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2016年三角函數(shù)與平面向量考點(diǎn)與試題專題論述
黃石三中 耿志東 程國軍
引言
三角函數(shù)與平面向量在高考中為必考內(nèi)容，從得分角度來分析，是歷來兵家必爭之分，失去了此處的分?jǐn)?shù)就失去了競爭的資本，從知識難易程度來分析，屬中低檔題目。此處高考考查重基礎(chǔ)，考生平時(shí)訓(xùn)練只要把握好基本知識與基本技能，此部分得分并不難。但從每年的高考評卷反饋情況來看，并不是特別理想，也包括一些成績較好的考生，其主要是知識點(diǎn)掌握不牢，書寫不規(guī)范的原因。這部分內(nèi)容無論是地方卷還是全國卷考點(diǎn)及層次的要求都基本相同。下面就兩塊內(nèi)容的詳細(xì)知識點(diǎn)與要求及真題解析、備考建議等作如下詳細(xì)說明。
一、三角函數(shù)部分
1、三角函數(shù)綜述
三角函數(shù)在高考試卷中一般一道小題一道解答題，解答題所在位置一般為第一題，近幾年高考難度有所降低，屬容易題，所以從得分角度來說是考生必得分之題目。但從近兩年高考反饋的結(jié)果來看情況并不是很理想，2014年就湖北考生而言文科第一問得分平均分為2.69，第二問得分平均分為2.66，而理科第二問得分平均分僅為2.37，2015年情況更是不理想，究其原因主要是考生基礎(chǔ)不扎實(shí)，解題步驟不夠規(guī)范，再者對題意理解不到位，導(dǎo)致考生很難得到滿分，其中也包括一些成績或基礎(chǔ)比較好的考生。
三角函數(shù)除了具有一般函數(shù)的各種性質(zhì)外，它的周期性和獨(dú)特的對稱性，再加上豐富的三角公式，使其產(chǎn)生的的各種問題豐富多彩，層次分明，變化多樣，圍繞三角函數(shù)的考題總是以新穎的形式出現(xiàn)，在高考試題中占據(jù)重要的位置。近幾年來高考從三角函數(shù)的圖象、周期性、奇偶然性、單調(diào)性、最值、求值及綜合應(yīng)用等各個(gè)方面全面考查三角函數(shù)知識。
2、常規(guī)考點(diǎn)及層次要求（新課標(biāo)全國卷與湖北以往考試要求基本相同）
內(nèi)容
知識要求
了 解
理 解
掌 握
三
角
函
數(shù)
三角
函數(shù)
任意角的概念、弧度制
√
任意角的正弦、余弦、正切的定義
√
誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
√
周期函數(shù)的定義、三角函數(shù)的周期性
√
三角函數(shù)，，的圖象和性質(zhì)
√
函數(shù)的圖象和性質(zhì)
√
三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用
√
三角
恒等
變換
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
√
二倍角的正弦、余弦、正切公式
√
簡單的三角恒等變換
√
解三
角形
正弦定理、余弦定理
√
解三角形及其簡單應(yīng)用
√
3、三角函數(shù)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)建議（1）理解正角、負(fù)角、零角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念，相關(guān)角表示方法。（2）在已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值時(shí)，要注意題設(shè)中角的范圍，并對不同的象限分別求出相應(yīng)的值在應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡，求值時(shí)，應(yīng)注意公式中符號的選取。（3）單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，了解三角函數(shù)線。（4）會(huì)將三角函數(shù)式化為只含一個(gè)三角函數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)式”，或者換元后成為一個(gè)初等函數(shù)式（換元后注意定義域的確定），進(jìn)而可求得某些復(fù)合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等對函數(shù)式作恒等變形時(shí)需特別注意保持定義域的不變性。（5）會(huì)求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、周期、對稱軸、對稱中心。
（6）熟練三角函數(shù)圖象的作圖方法，通過作圖去體驗(yàn)和鞏固圖象間的變換關(guān)系。（7）熟悉公式并會(huì)運(yùn)用①誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號看象限；②兩角和差的正弦、余弦、正切公式的正面運(yùn)用和逆用；
③倍角公式以及變形，體會(huì)降冪和和差化積的運(yùn)用；
④輔助角公式：一般限制在是特殊角的范圍內(nèi)；
⑤常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°,降次公式等；
⑥化弦（切）法。
（8）關(guān)注三角函數(shù)在三角形中的應(yīng)用，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)尋找邊角關(guān)系，要特別重視正弦定理和余弦定理在解三角形中的計(jì)算，掌握三角形面積公式的多種計(jì)算方法。（9）策略與技巧：
①發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”；
②尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系；
②合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。
4、湖北近5年及新課標(biāo)全國卷2015年考題回顧
（I）選擇題與填空題
考題1、（11年湖北文、理）已知函數(shù)，若，則x的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【考點(diǎn)分析】本題考查了輔助角公式及三角不等式的解法。
【解析】：由條件得，則
，解得，，所以選B.
