資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
備考2024中考二輪數(shù)學(xué)《高頻考點(diǎn)沖刺》（全國通用）
專題31 最值問題
考點(diǎn)掃描☆聚焦中考
動態(tài)幾何中的最值問題是近幾年各地中考中以選擇題、填空題、解答題的形式進(jìn)行考查，多數(shù)題目難度較大，屬于壓軸題，考查涉及到的知識點(diǎn)涉及三角形基本性質(zhì)、相似三角形、三角函數(shù)、四邊形的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等，考查的熱點(diǎn)有利用函數(shù)或不等式的性質(zhì)求最值、利用圖形的位置關(guān)系求最值。
考點(diǎn)剖析☆典型例題
例1（2023 濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)D是邊OC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥OB交邊OA于點(diǎn)E，作DF∥OB交邊BC于點(diǎn)F，連接EF，設(shè)OD＝x，△DEF的面積為S．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)x取何值時，S的值最大？請求出最大值．
【答案】（1）S＝（0＜x＜4），
（2）當(dāng)x＝2時，S有最大值，最大值為2．
【點(diǎn)撥】（1）過點(diǎn)A作AG⊥OC于點(diǎn)G，連接AC，證明△AOC是等邊三角形，可得DE＝x，進(jìn)而證明△CDF∽△COB，得出DF＝（4﹣x），根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解析】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AG⊥OC于點(diǎn)G，連接AC，
∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
∴OA＝，OG＝2，AG＝2，
∴cos∠AOG＝＝，
∴∠AOG＝60°，
∵四邊形OABC是菱形，
∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥OB，AO＝OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠ACO＝60°，
∵DE⊥OB，
∴DE∥AC，
∴∠EDO＝∠ACO＝60°，
∴△EOD是等邊三角形，
∴ED＝OD＝x，
∵DF∥OB，
∴△CDF∽△COB，
∴，
∵A（2，2），AO＝4，則B（6，2），
∴OB＝，
∴＝，
∴DF＝（4﹣x），
∴S＝＝，
∴S＝（0＜x＜4），
（2）∵S＝＝（0＜x＜4），
∴當(dāng)x＝2時，S有最大值，最大值為2．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題關(guān)鍵．
例2（2023 淄博）在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．
（1）操作判斷
小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為 　等腰直角三角形　．
（2）深入探究
小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB＝2，AD＝4．
探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長線上時，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求△CMF的面積．
探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．
【答案】（1）等腰直角三角形；
（2）探究一：；
探究二：DH的最大值為+1，最小值為﹣1．
【點(diǎn)撥】（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△CFG中，CF＝，由AC＝CF，可知△ACF是等腰三角形，再由△ABC≌△FGC（SAS），推導(dǎo)出∠ACF＝90°，即可判斷出△ACF是等腰直角三角形，
（2）探究一：證明△CDM≌△FGM（AAS），可得CM＝MF，再由等腰三角形的性質(zhì)可得AD＝DF，在Rt△CDM中，CM2＝22+（4﹣CM）2，解得CM＝，則MF＝，即可求△CMF的面積＝2×＝；
探究二：連接DE，取DE的中點(diǎn)P，連接HP，取AD、BC的中點(diǎn)為M、N，連接MN，MH，NH，分別得出四邊形MHPD是平行四邊形，四邊形HNCP是平行四邊形，則∠MHN＝90°，可知H點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，設(shè)MN的中點(diǎn)為T，DT＝＝，所以DH的最大值為+1，最小值為﹣1．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝，
在Rt△CFG中，CF＝，
∵AB＝GF，BC＝CG，
∴AC＝CF，
∴△ACF是等腰三角形，
∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，
∴△ABC≌△FGC（SAS），
∴∠ACG＝∠GFC，
∵∠GCF+∠GFC＝90°，
∴∠ACG+∠GCF＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形；
（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，
∴△CDM≌△FGM（AAS），
∴CM＝MF，
∵AC＝CF，CD⊥AF，
∴AD＝DF，
∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，
∴DM＝4﹣CM，
在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，
∴CM2＝22+（4﹣CM）2，
解得CM＝，
∴MF＝，
∴△CMF的面積＝2×＝；
探究二：連接DE，取DE的中點(diǎn)P，連接HP，取AD、BC的中點(diǎn)為M、N，連接MN，MH，NH，
∵H是AE的中點(diǎn)，
∴MH∥DE，且MH＝DE，
∵CD＝CE，
∴CP⊥DE，DP＝PE，
∵M(jìn)H∥DP，且MH＝DP，
∴四邊形MHPD是平行四邊形，
∴MD＝HP，MD∥HP，
∵AD∥BC，MD＝CN，
∴HP∥CN，HP＝CN，
∴四邊形HNCP是平行四邊形，
∴NH∥CP，
∴∠MHN＝90°，
∴H點(diǎn)在以MN為直徑的圓上，
設(shè)MN的中點(diǎn)為T，
∴DT＝＝，
∴DH的最大值為+1，最小值為﹣1．
方法二：設(shè)AC的中點(diǎn)為T，連接HT，
∵HT是△ACE的中位線，
∴HT＝CE＝1，
∴H在以T為圓心，1為半徑的圓上，
∵DT＝＝，
∴DH的最大值為+1，最小值為﹣1．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，能夠確定H點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)過關(guān)☆專項突破
類型一 利用函數(shù)或不等式的性質(zhì)求最值
1．（2023 遼寧）如圖，線段AB＝8，點(diǎn)C是線段AB上的動點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD，連接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接AF，當(dāng)AF最小時，△BCD的面積為 　　．
【答案】．
【點(diǎn)撥】連接CF，證明ACF為直角三角形，根據(jù)勾股定理列出AF2＝CF2+AC2，設(shè)BC＝x，則AC＝8﹣x，建立關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，求出x＝2時，AF最小，再求出頂角是120°的三角形BCD的面積即可．
【解析】解：連接CF，則CF＝DF＝EF，
∵∠EDC＝90°﹣∠E＝60°，
∴∠FCD＝60°．
∵∠DCB＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠FCB＝∠FCD+∠DCB＝60°+30°＝90°，
∴△ACF是直角三角形．
設(shè)BC＝x，則AC＝8﹣x，BC＝BD＝x，CD＝CF＝x，由勾股定理得：
AF＝＝＝2．
當(dāng)x＝2時，AF有最小值．
∴BC＝BD＝2，∠CBD＝120°，
∴S△BCD＝×2×2×＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)背景下的二次函數(shù)最值問題，頂角為120°的等腰三角形面積的計算，建立二次函數(shù)關(guān)系式是本題的突破口．
2．（2023 無錫）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若線段MN在邊AD上運(yùn)動，且MN＝1，則BM2+2BN2的最小值是（　　）
A． B． C． D．10
【答案】B
【點(diǎn)撥】過B作BF⊥AD于F，過C作CE⊥AD于E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，求得，要使BM2+2BN2的值最小，則BM和BN越小越好，MN顯然在點(diǎn)B的上方（中間位置時），設(shè)MF＝x，F(xiàn)N＝1﹣x，根據(jù)勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】解：過B作BF⊥AD于F，過C作CE⊥AD于E，
∵∠D＝60°，CD＝2，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
要使BM2+2BN2的值最小，則BM和BN越小越好，
∴MN顯然在點(diǎn)B的上方（中間位置時），
設(shè)MF＝x，F(xiàn)N＝1﹣x，
∴BM2+2BN2＝BF2+FM2+2（BF2+FN2）＝x2+3+2[（1﹣x）2+3]＝3x2﹣4x+11＝3（x﹣）2+，
∴當(dāng)x＝時，BM2+2BN2的最小值是．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
