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2016年高考數列與不等式專題分析

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  1. 二一教育資源

2016年高考數列與不等式專題分析

資源簡介

2016年高考數列與不等式專題分析
黃石一中 彭福來程荷花
一、數列部分
1.考點分析
數列是高中數學重要內容,是高考命題的熱點.縱觀近幾年的高考試題,對等差和等比數列的概念、通項公式、性質、前n項和公式,對增長率、分期付款等數列實際應用題多以客觀題和中低檔解答題為主,對數列與函數、方程、不等式、三角函數、解析幾何等相結合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題, 一般控制在之間.
2.考試要求
2015年高考數學(全國卷)《考試說明》中考試范圍與要求層次:
內     容
知識要求
了解(A)
理解(B)
掌握(C)
數列
數列的概念
數列的概念

數列的簡單表示法(列表、圖象、通項公式、遞推公式)

等差數列、等比數列
等差數列、等比數列的概念

等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式

等差數列、等比數列的簡單應用

具體要求如下:
(1)數列的概念和簡單表示法:①了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式);②了解數列是自變量為正整數的一類函數.
(2)等差數列、等比數列:① 理解等差數列、等比數列的概念;② 掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式;③ 能在具體的問題情境中,識別數列的等差關系或等比關系,并能用有關知識解決相應的問題;④ 了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系.
全國課標卷近三年來的命題趨勢呈現以下特點:回歸課本重基礎,回避技巧重通法,強調運算重交匯.根據全國卷求穩的特點,估計全國卷明年的數列知識考查仍在“通項公式求法與前項和公式應用”中命制,可能與函數交匯,或仍與不等式交匯出題,但在不等式的證明時,理科可能涉及到與數學歸納法知識交匯出題.
考題回顧
考題1(2014·全國理科Ⅱ卷·第17題)已知數列滿足=1,.
(Ⅰ)證明是等比數列,并求的通項公式;
(Ⅱ)證明:.
【考點分析】等比數列,數列放縮
解析: (I)由得。
又,所以是首項為,公比為3的等比數列。
,因此的通項公式為.
(Ⅱ)由(I)知
因為當時,,所以。
于是。
所以
【點評】本題主要考查構造等比數列求一般數列,利用放縮求和來證明不等式
考題2(2015·全國理科Ⅰ卷·第17題)已知數列{}的前項和為,=1,,,其中為常數.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)是否存在,使得{}為等差數列?并說明理由.
【考點分析】數列的和與項的關系,等差數列的定義
解析:(I)由題設,
兩式相減得 由于,所以 (II)由題設,,,可得
由(I)知,令,解得故,由此可得
是首項為1,公差為4的等差數列,;
是首項為3,公差為4的等差數列,.
所以,.
因此存在,使得數列為等差數列.
【評析】本題主要考查了等差數列的定義.要求學生對數列的奇數項和偶數項有著較為深刻理解
考題3 (2015·全國理科Ⅰ卷·第7題)已知是公差為1的等差數列,為的前項和,若,則()
(A)(B)(C)(D)
【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式.
解析:∵公差,,∴,解得=,∴,故選B.
【評析】本題主要考查了等差數列的求和公式以及通項公式
考題3 (2012·全國理科Ⅰ卷·第5題)已知等差數列/的前/項和為/,則數列/的前100項和為
A./ B./ C./ D./
【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式.
解析:由/可得
/
/
/
【評析】本題主要考查了等差數列的通項公式和求和公式,要求學生對裂項有一定的認識
4.命題預測
1.設的三邊長分別為,的面積為,,若,,則( )
A.為遞減數列 B. 為遞增數列
C.為遞增數列,為遞減數列 D. 為遞減數列/,為遞增數列
【答案】B
2.如圖,互不-相同的點和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設若則數列的通項公式是_________.
【答案】
3.在公差為的等差數列中,已知,且成等比數列.
(1)/求; (2)若,求
【答案】(1)由已知得到:
, .
(2)由(1)知,當時,,
①當時,
②當時,
所以,綜上所述:;
4.已知數列和滿足.若為等比數列,且
求與;
設.記數列的前項和為.
(i)求;
(ii)求正整數,使得對任意,均有.
【答案】(1)由題意,,,知,又有,得公比(舍去),所以數列的通項公式為,所以,故數列的通項公式為,;
(2)(i)由(I)知,,所以;
(ii)因為;當時,,而,得,所以當時,,綜上對任意恒有,故.
二、不等式部分
1.考點分析
不等式是高中數學的傳統內容,對不等式的性質、一元二次不等式、簡單的線性規劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現,這類試題雖然難度不大,但往往有一定的靈活性.若是解答題,也是中等難度的題目;高考中涉及不等式的,更多的情況是以函數與導數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體,綜合考查不等式的解法和證明.
不等式因它的基礎性(是研究函數、方程、數列等必不可少的工具)、滲透性(容易與其它各部分知識結合在一起)、應用性(實際應用廣泛),很自然地成為每年高考的熱點.
近幾年,高考關于不等式的命題趨勢是:
(1)單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現,若是解答題也是中等難度的題目;
(2)高考中涉及不等式的,更多的情況是以函數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體,綜合考查不等式的解法和證明,突出不等式的工具性.在高考試卷中,有關解不等式的試題一般有一到兩道.
2.考試要求
2015年高考數學(全國卷)《考試說明》中考試范圍與要求層次:
內 容
知識要求
了解
(A)
理解
(B)
掌握
(C)
不等式
(含4-5
《不等式選講》)
一元二次不等式
一元二次不等式解法及應用

