資源簡介 2016年高考數列與不等式專題分析黃石一中 彭福來程荷花一、數列部分1.考點分析數列是高中數學重要內容,是高考命題的熱點.縱觀近幾年的高考試題,對等差和等比數列的概念、通項公式、性質、前n項和公式,對增長率、分期付款等數列實際應用題多以客觀題和中低檔解答題為主,對數列與函數、方程、不等式、三角函數、解析幾何等相結合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題, 一般控制在之間.2.考試要求2015年高考數學(全國卷)《考試說明》中考試范圍與要求層次:內 容知識要求了解(A)理解(B)掌握(C)數列數列的概念數列的概念√數列的簡單表示法(列表、圖象、通項公式、遞推公式)√等差數列、等比數列等差數列、等比數列的概念√等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式√等差數列、等比數列的簡單應用√具體要求如下:(1)數列的概念和簡單表示法:①了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式);②了解數列是自變量為正整數的一類函數.(2)等差數列、等比數列:① 理解等差數列、等比數列的概念;② 掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式;③ 能在具體的問題情境中,識別數列的等差關系或等比關系,并能用有關知識解決相應的問題;④ 了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系.全國課標卷近三年來的命題趨勢呈現以下特點:回歸課本重基礎,回避技巧重通法,強調運算重交匯.根據全國卷求穩的特點,估計全國卷明年的數列知識考查仍在“通項公式求法與前項和公式應用”中命制,可能與函數交匯,或仍與不等式交匯出題,但在不等式的證明時,理科可能涉及到與數學歸納法知識交匯出題.考題回顧考題1(2014·全國理科Ⅱ卷·第17題)已知數列滿足=1,.(Ⅰ)證明是等比數列,并求的通項公式;(Ⅱ)證明:.【考點分析】等比數列,數列放縮解析: (I)由得。 又,所以是首項為,公比為3的等比數列。,因此的通項公式為. (Ⅱ)由(I)知 因為當時,,所以。于是。所以 【點評】本題主要考查構造等比數列求一般數列,利用放縮求和來證明不等式考題2(2015·全國理科Ⅰ卷·第17題)已知數列{}的前項和為,=1,,,其中為常數.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)是否存在,使得{}為等差數列?并說明理由.【考點分析】數列的和與項的關系,等差數列的定義解析:(I)由題設,兩式相減得 由于,所以 (II)由題設,,,可得由(I)知,令,解得故,由此可得是首項為1,公差為4的等差數列,;是首項為3,公差為4的等差數列,.所以,.因此存在,使得數列為等差數列. 【評析】本題主要考查了等差數列的定義.要求學生對數列的奇數項和偶數項有著較為深刻理解考題3 (2015·全國理科Ⅰ卷·第7題)已知是公差為1的等差數列,為的前項和,若,則()(A)(B)(C)(D)【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式.解析:∵公差,,∴,解得=,∴,故選B.【評析】本題主要考查了等差數列的求和公式以及通項公式考題3 (2012·全國理科Ⅰ卷·第5題)已知等差數列/的前/項和為/,則數列/的前100項和為A./ B./ C./ D./【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式.解析:由/可得///【評析】本題主要考查了等差數列的通項公式和求和公式,要求學生對裂項有一定的認識4.命題預測1.設的三邊長分別為,的面積為,,若,,則( )A.為遞減數列 B. 為遞增數列 C.為遞增數列,為遞減數列 D. 為遞減數列/,為遞增數列【答案】B 2.如圖,互不-相同的點和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設若則數列的通項公式是_________.【答案】3.在公差為的等差數列中,已知,且成等比數列.(1)/求; (2)若,求【答案】(1)由已知得到: , .(2)由(1)知,當時,, ①當時, ②當時, 所以,綜上所述:; 4.已知數列和滿足.若為等比數列,且求與;設.記數列的前項和為.(i)求;(ii)求正整數,使得對任意,均有.【答案】(1)由題意,,,知,又有,得公比(舍去),所以數列的通項公式為,所以,故數列的通項公式為,;(2)(i)由(I)知,,所以;(ii)因為;當時,,而,得,所以當時,,綜上對任意恒有,故.二、不等式部分1.考點分析不等式是高中數學的傳統內容,對不等式的性質、一元二次不等式、簡單的線性規劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現,這類試題雖然難度不大,但往往有一定的靈活性.