3．（2022 綿陽）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝2，AB＝4，AD＝2，動點(diǎn)E、F同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時停止運(yùn)動．
（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個單位每秒，當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長度的比值；
（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為個單位每秒，運(yùn)動時間為x秒，△AEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值為多少？
（3）如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動時，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM，并說明理由．
【答案】（1）；
（2）當(dāng)0≤x≤2時，y＝x2；當(dāng)2≤x≤時，y＝﹣x2+x+x；當(dāng)≤x≤2時，y＝6+2﹣x﹣x；y的最大值為2+；
（3）EF∥BD．
【點(diǎn)撥】（1）延長DF交CB的延長線于G，證明△AFD∽△BFG，則＝，求出BG的長，再由AD∥CG，則＝，即可求解；
（2）分三種情況討論：當(dāng)0≤x≤2時，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，過點(diǎn)E作EH⊥AB交于H，y＝×AF×EH＝×x×x＝x2；此時當(dāng)x＝2時，y有最大值3；當(dāng)2≤x≤時，E點(diǎn)在BD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，過點(diǎn)E作EN⊥AB交于N，過點(diǎn)D作DM⊥AB交于M，y＝×AF×EN＝﹣x2+x+x；當(dāng)x＝時，y有最大值2+；當(dāng)≤x≤2時，過點(diǎn)E作EQ⊥AB交于Q，過點(diǎn)F作FP⊥AB交于P，y＝×AB×（EQ﹣PF）＝6+2﹣x﹣x；此時當(dāng)x＝時，y有最大值2+；
（3）連接DH，求出AH＝1，可得AH⊥AB，由直角三角形的性質(zhì)可得HM＝DM＝MF，則EM＝DF，可得EF∥BD．
【解析】解：（1）延長DF交CB的延長線于G，
∵平行四邊形ABCD中，
∴CG∥AD，
∴∠A＝∠GBF，
∴△AFD∽△BFG，
∴＝，
∵運(yùn)動時間為秒，
∴AF＝，
∵AB＝4，
∴BF＝，
∵AD＝2，
∴BG＝1，
∴CG＝3，
∵AD∥CG，
∴＝，
∵AE＝，
∴ED＝，
∴＝；
（2）當(dāng)0≤x≤2時，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，
由題意可知，AE＝x，AF＝x，
∵DB＝2，AB＝4，AD＝2，
∴△ABD是直角三角形，且∠A＝60°，
過點(diǎn)E作EH⊥AB交于H，
∴EH＝AE sin60°＝x，
∴y＝×AF×EH＝×x×x＝x2；
此時當(dāng)x＝2時，y有最大值3；
當(dāng)2≤x≤時，E點(diǎn)在BD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，
過點(diǎn)E作EN⊥AB交于N，過點(diǎn)D作DM⊥AB交于M，
∵AD+DE＝x，AD＝2，
∴DE＝x﹣2，
∵BD＝2，
∴BE＝2﹣x+2，
在Rt△ABD中，DM＝，
∵EN∥DM，
∴＝，
∴＝，
∴EN＝1+﹣x，
∴y＝×AF×EN＝×（x）×（1+﹣x）＝﹣x2+x+x；
此時當(dāng)x＝時，y有最大值2+；
當(dāng)≤x≤2時，過點(diǎn)E作EQ⊥AB交于Q，過點(diǎn)F作FP⊥AB交于P，
∴AB+BF＝x，DA+DE＝x，
∵AB＝4，AD＝2，
∴BE＝2﹣x+2，BF＝x﹣4，
∵PF∥DM，
∴＝，即＝，
∴PF＝x﹣2，
∵EQ∥DM，
∴＝，即＝，
∴EQ＝+1﹣x，
∴y＝×AB×（EQ﹣PF）＝×4×（+1﹣x﹣x+2）＝6+2﹣x﹣x；
此時當(dāng)x＝時，y有最大值2+；
綜上所述：當(dāng)0≤x≤2時，y＝x2；當(dāng)2≤x≤時，y＝﹣x2+x+x；當(dāng)≤x≤2時，y＝6+2﹣x﹣x；y的最大值為2+；
（3）連接DH，
∵AH＝HB，AB＝4，
∴AH＝1，
∴DH⊥AB，
∵M(jìn)是DF的中點(diǎn)，
∴HM＝DM＝MF，
∵EM＝HM，
∴EM＝DF，
∴△EDF是直角三角形，
∴EF⊥AD，
∵AD⊥BD，
∴EF∥BD．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
4．（2023 呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以邊AC為直徑作⊙O，與AB邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，連接DM．
（1）求證：DM是⊙O的切線；
（2）點(diǎn)P為直線BC上任意一動點(diǎn)，連接AP交⊙O于點(diǎn)Q，連接CQ．
①當(dāng)tan∠BAP＝時，求BP的長；
②求的最大值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）①BP的長為或；
②的最大值為．
【點(diǎn)撥】（1）連接OD，CD，由AC是⊙O的直徑，可得∠ADC＝90°，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MC＝MD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得∠MDC＝∠MCD，進(jìn)而可得∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，即∠ODM＝90°，再利用切線的判定定理即可證得結(jié)論；
（2）①分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，過點(diǎn)P作PT⊥AB于點(diǎn)T，利用勾股定理和解直角三角形即可求得答案；當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時，過點(diǎn)B作BK⊥AP于點(diǎn)K，運(yùn)用勾股定理和解直角三角形即可；
②設(shè)CP＝n，則AP＝＝，利用面積法可得CQ AP＝AC CP，得出CQ＝＝，即＝，再運(yùn)用乘法公式和不等式性質(zhì)可得64+n2≥16n，即可得出答案．
【解析】（1）證明：如圖，連接OD，CD，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，
∴MC＝MD，
∴∠MDC＝∠MCD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，
∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DM是⊙O的切線；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，如圖，過點(diǎn)P作PT⊥AB于點(diǎn)T，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，
設(shè)PT＝x，
∵tan∠BAP＝，
∴＝，
∴AT＝3PT＝3x，
∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴PT＝，
∵sin∠ABC＝＝，即＝，
∴BP＝；
當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時，如圖，過點(diǎn)B作BK⊥AP于點(diǎn)K，
∵tan∠BAP＝，
∴＝，
設(shè)BK＝a，則AK＝3a，
在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，
即（3a）2+a2＝102，
解得：a1＝，a2＝﹣（舍去），
∴AK＝3，BK＝，
∵S△ABP＝AP BK＝BP AC，
∴＝＝，
設(shè)BP＝m，則AP＝m，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
即82+（m+6）2＝（m）2，
解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴BP＝；
綜上所述，BP的長為或；
②設(shè)CP＝n，則AP＝＝，
如圖，∵AC是⊙O的直徑，
∴CQ⊥AP，
∵CQ AP＝AC CP，
∴CQ＝＝，
∴＝，
∵n＞0，
∴（n﹣8）2≥0，
∴64+n2≥16n，
∴＝≤＝，
∴的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定定理，圓周角定理，勾股定理，解直角三角形，三角形面積，乘法公式和不等式性質(zhì)等．熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)和解直角三角形等是解題關(guān)鍵．
5．（2022 廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．
（1）求BD的長；
（2）點(diǎn)E為線段BD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE＝DF．
①當(dāng)CE⊥AB時，求四邊形ABEF的面積；
②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．
【答案】（1）6
（2）①7；
②是，最小值為12．
【點(diǎn)撥】（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB交BA的延長線于H，根據(jù)菱形120°內(nèi)角得鄰補(bǔ)角是60°，利用三角函數(shù)即可解答；