一元二次不等式與相應的二次函數、二方程的聯系

簡單的成性規劃
用二元一次不等式表示平面區域

簡單的成性規劃問題

基本不等式
不等式及其簡單應用

不等式的性質、證明與解法
不等式的基本性質

絕對值不等式

不等式的證明(比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法)

用數學歸納法證明一些簡單的不等式(僅限理科)

算術——幾何平均不等式、柯西不等式及其簡單應用(僅限理科)

具體要求如下:
(1)不等關系:了解現實世界和日常生活中的不等關系,了解不等式(組)的實際背景.
(2)一元二次不等式
① 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.
② 通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系.
③ 會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設計求解的程序框圖.
(3)二元一次不等式組與簡單線性規劃問題
① 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.
② 了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區域表示二元一次不等式組.
③ 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題,并能加以解決.
(4)基本不等式
①探索并了解基本不等式≥(a≥0,b≥0)的證明過程.熟知a≥0,b≥0是基本不等式成立的前提條件;掌握基本不等式的證明方法,能用比較法來證明一些簡單的不等式.
② 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題,掌握一些簡單的不等式數學模型以解決實際問題.
(5)不等式選講
①理解絕對值的幾何意義,并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式:
≤+; ≤+.
②會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:
≤c; ≥c; +≥c.
③了解二元柯西不等式的幾種不同形式,理解它們的幾何意義,并會證明.
柯西不等式向量形式:·≥;(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
④理解并能夠對算術——幾何平均不等式、柯西不等式進行簡單應用.
⑤理解數學歸納法的原理及其使用范圍,會用數學歸納法證明一些簡單問題.
⑥理解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.
3.考題回顧
考題1(2015·全國卷文Ⅰ第15題)若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為.
【考點分析】簡單的線性規劃.
解析:作出可行域如圖中陰影部分所示,作出直線:,平移直線,當直線:z=3x+y過點A時,z取/最大值,由解得A(1,1),∴z=3x+y的最大值為4.
/
【點評】本題主要考查簡單的線性規劃問題,我們可以利用“圖解法”,準確地作出可行域是前提,利用“平移法”是解題的關鍵.
考題2(2010·全國卷理Ⅱ卷·第5題)不等式/的解集為
(A)/ (B)/
(C) / (D)/
【考點分析】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.
解析:/利用數軸穿根法解得-2<x<1或x>3,故選C
