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專題9 奇偶分項 分組并項【講】
【典例1】．（2024·廣東深圳·一模）已知數列滿足，，若為數列的前項和，則（ ）
A．624 B．625 C．626 D．650
【典例2】．（2020年高考全國Ⅰ卷文科第16題）數列滿足，前16項和為540，則______．
【典例3】.（寧夏回族自治區石嘴山市2022屆高三適應性測試理科第15題）已知數列滿足，則數列的前32項和為______．
上面三個問題中，主要以奇偶交織的形式將數列的遞推關系展現出來．我們來研究一下這類問題的一些解題策略．
1．定義
定義1：在數列中，若對做任意，都存在，使（d為常數），則稱數列是“隔項等差數列”．
定義2：在各項都不為0的數列中，若對做任意，都存在，使（q為常數），則稱數列是“隔項等比數列”．
2．四種常見類型的解題策略
（1）
解題策略：由兩式相減得，
這就得到“隔項等差數列”．
①特別地，當時，，可以考慮分和
兩種情況討論，利用累加法求出和，進而求出測啊的．
②當時，數列為周期數列．
（2）
解題策略：由兩式相除得，這就得到“隔項等比數列”．
①特別地，當時，，可以考慮分和兩種情況討論，利用累乘法求出和，進而求出通項．
②當時，數列為周期數列．
（3）
解題策略：對n分別進行和的賦值，于是有
進而有，即，可以構造新的公比為的等比數列，從而求出，將代入可求得，進而求出通項．
（4）遞推式為奇偶交織的分段形式
解題策略：先將奇偶項間的關系轉化為純粹的偶數項（或奇數項）的關系，求出偶數項（或奇數項）通項公式，再“返代”回遞推式，求出奇數項（或偶數項）的通項公式，進而求出通項．
【精細化解析 典例1】
第一步：根據給定的遞推公式，按奇偶分類求和；
數列中，，，
當時，，即數列的奇數項構成等差數列，其首項為1，公差為2，
則，
第二步：根據等比數列的定義求出通項公式，然后根據等比數列求和公式求解即可.
當時，，即數列的偶數項構成等比數列，其首項為1，公比為，
則，
所以.
故選：C
[精細化解析 典例2]
第一步：先求當n為偶數時，利用分組求和求解；
當n為偶數時，，
所以．
因為前16項和為540，所以．
第二步：n為奇數時，，，利用累加法求得，通過，即可證明.
當n為奇數時，，由累加法得
，所以．
所以，得．
【精細化解析 典例3】
第一步：當n為奇數時，利用數列遞推式的特點求得；
思路 先分n為奇數和偶數兩種情況討論，發現數列遞推式的特點和鳱，再分組求和．
解析 當n為奇數時，，，兩式相減得；
第二步：當n為偶數時，利用數列遞推式的特點求得，最后根據并項求和法求解即可.
當n為偶數時，，，兩式相加得．
所以
類型1 或型
例1已知數列滿足．
（1）記，求，，并求數列的通項公式；
（2）求數列的前20項和．
思路 根據題目引導，求出，，利用等差數列的定義證明為等差數列，進而求出，
即，將代回，求出，再求出的前20項和．
解析（1）依題意，，所以．
，所以；，所以．所以．
因為，，
所以．
因此，是首項為3，公差為2的等差數列，所以．
（2）方法一 因為，所以．
方法二 ．
升華 對于，常常構造新式，
兩式相減可得，這樣就轉化為奇數項和偶數項分別成等差數列．在求解過程中，可以分別求出奇數項和偶數項的通項，也可以求出奇數項（或偶數項）的通項，代回，求出偶數項（或奇數項）的通項，進而寫出的表達式．
【類題1-1】
1．已知數列滿足，，求數列的通項公式．
【類題1-2】
2．已知數列，滿足：，，．
（1）證明：數列為等差數列．
（2）記為數列的前項和，求的值．
【類題1-3 】
3．已知等差數列的前項和為，且，數列滿足，設．
(1)求的通項公式，并證明：；
(2)設，求數列的前項和．
類型2 含有的數列遞推式求通項或前n項和
例2 已知數列滿足，，
記數列的前n項和．
（1）求的值；
（2）求的最大值．
思路 （1）當時，，從而求得，
，，，按照等差數列的求和公式求解即可．
（2）當時，，與（1）中n為偶數時的式子作差，從而求得，，奇數項為常數項，偶數項單調遞減，只需對n討論，找到最大的即可．
解析（1）由可得，
當時，①，
所以，，…，，
因此．
（2）當時，②，
①-②得．
又，于是，，
可得，，．當時，．
又，，則當時，．
易知，，，，，當時，，
因此，當時，取得最大值，即．
點評 在遞推關系中，前面的系數出現的形式時，需要分奇偶來分別寫出遞推關系，從而求得通項或前n項和，并借助單調性求得最值．
【類題1-1】
4．設為數列的前項和，，則數列的前7項和為________.
【類題1-2】
5．已知數列滿足：，，.
(1)記，求數列的通項公式；
(2)記數列的前項和為，求.