若是解答題,也是中等難度的題目;高考中涉及不等式的,更多的情況是以函數與導數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體,綜合考查不等式的解法和證明.不等式因它的基礎性(是研究函數、方程、數列等必不可少的工具)、滲透性(容易與其它各部分知識結合在一起)、應用性(實際應用廣泛),很自然地成為每年高考的熱點.近幾年,高考關于不等式的命題趨勢是:(1)單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現,若是解答題也是中等難度的題目;(2)高考中涉及不等式的,更多的情況是以函數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體,綜合考查不等式的解法和證明,突出不等式的工具性.在高考試卷中,有關解不等式的試題一般有一到兩道.2.考試要求2015年高考數學(全國卷)《考試說明》中考試范圍與要求層次:內 容知識要求了解(A)理解(B)掌握(C)不等式(含4-5《不等式選講》)一元二次不等式一元二次不等式解法及應用√一元二次不等式與相應的二次函數、二方程的聯系√簡單的成性規劃用二元一次不等式表示平面區域√簡單的成性規劃問題√基本不等式不等式及其簡單應用√不等式的性質、證明與解法不等式的基本性質√絕對值不等式√不等式的證明(比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法)√用數學歸納法證明一些簡單的不等式(僅限理科)√算術——幾何平均不等式、柯西不等式及其簡單應用(僅限理科)√具體要求如下:(1)不等關系:了解現實世界和日常生活中的不等關系,了解不等式(組)的實際背景.(2)一元二次不等式① 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.② 通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系.③ 會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設計求解的程序框圖.(3)二元一次不等式組與簡單線性規劃問題① 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.② 了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區域表示二元一次不等式組.③ 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題,并能加以解決.(4)基本不等式①探索并了解基本不等式≥(a≥0,b≥0)的證明過程.熟知a≥0,b≥0是基本不等式成立的前提條件;掌握基本不等式的證明方法,能用比較法來證明一些簡單的不等式.② 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題,掌握一些簡單的不等式數學模型以解決實際問題.(5)不等式選講①理解絕對值的幾何意義,并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式:≤+; ≤+.②會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:≤c; ≥c; +≥c.③了解二元柯西不等式的幾種不同形式,理解它們的幾何意義,并會證明.柯西不等式向量形式:·≥;(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.④理解并能夠對算術——幾何平均不等式、柯西不等式進行簡單應用.⑤理解數學歸納法的原理及其使用范圍,會用數學歸納法證明一些簡單問題.⑥理解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.3.考題回顧考題1(2015·全國卷文Ⅰ第15題)若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為.【考點分析】簡單的線性規劃.解析:作出可行域如圖中陰影部分所示,作出直線:,平移直線,當直線:z=3x+y過點A時,z取/最大值,由解得A(1,1),∴z=3x+y的最大值為4./【點評】本題主要考查簡單的線性規劃問題,我們可以利用“圖解法”,準確地作出可行域是前提,利用“平移法”是解題的關鍵.考題2(2010·全國卷理Ⅱ卷·第5題)不等式/的解集為(A)/ (B)/(C) / (D)/【考點分析】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.解析:/利用數軸穿根法解得-2<x<1或x>3,故選C考題2(2011·全國卷理Ⅱ卷·第5題)下面四個條件中,使成立的充分而不必要條件是(A) (B) (C) (D)【考點分析】本題主要考查充要條件及不等式的性質.