考題2(2011·全國卷理Ⅱ卷·第5題)下面四個條件中,使成立的充分而不必要條件是
(A) (B) (C) (D)
【考點分析】本題主要考查充要條件及不等式的性質.
解析:即尋找命題,使,且推不出,逐項驗證知可選A.
考題3(2011·全國卷新課標卷·第24題)選修4-5:不等式選講
設函數,其中。
(Ⅰ)當時,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集為 ,求a的值。
【考點分析】本題主要考查絕對值不等式
解析:(Ⅰ)當時,可化為。
由此可得 或。
故不等式的解集為或。
(?Ⅱ) 由 得
此不等式化為不等式組 或
即 或
因為,所以不等式組的解集為
由題設可得=,故
考題4(2012·全國卷大綱卷·第20題)設函數/。
(1)討論/的單調性;
(2)設/,求/的取值范圍。
【命題意圖】本試題考查了導數在研究函數中的運用。第一就是函數中有三角函數,要利用三角函數的有界性,求解單調區間。另外就是運用導數證明不等式問題的構造函數思想的運用。
解:/。
(Ⅰ)因為/,所以/。
當/時,/,/在/上為單調遞增函數;
當/時,/,/在/上為單調遞減函數;
當/時,由/得/,
由/得/或/;
由/得/。
所以當/時/在/和/上為為單調遞增函數;在/上為單調遞減函數。[來源:Zxxk.Com]
(Ⅱ)因為/
當/時,/恒成立
當/時,/
令/,則
/
又令/,則
/
則當/時,/,故/,/單調遞減
當/時,/,故/,/單調遞增
所以/在/時有最小值/,而
/,/
綜上可知/時,/,故/在區間/單調遞
所以/
故所求/的取值范圍為/
另解:由/恒成立可得/
令/,則/
當/時,/,當/時,/
又/,所以/,即/
故當/時,有/(lbylf x)
①當/時,/,/,所以//
②當/時,/
綜上可知故所求/的取值范圍為/。
【點評】試題分為兩問,題詞面比較簡單,給出的函數比較新穎,因為里面還有三角函數,這一點對于同學們來說有點難度,不同于平時的練習題,相對來說做得比較少。但是解決的關鍵還是要看導數的符號,求解單調區間。第二問中,運用構造函數的思想,證明不等式,一直以來是個難點,那么這類問題的關鍵是找到合適的函數,運用導數證明最值大于或者小于零的問題得到解決。
4.命題預測
1.設集合,,則( )
A. B. C. D.
【答案】B.
2.已知/,/滿足約束條件/,若/的最小值為/,則/(  )
A./ B./ C./ D./
【答案】B
3.設正實數滿足,則當取得最大值時, 的最大值為(  )
A.0 B.1 C. D.3
【答案】B
4.當實數,滿足時,恒成立,則實數的取值范圍______.
【答案】
5.已知______.
【答案】12
6.設函數,其中是的導函數.
,求的表達式;
若恒成立,求實數的取值范圍;
(3)設,比較與的大小,并加以證明.
解析:(1);(2);
(3) 方法1 數學歸納法:
①當n=1時,因為左邊,右邊=,所以左邊右邊,不等式成立.
②假設當時,不等式成立,即.
那么,
在(2)中取,可得().
令,則,
所以,
所以.
即當時,不等式也成立.
根據①②,可知不等式對任意都成立.
方法2 放縮法:
在(2)中取,可得().
令(),則,即,
從而().
將上述n個不等式依次相加,得
故(),結論得證.
三、數列與不等式的綜合應用部分
數列和不等式是高考的兩大熱點也是難點,數列是高中數學中一個重要的內容,在高等數學也有很重要的地位,不等式是高中數學培養學生思維能力的一個突出的內容,它可以體現數學思維中的很多方法.數列與不等式的交匯綜合又是高考的重中之重.
近幾年,高考關于數列與不等式的綜合應用的命題趨勢是:
(1)以客觀題考查不等式的性質、解法與數列、等差數列、等比數列的簡單交匯.