（2）①設(shè)CE⊥AB交AB于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作FN⊥AB交BA的延長線于N，因為利用即可求解S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN，所以先解直角三角形求出上面求各部分面積需要的邊長即可解答；
②設(shè)DF＝x，則BE＝DF＝x，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EY⊥CH于點(diǎn)Y，作EM⊥AB于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作FN⊥AB交BA的延長線于N，所以四邊形EMHY、FNHG是矩形，對邊相等，方法同①，用含x的式子表示計算面積需要的各邊長并代入到S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN中，根號里面化簡、合并、配成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求出最值，從而解答．在計算CE+CF的最小值時，有兩種方法，參照解答過程．
【解析】解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB交BA的延長線于H，如圖：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝6，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
在Rt△ADH中，
DH＝AD sin∠DAH＝6×＝3，
AH＝AD cos∠DAH＝6×＝3，
∴BD＝＝＝6；
（2）①設(shè)CE⊥AB交AB于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作FN⊥AB交BA的延長線于N，如圖：
菱形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，
在Rt△BCM中，BM＝BC cos∠ABC＝6×＝3，
∵BD是菱形ABCD的對角線，
∴∠DBA＝ABC＝30°，
在Rt△BEM中，
ME＝BM tan∠DBM＝3×＝，
BE＝＝＝2，
∵BE＝DF，
∴DF＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
在Rt△AFN中，
∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴FN＝AF sin∠FAN＝4×＝2，
AN＝AF cos∠FAN＝4×＝2，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，
∴S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN
＝EM BM+（EM+FN） MN﹣AN FN
＝3+（+2）×5﹣2×2
＝+﹣2
＝7；
②當(dāng)四邊形ABEF的面積取最小值時，CE+CF的值是最小，
理由：設(shè)DF＝x，則BE＝DF＝x，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，
過點(diǎn)E作EY⊥CH于點(diǎn)Y，作EM⊥AB于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作FN⊥AB交BA的延長線于N，如圖：
∴EY∥FG∥AB，F(xiàn)N∥CH，
∴四邊形EMHY、FNHG是矩形，
∴FN＝GH，F(xiàn)G＝NH，EY＝MH，EM＝Y(jié)H，
由①可知：ME＝BE＝x，
BM＝BE＝x，
AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，
FN＝AF＝，
CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，
∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，
AH＝AB﹣BH＝3，
YH＝ME＝x，
GH＝FN＝，
EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，
∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，
FG＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，
∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，
∴S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN
＝EM BM+（EM+FN） MN﹣AN FN
＝x×x+（x+） （9﹣2x）﹣（3﹣x）
＝x2﹣x+9
＝（x﹣3）2+，
∵＞0，
∴當(dāng)x＝3時，四邊形ABEF的面積取得最小值，
方法一：CE+CF＝+
＝+
＝+×
＝+×
＝+，
∵（x﹣3）2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時，（x﹣3）2＝0，
∴CE+CF＝+≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時，CE+CF＝12，即當(dāng)x＝3時，CE+CF的最小值為12，
∴當(dāng)四邊形ABEF的面積取最小值時，CE+CF的值也最小，最小值為12．
方法二：
如圖：將△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△BAG，連接CG，
在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，
∵＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，
∴△BEG∽△DFC，
∴＝＝，即GE＝CF，
∴CE+CF＝CE+GE≥CG＝12，
即當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、E、G三點(diǎn)共線時，CE+CF的值最小，
此時點(diǎn)E為菱形對角線的交點(diǎn)，BD中點(diǎn)，BE＝3，DF＝3，
∴當(dāng)四邊形ABEF的面積取最小值時，CE+CF的值也最小，最小值為12．
解法二：如圖，在BD上截取DM，使得DM＝2，在DA上取點(diǎn)F，連接DF，使得△DFM∽△BEC．
則有CE＝FM，作點(diǎn)M關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M′，
∴CE+CF＝FM+CF＝（CF+FM）＝（CF+FM′），
∴C，F(xiàn)，M′共線時，最小，
此時DF＝3，可得CE+CF的值也最小，最小值為12．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了菱形性質(zhì)、解直角三角形、割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形面積、二次函數(shù)的頂點(diǎn)式及最值等知識點(diǎn)，也考查了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化思想，難度較大，計算繁瑣，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)，是中考常考題型．
類型三 利用圖形的位置關(guān)系求最值
1．（2022 泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE＝d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】C
【點(diǎn)撥】連接AE，那么，AE＝CG，所以這三個d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故當(dāng)AEFC四點(diǎn)共線有最小值，最后求解，即可求出答案．
【解析】解：如圖，連接AE，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條線上時，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
連接AC，
∴d1+d2+d3最小值為AC，
在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，
∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023 遼寧）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，E是BM上的一點(diǎn)，連接AE，作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)B′，連接DB′并延長交BC于點(diǎn)F．當(dāng)BF最大時，點(diǎn)B′到BC的距離是 　　．
【答案】．
【點(diǎn)撥】當(dāng)DF⊥AB'時，BF有最大值，即點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，由勾股定理可求CE的長，可求BE＝B'E＝4，通過證明△EB'H∽△EDC，即可求解．
【解析】解：如圖，過點(diǎn)B'作BH⊥BC于H，
∵點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)B′，
∴AB＝AB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠AEB'，∠ABE＝∠AB'E，
當(dāng)DF⊥AB'時，BF有最大值，
∴∠AB'F＝∠AB'E＝90°，
∴點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEB'，
∴AD＝DE＝10，
∴CE＝＝＝6，
∴BE＝4＝B'E，
∵B'H⊥BC，DC⊥BC，
∴B'H∥CD，
∴△EB'H∽△EDC，
∴，
∴，
∴HB'＝，
∴點(diǎn)B′到BC的距離是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，確定點(diǎn)F的位置是解題的關(guān)鍵．
3．（2023 雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則DE的最小值為 　3　．