解析:即尋找命題,使,且推不出,逐項驗證知可選A.考題3(2011·全國卷新課標卷·第24題)選修4-5:不等式選講設函數,其中。(Ⅰ)當時,求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式的解集為 ,求a的值。【考點分析】本題主要考查絕對值不等式解析:(Ⅰ)當時,可化為。由此可得 或。故不等式的解集為或。(?Ⅱ) 由 得 此不等式化為不等式組 或即 或因為,所以不等式組的解集為由題設可得=,故考題4(2012·全國卷大綱卷·第20題)設函數/。(1)討論/的單調性;(2)設/,求/的取值范圍。【命題意圖】本試題考查了導數在研究函數中的運用。第一就是函數中有三角函數,要利用三角函數的有界性,求解單調區間。另外就是運用導數證明不等式問題的構造函數思想的運用。解:/。(Ⅰ)因為/,所以/。當/時,/,/在/上為單調遞增函數;當/時,/,/在/上為單調遞減函數;當/時,由/得/, 由/得/或/; 由/得/。 所以當/時/在/和/上為為單調遞增函數;在/上為單調遞減函數。[來源:Zxxk.Com](Ⅱ)因為/當/時,/恒成立當/時,/令/,則/又令/,則/則當/時,/,故/,/單調遞減當/時,/,故/,/單調遞增所以/在/時有最小值/,而/,/綜上可知/時,/,故/在區間/單調遞所以/故所求/的取值范圍為/另解:由/恒成立可得/令/,則/當/時,/,當/時,/又/,所以/,即/故當/時,有/(lbylf x)①當/時,/,/,所以//②當/時,/綜上可知故所求/的取值范圍為/。【點評】試題分為兩問,題詞面比較簡單,給出的函數比較新穎,因為里面還有三角函數,這一點對于同學們來說有點難度,不同于平時的練習題,相對來說做得比較少。但是解決的關鍵還是要看導數的符號,求解單調區間。第二問中,運用構造函數的思想,證明不等式,一直以來是個難點,那么這類問題的關鍵是找到合適的函數,運用導數證明最值大于或者小于零的問題得到解決。4.命題預測1.設集合,,則( )A. B. C. D.【答案】B.2.已知/,/滿足約束條件/,若/的最小值為/,則/( )A./ B./ C./ D./【答案】B 3.設正實數滿足,則當取得最大值時, 的最大值為( )A.0 B.1 C. D.3【答案】B 4.當實數,滿足時,恒成立,則實數的取值范圍______.【答案】5.已知______.【答案】12 6.設函數,其中是的導函數.,求的表達式;若恒成立,求實數的取值范圍;(3)設,比較與的大小,并加以證明.解析:(1);(2);(3) 方法1 數學歸納法:①當n=1時,因為左邊,右邊=,所以左邊右邊,不等式成立.②假設當時,不等式成立,即.那么,在(2)中取,可得().令,則,所以,所以.即當時,不等式也成立.根據①②,可知不等式對任意都成立.方法2 放縮法:在(2)中取,可得().令(),則,即,從而().將上述n個不等式依次相加,得故(),結論得證.三、數列與不等式的綜合應用部分 數列和不等式是高考的兩大熱點也是難點,數列是高中數學中一個重要的內容,在高等數學也有很重要的地位,不等式是高中數學培養學生思維能力的一個突出的內容,它可以體現數學思維中的很多方法.數列與不等式的交匯綜合又是高考的重中之重. 近幾年,高考關于數列與不等式的綜合應用的命題趨勢是:(1)以客觀題考查不等式的性質、解法與數列、等差數列、等比數列的簡單交匯.(2)以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數列與不等式的交匯,還有可能涉及到導數、解析幾何、三角函數的知識等,深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數學思想,試題新穎別致,難度相對較大.數列與不等式作為高中數學代數的兩大核心內容,其在高考試卷中處于的核心地位,數列與不等式的綜合是高考的重中之重,有數列與不等式的主要交匯,有不等式與函數的重點交叉,數列與函數、數列與數學歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出.當這些兩者甚至三者交匯結合在一起的時候,問題會變得非常的靈活,對學生的數學思維能力,分析問題和解決問題的能力,計算能力以及數學的思想和方法、數學的素養都有較高的要求.(1)試題主要考查知識重點和熱點是數列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數列和等比數列、歸納與猜想、數學歸納法、比較大小、不等式證明、參數取值范圍的探求,在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移,考查學生數學視野的廣度和進一步學習數學的潛能.(2)求解數列中的某些最值問題,有時須結合不等式來解決,其具體解法有:①建立目標函數,通過不等式確定變量范圍,進而求得最值;②首先利用不等式判斷數列的單調性,然后確定最值;③利用條件中的不等式關系確定最值.