資源簡介

2016年高考數列與不等式專題分析
黃石一中 彭福來程荷花
一、數列部分
1．考點分析
數列是高中數學重要內容，是高考命題的熱點.縱觀近幾年的高考試題，對等差和等比數列的概念、通項公式、性質、前n項和公式，對增長率、分期付款等數列實際應用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對數列與函數、方程、不等式、三角函數、解析幾何等相結合的綜合題的考查多屬于中高檔題，甚至是壓軸題, 一般控制在之間．
2．考試要求
2015年高考數學（全國卷）《考試說明》中考試范圍與要求層次：
內　　　　　容
知識要求
了解（A）
理解（B）
掌握（C）
數列
數列的概念
數列的概念
√
數列的簡單表示法（列表、圖象、通項公式、遞推公式）
√
等差數列、等比數列
等差數列、等比數列的概念
√
等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式
√
等差數列、等比數列的簡單應用
√
具體要求如下：
（1）數列的概念和簡單表示法：①了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）；②了解數列是自變量為正整數的一類函數．
（2）等差數列、等比數列：① 理解等差數列、等比數列的概念；② 掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式；③ 能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題；④ 了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系．
全國課標卷近三年來的命題趨勢呈現以下特點：回歸課本重基礎，回避技巧重通法，強調運算重交匯．根據全國卷求穩的特點，估計全國卷明年的數列知識考查仍在“通項公式求法與前項和公式應用”中命制，可能與函數交匯，或仍與不等式交匯出題，但在不等式的證明時，理科可能涉及到與數學歸納法知識交匯出題．
考題回顧
考題1（2014·全國理科Ⅱ卷·第17題）已知數列滿足=1，.
（Ⅰ）證明是等比數列，并求的通項公式；
（Ⅱ）證明：.
【考點分析】等比數列，數列放縮
解析： （I）由得。
又，所以是首項為，公比為3的等比數列。
，因此的通項公式為.
（Ⅱ）由（I）知
因為當時，，所以。
于是。
所以
【點評】本題主要考查構造等比數列求一般數列，利用放縮求和來證明不等式
考題2（2015·全國理科Ⅰ卷·第17題）已知數列{}的前項和為，=1，，，其中為常數.
(Ⅰ)證明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}為等差數列？并說明理由.
【考點分析】數列的和與項的關系，等差數列的定義
解析：（I）由題設，
兩式相減得 由于，所以 （II）由題設，，，可得
由（I）知，令，解得故，由此可得
是首項為1，公差為4的等差數列，；
是首項為3，公差為4的等差數列，.
所以，.
因此存在，使得數列為等差數列.
【評析】本題主要考查了等差數列的定義.要求學生對數列的奇數項和偶數項有著較為深刻理解
考題3 （2015·全國理科Ⅰ卷·第7題）已知是公差為1的等差數列，為的前項和，若，則（）
（A）（B）（C）（D）
【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式．
解析：∵公差，，∴，解得=，∴，故選B.
【評析】本題主要考查了等差數列的求和公式以及通項公式
考題3 （2012·全國理科Ⅰ卷·第5題）已知等差數列/的前/項和為/，則數列/的前100項和為
A．/ B．/ C．/ D．/
【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式．
解析：由/可得
/
/
/
【評析】本題主要考查了等差數列的通項公式和求和公式，要求學生對裂項有一定的認識
4．命題預測
1．設的三邊長分別為,的面積為,,若,,則( )
A.為遞減數列 B. 為遞增數列
C.為遞增數列,為遞減數列 D. 為遞減數列/,為遞增數列
【答案】B
2．如圖,互不-相同的點和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設若則數列的通項公式是_________.
【答案】
3．在公差為的等差數列中,已知,且成等比數列.
(1)/求; (2)若,求
【答案】(1)由已知得到:
， ．
(2)由(1)知,當時,,
①當時,
②當時,
所以,綜上所述:;
4.已知數列和滿足.若為等比數列，且
求與；
設．記數列的前項和為.