(2)以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數列與不等式的交匯,還有可能涉及到導數、解析幾何、三角函數的知識等,深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數學思想,試題新穎別致,難度相對較大.
數列與不等式作為高中數學代數的兩大核心內容,其在高考試卷中處于的核心地位,數列與不等式的綜合是高考的重中之重,有數列與不等式的主要交匯,有不等式與函數的重點交叉,數列與函數、數列與數學歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出.當這些兩者甚至三者交匯結合在一起的時候,問題會變得非常的靈活,對學生的數學思維能力,分析問題和解決問題的能力,計算能力以及數學的思想和方法、數學的素養都有較高的要求.
(1)試題主要考查知識重點和熱點是數列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數列和等比數列、歸納與猜想、數學歸納法、比較大小、不等式證明、參數取值范圍的探求,在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移,考查學生數學視野的廣度和進一步學習數學的潛能.
(2)求解數列中的某些最值問題,有時須結合不等式來解決,其具體解法有:①建立目標函數,通過不等式確定變量范圍,進而求得最值;②首先利用不等式判斷數列的單調性,然后確定最值;③利用條件中的不等式關系確定最值.
(3)探索型問題常常需要由給定的題設條件去探索相應的結論,或探索滿足某些條件的對象是否存在,問題增加了許多可變因素,思維指向不明顯.探索型問題有:①猜想型,即結論未給出,解題時需要首選探索結論,然后再加以證明;②判斷型,即判定符合某種條件的數學對象是否存在或其結論是否成立,解題時常先假設存在,然后求出或導出矛盾.
(4) 數列中的不等式問題,一般有放縮,構造函數這兩類常見的方法.用放縮法證明不等式有:①利用迭代法構建關系進行放縮;②利用累加法構建關系進行放縮;③利用累乘法構建關系進行放縮;④利用可求和的新數列構建關系進行放縮.而放縮主要是把數列的通項放縮為一個可求和的數列,如放縮為等比、等差或可裂項求和的數列.
考題(2012·全國新課標理科卷·第20題)
已知函數/滿足滿足/;
(1)求/的解析式及單調區間;
(2)若/,求/的最大值。
【解析】(1)/
令/得:/
/
得:/
/在/上單調遞增
/
得:/的解析式為/
且單調遞增區間為/,單調遞減區間為/
(2)/得/
①當/時,/在/上單調遞增
/時,/與/矛盾
②當/時,/
③當/時,/
得:當/時,/
/
令/;則/
/
當/時,/
當/時,/的最大值為/
4.命題預測
1.設數列/的前/項和/滿足/,其中/.
(1)求證:/是首項為1的等比數列;
(2)若/,求證:/,并給出等號成立的充要條件.
解析:(1)由/,得/,即/.
因/,故/,得/,
又由題設條件知/,/
兩式相減得/,即/,
由/,知/,因此/
綜上,/對所有/成立,從而/是首項為1,公比為/的等比數列.
(2)當/或/時,顯然/,等號成立.
設/,/且/,由(1)知,/,/,所以要證的不等式化為:
/
即證:/
當/時,上面不等式的等號成立.
當/時,/與/,(/)同為負;
當/時, /與/,(/)同為正;
因此當/且/時,總有 (/)(/)>0,即
/,(/).
上面不等式對/從1到/求和得,/
由此得/
綜上,當/且/時,有/,當且僅當/或/時等號成立.
2.設數列的前項和為.已知,,.
(1) 求的值;
(2) 求數列的通項公式;
(3) 證明:對一切正整數,有.
解析:(1) ,.
當時,
又,
(2),.