(3)探索型問題常常需要由給定的題設條件去探索相應的結論,或探索滿足某些條件的對象是否存在,問題增加了許多可變因素,思維指向不明顯.探索型問題有:①猜想型,即結論未給出,解題時需要首選探索結論,然后再加以證明;②判斷型,即判定符合某種條件的數學對象是否存在或其結論是否成立,解題時常先假設存在,然后求出或導出矛盾.(4) 數列中的不等式問題,一般有放縮,構造函數這兩類常見的方法.用放縮法證明不等式有:①利用迭代法構建關系進行放縮;②利用累加法構建關系進行放縮;③利用累乘法構建關系進行放縮;④利用可求和的新數列構建關系進行放縮.而放縮主要是把數列的通項放縮為一個可求和的數列,如放縮為等比、等差或可裂項求和的數列.考題(2012·全國新課標理科卷·第20題)已知函數/滿足滿足/;(1)求/的解析式及單調區間;(2)若/,求/的最大值。【解析】(1)/ 令/得:// 得://在/上單調遞增/ 得:/的解析式為/ 且單調遞增區間為/,單調遞減區間為/ (2)/得/ ①當/時,/在/上單調遞增/時,/與/矛盾②當/時,/③當/時,/ 得:當/時,// 令/;則// 當/時,/ 當/時,/的最大值為/4.命題預測1.設數列/的前/項和/滿足/,其中/.(1)求證:/是首項為1的等比數列;(2)若/,求證:/,并給出等號成立的充要條件.解析:(1)由/,得/,即/. 因/,故/,得/, 又由題設條件知/,/兩式相減得/,即/, 由/,知/,因此/綜上,/對所有/成立,從而/是首項為1,公比為/的等比數列. (2)當/或/時,顯然/,等號成立. 設/,/且/,由(1)知,/,/,所以要證的不等式化為: /即證:/當/時,上面不等式的等號成立. 當/時,/與/,(/)同為負; 當/時, /與/,(/)同為正; 因此當/且/時,總有 (/)(/)>0,即 /,(/). 上面不等式對/從1到/求和得,/由此得/綜上,當/且/時,有/,當且僅當/或/時等號成立.2.設數列的前項和為.已知,,.(1) 求的值;(2) 求數列的通項公式;(3) 證明:對一切正整數,有.解析:(1) ,. 當時,又,(2),. ① 當時,/ ② 由① — ②,得 數列是以首項為,公差為1的等差數列. 當時,上式顯然成立. (3)由(2)知,①當時,,原不等式成立. ②當時, ,原不等式亦成立. ③當時, 當時,,原不等式亦成立. 綜上,對一切正整數,有. 2016年高考數列與不等式專題分析黃石一中 彭福來程荷花一、數列部分1.考點分析數列是高中數學重要內容,是高考命題的熱點.縱觀近幾年的高考試題,對等差和等比數列的概念、通項公式、性質、前n項和公式,對增長率、分期付款等數列實際應用題多以客觀題和中低檔解答題為主,對數列與函數、方程、不等式、三角函數、解析幾何等相結合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題, 一般控制在之間.2.考試要求2015年高考數學(全國卷)《考試說明》中考試范圍與要求層次:內 容知識要求了解(A)理解(B)掌握(C)數列數列的概念數列的概念√數列的簡單表示法(列表、圖象、通項公式、遞推公式)√等差數列、等比數列等差數列、等比數列的概念√等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式√等差數列、等比數列的簡單應用√具體要求如下:(1)數列的概念和簡單表示法:①了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式);②了解數列是自變量為正整數的一類函數.(2)等差數列、等比數列:① 理解等差數列、等比數列的概念;② 掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式;③ 能在具體的問題情境中,識別數列的等差關系或等比關系,并能用有關知識解決相應的問題;④ 了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系.全國課標卷近三年來的命題趨勢呈現以下特點:回歸課本重基礎,回避技巧重通法,強調運算重交匯.根據全國卷求穩的特點,估計全國卷明年的數列知識考查仍在“通項公式求法與前項和公式應用”中命制,可能與函數交匯,或仍與不等式交匯出題,但在不等式的證明時,理科可能涉及到與數學歸納法知識交匯出題.考題回顧考題1(2014·全國理科Ⅱ卷·第17題)已知數列滿足=1,.(Ⅰ)證明是等比數列,并求的通項公式;(Ⅱ)證明:.【考點分析】等比數列,數列放縮解析: (I)由得。 又,所以是首項為,公比為3的等比數列。,因此的通項公式為. (Ⅱ)由(I)知 因為當時,,所以。于是。所以 【點評】本題主要考查構造等比數列求一般數列,利用放縮求和來證明不等式考題2(2015·全國理科Ⅰ卷·第17題)已知數列{}的前項和為,=1,,,其中為常數.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)是否存在,使得{}為等差數列?