（i）求；
（ii）求正整數，使得對任意，均有．
【答案】（1）由題意，，，知，又有，得公比（舍去），所以數列的通項公式為，所以，故數列的通項公式為，；
（2）（i）由（I）知，，所以；
（ii）因為；當時，，而，得，所以當時，，綜上對任意恒有，故．
二、不等式部分
1．考點分析
不等式是高中數學的傳統內容，對不等式的性質、一元二次不等式、簡單的線性規劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現，這類試題雖然難度不大，但往往有一定的靈活性．若是解答題，也是中等難度的題目；高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數與導數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體，綜合考查不等式的解法和證明．
不等式因它的基礎性（是研究函數、方程、數列等必不可少的工具）、滲透性（容易與其它各部分知識結合在一起）、應用性（實際應用廣泛），很自然地成為每年高考的熱點．
近幾年，高考關于不等式的命題趨勢是：
（1）單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現，若是解答題也是中等難度的題目；
（2）高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體，綜合考查不等式的解法和證明，突出不等式的工具性．在高考試卷中，有關解不等式的試題一般有一到兩道．
2．考試要求
2015年高考數學（全國卷）《考試說明》中考試范圍與要求層次：
內 容
知識要求
了解
（A）
理解
（B）
掌握
（C）
不等式
（含4－5
《不等式選講》）
一元二次不等式
一元二次不等式解法及應用
√
一元二次不等式與相應的二次函數、二方程的聯系
√
簡單的成性規劃
用二元一次不等式表示平面區域
√
簡單的成性規劃問題
√
基本不等式
不等式及其簡單應用
√
不等式的性質、證明與解法
不等式的基本性質
√
絕對值不等式
√
不等式的證明（比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法）
√
用數學歸納法證明一些簡單的不等式（僅限理科）
√
算術——幾何平均不等式、柯西不等式及其簡單應用（僅限理科）
√
具體要求如下：
（1）不等關系：了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景．
（2）一元二次不等式
① 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．
② 通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系．
③ 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖．
（3）二元一次不等式組與簡單線性規劃問題
① 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．
② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組．
③ 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決．
（4）基本不等式
①探索并了解基本不等式≥(a≥0，b≥0)的證明過程．熟知a≥0，b≥0是基本不等式成立的前提條件；掌握基本不等式的證明方法，能用比較法來證明一些簡單的不等式．
② 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題，掌握一些簡單的不等式數學模型以解決實際問題．
（5）不等式選講
①理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：
≤＋； ≤＋.
②會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：
≤c； ≥c； ＋≥c.
③了解二元柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明．
柯西不等式向量形式：·≥；(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
④理解并能夠對算術——幾何平均不等式、柯西不等式進行簡單應用．
⑤理解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用數學歸納法證明一些簡單問題．
⑥理解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法．
3．考題回顧
考題1（2015·全國卷文Ⅰ第15題）若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為．
【考點分析】簡單的線性規劃．
解析：作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線：，平移直線，當直線:z=3x+y過點A時，z取/最大值，由解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值為4.
/
【點評】本題主要考查簡單的線性規劃問題，我們可以利用“圖解法”，準確地作出可行域是前提，利用“平移法”是解題的關鍵．
考題2（2010·全國卷理Ⅱ卷·第5題）不等式/的解集為
（A）/ （B）/
（C） / （D）/
【考點分析】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.
解析：/利用數軸穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故選C
考題2（2011·全國卷理Ⅱ卷·第5題）下面四個條件中，使成立的充分而不必要條件是
（A） （B） （C） （D）
【考點分析】本題主要考查充要條件及不等式的性質.
解析：即尋找命題,使,且推不出,逐項驗證知可選A.