【答案】3．
【點(diǎn)撥】連接CP，由勾股定理求出AB的長，再證四邊形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)求出CP的長，即可得出結(jié)論．
【解析】解：如圖，連接CP，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB＝＝＝6，
∵PD⊥BC，PE⊥AC，
∴∠PDC＝∠PEC＝90°，
∴四邊形CDPE是矩形，
∴DE＝CP，
由垂線段最短可得，當(dāng)CP⊥AB時，線段DE的值最小，
此時，AP＝BP，
∴CP＝AB＝3，
∴DE的最小值為3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023 廣西）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動點(diǎn)，M，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，則MN的最大值為 　　．
【答案】見解析
【點(diǎn)撥】首先證明出MN是△AEF的中位線，得出 ，然后由正方形的性質(zhì)和勾股定理得到 ，證明出當(dāng)BE最大時，AE最大，此時MN最大，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時，BE最大，即BC的長度，最后代入求解即可．
【解析】解：如圖所示，連接AE，
∵M(jìn)，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，
∴MN是△AEF的中位線，
∴，
∵四邊形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴，
∴當(dāng)BE最大時，AE最大，此時MN最大，
∵點(diǎn)E是BC上的動點(diǎn)，
∴當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時，BE最大，即BC的長度，
∴此時 ，
∴，
∴MN的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
5．（2023 樂山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x﹣2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，C、D是半徑為1的⊙O上兩動點(diǎn)，且CD＝，P為弦CD的中點(diǎn)．當(dāng)C、D兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，△PAB面積的最大值是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【點(diǎn)撥】判斷三角形OCD和三角形OAB都是等腰直角三角形，由題得，當(dāng)P、O、Q共線時，S△ABP最大，求出AB、PQ，根據(jù)面積公式計算即可．
【解析】解：作OQ⊥AB，連接OP、OD、OC，
∵CD＝，OC＝OD＝1，
∴OC2+OD2＝CD2，
∴△OCD為等腰直角三角形，
由y＝﹣x﹣2得，點(diǎn)A（﹣2，0）、B（0，﹣2），
∴OA＝OB＝2，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB＝2，OQ＝，
由題得，當(dāng)P、O、Q共線時，S△ABP最大，
∵P為中點(diǎn)，
∴OP＝，
∴PQ＝OP+OQ＝，
∴S△ABP＝AB PQ＝3．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)知識點(diǎn)的應(yīng)用，點(diǎn)圓最值的計算是解題關(guān)鍵．
6．（2021 貴港）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D為AC邊上的一個動點(diǎn)，連接BD，E為BD上的一個動點(diǎn)，連接AE，CE，當(dāng)∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【點(diǎn)撥】如圖，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，ET．首先證明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根據(jù)AE≥AT﹣ET，可得結(jié)論．
【解析】解：如圖，取BC的中點(diǎn)T，連接AT，ET．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∵CT＝TB＝6，
∴ET＝BC＝6，AT＝＝＝10，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE≥4，
∴AE的最小值為4，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是求出AT，ET的長，屬于中考常考題型．
7．（2023 德陽）如圖， ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C，D作BD，AC的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動點(diǎn)，則PG的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【點(diǎn)撥】先判定四邊形OCFD為菱形，找出當(dāng)GP垂直于菱形OCFD的一邊時，PG有最小值．過D點(diǎn)作DM⊥AC于M，過G點(diǎn)作GP⊥AC與P，則GP∥OD，利用平行四邊形的面積求解DM的長，再利用三角形的中位線定理可求解PG的長，進(jìn)而可求解．
【解析】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四邊形OCFD為菱形，
∵點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動點(diǎn)，
∴當(dāng)GP垂直于菱形OCFD的一邊時，PG有最小值．
過D點(diǎn)作DM⊥AC于M，過G點(diǎn)作GP⊥AC與P，則GP∥MD，
∵矩形ABCD的面積為12，AC＝6，
∴2×AC DM＝12，
即2××6 DM＝12，
解得DM＝2，
∵G為CD的中點(diǎn)，
∴GP為△DMC的中位線，
∴GP＝DM＝1，
故PG的最小值為1．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線等知識的綜合運(yùn)用，找準(zhǔn)PG有最小值時的P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．
8．（2022 畢節(jié)市）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長度的最小值為 　　．
【答案】．
【點(diǎn)撥】方法一：以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點(diǎn)，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過O作BC的垂線P′O，證明△CAB∽△CP′O，利用相似三角形的性質(zhì)得出，求出OP'，即可求出PQ的最小值．
方法二：過點(diǎn)A作AE⊥BC垂足為E 當(dāng)PQ⊥BC時，符合題意，則四邊形AEPQ是矩形，可求出PQ＝AE＝2.4．
【解析】解：方法一：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵四邊形APCQ是平行四邊形，
∴PO＝QO，CO＝AO＝2，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴過O作BC的垂線OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴則PQ的最小值為2OP′＝，
方法二：過點(diǎn)A作AE⊥BC垂足為E 當(dāng)PQ⊥BC時，符合題意，則四邊形AEPQ是矩形，
∴PQ＝AE＝2.4．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．
9．（2022 黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分線，CE⊥AH于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個動點(diǎn)，則OP+PE的最小值是 　　．
【答案】
【點(diǎn)撥】連接OE，過點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F，并延長到點(diǎn)O′，使O′F＝OF，連接O′E交直線AB于點(diǎn)P，連接OP，從而可得OP＝O′P，此時OP+PE的值最小，先利用菱形的性質(zhì)可得AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，從而可得△ADB是等邊三角形，進(jìn)而求出AD＝3，然后在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO的長，從而求出AC的長，進(jìn)而利用直角三角形斜邊上的中線可得OE＝OA＝AC＝，再利用角平分線和等腰三角形的性質(zhì)可得OE∥AB，從而求出∠EOF＝90°，進(jìn)而在Rt△AOF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OF的長，即可求出OO′的長，最后在Rt△EOO′中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答．
【解析】解：連接OE，過點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F，并延長到點(diǎn)O′，使O′F＝OF，連接O′E交直線AB于點(diǎn)P，連接OP，
∴AP是OO′的垂直平分線，
∴OP＝O′P，
∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，