考題2、（12年湖北文）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若三邊的長為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A＞B＞C，3b=20acosA，則sinA∶sinB∶sinC為
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
【考點(diǎn)分析】本題考查正、余弦定理以及三角形中大角對大邊的應(yīng)用.本題最終需求解三個(gè)角的正弦的比值，明顯是要利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊長的比值，因此必須求出三邊長。
【答案】D
考題3、（12年湖北理）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C，所對的邊分別是a，b，c。若（a+b-c）（a+b+c）=ab，則角C=______________。
【考點(diǎn)分析】考察余弦定理的運(yùn)用。
【解析】：由
根據(jù)余弦定理可得。
考題4、（13年湖北文、理）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是
A． B． C． D．
【考點(diǎn)分析】本題考查三角函數(shù)的圖象與平移以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)。
【解析】：y=cosx+sinx,將函數(shù)的圖像向左平移m（m＞0）個(gè)單位長度后，得到，此時(shí)關(guān)于軸對稱，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，m的最小值是，選B.
考題5、（14年湖北文）在△ABC中，角，B，C所對的邊分別為a，b，c. 已知，=1，，則B = .
【考點(diǎn)分析】本題考查正弦定理。
【解析】：由正弦定理得＝，即＝，解得sinB＝。又因?yàn)閎>a，所以B＝或。
考題6、（15年全國卷1理）sin20°cos10°-con160°sin10°=（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)分析】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及兩角差公式，屬容易題。
【解析】：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故選D.
（II）解答題
考題1、（11年湖北文理）設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知。
(I) 求的周長；
(II)求的值。
【考點(diǎn)分析】本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式和解斜三角形的基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查基本運(yùn)算能力。
【解析】：（Ⅰ）∵
∴∴的周長為.
（Ⅱ）∵，∴，
∴
∵，∴,故為銳角，
∴
∴.
考題2、（12年湖北文）設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，其中為常數(shù)，且。
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）若的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求函的值域。
【考點(diǎn)分析】本題考查三角函數(shù)的最小正周期，三角恒等變形；考查轉(zhuǎn)化與劃歸，運(yùn)算求解的能力.二倍角公式，輔助角公式在三角恒等變形中應(yīng)用廣泛，它在三角恒等變形中占有重要的地位。求三角函數(shù)的最小正周期，一般運(yùn)用公式來求解;求三角函數(shù)的值域，一般先根據(jù)自變量的范圍確定函數(shù)的范圍.來年需注意三角函數(shù)的單調(diào)性，圖象變換，解三角形等考查。
【解析】：（1）因，
由直線是圖象的一條對稱軸，可得，所以。又，所以。所以的最小正周期是。
（2）由題，即得，故，故函數(shù)的值域?yàn)椤?br/>考題3、（12年湖北理）已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，其中為常數(shù)，且。
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）若的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的取值范圍。
【考點(diǎn)分析】本題考察三角恒等變化,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).
