本質是已知三角形的三邊長，求三角形的面積．
《數書九章》中給出了這類問題的一般性結論，其求法是：
以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．
秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，“術”即方法．三斜求積術就是用小斜平方加大斜平方減中斜平方，取得數的一半，自乘而得一個數；小斜平方乘大斜平方，減上面所得到的那個數，相減后的數被4除，所得的數作為“實”；取1作為“隅”，開平方后即得面積．所謂“實”“隅”，即在方程中，為“隅”，為“實”．（參見下面的④式）
《普通高中教科書數學必修第三冊B版》（人民教育出版社2019年4月第1版）第88頁拓展閱讀“向量的數量積與二角形的面積”介紹了如下結論：
如圖，在中，，求證：的面積為．該題的證法如下．
①
因為，
所以②．
注 ②式是三角形面積公式的向量形式，也是前面“經典題組”中問題1的結論．
②式可作如下推廣：
在平面直角坐標系中，為不共線的三點，，則的面積為③．
《普通高中教科書數學必修第二冊A版》（人民教育出版社2019年7月第1版）第55頁閱讀與思考中，介紹了三角形面積的三斜求積公式：
④
在中，根據數量積的定義，不難發現
，
這表明，④式等價于①式．
將④式進行化簡，可推出海倫公式：
，
這里，為的半周長．
秦九韶提出的三斜求積術雖然與古希臘數學家提出的海倫公式在形式上有所不同，但完全與海倫公式等價，它填補了中國數學史上的空白，從中可以看出中國古代已經具有很高的數學水平．三斜求積術，是我國數學史上的一顆明珠．
【精細化解析 典例1】
利用題中所給三角形的面積公式即可求解．
在中，若，，，
則的面積．
故選：B．
[精細化解析 典例2]
第一步：利用三角形面積的外積公式結合三角恒等變換化簡；
已知在平面直角坐標系中，、，，
因為
，
第二步：結合正弦函數性質求解值域即可.
因為，則，則，
則，則，
當時，即當時，面積取最大值.
故選：A.
【精細化解析 典例3】
第一步：利用坐標運算及模的坐標運算求解；
（1）因為，所以，
所以.
第二步：利用夾角公式求得，進而得到；
（2）因為，所以，
，所以，
第三步：利用三角形面積公式求解.
.
類型1 由三角形的邊長求面積
例1 《數書九章》中記載了三斜求積術：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．”秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，“術”即方法．以分別表示三角形的面積、大斜、中斜、小斜；分別為對應的大斜、中斜、小斜上的高；．若在中，，根據上述公式，可以推出該三角形外接圓的半徑為______．
解析 根據題意可知，故設．
由，可得，
由余弦定理可得，從而，
由正弦定理得的外接圓半徑為．
升華 原則上，由海倫公式求三角形的面積，需要知道三角形的三邊長，但是，用三斜求積公式求三角形的面積，只需求得和即可．
【類題1-1】
1．我國南宋著名數學家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設的三個內角所對的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（ ）
A． B． C． D．1
【類題1-2】
2．我國南宋著名數學家秦九韶（約1202-1261）被國外科學史家贊譽為“他那個民族，那個時代，并且確實也是所有時代最偉大的數學家之一”．他獨立推出了“三斜求積”公式，求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”把以上這段文字寫成從三條邊長求三角形面積的公式，就是.現有滿足，且的面積是，則的周長為 ，邊中線的長為
【類題1-3】
3．《數書九章》是南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，全書十八卷，共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數書九章》中記錄了秦九韶的許多創造性成就，其中在卷五“三斜求積術”中提出了已知三角形三邊，，，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現有滿足，且的面積，請運用上述公式判斷下列結論正確的是（ ）
A．的周長為 B．三個內角，，滿足
C．外接圓的直徑為 D．的中線的長為
類型2 由三角形兩邊的向量坐標求面積
例2 已知，則的面積為（ ）
A． B． C． D．1
解析
．故選A．
升華 給定三角形兩邊的向量坐標或三頂點的坐標求面積，直接由②式計算．
【類題1-1】
4．已知，則的面積為（ ）
A． B． C．1 D．
【類題1-2】
5．在四邊形中，，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C．2 D．15
【類題1-3】
6．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是
A． B． C． D．
類型3 已知三角形三邊的關系式求面積的最大值
例3 我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中提出了已知三角形三邊長求三角形面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數學水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即，其中分別為的內角的對邊．若，則的面積的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．
解析 因為，所以，
又，所以，
所以，
所以，
由正弦定理得．
因為，所以的面積
，
將看成整體并利用二次函數性質知，當，即時，的面積的最大值為．故選A．
升華 由三角形的一邊的長度和另外兩邊的關系式求面積的最大值，都可運用例3的思路解決，即根據海倫公式，將三角形面積轉化為關于一邊的表達式，運用函數性質或基本不等式求面積的最大值．
【類題1-1】
7．秦九韶是我國南宋著名數學家，在他的著作《數書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實一為從陽，開平方得積.”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中是的內角的對邊為.若，且，則面積的最大值為 .
【類題1-2】
8．在中，角、、的對邊分別為、、，設的面積為，若，則的最大值為 ．
【類題1-3】
9．已知的內角的平分線交于點，與的面積之比為，，則面積的最大值為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】對于，利用正弦定理角化邊可得，繼而化簡可得，代入“三斜求積”公式即得答案.
【詳解】由得，
由得，
故，
股癬：A
2． ##
【分析】由正弦定理得出三邊關系，再由面積公式求出各邊得出周長，再利用即可求出中線的長.
【詳解】因為，由正弦定理可得，
設，
則由題可得，解得，
則的周長為，
因為為中線，中，，設，
則，解得或.
又在三角形中，，所以.
故答案為：；.
3．ABC
【分析】對于選項，由正弦定理得三角形三邊之比，由面積求出三邊，代入公式即可求出周長；
對于選項，根據余弦定理可求得的值為，可得，可得三個內角，，成等差數列；
對于選項，由正弦定理可得，外接圓直徑可得的值；
對于選項，由題意利用中線定理即可計算得解．
【詳解】由正弦定理可得．
設
，
解得的周長為，故A正確；
由余弦定理得，，
故B正確；
由正弦定理知，外接圓的直徑，故C正確；
由中線定理得，即，
，故D錯誤．
故選:ABC．
4．A
【分析】由三角形面積公式、向量數量積以及模的坐標運算即可得解.
【詳解】因為，
所以
.
故選：A．
5．D
【分析】設相交于點，首先證明四邊形對角線互相垂直，從而由即可得解.
【詳解】因為，
所以，即四邊形對角線互相垂直，
設相交于點，
則
．
故選：D．
6．A
【詳解】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可
詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點
,則
點P在圓上
圓心為（2，0），則圓心到直線距離
故點P到直線的距離的范圍為
則
故答案選A.
點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．
7．
【分析】根據正弦定理和余弦定理，由可得，再由及函數求最值的知識，即可求解.
【詳解】 ，
又，，

時，面積的最大值為.
故答案為：
【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，考查了理解辨析能力與運算求解能力，屬于中檔題.
8．
【分析】根據題中條件利用余弦定理進行簡化，運用均值不等式求的范圍，然后由面積公式化簡為三角函數，求最值即可.
【詳解】由題知，
則
，當且僅當時取等號.
，
而，
.
故答案為：
9．
【詳解】根據題意與的面積之比為，可得到AB是AC的二倍，設AB=2x,AC=x,由余弦定理得到
三角形面積為 上式在出取得最大值，代入得到.
故答案為.
點睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據. 解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說 ,當條件中同時出現 及 、 時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數交叉出現時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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