考題3（2011·全國卷新課標卷·第24題）選修4-5：不等式選講
設函數,其中。
（Ⅰ）當時，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集為 ，求a的值。
【考點分析】本題主要考查絕對值不等式
解析：（Ⅰ）當時，可化為。
由此可得 或。
故不等式的解集為或。
(?Ⅱ) 由 得
此不等式化為不等式組 或
即 或
因為，所以不等式組的解集為
由題設可得=，故
考題4（2012·全國卷大綱卷·第20題）設函數/。
（1）討論/的單調性；
（2）設/，求/的取值范圍。
【命題意圖】本試題考查了導數在研究函數中的運用。第一就是函數中有三角函數，要利用三角函數的有界性，求解單調區間。另外就是運用導數證明不等式問題的構造函數思想的運用。
解：/。
（Ⅰ）因為/，所以/。
當/時，/，/在/上為單調遞增函數；
當/時，/，/在/上為單調遞減函數；
當/時，由/得/，
由/得/或/；
由/得/。
所以當/時/在/和/上為為單調遞增函數；在/上為單調遞減函數。[來源:Zxxk.Com]
（Ⅱ）因為/
當/時，/恒成立
當/時，/
令/，則
/
又令/，則
/
則當/時，/，故/，/單調遞減
當/時，/，故/，/單調遞增
所以/在/時有最小值/，而
/，/
綜上可知/時，/，故/在區間/單調遞
所以/
故所求/的取值范圍為/
另解：由/恒成立可得/
令/，則/
當/時，/，當/時，/
又/，所以/，即/
故當/時，有/（lbylf x）
①當/時，/，/，所以//
②當/時，/
綜上可知故所求/的取值范圍為/。
【點評】試題分為兩問，題詞面比較簡單，給出的函數比較新穎，因為里面還有三角函數，這一點對于同學們來說有點難度，不同于平時的練習題，相對來說做得比較少。但是解決的關鍵還是要看導數的符號，求解單調區間。第二問中，運用構造函數的思想，證明不等式，一直以來是個難點，那么這類問題的關鍵是找到合適的函數，運用導數證明最值大于或者小于零的問題得到解決。
4．命題預測
1．設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
2．已知/,/滿足約束條件/,若/的最小值為/,則/（　　）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
3．設正實數滿足，則當取得最大值時, 的最大值為（　　）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】B
4．當實數，滿足時，恒成立，則實數的取值范圍______．
【答案】
5．已知______．
【答案】12
6．設函數，其中是的導函數.
，求的表達式；
若恒成立，求實數的取值范圍；
（3）設，比較與的大小，并加以證明.
解析：（1）；（2）；
(3) 方法1 數學歸納法：
①當n＝1時，因為左邊，右邊＝，所以左邊右邊，不等式成立．
②假設當時，不等式成立，即．
那么，
在（2）中取，可得（）．
令，則，
所以，
所以．
即當時，不等式也成立．
根據①②，可知不等式對任意都成立．
方法2 放縮法：
在（2）中取，可得（）．
令（），則，即，
從而（）．
將上述n個不等式依次相加，得
故（），結論得證．
三、數列與不等式的綜合應用部分
數列和不等式是高考的兩大熱點也是難點，數列是高中數學中一個重要的內容，在高等數學也有很重要的地位，不等式是高中數學培養學生思維能力的一個突出的內容，它可以體現數學思維中的很多方法.數列與不等式的交匯綜合又是高考的重中之重.
近幾年，高考關于數列與不等式的綜合應用的命題趨勢是：
（1）以客觀題考查不等式的性質、解法與數列、等差數列、等比數列的簡單交匯．
（2）以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數列與不等式的交匯，還有可能涉及到導數、解析幾何、三角函數的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數學思想，試題新穎別致，難度相對較大．
數列與不等式作為高中數學代數的兩大核心內容，其在高考試卷中處于的核心地位，數列與不等式的綜合是高考的重中之重，有數列與不等式的主要交匯，有不等式與函數的重點交叉，數列與函數、數列與數學歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出．當這些兩者甚至三者交匯結合在一起的時候，問題會變得非常的靈活，對學生的數學思維能力，分析問題和解決問題的能力，計算能力以及數學的思想和方法、數學的素養都有較高的要求．
（1）試題主要考查知識重點和熱點是數列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數列和等比數列、歸納與猜想、數學歸納法、比較大小、不等式證明、參數取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移，考查學生數學視野的廣度和進一步學習數學的潛能．
（2）求解數列中的某些最值問題，有時須結合不等式來解決，其具體解法有：①建立目標函數，通過不等式確定變量范圍，進而求得最值；②首先利用不等式判斷數列的單調性，然后確定最值；③利用條件中的不等式關系確定最值．
（3）探索型問題常常需要由給定的題設條件去探索相應的結論，或探索滿足某些條件的對象是否存在，問題增加了許多可變因素，思維指向不明顯．探索型問題有：①猜想型，即結論未給出，解題時需要首選探索結論，然后再加以證明；②判斷型，即判定符合某種條件的數學對象是否存在或其結論是否成立，解題時常先假設存在，然后求出或導出矛盾．
（4） 數列中的不等式問題，一般有放縮，構造函數這兩類常見的方法．用放縮法證明不等式有：①利用迭代法構建關系進行放縮；②利用累加法構建關系進行放縮；③利用累乘法構建關系進行放縮；④利用可求和的新數列構建關系進行放縮．而放縮主要是把數列的通項放縮為一個可求和的數列，如放縮為等比、等差或可裂項求和的數列．
考題（2012·全國新課標理科卷·第20題）
已知函數/滿足滿足/；
（1）求/的解析式及單調區間；
（2）若/，求/的最大值。
【解析】（1）/
令/得：/
/
得：/
/在/上單調遞增
/
得：/的解析式為/
且單調遞增區間為/，單調遞減區間為/
（2）/得/
①當/時，/在/上單調遞增
/時，/與/矛盾
②當/時，/
③當/時，/
得：當/時，/
/
令/；則/
/
當/時，/
當/時，/的最大值為/
4．命題預測
1．設數列/的前/項和/滿足/,其中/.