【解析】：(Ⅰ)因?yàn)?
.
由直線是圖象的一條對稱軸,可得,
所以,即.
又,,所以,故.
所以的最小正周期是.
(Ⅱ)由的圖象過點(diǎn),得,
即,即.
故,
由,有,
所以,得,
故函數(shù)在上的取值范圍為.
考題4、（13年湖北文、理）在△中,角,,對應(yīng)的邊分別是,,. 已知.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△的面積,,求的值.
【考點(diǎn)分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，正弦定理的應(yīng)用。
【解析】：(I)由已知條件得:
,解得,角。
(II),由余弦定理得:,
。
考題5、（14湖北文）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：℃）隨時(shí)間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：，.
（Ⅰ）求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度；
（Ⅱ）求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差。
【考點(diǎn)分析】本題考查輔助角公式及三角函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)最值得問題。
【解析】：(1)f(8)＝10－cos－sin＝10－cos－sin＝10－×－＝10.
故實(shí)驗(yàn)室上午8時(shí)的溫度為10℃.
(2)因?yàn)閒(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，
所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.
當(dāng)t＝2時(shí)，sin＝1；
當(dāng)t＝14時(shí)，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃。
考題6、（14湖北理）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時(shí)間（單位;h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系；
求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；
若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？
【考點(diǎn)分析】本題考查輔助角公式及三角函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)解三角不等式問題。
【解析】：(1)因?yàn)閒(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
當(dāng)t＝2時(shí)，sin＝1；
當(dāng)t＝14時(shí)，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故實(shí)驗(yàn)室這一天的最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃。
(2)依題意，當(dāng)f(t)>11時(shí)，實(shí)驗(yàn)室需要降溫．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此即10故在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫。
考題6、（15湖北理）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
0
0
5
0
（Ⅰ）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)的解
析式；
（Ⅱ）將圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到的圖
象. 若圖象的一個(gè)對稱中心為，求的最小值.
【考點(diǎn)分析】本題考察“五點(diǎn)作圖法”,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).
【解析】：（Ⅰ）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得. 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：
0
0
5
0
0
且函數(shù)表達(dá)式為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得.
因?yàn)榈膶ΨQ中心為，.
令，解得， .
由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，令，
解得，. 由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
考題7、（15全國卷2文）
（Ⅰ）求 （Ⅱ）若
【考點(diǎn)分析】本題主要考察三角形的角分線定理及內(nèi)角和定理，兩角差公式.
【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得
再由三角形內(nèi)角平分線定理得
（Ⅱ）
5、2016年命題趨勢預(yù)測及復(fù)習(xí)建議
（I）題型分類：
（1）考小題：有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識，解析，圖象與圖象變換，兩域(定義域、值域)，四性(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)，簡單的三角變換(求值、化簡及比較大小)。
（2）考大題：著重考查基礎(chǔ)知識和基本技能與方法，基本公式的運(yùn)用與轉(zhuǎn)化。?
(3) 考應(yīng)用：以實(shí)際生活為背景，借助三角函數(shù)進(jìn)行求解。
(4) 考綜合：體現(xiàn)三角的工具作用，由于近幾年高考試題突出能力立意，加強(qiáng)對知識性和應(yīng)用性的考查。
（II）知識點(diǎn)分類：
（1）考查三角函數(shù)的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
高考對本部分內(nèi)容的考查主要以小題的形式出現(xiàn)，即利用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角
三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求值、變形，或是利用三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)進(jìn)行求值、求參數(shù)的值、
求值域、求單調(diào)區(qū)間及圖象判斷等，而大題常常在綜合性問題中涉及三角函數(shù)的定義、圖象、
誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用等。?