并說明理由.【考點分析】數列的和與項的關系,等差數列的定義解析:(I)由題設,兩式相減得 由于,所以 (II)由題設,,,可得由(I)知,令,解得故,由此可得是首項為1,公差為4的等差數列,;是首項為3,公差為4的等差數列,.所以,.因此存在,使得數列為等差數列. 【評析】本題主要考查了等差數列的定義.要求學生對數列的奇數項和偶數項有著較為深刻理解考題3 (2015·全國理科Ⅰ卷·第7題)已知是公差為1的等差數列,為的前項和,若,則()(A)(B)(C)(D)【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式.解析:∵公差,,∴,解得=,∴,故選B.【評析】本題主要考查了等差數列的求和公式以及通項公式考題3 (2012·全國理科Ⅰ卷·第5題)已知等差數列/的前/項和為/,則數列/的前100項和為A./ B./ C./ D./【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式.解析:由/可得///【評析】本題主要考查了等差數列的通項公式和求和公式,要求學生對裂項有一定的認識4.命題預測1.設的三邊長分別為,的面積為,,若,,則( )A.為遞減數列 B. 為遞增數列 C.為遞增數列,為遞減數列 D. 為遞減數列/,為遞增數列【答案】B 2.如圖,互不-相同的點和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設若則數列的通項公式是_________.【答案】3.在公差為的等差數列中,已知,且成等比數列.(1)/求; (2)若,求【答案】(1)由已知得到: , .(2)由(1)知,當時,, ①當時, ②當時, 所以,綜上所述:; 4.已知數列和滿足.若為等比數列,且求與;設.記數列的前項和為.(i)求;(ii)求正整數,使得對任意,均有.【答案】(1)由題意,,,知,又有,得公比(舍去),所以數列的通項公式為,所以,故數列的通項公式為,;(2)(i)由(I)知,,所以;(ii)因為;當時,,而,得,所以當時,,綜上對任意恒有,故.二、不等式部分1.考點分析不等式是高中數學的傳統內容,對不等式的性質、一元二次不等式、簡單的線性規劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現,這類試題雖然難度不大,但往往有一定的靈活性.若是解答題,也是中等難度的題目;高考中涉及不等式的,更多的情況是以函數與導數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體,綜合考查不等式的解法和證明.不等式因它的基礎性(是研究函數、方程、數列等必不可少的工具)、滲透性(容易與其它各部分知識結合在一起)、應用性(實際應用廣泛),很自然地成為每年高考的熱點.近幾年,高考關于不等式的命題趨勢是:(1)單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現,若是解答題也是中等難度的題目;(2)高考中涉及不等式的,更多的情況是以函數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體,綜合考查不等式的解法和證明,突出不等式的工具性.在高考試卷中,有關解不等式的試題一般有一到兩道.2.考試要求2015年高考數學(全國卷)《考試說明》中考試范圍與要求層次:內 容知識要求了解(A)理解(B)掌握(C)不等式(含4-5《不等式選講》)一元二次不等式一元二次不等式解法及應用√一元二次不等式與相應的二次函數、二方程的聯系√簡單的成性規劃用二元一次不等式表示平面區域√簡單的成性規劃問題√基本不等式不等式及其簡單應用√不等式的性質、證明與解法不等式的基本性質√絕對值不等式√不等式的證明(比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法)√用數學歸納法證明一些簡單的不等式(僅限理科)√算術——幾何平均不等式、柯西不等式及其簡單應用(僅限理科)√具體要求如下:(1)不等關系:了解現實世界和日常生活中的不等關系,了解不等式(組)的實際背景.(2)一元二次不等式① 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.② 通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系.③ 會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設計求解的程序框圖.(3)二元一次不等式組與簡單線性規劃問題① 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.② 了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區域表示二元一次不等式組.