(1)求證:/是首項為1的等比數列;
(2)若/,求證:/,并給出等號成立的充要條件.
解析：(1)由/,得/,即/.
因/,故/,得/,
又由題設條件知/,/
兩式相減得/,即/,
由/,知/,因此/
綜上,/對所有/成立,從而/是首項為1,公比為/的等比數列.
(2)當/或/時,顯然/,等號成立.
設/,/且/,由(1)知,/,/,所以要證的不等式化為:
/
即證:/
當/時,上面不等式的等號成立.
當/時,/與/,(/)同為負;
當/時, /與/,(/)同為正;
因此當/且/時,總有 (/)(/)>0,即
/,(/).
上面不等式對/從1到/求和得,/
由此得/
綜上,當/且/時,有/,當且僅當/或/時等號成立．
2．設數列的前項和為.已知,,.
(1) 求的值;
(2) 求數列的通項公式;
(3) 證明:對一切正整數,有.
解析：(1) ,.
當時,
又,
(2),.
①
當時,/ ②
由① — ②,得
數列是以首項為,公差為1的等差數列.
當時,上式顯然成立.
(3)由(2)知,
①當時,,原不等式成立.
②當時, ,原不等式亦成立.
③當時,
當時,,原不等式亦成立.
綜上,對一切正整數,有.
2016年高考數列與不等式專題分析
黃石一中 彭福來程荷花
一、數列部分
1．考點分析
數列是高中數學重要內容，是高考命題的熱點.縱觀近幾年的高考試題，對等差和等比數列的概念、通項公式、性質、前n項和公式，對增長率、分期付款等數列實際應用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對數列與函數、方程、不等式、三角函數、解析幾何等相結合的綜合題的考查多屬于中高檔題，甚至是壓軸題, 一般控制在之間．
2．考試要求
2015年高考數學（全國卷）《考試說明》中考試范圍與要求層次：
內　　　　　容
知識要求
了解（A）
理解（B）
掌握（C）
數列
數列的概念
數列的概念
√
數列的簡單表示法（列表、圖象、通項公式、遞推公式）
√
等差數列、等比數列
等差數列、等比數列的概念
√
等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式
√
等差數列、等比數列的簡單應用
√
具體要求如下：
（1）數列的概念和簡單表示法：①了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）；②了解數列是自變量為正整數的一類函數．
（2）等差數列、等比數列：① 理解等差數列、等比數列的概念；② 掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式；③ 能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題；④ 了解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關系．
全國課標卷近三年來的命題趨勢呈現以下特點：回歸課本重基礎，回避技巧重通法，強調運算重交匯．根據全國卷求穩的特點，估計全國卷明年的數列知識考查仍在“通項公式求法與前項和公式應用”中命制，可能與函數交匯，或仍與不等式交匯出題，但在不等式的證明時，理科可能涉及到與數學歸納法知識交匯出題．
考題回顧
考題1（2014·全國理科Ⅱ卷·第17題）已知數列滿足=1，.
（Ⅰ）證明是等比數列，并求的通項公式；
（Ⅱ）證明：.
【考點分析】等比數列，數列放縮
解析： （I）由得。
又，所以是首項為，公比為3的等比數列。
，因此的通項公式為.
（Ⅱ）由（I）知
因為當時，，所以。
于是。
所以
【點評】本題主要考查構造等比數列求一般數列，利用放縮求和來證明不等式
考題2（2015·全國理科Ⅰ卷·第17題）已知數列{}的前項和為，=1，，，其中為常數.
(Ⅰ)證明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}為等差數列？并說明理由.