（2）考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要包括：正弦(型)函數(shù)、余弦(型)函數(shù)、正切(型)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、圖象的變換等五大塊內(nèi)容。
（3）求單調(diào)區(qū)間
高考對三角函數(shù)的單調(diào)性考查，常以小題形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在大題的某一小問中。
（4）求最值
高考對三角函數(shù)最值的考查，常以小題形式呈現(xiàn)，屬中檔題，有時(shí)也在大題中的某一步呈現(xiàn)，屬中檔題，高考常考查以下兩種類型：?
①化成的形式后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求其最值；
②化成二次函數(shù)形式后利用配方法求其最值。?
（5）利用三角恒等變換求三角函數(shù)值
三角恒等變換是研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解三角形的基礎(chǔ)，大多結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解三角形進(jìn)行命題，高考命題考查的重點(diǎn)性質(zhì)是公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式。
（6）三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
三角函數(shù)的綜合應(yīng)用是歷年來高考考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)問題，新課標(biāo)高考更加注重對知識點(diǎn)的
綜合應(yīng)用意識的考查，而且新課標(biāo)高考在考查的內(nèi)容以及形式上不斷推陳出新，三角函數(shù)不僅可以與平面向量、集合、函數(shù)與方程、不等式等結(jié)合命題，而且小題還可以結(jié)合平面解析幾何等知識點(diǎn)命題。
（III）模擬試題：
題1：如圖在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)均在單位圓上已知點(diǎn)在第一象限，橫坐標(biāo)是點(diǎn)在第二象限點(diǎn)。
（1）設(shè)求的值；
（2）若為正三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)。
題2：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且＋1＝。
（1）求B；
（2）若cos(C＋)＝，求sinA的值。
題3：在鈍角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos(－2B)的值域．
[解析](1)由m∥n得(2b－c)cosA－acosC＝0，
由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0，
∵sin(A＋C)＝sinB，∴2sinBcosA－sinB＝0，∵B、A∈(0，π)，∴sinB≠0，∴A＝.
(2)y＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝1－cos2B＋sin2B＝sin(2B－)＋1，
當(dāng)角B為鈍角時(shí)，角C為銳角，則
?∴<2B－<，∴sin(2B－)∈(－，)，∴y∈(，)．
當(dāng)角B為銳角時(shí)，角C為鈍角，則
?0∴－<2B－<，∴sin(2B－)∈(－，)，∴y∈(，)，
綜上，所求函數(shù)的值域?yàn)?，)．
（IV）備考建議：
回歸課本，返樸歸真。近幾年三角函數(shù)考題在課本中都能找到相應(yīng)的習(xí)題。教材是高考命題之本，高考試題源于教材，高于教材，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)充分利用課本，應(yīng)注重通性通法，避開難題、偏題及怪題。
二、平面向量部分
1、平面向量綜述
平面向量主要以小題形式出現(xiàn)，偶爾會(huì)和解答題的三角函數(shù)、立體幾何與平面解析幾何結(jié)合出題，但主要體現(xiàn)向量的工具性，主要是考查公式運(yùn)用。平面向量的核心思想是數(shù)形結(jié)合，把幾何意義用簡潔的向量形式表示出來，用向量的運(yùn)算去進(jìn)行幾何性質(zhì)的推斷；反過來，要會(huì)從向量的形式去解讀出幾何意義。
2、常規(guī)考點(diǎn)及層次要求（新課標(biāo)全國卷與湖北以往考試要求基本相同）
內(nèi)容
知識要求
了 解
理 解
掌 握
平面
向量
平面向量
平面向量的相關(guān)概念
√
向量的
線性運(yùn)算
平面向量的線性運(yùn)算及其幾何意義
√
平面向量的線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義
√
平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示
平面向量的基本定理
√
平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
√
用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算
√
用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件