③ 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題,并能加以解決.(4)基本不等式①探索并了解基本不等式≥(a≥0,b≥0)的證明過程.熟知a≥0,b≥0是基本不等式成立的前提條件;掌握基本不等式的證明方法,能用比較法來證明一些簡單的不等式.② 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題,掌握一些簡單的不等式數學模型以解決實際問題.(5)不等式選講①理解絕對值的幾何意義,并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式:≤+; ≤+.②會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:≤c; ≥c; +≥c.③了解二元柯西不等式的幾種不同形式,理解它們的幾何意義,并會證明.柯西不等式向量形式:·≥;(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.④理解并能夠對算術——幾何平均不等式、柯西不等式進行簡單應用.⑤理解數學歸納法的原理及其使用范圍,會用數學歸納法證明一些簡單問題.⑥理解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.3.考題回顧考題1(2015·全國卷文Ⅰ第15題)若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為.【考點分析】簡單的線性規劃.解析:作出可行域如圖中陰影部分所示,作出直線:,平移直線,當直線:z=3x+y過點A時,z取/最大值,由解得A(1,1),∴z=3x+y的最大值為4./【點評】本題主要考查簡單的線性規劃問題,我們可以利用“圖解法”,準確地作出可行域是前提,利用“平移法”是解題的關鍵.考題2(2010·全國卷理Ⅱ卷·第5題)不等式/的解集為(A)/ (B)/(C) / (D)/【考點分析】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.解析:/利用數軸穿根法解得-2<x<1或x>3,故選C考題2(2011·全國卷理Ⅱ卷·第5題)下面四個條件中,使成立的充分而不必要條件是(A) (B) (C) (D)【考點分析】本題主要考查充要條件及不等式的性質.解析:即尋找命題,使,且推不出,逐項驗證知可選A.考題3(2011·全國卷新課標卷·第24題)選修4-5:不等式選講設函數,其中。(Ⅰ)當時,求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式的解集為 ,求a的值。【考點分析】本題主要考查絕對值不等式解析:(Ⅰ)當時,可化為。由此可得 或。故不等式的解集為或。(?Ⅱ) 由 得 此不等式化為不等式組 或即 或因為,所以不等式組的解集為由題設可得=,故考題4(2012·全國卷大綱卷·第20題)設函數/。(1)討論/的單調性;(2)設/,求/的取值范圍。【命題意圖】本試題考查了導數在研究函數中的運用。第一就是函數中有三角函數,要利用三角函數的有界性,求解單調區間。另外就是運用導數證明不等式問題的構造函數思想的運用。解:/。(Ⅰ)因為/,所以/。當/時,/,/在/上為單調遞增函數;當/時,/,/在/上為單調遞減函數;當/時,由/得/, 由/得/或/; 由/得/。 所以當/時/在/和/上為為單調遞增函數;在/上為單調遞減函數。[來源:Zxxk.Com](Ⅱ)因為/當/時,/恒成立當/時,/令/,則/又令/,則/則當/時,/,故/,/單調遞減當/時,/,故/,/單調遞增所以/在/時有最小值/,而/,/綜上可知/時,/,故/在區間/單調遞所以/故所求/的取值范圍為/另解:由/恒成立可得/令/,則/當/時,/,當/時,/又/,所以/,即/故當/時,有/(lbylf x)①當/時,/,/,所以//②當/時,/綜上可知故所求/的取值范圍為/。【點評】試題分為兩問,題詞面比較簡單,給出的函數比較新穎,因為里面還有三角函數,這一點對于同學們來說有點難度,不同于平時的練習題,相對來說做得比較少。但是解決的關鍵還是要看導數的符號,求解單調區間。第二問中,運用構造函數的思想,證明不等式,一直以來是個難點,那么這類問題的關鍵是找到合適的函數,運用導數證明最值大于或者小于零的問題得到解決。4.命題預測1.設集合,,則( )A. B. C. D.【答案】B.2.已知/,/滿足約束條件/,若/的最小值為/,則/( )A./ B./ C./ D./【答案】B 3.設正實數滿足,則當取得最大值時, 的最大值為( )A.0 B.1 C. D.3【答案】B 4.當實數,滿足時,恒成立,則實數的取值范圍______.【答案】5.已知______.【答案】12 6.設函數,其中是的導函數.,求的表達式;若恒成立,求實數的取值范圍;(3)設,比較與的大小,并加以證明.