當時,/ ②
由① — ②,得
數列是以首項為,公差為1的等差數列.
當時,上式顯然成立.
(3)由(2)知,
①當時,,原不等式成立.
②當時, ,原不等式亦成立.
③當時,
當時,,原不等式亦成立.
綜上,對一切正整數,有.
2016年高考數列與不等式專題分析
黃石一中 彭福來程荷花
一、數列部分
1.考點分析
數列是高中數學重要內容,是高考命題的熱點.縱觀近幾年的高考試題,對等差和等比數列的概念、通項公式、性質、前n項和公式,對增長率、分期付款等數列實際應用題多以客觀題和中低檔解答題為主,對數列與函數、方程、不等式、三角函數、解析幾何等相結合的綜合題的考查多屬于中高檔題,甚至是壓軸題, 一般控制在之間.
2.考試要求
2015年高考數學(全國卷)《考試說明》中考試范圍與要求層次:
內     容
知識要求
了解(A)
理解(B)
掌握(C)
數列
數列的概念
數列的概念

數列的簡單表示法(列表、圖象、通項公式、遞推公式)

等差數列、等比數列
等差數列、等比數列的概念

等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式

等差數列、等比數列的簡單應用

具體要求如下:
(1)數列的概念和簡單表示法:①了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式);②了解數列是自變量為正整數的一類函數.
(2)等差數列、等比數列:① 理解等差數列、等比數列的概念;② 掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式;③ 能在具體的問題情境中,識別數列的等差關系或等比關系,并能用有關知識解決相應的問題;④ 了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系.
全國課標卷近三年來的命題趨勢呈現以下特點:回歸課本重基礎,回避技巧重通法,強調運算重交匯.根據全國卷求穩的特點,估計全國卷明年的數列知識考查仍在“通項公式求法與前項和公式應用”中命制,可能與函數交匯,或仍與不等式交匯出題,但在不等式的證明時,理科可能涉及到與數學歸納法知識交匯出題.
考題回顧
考題1(2014·全國理科Ⅱ卷·第17題)已知數列滿足=1,.
(Ⅰ)證明是等比數列,并求的通項公式;
(Ⅱ)證明:.
【考點分析】等比數列,數列放縮
解析: (I)由得。
又,所以是首項為,公比為3的等比數列。
,因此的通項公式為.
(Ⅱ)由(I)知
因為當時,,所以。
于是。
所以
【點評】本題主要考查構造等比數列求一般數列,利用放縮求和來證明不等式
考題2(2015·全國理科Ⅰ卷·第17題)已知數列{}的前項和為,=1,,,其中為常數.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)是否存在,使得{}為等差數列?并說明理由.
【考點分析】數列的和與項的關系,等差數列的定義
解析:(I)由題設,
兩式相減得 由于,所以 (II)由題設,,,可得
由(I)知,令,解得故,由此可得
是首項為1,公差為4的等差數列,;
是首項為3,公差為4的等差數列,.
所以,.
因此存在,使得數列為等差數列.
【評析】本題主要考查了等差數列的定義.要求學生對數列的奇數項和偶數項有著較為深刻理解
考題3 (2015·全國理科Ⅰ卷·第7題)已知是公差為1的等差數列,為的前項和,若,則()
(A)(B)(C)(D)
【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式.
解析:∵公差,,∴,解得=,∴,故選B.
【評析】本題主要考查了等差數列的求和公式以及通項公式
考題3 (2012·全國理科Ⅰ卷·第5題)已知等差數列/的前/項和為/,則數列/的前100項和為
A./ B./ C./ D./
【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式.
解析:由/可得
/
/
/
【評析】本題主要考查了等差數列的通項公式和求和公式,要求學生對裂項有一定的認識
4.命題預測
1.設的三邊長分別為,的面積為,,若,,則( )
A.為遞減數列 B. 為遞增數列
C.為遞增數列,為遞減數列 D. 為遞減數列/,為遞增數列
【答案】B
2.如圖,互不-相同的點和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設若則數列的通項公式是_________.
【答案】
3.在公差為的等差數列中,已知,且成等比數列.
(1)/求; (2)若,求
【答案】(1)由已知得到:
, .
(2)由(1)知,當時,,
①當時,
②當時,
所以,綜上所述:;
4.已知數列和滿足.若為等比數列,且
求與;
設.記數列的前項和為.
(i)求;
(ii)求正整數,使得對任意,均有.
【答案】(1)由題意,,,知,又有,得公比(舍去),所以數列的通項公式為,所以,故數列的通項公式為,;
(2)(i)由(I)知,,所以;
(ii)因為;當時,,而,得,所以當時,,綜上對任意恒有,故.
二、不等式部分
1.考點分析
不等式是高中數學的傳統內容,對不等式的性質、一元二次不等式、簡單的線性規劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現,這類試題雖然難度不大,但往往有一定的靈活性.若是解答題,也是中等難度的題目;高考中涉及不等式的,更多的情況是以函數與導數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體,綜合考查不等式的解法和證明.
不等式因它的基礎性(是研究函數、方程、數列等必不可少的工具)、滲透性(容易與其它各部分知識結合在一起)、應用性(實際應用廣泛),很自然地成為每年高考的熱點.
近幾年,高考關于不等式的命題趨勢是:
(1)單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現,若是解答題也是中等難度的題目;
(2)高考中涉及不等式的,更多的情況是以函數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體,綜合考查不等式的解法和證明,突出不等式的工具性.在高考試卷中,有關解不等式的試題一般有一到兩道.
2.考試要求
2015年高考數學(全國卷)《考試說明》中考試范圍與要求層次:
內 容
知識要求
了解
(A)
理解
(B)
掌握
(C)
不等式
(含4-5
《不等式選講》)
一元二次不等式
一元二次不等式解法及應用