【考點分析】數列的和與項的關系，等差數列的定義
解析：（I）由題設，
兩式相減得 由于，所以 （II）由題設，，，可得
由（I）知，令，解得故，由此可得
是首項為1，公差為4的等差數列，；
是首項為3，公差為4的等差數列，.
所以，.
因此存在，使得數列為等差數列.
【評析】本題主要考查了等差數列的定義.要求學生對數列的奇數項和偶數項有著較為深刻理解
考題3 （2015·全國理科Ⅰ卷·第7題）已知是公差為1的等差數列，為的前項和，若，則（）
（A）（B）（C）（D）
【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式．
解析：∵公差，，∴，解得=，∴，故選B.
【評析】本題主要考查了等差數列的求和公式以及通項公式
考題3 （2012·全國理科Ⅰ卷·第5題）已知等差數列/的前/項和為/，則數列/的前100項和為
A．/ B．/ C．/ D．/
【考點分析】等差數列通項公式及前n項和公式．
解析：由/可得
/
/
/
【評析】本題主要考查了等差數列的通項公式和求和公式，要求學生對裂項有一定的認識
4．命題預測
1．設的三邊長分別為,的面積為,,若,,則( )
A.為遞減數列 B. 為遞增數列
C.為遞增數列,為遞減數列 D. 為遞減數列/,為遞增數列
【答案】B
2．如圖,互不-相同的點和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設若則數列的通項公式是_________.
【答案】
3．在公差為的等差數列中,已知,且成等比數列.
(1)/求; (2)若,求
【答案】(1)由已知得到:
， ．
(2)由(1)知,當時,,
①當時,
②當時,
所以,綜上所述:;
4.已知數列和滿足.若為等比數列，且
求與；
設．記數列的前項和為.
（i）求；
（ii）求正整數，使得對任意，均有．
【答案】（1）由題意，，，知，又有，得公比（舍去），所以數列的通項公式為，所以，故數列的通項公式為，；
（2）（i）由（I）知，，所以；
（ii）因為；當時，，而，得，所以當時，，綜上對任意恒有，故．
二、不等式部分
1．考點分析
不等式是高中數學的傳統內容，對不等式的性質、一元二次不等式、簡單的線性規劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現，這類試題雖然難度不大，但往往有一定的靈活性．若是解答題，也是中等難度的題目；高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數與導數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體，綜合考查不等式的解法和證明．
不等式因它的基礎性（是研究函數、方程、數列等必不可少的工具）、滲透性（容易與其它各部分知識結合在一起）、應用性（實際應用廣泛），很自然地成為每年高考的熱點．
近幾年，高考關于不等式的命題趨勢是：
（1）單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現，若是解答題也是中等難度的題目；
（2）高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數、方程、三角、數列、解析幾何等知識為載體，綜合考查不等式的解法和證明，突出不等式的工具性．在高考試卷中，有關解不等式的試題一般有一到兩道．
2．考試要求
2015年高考數學（全國卷）《考試說明》中考試范圍與要求層次：
內 容
知識要求
了解
（A）
理解
（B）
掌握
（C）
不等式
（含4－5
《不等式選講》）
一元二次不等式
一元二次不等式解法及應用
√
一元二次不等式與相應的二次函數、二方程的聯系
√
簡單的成性規劃
用二元一次不等式表示平面區域
√
簡單的成性規劃問題
√
基本不等式
不等式及其簡單應用
√
不等式的性質、證明與解法
不等式的基本性質
√
絕對值不等式
√
不等式的證明（比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法）
√
用數學歸納法證明一些簡單的不等式（僅限理科）
√
算術——幾何平均不等式、柯西不等式及其簡單應用（僅限理科）
√
具體要求如下：
（1）不等關系：了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景．
（2）一元二次不等式
① 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．
② 通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系．
③ 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖．
（3）二元一次不等式組與簡單線性規劃問題
① 會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．
② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組．
③ 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決．
（4）基本不等式
①探索并了解基本不等式≥(a≥0，b≥0)的證明過程．熟知a≥0，b≥0是基本不等式成立的前提條件；掌握基本不等式的證明方法，能用比較法來證明一些簡單的不等式．
② 會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題，掌握一些簡單的不等式數學模型以解決實際問題．
（5）不等式選講
①理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：
≤＋； ≤＋.
②會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：
≤c； ≥c； ＋≥c.