【類題1-3 】
6．已知數列滿足．若，則 ；前60項和為 ．
類型3 遞推式為奇偶交織的分段形式
例3 已知數列滿足，
（1）求，；
（2）設，求證：數列是等比數列，并求其通項公式；
（3）已知，求證：．
思路（1）直接利用遞推公式求，；（2）先利用定義法證明為等比數列，再求出通項公式；（3）先求出，再用裂項相消法求和后直接證明．
解析 （1）因為數列滿足，
所以．
（2）
．
因為，所以數列的各項均不為0，
所以，即數列是首項為，公比為的等比數列，
所以．
（3）由（2）知，
所以．
升華 本題數列的遞推式為奇偶交織的分段形式，按照題目的設計，其本質是轉化為純粹的偶數項關系，根據題目的引導，先構造等比數列（公比是），求出偶數項通項公式，再代回遞推式，求出或，進而寫出的表達式．
【類題1-1】
7．已知數列中，，，則數列的前20項和為（ ）
A．1121 B．1122
C．1123 D．1124
【類題1-2】
8．已知數列滿足，．
(1)記，證明：數列為等比數列，并求的通項公式；
(2)求數列的前2n項和．
【類題1-3 】
9．已知數列滿足，.
(1)記，寫出，，并求數列的通項公式；
(2)求的前12項和.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據題意，化簡得到，結合等比數列的通項公式，即可求解.
【詳解】由數列滿足，，可得，
又因為，且，
兩式相除得，所以，所以，
綜上可得，數列的通項公式為.
2．（1）詳見解析；（2）97．
【分析】（1）根據定義，列出，相減即可得解；
（2）根據，以兩項之和為單位，湊出和即可得解.
【詳解】法一：（1）依題：，兩式相減即得：
，∴為等差數列．
法二：依題：，兩式相減即得：
，故奇數項成等差數列，即為等差數列．
（2）法一：，
，
．
法二：，
∵為等差數列，故，，故．
【點睛】本題考查了等差數列的證明，求數列通項，以及式處理，考查了分組求和與等差數列求和，考查了運算能力以及局部與整體的關系處理能力，屬于較難題．
3．(1)；證明見解析
(2)
【分析】（1）求等差數列的基本量可得的通項公式，根據數列的迭代可得；
（2）構造法求出數列為等比數列且，用錯位相減法可得.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
因為，可得，即，解得，
又因為，可得，所以，
由數列滿足，可得，，，
所以，
因為，所以.
（2）解：由（1）可知，
因為，
所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以，
所以，
所以，
則，
兩式相減，可得
，
所以.
4．
【分析】由數列的遞推式：時，求得，時，，討論為偶數或奇數，求得，進而求得，即可求解
【詳解】∵，
∴時，，即，，
由已知，
當時， (*)，
(*)式中為偶數時，，，此時為奇數，
∴為奇數時即時，；
(*)式中為奇數時，，，
即，此時為偶數，
∴為偶數即時，，
∴，
由，
得為奇數時，，
為偶數時，，
∴數列的前7項和為
．
故答案為：．
5．(1)
(2)353
【分析】（1）令n取代入已知條件可以得到，從而求出數列的通項公式
（2）先分奇偶求出數列的表達式，分別求奇數項的和與偶數項的和，相加得到
【詳解】（1）因為，令n取，則，
即，，所以數列是以1為首項，3為公差的等差數列，所以
（2）令n取2n，則，
所以，
由（1）可知，；
；所以
6． 1 1830
【分析】根據數列的遞推公式依次求出，；根據遞推公式的規律特征即可求出前60項和.
【詳解】數列滿足，，
所以，解得，
所以，解得．
因為，
所以有，，，，，…，…，，
從而可得，，，，，，，，…．
從第1項開始，依次取1個相鄰奇數項的和都等于2；從第2項開始，依次取2個相鄰偶數項的和構成以8為首項，16為公差的等差數列．
所以的前60項和為．
故答案為·：1，1830.
7．C
【分析】根據數列的遞推關系式可判斷數列的奇數項構成等差數列，偶數項構成等比數列，利用等差、等比數列求和公式即可求解.
【詳解】由題意知，數列是首項為1，公比為2的等比數列，
數列是首項為1，公差為2的等差數列，
故數列的前20項和為＋10×1＋×2＝1123.
故選：C
【點睛】本題主要考查了等差數列、等比數列，等差數列、等比數列的求和公式，屬于中檔題.
8．(1)證明見解析；，；
(2).
【分析】(1)根據給定的遞推公式依次計算并探求可得，求出即可得證，并求出通項公式.
(2)由(1)求出，再按奇偶分組求和即可計算作答.
【詳解】（1）依題意，，
而，
所以數列是以1為首項，為公比的等比數列，，.
（2）由(1)知，，則有，
又，則，
于是有，
因此，，
所以.
【點睛】思路點睛：涉及給出遞推公式探求數列性質的問題，認真分析遞推公式并進行變形，有的可借助累加、
累乘求通項的方法分析、探討項間關系，有的可利用奇偶分析逐步計算探求項間關系而解決問題.
9．(1)，，
(2)
【分析】（1）由數列的通項公式可求出，從而得到，又由可知數列是以3為首項，以3為公比的等比數列.故；
（2）由數列的通項公式可得數列是以2為首項，以3為公比的等比數列，然后根據等比數列求和求解即可.
【詳解】（1）解：由題意得：
當時，①
當時，②
由② ，即，③
把③ 代入①，得
故，且，，
所以數列是以3為首項，以3為公比的等比數列.故.
（2）把① 代入②，得，且
所以數列是以2為首項，以3為公比的等比數列，故，
于是
.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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