此時，OP+PE的值最小，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝3，∠BAC＝∠BAD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，∠AOD＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴BD＝AD＝3，
∴OD＝BD＝，
∴AO＝＝＝，
∴AC＝2OA＝3，
∵CE⊥AH，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝OA＝AC＝，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠CAB，
∴∠OAE＝∠EAB，
∴∠OEA＝∠EAB，
∴OE∥AB，
∴∠EOF＝∠AFO＝90°，
在Rt△AOF中，∠OAB＝∠DAB＝30°，
∴OF＝OA＝，
∴OO′＝2OF＝，
在Rt△EOO′中，O′E＝＝＝，
∴OP+PE＝，
∴OP+PE的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
10．（2023 菏澤）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動，點(diǎn)F在線段AE上，∠ADF＝∠BAE，則線段BF的最小值為 　﹣2　．
【答案】﹣2．
【點(diǎn)撥】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以AD為直徑畫圓，連接OB交⊙O于F′，證得∠DFA＝90°，于是得到點(diǎn)F在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到OB與⊙O是交點(diǎn)F′時，線段BF有最小值，據(jù)此解答即可．
【解析】解：設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以AD為直徑畫圓，連接OB交⊙O于F′，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠ADF＝∠BAE，
∴∠DFA＝∠ABE＝90°，
∴點(diǎn)F在以AD為直徑的半圓上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到OB與⊙O是交點(diǎn)F′時，線段BF有最小值，
∵AD＝4，
∴，
∴，
∴線段BF的最小值為﹣2，
故答案為：﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)題意得到點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．
11．（2022 泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣2
【答案】D
【點(diǎn)撥】如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OM．證明∠AMD＝90°，推出OM＝AD＝2，點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O上，利用勾股定理求出OB，可得結(jié)論．
【解析】解：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝AD＝2，
∴點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O上，
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，
∴BM的最小值為﹣2．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，軌跡，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
12．（2021 陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC邊上的兩個動點(diǎn)，以EF為邊的等邊△EFP的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部或邊上，則等邊△EFP的周長的最大值為 　6　．
【答案】6．
【點(diǎn)撥】當(dāng)點(diǎn)F與C重合時，△EFP的邊長最長，周長也最長，根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半可得AC＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．
【解析】解：如圖，
當(dāng)點(diǎn)F與C重合時，△EFP的邊長最長，周長也最長，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周長為2×3＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
13．（2022 日照）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是 　2　．
【答案】2．
【點(diǎn)撥】如圖，在第二象限作等邊三角形AOB，連接BP、AF，過點(diǎn)B作BP′⊥x軸于點(diǎn)P′，可證得△BAP≌△OAF（SAS），得出BP＝OF，當(dāng)BP⊥x軸時，BP最小值為2，故OF的最小值為2．
【解析】解：如圖，在第二象限作等邊三角形AOB，連接BP、AF，
過點(diǎn)B作BP′⊥x軸于點(diǎn)P′，
∵將線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，
∴∠APF＝60°，PF＝PA，
∴△APF是等邊三角形，
∴AP＝AF，∠PAF＝60°，
∵△AOB是等邊三角形，
∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，
∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，
在△BAP和△OAF中，
，
∴△BAP≌△OAF（SAS），
∴BP＝OF，
∵P是x軸上一動點(diǎn)，
∴當(dāng)BP⊥x軸時，BP最小，即點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時BP＝BP′最小，
∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，
∴BP′＝OB＝×4＝2，
∴OF的最小值為2，
故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法的運(yùn)用等，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及面積法求最短距離，解題時注意勾股定理、等邊三角形三線合一以及方程思想的靈活運(yùn)用．
14．（2022 鄂州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA＝6，斜邊OB＝10，點(diǎn)P為線段AB上一動點(diǎn)．
（1）請直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若動點(diǎn)P滿足∠POB＝45°，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，當(dāng)PA′⊥OB時，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖3，若F為線段AO上一點(diǎn)，且AF＝2，連接FP，將線段FP繞點(diǎn)F順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當(dāng)OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段FP掃過的面積．
【答案】（1）B（8，6）；
（2）P（，6）；
（3）P（，6）；
（4）OG的最小值為4，線段FP掃過的面積．
【點(diǎn)撥】（1）利用勾股定理求出AB即可；
（2）如圖1中，過點(diǎn)P作PH⊥OB于點(diǎn)H．設(shè)PH＝OH＝x，構(gòu)建方程求出x，再利用相似三角形的性質(zhì)求出PB即可；
（3）如圖2中，設(shè)PA′交OB于點(diǎn)T．利用相似三角形的性質(zhì)求出ET，再求出PB，可得結(jié)論；
（4）如圖3中，以AF為邊向右作等邊△AFK，連接KG，延長KG交x軸于點(diǎn)R，過點(diǎn)K作KJ⊥AF于點(diǎn)J．KQ⊥OR于點(diǎn)Q，過點(diǎn)O作OW⊥KR于W．證明△AFP≌△KFG（SAS），推出∠PAF＝∠GKF＝90°，推出點(diǎn)G在直線KR上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)G與W重合時，OG的值最小．
【解析】解：（1）如圖1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴AB＝＝＝8，
∴B（8，6）；
（2）如圖1中，過點(diǎn)P作PH⊥OB于點(diǎn)H．
∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
設(shè)PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝x，PB＝x，
∴x+x＝10，
∴x＝，
∴PB＝×＝，
∴PA＝AB﹣PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；
（3）如圖2中，設(shè)PA′交OB于點(diǎn)T．
∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性質(zhì)可知∠EAB＝∠A′，
∴∠A′＝∠B，
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，
∴△A′TE∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵cosB＝＝，
∴＝，
∴PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；