③了解二元柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明．
柯西不等式向量形式：·≥；(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
④理解并能夠對算術——幾何平均不等式、柯西不等式進行簡單應用．
⑤理解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用數學歸納法證明一些簡單問題．
⑥理解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法．
3．考題回顧
考題1（2015·全國卷文Ⅰ第15題）若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為．
【考點分析】簡單的線性規劃．
解析：作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線：，平移直線，當直線:z=3x+y過點A時，z取/最大值，由解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值為4.
/
【點評】本題主要考查簡單的線性規劃問題，我們可以利用“圖解法”，準確地作出可行域是前提，利用“平移法”是解題的關鍵．
考題2（2010·全國卷理Ⅱ卷·第5題）不等式/的解集為
（A）/ （B）/
（C） / （D）/
【考點分析】本試題主要考察分式不等式與高次不等式的解法.
解析：/利用數軸穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，故選C
考題2（2011·全國卷理Ⅱ卷·第5題）下面四個條件中，使成立的充分而不必要條件是
（A） （B） （C） （D）
【考點分析】本題主要考查充要條件及不等式的性質.
解析：即尋找命題,使,且推不出,逐項驗證知可選A.
考題3（2011·全國卷新課標卷·第24題）選修4-5：不等式選講
設函數,其中。
（Ⅰ）當時，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集為 ，求a的值。
【考點分析】本題主要考查絕對值不等式
解析：（Ⅰ）當時，可化為。
由此可得 或。
故不等式的解集為或。
(?Ⅱ) 由 得
此不等式化為不等式組 或
即 或
因為，所以不等式組的解集為
由題設可得=，故
考題4（2012·全國卷大綱卷·第20題）設函數/。
（1）討論/的單調性；
（2）設/，求/的取值范圍。
【命題意圖】本試題考查了導數在研究函數中的運用。第一就是函數中有三角函數，要利用三角函數的有界性，求解單調區間。另外就是運用導數證明不等式問題的構造函數思想的運用。
解：/。
（Ⅰ）因為/，所以/。
當/時，/，/在/上為單調遞增函數；
當/時，/，/在/上為單調遞減函數；
當/時，由/得/，
由/得/或/；
由/得/。
所以當/時/在/和/上為為單調遞增函數；在/上為單調遞減函數。[來源:Zxxk.Com]
（Ⅱ）因為/
當/時，/恒成立
當/時，/
令/，則
/
又令/，則
/
則當/時，/，故/，/單調遞減
當/時，/，故/，/單調遞增
所以/在/時有最小值/，而
/，/
綜上可知/時，/，故/在區間/單調遞
所以/
故所求/的取值范圍為/
另解：由/恒成立可得/
令/，則/
當/時，/，當/時，/
又/，所以/，即/
故當/時，有/（lbylf x）
①當/時，/，/，所以//
②當/時，/
綜上可知故所求/的取值范圍為/。
【點評】試題分為兩問，題詞面比較簡單，給出的函數比較新穎，因為里面還有三角函數，這一點對于同學們來說有點難度，不同于平時的練習題，相對來說做得比較少。但是解決的關鍵還是要看導數的符號，求解單調區間。第二問中，運用構造函數的思想，證明不等式，一直以來是個難點，那么這類問題的關鍵是找到合適的函數，運用導數證明最值大于或者小于零的問題得到解決。
4．命題預測
1．設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
2．已知/,/滿足約束條件/,若/的最小值為/,則/（　　）
A．/ B．/ C．/ D．/
【答案】B
3．設正實數滿足，則當取得最大值時, 的最大值為（　　）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】B
4．當實數，滿足時，恒成立，則實數的取值范圍______．
【答案】
5．已知______．
【答案】12
6．設函數，其中是的導函數.
，求的表達式；
若恒成立，求實數的取值范圍；
（3）設，比較與的大小，并加以證明.
解析：（1）；（2）；
(3) 方法1 數學歸納法：
①當n＝1時，因為左邊，右邊＝，所以左邊右邊，不等式成立．
②假設當時，不等式成立，即．
那么，
在（2）中取，可得（）．
令，則，
所以，
所以．
即當時，不等式也成立．
根據①②，可知不等式對任意都成立．
方法2 放縮法：
在（2）中取，可得（）．
令（），則，即，
從而（）．
將上述n個不等式依次相加，得
故（），結論得證．
三、數列與不等式的綜合應用部分
數列和不等式是高考的兩大熱點也是難點，數列是高中數學中一個重要的內容，在高等數學也有很重要的地位，不等式是高中數學培養學生思維能力的一個突出的內容，它可以體現數學思維中的很多方法.數列與不等式的交匯綜合又是高考的重中之重.