√
平面向量
的數(shù)量積
平面向量數(shù)量積的概念
√
數(shù)量積與向量投影的關(guān)系
√
數(shù)量積的坐標(biāo)表示
√
用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角
√
用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系
√
向量的應(yīng)用
用向量方法解決簡單問題
√
3、平面向量知識點(diǎn)復(fù)習(xí)建議
（1）透徹理解向量的概念。向量概念的兩大要素"方向和長度"使向量既有"形"又有"數(shù)"的特征，既聯(lián)系幾何又聯(lián)系代數(shù)，是高中數(shù)學(xué)重要的知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)，是數(shù)形結(jié)合的重要載體。（2）先從向量的幾何特征進(jìn)行學(xué)習(xí)，包括向量相等，向量共線的概念，平面向量的基本定理，以及向量的加減、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積等運(yùn)算的幾何表示。（3）向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得幾何問題可以通過代數(shù)運(yùn)算加以解決，在對向量的幾何特征掌握透徹的前提下，理解記憶相關(guān)公式。如：向量共線、垂直的充要條件，向量的數(shù)量積運(yùn)算，線段定比分點(diǎn)公式、平移公式等。（4）向量的數(shù)量積運(yùn)算是平面向量的重要內(nèi)容，它與實(shí)數(shù)之間積的運(yùn)算既有區(qū)別又聯(lián)系。要會(huì)靈活應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求向量的模。
（5）要把平面幾何的性質(zhì)、定理遷移到平面向量中來，使得平面向量的幾何推導(dǎo)成為可能。如：①在平行四邊形中，菱形模型與矩形模型的向量表示。②在三角形中，外心、重心、垂心、內(nèi)心的向量表示；（6）以平面向量為背景的解析幾何問題。解析幾何題中往往以向量的形式來揭示幾何條件，有的表現(xiàn)幾何特征，有的是利用坐標(biāo)運(yùn)算直接轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系。在解析幾何中也經(jīng)常利用向量解決有關(guān)角度和垂直，以及點(diǎn)分線段的問題。
4、湖北近5年及新課標(biāo)全國卷2015年考題回顧
考題1、（11年湖北文） 若向量，則與的夾角等于
A. B.C. D.
【考點(diǎn)分析】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角。
【解析】：由已知向量可求出要求向量坐標(biāo)，代入向量夾角公式即可得到答案。答案為C。
考題2、（12湖北文）已知向量a=（1,0），b=（1,1），則
（Ⅰ）與2a+b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為____________；
（Ⅱ）向量b-3a與向量a夾角的余弦值為____________。
【考點(diǎn)分析】本題考查單位向量的概念，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積等。與某向量同向的單位向量一般只有1個(gè)，但與某向量共線的單位向量一般有2個(gè)，它包含同向與反向兩種。不要把兩個(gè)概念弄混淆了。未來高考需注意平面向量基本定理，基本概念以及創(chuàng)新性問題的考查。
【解析】（Ⅰ）由，得.設(shè)與同向的單位向量為，則且，解得故.即與同向的單位向量的坐標(biāo)為.
（Ⅱ）由，得.設(shè)向量與向量的夾角為，則.
考題3、（13年湖北文）已知點(diǎn)、、、,則向量在方向上的投影為（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)分析】本題考查向量的投影以及數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算。
【解析】：因?yàn)?所以，。所以向量在方向上的投影為，選A。
考題4、（13年湖北理）已知點(diǎn)、、、,則向量在方向上的投影為（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)分析】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及平面向量投影定義。
【解析】：直接運(yùn)用平面向量的投影公式計(jì)算即可，答案為A。
考題5、（14湖北文）若向量，，，則 .
【考點(diǎn)分析】本題主要考查平面向量的數(shù)量積與向量坐標(biāo)的運(yùn)算。
【解析】：由題意知，＝(3，1)或＝(－3，－1)，所以＝(2，4)或＝(－4，2)，所以| |＝＝2.
考題6、（14湖北理）設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù)________.
【考點(diǎn)分析】本題主要考查平面向量的數(shù)量積與向量垂直的應(yīng)用。
【解析】：因?yàn)閍＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3。
考題7、（15湖北理）已知向量，，則 ．
【考點(diǎn)分析】本題主要考查平面向量的數(shù)量積與向量垂直的應(yīng)用。
【解析】：答案：9.