（4）如圖3中，以AF為邊向右作等邊△AFK，連接KG，延長KG交x軸于點(diǎn)R，過點(diǎn)K作KJ⊥AF于點(diǎn)J．KQ⊥OR于點(diǎn)Q，過點(diǎn)O作OW⊥KR于W．
∵∠AFK＝∠PFG＝60°，
∴∠AFP＝∠KFG，
∵FA＝FK，F(xiàn)P＝FG，
∴△AFP≌△KFG（SAS），
∴∠PAF＝∠GKF＝90°，
∴點(diǎn)G在直線KR上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)G與W重合時，OG的值最小，
∵KJ⊥OA，KQ⊥OR，
∴∠KJO＝∠JOQ＝∠OQK＝90°，
∴四邊形JOQK是矩形，
∴OJ＝KQ，JK＝OQ，
∵KA＝KF，KJ⊥AF，
∴AJ＝JF＝1，KJ＝，
∴KQ＝OJ＝5，
∵∠KRQ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴QR＝KQ＝，
∴OR＝+＝，
∴OW＝OR sin60°＝4，
∴OG的最小值為4，
∵OF＝OW＝4，∠FOW＝60°，
∴△FOW是等邊三角形，
∴FW＝4，即FG＝4，
∴線段FP掃過的面積＝＝．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
15．（2022 廣西）已知∠MON＝α，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動，AB＝6．
（1）如圖①，若α＝90°，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動時，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動，點(diǎn)A，B，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，D′，連接OD，OD′．判斷OD與OD′有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）如圖②，若α＝60°，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離；
（3）如圖③，若α＝45°，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動到什么位置時，△AOB的面積最大？請說明理由，并求出△AOB面積的最大值．
【答案】見解析
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得OD＝，OD′＝，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）作△AOB的外接圓I，連接CI并延長，分別交⊙I于O′和D，當(dāng)O運(yùn)動到O′時，OC最大，求出CD和等邊三角形AO′B上的高O′D，進(jìn)而求得結(jié)果；
（3）作等腰直角三角形AIB，以I為圓心，AI為半徑作⊙I，取AB的中點(diǎn)C，連接CI并延長交⊙I于O，此時△AOB的面積最大，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【解析】解：（1）OD＝OD′，理由如下：
在Rt△AOB中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴OD＝，
同理可得：OD′＝，
∵AB＝A′B′，
∴OD＝OD′；
（2）如圖1，
作△AOB的外接圓I，連接CI并延長，分別交⊙I于O′，交AB于D，
當(dāng)O運(yùn)動到O′時，OC最大，
此時△AOB是等邊三角形，
∴BO′＝AB＝6，
OC最大＝CO′＝CD+DO′＝+BO′＝3+3；
（3）如圖2，
作等腰直角三角形AIB，以I為圓心，AI為半徑作⊙I，
∴AI＝＝3，∠AOB＝，
則點(diǎn)O在⊙I上，取AB的中點(diǎn)C，連接CI并延長交⊙I于O，
此時△AOB的面積最大，此時OA＝OB，
∵OC＝CI+OI＝AB+3＝3+3，
∴S△AOB最大＝＝9+9，
∴當(dāng)OA＝OB時，△AOB的最大面積是9+9．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，確定圓的條件等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“定弦對定角”的模型．
16．（2022 阜新）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，連接AE，CF．
（1）如圖1，求證：△ADE≌△CDF；
（2）直線AE與CF相交于點(diǎn)G．
①如圖2，BM⊥AG于點(diǎn)M，BN⊥CF于點(diǎn)N，求證：四邊形BMGN是正方形；
②如圖3，連接BG，若AB＝4，DE＝2，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）①證明見解析；
②2．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)SAS證明三角形全等即可；
（2）①根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；
②作DH⊥AG交AG于點(diǎn)H，作BM⊥AG于點(diǎn)M，證明△BMG是等腰直角三角形，求出BM的最小值，可得結(jié)論．
【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°．
∵DE＝DF，∠EDF＝90°．
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）①證明：如圖2中，設(shè)AG與CD相交于點(diǎn)P．
∵∠ADP＝90°，
∴∠DAP+∠DPA＝90°．
∵△ADE≌△CDF，
∴∠DAE＝∠DCF．
∵∠DPA＝∠GPC，
∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．
∴∠PGN＝90°，
∵BM⊥AG，BN⊥GN，
∴四邊形BMGN是矩形，
∴∠MBN＝90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．
∴∠ABM＝∠CBN．
又∵∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴△AMB≌△CNB．
∴MB＝NB．
∴矩形BMGN是正方形；
②解：作DH⊥AG交AG于點(diǎn)H，作BM⊥AG于點(diǎn)M，
此時△AMB≌△AHD．
∴BM＝AH．
∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4，
∴DH最大時，AH最小，DH最大值＝DE＝2．
∴BM最小值＝AH最小值＝．
由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，
∴BG最小值＝．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
17．（2022 南通）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動，將AE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到AF，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，連接CF．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，作FM⊥AC，垂足為M，求證：AM＝AB；
（2）當(dāng)AE＝3時，求CF的長；
（3）連接DF，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，試探究DF的最小值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）或；
（3）．
【點(diǎn)撥】（1）如圖1中，作FM⊥AC，垂足為M，證明△ABE≌△AMF（AAS），可得結(jié)論；
（2）利用勾股定理求出BE＝，利用全等三角形的性質(zhì)推出FM＝BE＝，再利用勾股定理求出CF即可；
（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，如圖2中，過點(diǎn)D作DH⊥FM于點(diǎn)H．證明點(diǎn)F在射線FM上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F與K重合時，DF的值最小，求出DH即可．當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時，如圖3中，將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為∠ABC，得到線段AR，連接FR，過點(diǎn)D作DQ⊥AR于點(diǎn)Q，DK⊥FR于點(diǎn)K．證明△ADE≌△ARF（SAS），推出∠ADE＝∠ARF＝90°，推出點(diǎn)F在直線RF上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)D與K重合時，DF的值最小，可得結(jié)論．
【解析】（1）證明：如圖1中，作FM⊥AC，垂足為M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵FM⊥AC，
∴∠B＝∠AMF＝90°，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠MAF，
在△ABE和△AMF中，
，
∴△ABE≌△AMF（AAS），
∴AB＝AM；
（2）解：當(dāng)點(diǎn)E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，
∴BE＝＝＝，
∵△ABE≌△AMF，
∴AB＝AM＝4，F(xiàn)M＝BE＝，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，
∵∠CMF＝90°，
∴CF＝＝＝．
當(dāng)點(diǎn)E在CD上時，作FH⊥AC于點(diǎn)H，可證DE＝AD＝AH＝FH＝3，CH＝2，
可得CF＝＝＝．
綜上所述，CF的值為或；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，如圖2中，過點(diǎn)D作DH⊥FM于點(diǎn)H．