一元二次不等式與相應的二次函數、二方程的聯系

簡單的成性規劃
用二元一次不等式表示平面區域

簡單的成性規劃問題

基本不等式
不等式及其簡單應用

不等式的性質、證明與解法
不等式的基本性質

絕對值不等式

不等式的證明(比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法)

用數學歸納法證明一些簡單的不等式(僅限理科)

算術——幾何平均不等式、柯西不等式及其簡單應用(僅限理科)

具體要求如下:
(1)不等關系:了解現實世界和日常生活中的不等關系,了解不等式(組)的實際背景.
(2)一元二次不等式
① 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.
② 通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系.
③ 會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設計求解的程序框圖.
(3)二元一次不等式組與簡單線性規劃問題
① 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.
② 了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區域表示二元一次不等式組.
③ 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題,并能加以解決.
(4)基本不等式
①探索并了解基本不等式≥(a≥0,b≥0)的證明過程.熟知a≥0,b≥0是基本不等式成立的前提條件;掌握基本不等式的證明方法,能用比較法來證明一些簡單的不等式.
② 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題,掌握一些簡單的不等式數學模型以解決實際問題.
(5)不等式選講
①理解絕對值的幾何意義,并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式:
≤+; ≤+.
②會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式:
≤c; ≥c; +≥c.
③了解二元柯西不等式的幾種不同形式,理解它們的幾何意義,并會證明.
柯西不等式向量形式:·≥;(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
④理解并能夠對算術——幾何平均不等式、柯西不等式進行簡單應用.
⑤理解數學歸納法的原理及其使用范圍,會用數學歸納法證明一些簡單問題.
⑥理解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.
3.考題回顧
考題1(2015·全國卷文Ⅰ第15題)若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為.
【考點分析】簡單的線性規劃.
解析:作出可行域如圖中陰影部分所示,作出直線:,平移直線,當直線:z=3x+y過點A時,z取/最大值,由解得A(1,1),∴z=3x+y的最大值為4.
/
【點評】本題主要考查簡單的線性規劃問題,我們可以利用“圖解法”,準確地作出可行域是前提,利用“平移法”是解題的關鍵.
考題2(2010·全國卷理Ⅱ卷·第5題)不等式/的解集為
(A)/ (B)/
(C) / (D)/
【考點分析】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.
解析:/利用數軸穿根法解得-2<x<1或x>3,故選C
考題2(2011·全國卷理Ⅱ卷·第5題)下面四個條件中,使成立的充分而不必要條件是
(A) (B) (C) (D)