考題8、（15年全國卷1理）設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則
A. B.
C. D.
【考點(diǎn)分析】本題主要考查平面向量運(yùn)算。
【解析】：.
考題9、（15年全國卷2文）已知向量
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【考點(diǎn)分析】本題主要考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，屬容易題。
【解析】：，答案為B.
考題10、（15年全國卷2理）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________．
【考點(diǎn)分析】本題主要考查平面向量共線定理，屬容易題。
【解析】：因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則所以．
5、2016年命題趨勢預(yù)測及復(fù)習(xí)建議
（I）知識點(diǎn)分類：
（1）平面向量共線與垂直
高考對平面向量共線與垂直的考查，常以小題形式出現(xiàn)，有時(shí)也在大題的條件中出現(xiàn)。平面向量的坐標(biāo)表示可使平面向量運(yùn)算完全代數(shù)化，從而使得我們可以利用“方程的思想”破解向量共線與垂直的問題。?
（2）平面向量的夾角及投影
兩向量夾角公式其實(shí)是平面向量數(shù)量積公式的變形和應(yīng)用、有關(guān)兩向量夾角問題的考查，常見類型：?
①依條件等式求夾角，此類問題求解過程中應(yīng)關(guān)注夾角取值范圍；
②依已知圖形求兩向量夾角，此類題求解過程應(yīng)抓住“兩向量共起點(diǎn)”，便可避開陷阱，順利求解；
③投影問題直接運(yùn)用公式即可。?
（3）平面向量的模
考查題型：
①把向量放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦予具體坐標(biāo)求向量的模；
②不把向量放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問題的通常做法是利用向量運(yùn)算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會(huì)把進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
（4）平面向量的數(shù)量積
有時(shí)直接考查數(shù)量積有時(shí)利用圖形轉(zhuǎn)化考查，其解決策略為：
①直接運(yùn)用定義；
②建立直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法解決；
③轉(zhuǎn)化為其他向量的和或差的形式。
（5）向量的應(yīng)用
把向量作為工具進(jìn)行考查的，解題的關(guān)鍵是把這些以向量形式出現(xiàn)的條件還其本來面目；另外在立體幾何和解析幾何中都有向量的體現(xiàn)，主要考查其工具性。?
（II）模擬試題：
（1）已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b與向量c＝(1，－2)共線，則實(shí)數(shù)λ等于( )
A．－2 B．－ C．－1 D．－
[答案]C
[解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b與c共線，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.
（2）已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b與a－λb互相垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為( )
A．－ B．－ C. D.
[答案]C
[解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b與a－λb垂直，
∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝.
（3）向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝，a與b的夾角為60°，則|b|＝( )
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]∵|a－b|＝，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝，
∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，設(shè)|b|＝x，則1＋x2－x＝，∵x>0，∴x＝.
(4)若·＋2＝0，則△ABC必定是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
[答案]B
[解析]　·＋2＝·(＋)＝·＝0，∴⊥，∴AB⊥AC，∴△ABC為直角三角形．
（5）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，若＝a，＝b，則等于()
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
[答案]B
[解析]∵E為OD的中點(diǎn)，∴＝3，∵DF∥AB，∴ ＝，∴|DF|＝|AB|，∴|CF|＝|AB|＝|CD|，∴＝＋＝＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b.
（6）在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，點(diǎn)M滿足＝2，則·等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
[答案]B
[解析]　·＝(＋)·＝(＋)·＝·＋·＝||·||cos45°＝×3×3×＝3.
（III）備考建議：
重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法。以課本例題、練習(xí)題和習(xí)題重組為中心，切實(shí)抓好基礎(chǔ)題型和常規(guī)方法，提高對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。重視答題規(guī)范性，在細(xì)節(jié)處見功夫。

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