∵△ABE≌△AMF，
∴AM＝AB＝4，
∵∠AMF＝90°，
∴點(diǎn)F在射線FM上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F與K重合時，DF的值最小，
∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，
∴△CMJ∽△CDA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴MJ＝，CJ＝，
∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣＝，
∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，
∴△CMJ∽△DHJ，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝，
∴DF的最小值為．
當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時，如圖3中，將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為∠BAC，得到線段AR，連接FR，過點(diǎn)D作DQ⊥AR于點(diǎn)Q，DK⊥FR于點(diǎn)K．
∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠RAF，
∵AE＝AF，AD＝AR，
∴△ADE≌△ARF（SAS），
∴∠ADE＝∠ARF＝90°，
∴點(diǎn)F在直線RF上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)D與K重合時，DF的值最小，
∵DQ⊥AR，DK⊥RF，
∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，
∴四邊形DKRQ是矩形，
∴DK＝QR，
∴AQ＝AD cos∠BAC＝3×＝，
∵AR＝AD＝3，
∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝，
∴DF的最小值為，
∵＜，
∴DF的最小值為．
解法二：當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，如圖，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)＝∠BAC，得到AT，連接DT，ET，DF．
證明△DAF≌△TAE，推出DF＝TE，
當(dāng)TE⊥BC時，DF的值最小，可得DF的最小值為．
當(dāng)點(diǎn)E在CD上時，同法可得DF的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
18．（2023 濟(jì)南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，點(diǎn)E在邊BC上，將射線AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交CD延長線于點(diǎn)G，以線段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG．
（1）如圖1，連接BD，求∠BDC的度數(shù)和的值；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在射線BD上時，求線段BE的長；
（3）如圖3，當(dāng)EA＝EC時，在平面內(nèi)有一動點(diǎn)P，滿足PE＝EF，連接PA，PC，求PA+PC的最小值．
【答案】（1）∠BDC＝60°，；
（2）；
（3）4．
【點(diǎn)撥】（1）由銳角三角函數(shù)可求∠BDC＝60°，通過證明△ADG∽△ABE，可得；
（2）由“AAS”可證△ABE≌△GMF，可得BE＝MF，AB＝GM＝2，由銳角三角函數(shù)可求MF＝BE＝x，DG＝2+x，利用（1）的結(jié)論可求解；
（3）通過證明△AGC 是等邊三角形，可得PE＝EF＝AG＝4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，則當(dāng)點(diǎn)P，C，P′三點(diǎn)共線時，PA+PC 的值最小，即可求解．
【解析】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，
∴，
∴∠BDC＝60°，
∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，
∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，
即∠DAG＝∠BAE，
∴△ADG∽△ABE，
∴；
（2）如圖2，過點(diǎn)F作FM⊥CG于點(diǎn)M，
∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，
∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，
∴△ABE≌△GMF（AAS），
∴BE＝MF，AB＝GM＝2，
∴∠MDF＝∠BDC＝60°，F(xiàn)M⊥CG，
∴，
∴，
設(shè) DM＝x，則 ，
∴DG＝GM+MD＝2+x，
由（1）可知：，
∴，
解得 x＝1，
∴；
（3）如圖3，連接AC，將△AEP繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn) 120°，EA與EC重合，得到△CEP'，連接PP'，
矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，
∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，
∴△AGC 是等邊三角形，AG＝AC＝4，
∴PE＝EF＝AG＝4，
∵將△AEP繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn) 120°，EA與EC重合，得到△CEP'，
∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)P，C，P′三點(diǎn)共線時，PA+PC 的值最小，
此時為 ．
【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
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備考2024中考二輪數(shù)學(xué)《高頻考點(diǎn)沖刺》（全國通用）
專題31 最值問題
考點(diǎn)掃描☆聚焦中考
動態(tài)幾何中的最值問題是近幾年各地中考中以選擇題、填空題、解答題的形式進(jìn)行考查，多數(shù)題目難度較大，屬于壓軸題，考查涉及到的知識點(diǎn)涉及三角形基本性質(zhì)、相似三角形、三角函數(shù)、四邊形的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等，考查的熱點(diǎn)有利用函數(shù)或不等式的性質(zhì)求最值、利用圖形的位置關(guān)系求最值。
考點(diǎn)剖析☆典型例題
例1（2023 濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)D是邊OC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥OB交邊OA于點(diǎn)E，作DF∥OB交邊BC于點(diǎn)F，連接EF，設(shè)OD＝x，△DEF的面積為S．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)x取何值時，S的值最大？請求出最大值．
例2（2023 淄博）在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動．
（1）操作判斷
小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為 　 　．
（2）深入探究
小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB＝2，AD＝4．
探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長線上時，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求△CMF的面積．
探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．求線段DH長度的最大值和最小值．
考點(diǎn)過關(guān)☆專項突破
類型一 利用函數(shù)或不等式的性質(zhì)求最值
1．（2023 遼寧）如圖，線段AB＝8，點(diǎn)C是線段AB上的動點(diǎn)，將線段BC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD，連接CD，在AB的上方作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，∠E＝30°，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接AF，當(dāng)AF最小時，△BCD的面積為 　　．
2．（2023 無錫）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若線段MN在邊AD上運(yùn)動，且MN＝1，則BM2+2BN2的最小值是（　　）
A． B． C． D．10
3．（2022 綿陽）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝2，AB＝4，AD＝2，動點(diǎn)E、F同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時停止運(yùn)動．
（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個單位每秒，當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長度的比值；