【考點分析】本題主要考查充要條件及不等式的性質.
解析:即尋找命題,使,且推不出,逐項驗證知可選A.
考題3(2011·全國卷新課標卷·第24題)選修4-5:不等式選講
設函數,其中。
(Ⅰ)當時,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集為 ,求a的值。
【考點分析】本題主要考查絕對值不等式
解析:(Ⅰ)當時,可化為。
由此可得 或。
故不等式的解集為或。
(?Ⅱ) 由 得
此不等式化為不等式組 或
即 或
因為,所以不等式組的解集為
由題設可得=,故
考題4(2012·全國卷大綱卷·第20題)設函數/。
(1)討論/的單調性;
(2)設/,求/的取值范圍。
【命題意圖】本試題考查了導數在研究函數中的運用。第一就是函數中有三角函數,要利用三角函數的有界性,求解單調區間。另外就是運用導數證明不等式問題的構造函數思想的運用。
解:/。
(Ⅰ)因為/,所以/。
當/時,/,/在/上為單調遞增函數;
當/時,/,/在/上為單調遞減函數;
當/時,由/得/,
由/得/或/;
由/得/。
所以當/時/在/和/上為為單調遞增函數;在/上為單調遞減函數。[來源:Zxxk.Com]
(Ⅱ)因為/
當/時,/恒成立
當/時,/
令/,則
/
又令/,則
/
則當/時,/,故/,/單調遞減
當/時,/,故/,/單調遞增
所以/在/時有最小值/,而
/,/
綜上可知/時,/,故/在區間/單調遞
所以/
故所求/的取值范圍為/
另解:由/恒成立可得/
令/,則/
當/時,/,當/時,/
又/,所以/,即/
故當/時,有/(lbylf x)
①當/時,/,/,所以//
②當/時,/
綜上可知故所求/的取值范圍為/。
【點評】試題分為兩問,題詞面比較簡單,給出的函數比較新穎,因為里面還有三角函數,這一點對于同學們來說有點難度,不同于平時的練習題,相對來說做得比較少。但是解決的關鍵還是要看導數的符號,求解單調區間。第二問中,運用構造函數的思想,證明不等式,一直以來是個難點,那么這類問題的關鍵是找到合適的函數,運用導數證明最值大于或者小于零的問題得到解決。
4.命題預測
1.設集合,,則( )
A. B. C. D.
【答案】B.
2.已知/,/滿足約束條件/,若/的最小值為/,則/(  )
A./ B./ C./ D./
【答案】B
3.設正實數滿足,則當取得最大值時, 的最大值為(  )
A.0 B.1 C. D.3
【答案】B
4.當實數,滿足時,恒成立,則實數的取值范圍______.
【答案】
5.已知______.
【答案】12
6.設函數,其中是的導函數.
,求的表達式;
若恒成立,求實數的取值范圍;
(3)設,比較與的大小,并加以證明.
解析:(1);(2);
(3) 方法1 數學歸納法:
①當n=1時,因為左邊,右邊=,所以左邊右邊,不等式成立.
②假設當時,不等式成立,即.
那么,
在(2)中取,可得().
令,則,
所以,
所以.
即當時,不等式也成立.
根據①②,可知不等式對任意都成立.
方法2 放縮法:
在(2)中取,可得().
令(),則,即,
從而().
將上述n個不等式依次相加,得
故(),結論得證.
三、數列與不等式的綜合應用部分
數列和不等式是高考的兩大熱點也是難點,數列是高中數學中一個重要的內容,在高等數學也有很重要的地位,不等式是高中數學培養學生思維能力的一個突出的內容,它可以體現數學思維中的很多方法.數列與不等式的交匯綜合又是高考的重中之重.
近幾年,高考關于數列與不等式的綜合應用的命題趨勢是:
(1)以客觀題考查不等式的性質、解法與數列、等差數列、等比數列的簡單交匯.
(2)以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數列與不等式的交匯,還有可能涉及到導數、解析幾何、三角函數的知識等,深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數學思想,試題新穎別致,難度相對較大.