解析:(1);(2);(3) 方法1 數學歸納法:①當n=1時,因為左邊,右邊=,所以左邊右邊,不等式成立.②假設當時,不等式成立,即.那么,在(2)中取,可得().令,則,所以,所以.即當時,不等式也成立.根據①②,可知不等式對任意都成立.方法2 放縮法:在(2)中取,可得().令(),則,即,從而().將上述n個不等式依次相加,得故(),結論得證.三、數列與不等式的綜合應用部分 數列和不等式是高考的兩大熱點也是難點,數列是高中數學中一個重要的內容,在高等數學也有很重要的地位,不等式是高中數學培養學生思維能力的一個突出的內容,它可以體現數學思維中的很多方法.數列與不等式的交匯綜合又是高考的重中之重. 近幾年,高考關于數列與不等式的綜合應用的命題趨勢是:(1)以客觀題考查不等式的性質、解法與數列、等差數列、等比數列的簡單交匯.(2)以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數列與不等式的交匯,還有可能涉及到導數、解析幾何、三角函數的知識等,深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數學思想,試題新穎別致,難度相對較大.數列與不等式作為高中數學代數的兩大核心內容,其在高考試卷中處于的核心地位,數列與不等式的綜合是高考的重中之重,有數列與不等式的主要交匯,有不等式與函數的重點交叉,數列與函數、數列與數學歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出.當這些兩者甚至三者交匯結合在一起的時候,問題會變得非常的靈活,對學生的數學思維能力,分析問題和解決問題的能力,計算能力以及數學的思想和方法、數學的素養都有較高的要求.(1)試題主要考查知識重點和熱點是數列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數列和等比數列、歸納與猜想、數學歸納法、比較大小、不等式證明、參數取值范圍的探求,在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移,考查學生數學視野的廣度和進一步學習數學的潛能.(2)求解數列中的某些最值問題,有時須結合不等式來解決,其具體解法有:①建立目標函數,通過不等式確定變量范圍,進而求得最值;②首先利用不等式判斷數列的單調性,然后確定最值;③利用條件中的不等式關系確定最值.(3)探索型問題常常需要由給定的題設條件去探索相應的結論,或探索滿足某些條件的對象是否存在,問題增加了許多可變因素,思維指向不明顯.探索型問題有:①猜想型,即結論未給出,解題時需要首選探索結論,然后再加以證明;②判斷型,即判定符合某種條件的數學對象是否存在或其結論是否成立,解題時常先假設存在,然后求出或導出矛盾.(4) 數列中的不等式問題,一般有放縮,構造函數這兩類常見的方法.用放縮法證明不等式有:①利用迭代法構建關系進行放縮;②利用累加法構建關系進行放縮;③利用累乘法構建關系進行放縮;④利用可求和的新數列構建關系進行放縮.而放縮主要是把數列的通項放縮為一個可求和的數列,如放縮為等比、等差或可裂項求和的數列.考題(2012·全國新課標理科卷·第20題)已知函數/滿足滿足/;(1)求/的解析式及單調區間;(2)若/,求/的最大值。【解析】(1)/ 令/得:// 得://在/上單調遞增/ 得:/的解析式為/ 且單調遞增區間為/,單調遞減區間為/ (2)/得/ ①當/時,/在/上單調遞增/時,/與/矛盾②當/時,/③當/時,/ 得:當/時,// 令/;則// 當/時,/ 當/時,/的最大值為/4.命題預測1.設數列/的前/項和/滿足/,其中/.(1)求證:/是首項為1的等比數列;(2)若/,求證:/,并給出等號成立的充要條件.解析:(1)由/,得/,即/. 因/,故/,得/, 又由題設條件知/,/兩式相減得/,即/, 由/,知/,因此/綜上,/對所有/成立,從而/是首項為1,公比為/的等比數列. (2)當/或/時,顯然/,等號成立. 設/,/且/,由(1)知,/,/,所以要證的不等式化為: /即證:/當/時,上面不等式的等號成立. 當/時,/與/,(/)同為負; 當/時, /與/,(/)同為正; 因此當/且/時,總有 (/)(/)>0,即 /,(/). 上面不等式對/從1到/求和得,/由此得/綜上,當/且/時,有/,當且僅當/或/時等號成立.2.設數列的前項和為.已知,,.(1) 求的值;(2) 求數列的通項公式;(3) 證明:對一切正整數,有.解析:(1) ,. 當時,又,(2),. ① 當時,/ ② 由① — ②,得 數列是以首項為,公差為1的等差數列. 當時,上式顯然成立. (3)由(2)知,①當時,,原不等式成立. ②當時, ,原不等式亦成立. ③當時, 當時,,原不等式亦成立. 綜上,對一切正整數,有. 展開更多...... 收起↑ 資源預覽 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