（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為個單位每秒，運(yùn)動時間為x秒，△AEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值為多少？
（3）如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動時，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM，并說明理由．
4．（2023 呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以邊AC為直徑作⊙O，與AB邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，連接DM．
（1）求證：DM是⊙O的切線；
（2）點(diǎn)P為直線BC上任意一動點(diǎn)，連接AP交⊙O于點(diǎn)Q，連接CQ．
①當(dāng)tan∠BAP＝時，求BP的長；
②求的最大值．
5．（2022 廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．
（1）求BD的長；
（2）點(diǎn)E為線段BD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE＝DF．
①當(dāng)CE⊥AB時，求四邊形ABEF的面積；
②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．
類型二 利用圖形的位置關(guān)系求最值
1．（2022 泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點(diǎn)D不重合的動點(diǎn)，以DE為一邊作正方形DEFG．設(shè)DE＝d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（　　）
A． B．2 C．2 D．4
2．（2023 遼寧）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，E是BM上的一點(diǎn)，連接AE，作點(diǎn)B關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)B′，連接DB′并延長交BC于點(diǎn)F．當(dāng)BF最大時，點(diǎn)B′到BC的距離是 　　．
3．（2023 雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則DE的最小值為 　　．
4．（2023 廣西）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動點(diǎn)，M，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，則MN的最大值為 　　．
5．（2023 樂山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x﹣2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，C、D是半徑為1的⊙O上兩動點(diǎn)，且CD＝，P為弦CD的中點(diǎn)．當(dāng)C、D兩點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，△PAB面積的最大值是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
6．（2021 貴港）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D為AC邊上的一個動點(diǎn)，連接BD，E為BD上的一個動點(diǎn)，連接AE，CE，當(dāng)∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023 德陽）如圖， ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C，D作BD，AC的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動點(diǎn)，則PG的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．3
8．（2022 畢節(jié)市）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長度的最小值為 　　．
9．（2022 黑龍江）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分線，CE⊥AH于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個動點(diǎn)，則OP+PE的最小值是 　　．
10．（2023 菏澤）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動，點(diǎn)F在線段AE上，∠ADF＝∠BAE，則線段BF的最小值為 　　．
11．（2022 泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣2
12．（2021 陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC邊上的兩個動點(diǎn)，以EF為邊的等邊△EFP的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部或邊上，則等邊△EFP的周長的最大值為 　　．
13．（2022 日照）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是 　 　．
14．（2022 鄂州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA＝6，斜邊OB＝10，點(diǎn)P為線段AB上一動點(diǎn)．
（1）請直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若動點(diǎn)P滿足∠POB＝45°，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，當(dāng)PA′⊥OB時，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖3，若F為線段AO上一點(diǎn)，且AF＝2，連接FP，將線段FP繞點(diǎn)F順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當(dāng)OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段FP掃過的面積．
15．（2022 廣西）已知∠MON＝α，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上運(yùn)動，AB＝6．
（1）如圖①，若α＝90°，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動時，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動，點(diǎn)A，B，D的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，D′，連接OD，OD′．判斷OD與OD′有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）如圖②，若α＝60°，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離；
（3）如圖③，若α＝45°，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動到什么位置時，△AOB的面積最大？請說明理由，并求出△AOB面積的最大值．
16．（2022 阜新）已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，連接AE，CF．
（1）如圖1，求證：△ADE≌△CDF；
（2）直線AE與CF相交于點(diǎn)G．
①如圖2，BM⊥AG于點(diǎn)M，BN⊥CF于點(diǎn)N，求證：四邊形BMGN是正方形；
②如圖3，連接BG，若AB＝4，DE＝2，直接寫出在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，線段BG長度的最小值．
17．（2022 南通）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動，將AE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到AF，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，連接CF．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC上時，作FM⊥AC，垂足為M，求證：AM＝AB；
（2）當(dāng)AE＝3時，求CF的長；
（3）連接DF，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，試探究DF的最小值．
18．（2023 濟(jì)南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，點(diǎn)E在邊BC上，將射線AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交CD延長線于點(diǎn)G，以線段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG．
（1）如圖1，連接BD，求∠BDC的度數(shù)和的值；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在射線BD上時，求線段BE的長；
（3）如圖3，當(dāng)EA＝EC時，在平面內(nèi)有一動點(diǎn)P，滿足PE＝EF，連接PA，PC，求PA+PC的最小值．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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