數列與不等式作為高中數學代數的兩大核心內容,其在高考試卷中處于的核心地位,數列與不等式的綜合是高考的重中之重,有數列與不等式的主要交匯,有不等式與函數的重點交叉,數列與函數、數列與數學歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出.當這些兩者甚至三者交匯結合在一起的時候,問題會變得非常的靈活,對學生的數學思維能力,分析問題和解決問題的能力,計算能力以及數學的思想和方法、數學的素養都有較高的要求.
(1)試題主要考查知識重點和熱點是數列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數列和等比數列、歸納與猜想、數學歸納法、比較大小、不等式證明、參數取值范圍的探求,在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移,考查學生數學視野的廣度和進一步學習數學的潛能.
(2)求解數列中的某些最值問題,有時須結合不等式來解決,其具體解法有:①建立目標函數,通過不等式確定變量范圍,進而求得最值;②首先利用不等式判斷數列的單調性,然后確定最值;③利用條件中的不等式關系確定最值.
(3)探索型問題常常需要由給定的題設條件去探索相應的結論,或探索滿足某些條件的對象是否存在,問題增加了許多可變因素,思維指向不明顯.探索型問題有:①猜想型,即結論未給出,解題時需要首選探索結論,然后再加以證明;②判斷型,即判定符合某種條件的數學對象是否存在或其結論是否成立,解題時常先假設存在,然后求出或導出矛盾.
(4) 數列中的不等式問題,一般有放縮,構造函數這兩類常見的方法.用放縮法證明不等式有:①利用迭代法構建關系進行放縮;②利用累加法構建關系進行放縮;③利用累乘法構建關系進行放縮;④利用可求和的新數列構建關系進行放縮.而放縮主要是把數列的通項放縮為一個可求和的數列,如放縮為等比、等差或可裂項求和的數列.
考題(2012·全國新課標理科卷·第20題)
已知函數/滿足滿足/;
(1)求/的解析式及單調區間;
(2)若/,求/的最大值。
【解析】(1)/
令/得:/
/
得:/
/在/上單調遞增
/
得:/的解析式為/
且單調遞增區間為/,單調遞減區間為/
(2)/得/
①當/時,/在/上單調遞增
/時,/與/矛盾
②當/時,/
③當/時,/
得:當/時,/
/
令/;則/
/
當/時,/
當/時,/的最大值為/
4.命題預測
1.設數列/的前/項和/滿足/,其中/.
(1)求證:/是首項為1的等比數列;
(2)若/,求證:/,并給出等號成立的充要條件.
解析:(1)由/,得/,即/.
因/,故/,得/,
又由題設條件知/,/
兩式相減得/,即/,
由/,知/,因此/
綜上,/對所有/成立,從而/是首項為1,公比為/的等比數列.
(2)當/或/時,顯然/,等號成立.
設/,/且/,由(1)知,/,/,所以要證的不等式化為:
/
即證:/
當/時,上面不等式的等號成立.
當/時,/與/,(/)同為負;
當/時, /與/,(/)同為正;
因此當/且/時,總有 (/)(/)>0,即
/,(/).
上面不等式對/從1到/求和得,/
由此得/
綜上,當/且/時,有/,當且僅當/或/時等號成立.
2.設數列的前項和為.已知,,.
(1) 求的值;
(2) 求數列的通項公式;
(3) 證明:對一切正整數,有.
解析:(1) ,.
當時,
又,
(2),.

當時,/ ②
由① — ②,得
數列是以首項為,公差為1的等差數列.
當時,上式顯然成立.
(3)由(2)知,
①當時,,原不等式成立.
②當時, ,原不等式亦成立.
③當時,
當時,,原不等式亦成立.
綜上,對一切正整數,有.

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