近幾年，高考關于數列與不等式的綜合應用的命題趨勢是：
（1）以客觀題考查不等式的性質、解法與數列、等差數列、等比數列的簡單交匯．
（2）以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數列與不等式的交匯，還有可能涉及到導數、解析幾何、三角函數的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數學思想，試題新穎別致，難度相對較大．
數列與不等式作為高中數學代數的兩大核心內容，其在高考試卷中處于的核心地位，數列與不等式的綜合是高考的重中之重，有數列與不等式的主要交匯，有不等式與函數的重點交叉，數列與函數、數列與數學歸納法、不等式與解析幾何的交匯也比較突出．當這些兩者甚至三者交匯結合在一起的時候，問題會變得非常的靈活，對學生的數學思維能力，分析問題和解決問題的能力，計算能力以及數學的思想和方法、數學的素養都有較高的要求．
（1）試題主要考查知識重點和熱點是數列的通項公式、前n項和公式以及二者之間的關系、等差數列和等比數列、歸納與猜想、數學歸納法、比較大小、不等式證明、參數取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應用.此類題型主要考查學生對知識的靈活變通、融合與遷移，考查學生數學視野的廣度和進一步學習數學的潛能．
（2）求解數列中的某些最值問題，有時須結合不等式來解決，其具體解法有：①建立目標函數，通過不等式確定變量范圍，進而求得最值；②首先利用不等式判斷數列的單調性，然后確定最值；③利用條件中的不等式關系確定最值．
（3）探索型問題常常需要由給定的題設條件去探索相應的結論，或探索滿足某些條件的對象是否存在，問題增加了許多可變因素，思維指向不明顯．探索型問題有：①猜想型，即結論未給出，解題時需要首選探索結論，然后再加以證明；②判斷型，即判定符合某種條件的數學對象是否存在或其結論是否成立，解題時常先假設存在，然后求出或導出矛盾．
（4） 數列中的不等式問題，一般有放縮，構造函數這兩類常見的方法．用放縮法證明不等式有：①利用迭代法構建關系進行放縮；②利用累加法構建關系進行放縮；③利用累乘法構建關系進行放縮；④利用可求和的新數列構建關系進行放縮．而放縮主要是把數列的通項放縮為一個可求和的數列，如放縮為等比、等差或可裂項求和的數列．
考題（2012·全國新課標理科卷·第20題）
已知函數/滿足滿足/；
（1）求/的解析式及單調區間；
（2）若/，求/的最大值。
【解析】（1）/
令/得：/
/
得：/
/在/上單調遞增
/
得：/的解析式為/
且單調遞增區間為/，單調遞減區間為/
（2）/得/
①當/時，/在/上單調遞增
/時，/與/矛盾
②當/時，/
③當/時，/
得：當/時，/
/
令/；則/
/
當/時，/
當/時，/的最大值為/
4．命題預測
1．設數列/的前/項和/滿足/,其中/.
(1)求證:/是首項為1的等比數列;
(2)若/,求證:/,并給出等號成立的充要條件.
解析：(1)由/,得/,即/.
因/,故/,得/,
又由題設條件知/,/
兩式相減得/,即/,
由/,知/,因此/
綜上,/對所有/成立,從而/是首項為1,公比為/的等比數列.
(2)當/或/時,顯然/,等號成立.
設/,/且/,由(1)知,/,/,所以要證的不等式化為:
/
即證:/
當/時,上面不等式的等號成立.
當/時,/與/,(/)同為負;
當/時, /與/,(/)同為正;
因此當/且/時,總有 (/)(/)>0,即
/,(/).
上面不等式對/從1到/求和得,/
由此得/
綜上,當/且/時,有/,當且僅當/或/時等號成立．
2．設數列的前項和為.已知,,.
(1) 求的值;
(2) 求數列的通項公式;
(3) 證明:對一切正整數,有.
解析：(1) ,.
當時,
又,
(2),.
①
當時,/ ②
由① — ②,得
數列是以首項為,公差為1的等差數列.
當時,上式顯然成立.
(3)由(2)知,
①當時,,原不等式成立.
②當時, ,原不等式亦成立.
③當時,
當時,,原不等式亦成立.
綜上,對一切正整數,有.

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